一个粘塑性本构模型的实现

1.1.3 各向同性硬化准则
Z2CND18.12N 不锈钢在室温下表现出明显的循环硬化特性， 本文将循环硬化 都归结于各向同性硬化，采用如下的各向同性硬化演化律来描述：
0 σ y =σ y +R
(1‐13) (1‐14) (1‐15)
& = b (Q − R ) p & ( R(0) = 0) R
λ=
•
σv
K
n
(1-7)
式中 K 表示拖拽应力常数， n 表示粘性指数，<>为McCauley括号，其含义为 当x≦0时, <x>=0；当x﹥0时，<x>=x。当加载点在屈服面以内时，材料处于弹性 变形阶段，此时粘性力等于零。当加载点超过屈服面以后，粘性力大于零，此时 材料会发生非弹性的粘塑性变形。 对屈服面方程求导并代入流动律方程，可得：
M ⎤ ⎡2 a α α = ∑ α i , dα i = γ i ⎢ ri dε p - ( i ) mi dε p : i α i ⎥ ri ai 1 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣3
(1‐12)
在 O‐W(II) 模型中, 幂指数关系代替了 H( f i ) 函数，为动态恢复项带来了非 线性，这种非线性保证了单轴条件下应力应变滞环曲线的不封闭，从而能预测单 轴的棘轮效应，因此幂指数 mi 在一般情况下可由一个单轴的棘轮应变实验曲线 求得。
•p
ε =
3 σv 2 K
s−α s−α
n
N
(1-8)
N=
(1-9)
N 为屈服面的法线方向，它给出了塑性流动的方向。
1.1.2 随动硬化律
1993 年，Ohno 和 Wang 提出了一种叠加多个 A‐F 硬化律的模型，并且假设 每一个硬化律都有各自的关键状态，当各个背应力分量的数值达到其关键状态 时，硬化律中的动态恢复项才能完全起作用，而在此之前按照完全不起作用和部 分起作用可将 O‐W 模型分为两种形式[35,36]，起初的形式为： (I)
2 在 达到关键状态之前， 各个背应力分量α i 都以斜率为( γ i ri )的线性硬化律运动。 3
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单轴条件下, O‐W(I) 模型和多线性模型相似,预测出的单轴应力应变滞环曲线为 封闭曲线，因而不能产生任何单轴棘轮效应。为了克服这一缺陷，Ohno 和 Wang 在他们的第二个模型中为每一个硬化律通过对动态恢复项引入幂指数关系使各 个硬化律的分量具有非线性,这样每一个背应力分量在达到其关键状态之前，动 态恢复项部分不起作用，表达式如下所示: (II)
1.1 粘塑性本构模型 1Βιβλιοθήκη Baidu1.1 流动律和屈服准则
假设材料的总变形可分为弹性部分与塑性部分：
ε = εe + ε p
弹性应变遵循虎克定律：
(1-1)
εe =
或者
1 +ν ν σ − tr (σ )I E E σ = C : εe
(1-2) (1-3)
其中 σ 为应力张量， tr 为二阶张量的迹，I 为二阶单位张量， C 为四阶刚度 张量，( : )表示张量间的内积。 流动律可定义为： ε =λ
1.2 模型算法的实现
结合 Simo 和 Taylor [75]提出的切线预测径向返回算法(图 1‐1)，同时假设材 料的各向同性变形和塑性不可压缩性，本节将采用 Euler 后退法对率相关模型的 应力进行隐式积分更新，并给出相应的算法流程图。
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STn+1
C A Sn
S n+1
f=0
图 1‐1 径向返回法示意图
对应每一个应变增量，Euler 后退法的作用实际上就是将当前时刻 n 的所有 状态变量都更新到下一时刻 n+1，如下式所示：
ε n +1 p n p n +1 (σ n , α n , ε n , ε n , pn , Rn , σ y ) ⎯Δ ⎯ ⎯→(σ n+1 , α n+1 , ε n+1 , ε n +1 , p n +1 , Rn +1 , σ y ) (1-16)
对率相关模型，为确定塑性乘子，需要引进“过应力”的概念：
σv =
3 s − α −σ y 2
(1-6)
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粘性力可以理解成当前应力状态与屈服面 F = 0 边界的距离，粘性力是产生 非弹性变形的驱动力。下面给出塑性乘子与粘性力常见的函数关系：
•p •
∂F ∂σ
(1-4)
假设材料服从 von Mises 屈服准则，则屈服函数为：
F= 3 (s − α ) : (s − α ) − σ y = 0 2
(1-5)
1 式(1‐4)中 λ 为塑性乘子， s = σ − tr (σ ) I 为偏应力张量，α 为背应力张量， 3
σ y 为屈服应力，即屈服面的尺寸。
⎛2 •p •p⎞ ⎟ p=⎜ ⎜3ε :ε ⎟ ⎠ ⎝
• 1/ 2
0 上式中 σ y 为初始屈服极限， 可由单轴拉伸曲线确定。 R 为各向同性硬化的增
量，即屈服面半径的增量。b 和 Q 都是材料常数。Q 代表循环稳定状态下的 R 饱 和值，b 和 R 达到饱和值的速率相关，控制材料达到循环稳定状态的速率。
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科学计算选讲期末作业
一个粘塑性本构模型的实现
本文中，将在粘塑性本构框架下，以 Ohno‐WangII 随动硬化律为基础，结合 各向同性硬化准则，发展一个新的模型，对 Z2CND18.12N 奥氏体不锈钢材料的 应变循环和单轴棘轮行为作统一的描述。
M ⎡2 ⎤ α α = ∑ α i ， dα i = γ i ⎢ ri dε p - H( f i ) d ε p : i α i ⎥ αi 1 ⎢ ⎥ ⎣3 ⎦
(1‐10)
关键状态方程为:
f i = α i - ri 2 = 0
(1‐11)
其中：α i 为背应力分量，α i 是背应力分量的模量， 且 a i = 3 / 2α i : α i ， f i 代 表每一个背应力分量的关键状态，γ i , ri ( i = 1 ~ M )是 O‐W 模型的材料参数， 可 由单轴的拉伸曲线求得， 公式(1‐10)中的 H 代表 Heaviside’s 函数。在 O‐W(I) 模 型中,每一个动态恢复项在达到其关键状态( f i = 0 )之前都不起作用,也就是说， 在