向量的加法与减法优质课教案
向量的加减法教案
向量的加减法教案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx向量加法运算及其几何意义教案一、教学目标（1）学生能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量，并初步学会用向量方法解决几何问题。
（2）通过类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其运算律，体验数学知识发生、发展的过程，培养数学类比、迁移、分类、归纳等能力。
（3）学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。
体验探索的乐趣。
二、教学重点学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其运算律。
三、教学难点学生对向量运算律的理解。
四、教学过程【环节一复习回顾】问题1：向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量？【环节二引入】问题2：坐飞机从上海到香港，再从香港到台北，这俩次飞行的位移是多少？【环节二向量加法定义的探究】上海香港台北A OB问题3：让学生讨论,怎么定义任意二个向量的和？学生讨论以后可能会出现以下定义方式：已知向量a,b,在平面内任取一点A,作==,则向量AC叫做向量,a b的和．记AB a BC b,+=+=。
作：a b+,即a b AB BC AC对于零向量与任一向量我们规定： + = + =【环节三向量加法的二个运算法则】问题4：我们已经定义了向量的加法，那么已知俩个向量a→、b→,如何求作和向量a b+呢？向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”。
2°向量加法的平行四边形法则平移两个向量至同一起点，和向量为同起点的对角线。
注意：1.三角形法则要求是首尾连接；而平行四边形法则要求是起点相同2.三角形法则适合多个向量的求和；而平行四边形法则只适合两个向量的求和【环节四例题讲解】例1. 已知向量a 、b ，求作向量a +b （用三角形法则与平行四边形法则）a 、b ，求作向量a +b 和b +a 。
题目：向量的加法和减法说课稿
题目：向量的加法和减法说课稿向量的加法和减法说课稿一、课程背景和目标本节课的主题是向量的加法和减法。
通过本课，学生将研究如何进行向量的加法与减法运算，并能够应用这些知识解决与向量相关的实际问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 向量的定义和表示方式- 向量的加法和减法的运算规则- 向量加法和减法的几何意义- 向量运算在实际问题中的应用2. 教学方法为了达到有效的教学效果，本课采用以下教学方法：- 讲授与演示结合，通过示例向学生介绍向量的定义和表示方式、向量加法和减法的运算规则等基本概念。
- 给予学生练机会，通过练题让学生巩固所学的知识。
- 强调实际应用，通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解向量运算在现实生活中的应用场景。
三、教学流程第一步：引入通过引入一些生活中的例子，引起学生对向量的认知和兴趣。
第二步：向量的定义和表示方式- 通过图示介绍向量的定义和表示方式。
- 向学生解释向量的方向、大小等概念。
第三步：向量的加法和减法的运算规则- 通过示例演示向量的加法和减法的运算过程。
- 引导学生总结加法和减法的运算规则。
第四步：向量加法和减法的几何意义- 通过图示解释向量加法和减法的几何意义。
- 帮助学生理解向量加法和减法的结果在平面坐标系中的表示。
第五步：实际问题的应用- 选取一些简单的实际问题，引导学生运用向量的加法和减法解决问题。
- 提醒学生分析问题，找到解决问题的关键步骤。
第六步：总结与拓展- 总结本节课的教学内容和研究要点。
- 提供一些拓展性问题，激发学生对向量的进一步思考和研究热情。
四、教学资源- 平面坐标系示意图- 向量加法和减法的示例图片- 练题和答案五、教学评估通过教学过程中的参与情况、学生练题的完成情况以及对实际问题的解决能力等多个方面进行评估。
六、课后作业布置练题，要求学生运用所学的向量加法和减法解决问题，并编写课后总结报告。
以上是本节课《向量的加法和减法》的说课稿，希望通过本节课的教学，能够帮助学生深入理解和掌握向量的加法和减法运算，提高他们的问题解决能力和空间思维能力。
平面向量的加法、减法运算教学案 (2)
平面向量的加法、减法运算一、教学目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、教学重点1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义 三、教学难点1.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．2.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 四、教学过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求两个向量和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则．AC →AC →(2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( ) (3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________． 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关．2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了．3．(1)向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →. 类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c .归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 3．引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记平面向量的加法、减法运算一、学习目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、学习过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求 和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则． (2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )(3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( ) 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关． 2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c . 归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记。
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
高一数学向量 向量的加法和减法教案
向量【复习】1．在下面给出的量中：①长度②面积③体积④时间⑤温度⑥密度⑦质量⑧速度⑨加速度⑩位移功动能动量角，可以用一个实数（正数、负数或零）完全确定下来的量是_____；仅凭数值的大小是不能完全决定的，还必须指出它们的方向的量是_____．2．（1）判断正误：①向量的大小就是有向线段的数量．（）②任何零向量都相等．（）③单位向量就是长度为1的向量．（）④任意两个相等的非零向量与表示它们的有向线段的起点有关．（）（2）下列各式不正确的是（）A．AB＝BA B．m与n共线，则m∥nC．0∥a D．|e|＝1向量概念人们在长期的实践中，发现一些量在规定的单位下，都可以用一个数来表示．如长度、质量、面积等，这些量就是数量．但也有一些量不能单纯用一个数来表示，如力、速度、加速度等，它们不仅有大小，而且还有方向．这种既有大小又有方向的量就叫做向量．大小与方向是向量的两要素．判别向量的标准就是看一个量是否同时有大小和方向．2．向量的表示（1）向量的几何表示法：我们把带有方向的线段叫有向线段．有向线段有三要素：起点、长度、方向．从向量的定义看，向量具有两个特征，即大小与方向，而具备这两个特征的最简单的几何图形是有向线段，于是向量就可以用有向线段来表示．我们用带有箭头的有向线段表示向量．如，一物体受到2牛顿的力的作用，我们就可用如图5－1－1所示有向线段表示．（2）向量的字母表示：①在书上，印刷用小写字母的黑体表示，如a、b等．一旦手写，一定要表示出“箭头”如ba,．②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD等．但必须注意：起点字母在前，终点字母在后．AB和BA表示两个不同的向量，它们的方向恰好相反．3．向量的长度（或称模）向量的大小就叫向量的长度（模）．向量AB的长度记作|AB|．向量a的长度记作|a|．如图5－1－1中的向量长度为2，即|AB|＝2．向量的长度是一个数量．因此向量的长度可比较大小．如若|a|＝3，|b|＝2，则|a|＞|b|．4．几种特定条件的向量（1）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，即|0|＝0．零向量没有确定的方向，注意，不是没有方向！由于它的长度为0，所以表示它的有向线段的起点和终点重合，即成为一个点，因此，零向量的方向是任意的．零向量和数零是有差异的，因为前者有方向，后者没有方向．在读书时要注意0的黑体与白体的不同含义，一个表示零向量，一个表示数零．课本复习参考题五A组第1题，就是考查0是白体还是黑体，应引起重视．（2）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫单位向量，在统一的单位长度下，所有的单位向量的长度均相等，但方向不一定相同．因此不能说所有单位向量都相等．5．平行向量（或共线向量）（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．由此可知，零向量与零向量也是平行的．若a与b平行，记作a∥b．a为任一向量，则a∥0．（2）因为平行向量可平移到同一直线上，所以我们称平行向量为共线向量．注意向量平行和线段平行的差异：线段平行，则它们不能在一直线上，而向量平行，表示它们的有向线段可以在一直线上．6．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．我们规定，零向量与零向量相等，两个相等的向量可用同一有向线段表示．因此，表示一个向量的有向线段的起点的选取是任意的，即表示向量的有向线段可任意平行移动，这样的向量叫自由向量．向量与数量、向量与力有什么区别？数量只有大小，用正数、负数、零来表示，它是代数量，可进行代数运算，它们之间可以比较大小．向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，不能用一个数表示向量，向量的运算也是不同于代数运算的全新的运算．从符号的意义来看，－a表示a的相反向量，－a表示a的相反数，|a|表示a 的长度（模），|a|表示a的绝对值．向量与力的比较见下表两个向量之间可能有什么样的关系？我们已知道两向量之间没有“大于”或“小于”的关系．但从向量的大小和方向考查存在以下的关系：零向量与任一向量平行（共线）．两非零的平行向量有如下分类：怎样正确地理解向量？［例1］对下列各命题的真假作出判断（1）物理学中的作用力与反作用力是一对方向相反，大小相等的向量．（2）温度有零上温度和零下温度，所以温度是向量．（3）直角坐标系中的x轴和y轴都是向量．（4）线段不是向量，而有向线段是向量．分析：以上四个命题均为向量的判断问题，因此需严格对照向量的定义逐个作出判断．解：（1）真命题．因为作用力与反作用力是作用于同一点，且大小相等方向相反的两个力，故（1）是真命题．（2）假命题．虽然温度有零上和零下，但这并不是方向，故温度不是向量．（3）假命题．由于x轴和y轴虽然有方向，但是无大小，故x轴和y轴都不是向量．（4）真命题．由于线段无方向，故它不是向量；而有向线段既有大小又有方向，故有向线段是向量．若a与b是平行向量，b与c是平行向量，则a与c也是平行向量吗？［例2］试判定命题：“若a∥b，b∥c，则a∥c”的真假，若该命题为真，则给出证明；若该命题为假，则举出反例．解：该命题是假命题．例如，当a、c为两非零向量，且a∥c，而b＝0时，由于零向量与任何向量均平行，所以当b＝0时，a∥b，b∥c，但推不出a∥c．点评：（1）如果我们在本例的条件中增加条件：向量a、b、c 为非零向量，则命题：“若a∥b，b∥c，则a∥c”为真命题．（2）若向量a对任何向量b，均有a∥b，则必有a＝0．一、选择题1．下列各量中是向量的是（）A．密度B．功C．风速D．比热2．下列命题中正确的是（）A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝b3．下列说法中正确的是（）A．零向量没有方向B．单位向量都相等C．与非零向量a平行且不相等的向量有2个D．a、b为非零向量，且a∥b，则表示a和b的有向线段平行或重合二、填空题4．a、b不共线，则a、b一定都是_____．5．已知a0是a的一个单位向量，则a0＝_____a．三、解答题6．判断下列各命题是否正确？并说明理由．（1）若点O是正三角形ABC的中心，则向量OA、OB、OC均相等．（2）在四边形ABCD中，若AB与CD共线且|AD|≠|BC|，则四边形ABCD 是梯形．（3）在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，若AO ＝OC ，BO ＝OD ，则该四边形是平行四边形． （4）在四边形ABCD 中，“AB ＝DC 且|AC |＝|BD |”是四边形ABCD 为矩形的充要条件．参考答案【课前复习】1．①②③④⑤⑥⑦；⑧⑨⑩2．（1）①× ②√ ③× ④× （2）A一、1．C 因风速既有大小又有方向．2．A 因模为0的向量只有零向量．3．D 零向量有方向；单位向量的方向不一定相同；与a 平行的向量有无数个．二、4．非零向量 因为零向量与任何向量共线．5．±||1a 注意需考虑方向． 三、6．（1）不正确．因为它们的方向各不相同．（2）正确，由于AB ∥CD ，故AB ∥CD ．再由于|AD |≠|BC |，所以AD ≠BC ，故四边形ABCD 是梯形．（3）正确．由条件知四边形ABCD 的对角线互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形．（4）正确．由条件AB ＝DC 可知：AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AC |＝|BD |，即□ABCD 的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形；反过来，若四边形ABCD是矩形，则它的对边平行且相等，对角线长也相等，所以AB＝DC，且|AC|＝|BD|．向量的加法与减法（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）实数的运算律，是实数进行运算的依据，实数的加法交换律是_____，加法结合律是_____．（2）已知力F1与F2的夹角是直角，在图5－2－1中作出合力F．图5－2－12．先看书，再来做一做．（1）在平行四边形ABCD中，AB＋CA＋BD等于（）A．AB B．BCC．CD D．BA（2）一架飞机从A城向北飞行到达B城，后改变航向向西飞行到达C城，若用向量AB、BC分别表示第一次、第二次飞行的位移，则两次飞行的效果，就相当于从A城直接飞行到C城，即位移AC．这一事实让我们感受到应该有等式（向量式）_____．【学习目标】（1）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．（2）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．【基础知识精讲】本课时内容是向量的加法，向量加法的三角形法则，平行四边形法则，向量加法的交换律和结合律．重点是向量加法的定义，和向量的作法，加法运算律．难点是对向量加法定义的理解．1．向量的加法向量的加法是以物理中速度的合成，合力与分力（力的分解与合成）为背景的．课本首先通过几何作图作出两个向量的和向量，然后给出向量加法的定义．作两个向量和的几何方法有两种：一种是三角形法则，另一种是平行四边形法则．（1）向量加法的三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC．这种作和向量的方法叫向量加法的三角形法则．图5－2－2（2）向量加法的平行四边形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，AC＝b，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则AD是a、b的和向量，即AD＝a＋b．这种作和向量的办法，叫做平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫向量的加法．课本对向量加法是采用三角形法则来定义的，这种定义，对两向量共线时同样适用，而当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了，但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两个法则都应熟练掌握．对向量的加法要注意下列几点：①向量和与数量和的区别．两向量的和仍为向量，它既有大小，又有方向．而数量和没有方向，数量不能与向量相加．②对任意向量a和b，有|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．③零向量与任一向量的和向量还是这个向量，即a＋0＝a．④在用三角形法则作和向量时，第二个向量的起点要与第一个向量的终点重合，和向量的起点是第一个向量的起点，和向量的终点是第二个向量的终点．如果没有图示，用向量的起点终点表示向量时，也应该注意到“尾首相接”的要求．例如，AB＋CA＝CA＋AB＝CB．2．向量加法的运算律向量加法与实数加法具有相同的运算律，即对于任意三个向量a、b、c，有交换律a＋b＝b＋a结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）通过作图（也就是运用定义）可以验证向量加法的交换律和结合律．3．相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量叫a的相反向量，记作－a ．规定零向量的相反向量还是零向量．由定义可知AB 与BA 是互为相反的向量，即AB ＝－BA ．（1）一个向量的相反向量的相反向量就是它本身，即－（－a ）＝a ．（2）a 、b 是互为相反向量的充要条件是a ＋b ＝0．（3）互为相反向量的两个向量的长度相等，即|a |＝|－a |． 学习本课时时，下面三个问题需要注意．怎样理解向量加法定义？首先，要结合高一上学期物理中力的合成有关知识，联想对照，验证定义的科学性．其次，要联系实际，通过自身生活感受，理解定义的合理性．设想一个物体连续作两次直线移动，先从点P 1移动到点P 2，得到一个向量21P P ，再从点P 2移动到点P 3，又得到一个向量32P P ，而两次移动的实际效果就相当于从点P 1直接移动到点P 3，即得到向量31P P ．如图5－2－3示，这一事实让我们感受到应该有等式：21P P ＋32P P ＝31P P ．这样，我们就能很自然地从感性上认可向量加法的定义．另外，要对定义所能包含的各种情况全面认识，力求把握定义的外延和本质．图5－2－3怎样证明｜｜a ｜－｜b ｜｜≤｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜? 若a 、b 中有一个为0时，则不等式显见成立；若a 、b 都不是0时，作OA ＝a ，AB ＝b ，则OB ＝a ＋b ．(1) 当a 、b 不共线时，如图5－2－4（1）所示，则｜｜OA ｜－｜AB｜｜＜｜OB｜＜｜OA｜＋｜AB｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜．（1）（2）（3）图5－2－4（2）当a、b共线时，若a、b同向，如图5－2－4（2）所示，｜OB｜＝｜OA｜＋｜AB｜，即｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；若a、b反向，如图5－2－4（3）所示，｜｜OA｜－｜OB｜｜＝｜AB｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜．综上所述可知，｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜怎样证明向量加法的交换律和结合律？先证交换律：（1）当a、b不共线时，如图5－2－5，作□ABCD，使AB＝a，AD＝b，则DC＝a，BC＝b，图5－2－5∵a＋b＝AB＋BC＝AC，b＋a＝AD＋DC＝AC∴a＋b＝b＋a．（2）当a、b共线时，应考虑三种情况：①若a、b两向量中，至少有一个为0，则a＋b＝b＋a成立；②若a，b不为0，且a、b同向时，则由于｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜b＋a｜＝｜b｜＋｜a｜＝｜a｜＋｜b｜∴｜a＋b｜＝｜b＋a｜又∵a＋b与a同向，b＋a也与a同向，∴a＋b与b＋a同方向，∴有a＋b＝b＋a．③若a、b反向，且a、b不为0时，则｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜b＋a｜＝｜｜b｜－｜a｜｜＝｜｜a｜－｜b｜｜∴｜a＋b｜＝｜b＋a｜．又∵a＋b及b＋a均与a、b中模较大的同方向，∴a＋b与b ＋a同方向，∴有a＋b＝b＋a．综上可知，对任意向量a、b，均有a＋b＝b＋a．再证结合律：如图5－2－6所示，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，则AC＝a＋b，BD＝b＋c图5－2－6于是（a＋b）＋c＝AC＋CD＝AD，a＋（b＋c）＝AB＋BD＝AD∴（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．【学习方法指导】怎样运用向量加法运算律简化向量式？［例1］化简AB＋DF＋CD＋BC＋FA．分析：根据向量加法的交换律使各向量首尾相连，再运用向量加法的结合律调整向量顺序相加．解：∵AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ＝AB ＋BC ＋CD ＋DF ＋FA （利用交换律） ＝AC ＋CF ＋FA （利用结合律） ＝AF ＋FA （利用结合律） ＝AA ＝0． ∴AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ＝0．如何利用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形？［例2］已知：如图5－2－7，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，且AO ＝OC ，DO ＝OB ．求证：ABCD 是平行四边形．图5－2－7证明：由向量的加法法则，有AB ＝AO ＋OB ，DC ＝DO ＋OC ，又AO ＝OC ，DO ＝OB ，∴AB ＝DC ．这说明AB 与DC 平行且相等，故ABCD 为平行四边形．点评：要证四边形是平行四边形，只要证明其一组对边平行且相等，由相等向量的意义可知，只须证明其一组对边对应向量相等．【知识拓展】1．向量加法的多边形法则：向量加法的三角形法则，可推广到一般情况．要作向量a 1，a 2，…，a n 的和向量，只需作21A A ＝a 1，32A A ＝a 2，…，1+n n A A ＝a n ， 则11+n A A ＝a 1＋a 2＋…＋a n ．图5－2－8是n ＝4的情形．图5－2－82．闭折线定理：在向量加法的多边形法则中，如果最后一个向量的终点与第一个向量的起点相重合，则所求的和为一个零向量，即对于一组闭折线A 1A 2A 3…A n A 1，总有3221A A A A +＋…＋11A A A A n n n +-＝0．课本第一册（下）第103页习题5．2第6题中“化简AB ＋BC ＋CA ”是该定理的特殊情形．该题用向量加法的三角形法则，不难得到结果：AB ＋BC ＋CA ＝0．该结论称为“三闭折线定理”．【同步达纲训练】一、选择题1．如图5－2－9，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是（ ）图5－2－9A ．FD ＋DA ＝FAB ．FD ＋FE DE +＝0C ．EB DA DE =+D ．DE DA +＝FD2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，AC ＝c ，BC ＝b ，则｜a ＋b ＋c ｜为（ ）A ．0B ．3C ．2D ．223．已知P 为△ABC 所在平面内的一点，当PC PB PA =+成立时，点P 位于（ ）A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部二、填空题4．MQ+PQ++＝_____．OMQO5．向量a、b满足｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值和最小值分别是_____．三、解答题6．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，试判断四边形ABCD的形状．参考答案【课前复习】1．（1）a＋b＝b＋a（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（2）2．（1）C AB＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋CA＝AD＋CA＝CA ＋AD＝CD．（2）AB＋BC＝AC．【同步达纲训练】一、1．A 根据向量加法的三角形法则，易知选A．2．D |a＋b＋c|＝|c＋c|＝2|c|＝22．3．D 四边形PBCA是平行四边形．二、4．PQ PQ＋OM＋QO＋)OM+）=＋（MQ(QOPQMQ+＝PQ+．PO=OQ5．20和4 根据||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可得．三、6．由a＋c＝b＋d，得OA＋OC＝OB＋OD，OA＋OC－OB －OD＝0，OA＋BO＋OC＋DO＝0，BA＋DC＝0，AB＝DC．这说明四边形ABCD是平行四边形．向量的加法与减法（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）与a_____的向量，叫做a的相反向量．（2）－（－a）＝_____，a＋（－a）＝_____；（－a）＋a＝_____．2．先看书，再来做一做．（1）化简：OA－OB＝_____，OPPB －OB＝_____．（2）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝_____．【学习目标】（1）会用相反向量说出向量减法的意义．（2）能准确作出两个向量的差向量，并知道确定差向量的起点和终点的规律．（3）能结合图形进行向量计算，知道向量的减法运算可以转化为向量的加法运算．【基础知识精讲】向量的减法与向量的加法一样，也是全章的重点内容之一．本课时的重点是向量减法的定义．难点是如何作两个向量的差向量．1．向量减法的定义a与b的相反向量的和，叫做a与b的差，记作a－b．即a－b＝a＋（－b）．求两向量差的运算，叫做向量的减法．2．差向量的作法（1）为了作出差向量a－b，不妨设a－b＝x，则b＋x＝b＋（a－b）＝a＋b＋（－b）＝a．如图5－2－10所示，由加法的作图方法，可以得到：将a、b的起点重合于点A，端点B、C相连，方向指向被减向量a的终点．也就是说，差向量总是以减向量终点为始点，被减向量终点为终点的有向线段．图5－2－10 图5－2－11（2）当a∥b时，若a，b同向且|a|＞|b|，a－b与a、b方向相同；|a|＜|b|时，a－b与a、b反向，且|a－b|＝||a|－|b||．若a、b反向，a－b与a同向，且|a－b|＝|a|＋|b|．（3）对两向量的差还有：①0－a＝－b；②a－0＝a．3．关于向量差的模的不等式．对于两任意向量a与b差的长度不大于两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．事实上，只需将||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中的b换作－b，即可得到．在本课时学习过程中，容易产生下面的问题：向量的加减法与数量的加减法有什么异同？两者的比较如下表所示：在向量式中，去括号法则仍然适用吗？下面以向量a、b为例，验证－（a＋b）＝－a－b成立．（1）当a、b中至少有一个为0时，不妨设a＝0，则－（a＋b）＝－（0＋b）＝－b，－a－b＝0－b＝－b．等式成立；当a＝b ＝0时，显然成立．（2）当a、b均不为0时，①若a、b共线，此时，若a、b同向，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，BO＝－（a＋b），而－a－b ＝（－a）＋（－b）＝AO＋BA＝BO，等式成立（图5－2－12）．若a、b反向．当|a|＝|b|时，a、b互为相反向量，－a、－b 也是互为相反向量，故－（a＋b）＝－a－b＝0．当|a|＞|b|时，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，BO＝－（a＋b），而AO＝－a，BA＝－b，BA＋AO＝BO＝－a－b，等式成立．同理可得|a|＜|b|时，等式成立（图5－2－13）．图5－2－12 图5－2－13②a、b不共线时，作OA＝a，OB＝b．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，CO＝－（a＋b），而CB＝－a，CA ＝－b，∴－a－b＝（－a）＋（－b）＝CO，等式也成立（图5－2－14）．图5－2－14综上所述，等式永远成立．这说明，向量运算和实数运算一样，也有去括号法则：a－（b＋c）＝a－b－c．【学习方法指导】怎样进行向量的加减法运算？［例1］化简（AB－CD）－（AC－BD）．分析：公式OA－OB＝BA可以直接运用，也可以逆向运用，还可以利用－AB＝BA将加、减法统一成加法进行计算．解法一：（统一成加法）（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋（DC＋CA）＝AD＋DA＝0解法二：（利用OA－OB＝BA）（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝（AB－AC）＋（DBDC ）＝CB＋BC＝0．由|a＋b|＝|a－b|，能判定向量a与b互相垂直吗？［例2］已知两个向量a与b，求证|a＋b|＝|a－b|的充要条件是：a的方向与b的方向垂直．分析：分充分性和必要性两个部分来证明．证明：当a、b中至少有一个为0时，命题显然成立．当a、b都是非零向量时，如图5－2－15示．图5－2－15（1）充分性设OA＝a，OB＝b，使OA⊥OB．以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|．∵四边形OBCA为矩形，∴|OC|＝|BA|，∴|a＋b|＝|a－b|（2）必要性设OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形，则|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|，∵|a＋b|＝|a－b|，∴|OC|＝|BA|又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形OBCA为矩形∴a的方向与b的方向垂直．怎样利用向量a、b、a＋b、a－b之间的关系解题？当a、b不共线时，a、b、a＋b、a－b分别为一平行四边形的两邻边和两条对角线．我们可以利用这一特定关系解答一些问题．［例3］已知|a|＝6，|b|＝8，|a－b|＝10，求|a＋b|．解：由|a|＋|b|＝14，||a|－|b||＝2，知|a－b|≠|a|＋|b|，且|a－b|≠||a|－|b||，所以a、b不共线．设OA＝a，OB＝b．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b∴|OA|＝6，|OB|＝8，|AB|＝10，∴|OA|2＋|OB|2＝|BA|2∴△AOB是直角三角形，∴OACB是矩形∴|OC|＝|BA|＝10，即|a＋b|＝10．【知识拓展】向量减法除了课本给出的作图法（根据定义作），还有其他作图法．1．根据减法是加法的逆运算作．设x＝a－b，则x＋b＝a．要作出a－b，只要作出x即可．以OA、AB为邻边作平行四边形OABC，使OA＝a，AB＝b，则平行四边形OABC的另一条对角线CA＝a－b，如图5－2－16．图5－2－162．根据相反向量的意义，由减法转化为加法来作．作OC＝－b，OA＝a，则CA＝CO＋OA＝（－b）＋a＝a－b．比较几种作法，容易看出，课本上给出的作法是最简捷的作法．【同步达纲训练】一、选择题1．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于（）A．0 B．1C．2D．22．a∥b是|a－b|＝||a|－|b||的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列各式中不能化简为AD的是（）A．（AB－DC）－CBB．AD－（CD＋DC）C．－（CD＋MC）－（DMDA+）D．－MBDA-BM+二、填空题4．当不等式中||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中前后两个等号都成立时，|a|·|b|＝_____．5．已知向量a、b、c的模分别为3、4、5，则|a－b－c|的最小值为_____，最大值为_____．三、解答题6．已知非零向量a和b不共线，求作向量c，使c＝a－b，表示向量a、b、c的有向线段能构成三角形吗？参考答案【课前复习】1．（1）长度相等方向相反（2）a；0；02．（1）BA0（2）－a－b【同步达纲训练】一、1．D 由题意，b＝－a，|a－b|＝2|a|＝2．2．B 当b＝－a时，|a－b|＝2|a|．而||a|－|b||＝0．a≠0时，|a－b|≠||a|－|b||，所以不是充分条件．但当|a－b|＝||a|－|b||时，必然有a与b同向，∴a∥b．3．D ∵（AB－DC）－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD；DA+）AD－（CD＋DC）＝AD－0＝AD；－（CD＋MC）－（DM＝－DM+=-＝AD．-MD-DADMADDM－MB++=-++=BM2DAADADMBMBMB二、4．0 当左边等号成立时，a、b同向或至少有一个为0．当右边等号成立时，a、b异向或至少有一个为0．当两个等号都成立时，只能是a、b中至少一个为0．∴|a|·|b|＝0．5．0 12 当a与b垂直，且a－b与c同向时，则|a－b－c|＝|c－c|＝0；当b、c同向，且与a反向时，|a－b－c|＝|a|＋|b|＋|c|＝12．三、6．解：能如图示，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b＝c．显然OAB的三边是a，b，a－b．。
向量的加法与减法(优质课教案)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c ab = a+ (b)ab
三、讲解范例：
例1已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd
解：在平面上取一点O，作 =a, =b, =c, =d,
作 , ,则 =ab, =cd
例2平行四边形 中， ， ，用 ， 表示向量 、
如图，已知向量 、 在平面内任取一点 ，作 ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 ，即
特殊情况：
对于零向量与任一向量 ，有
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + |<| |+| |;
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |,当 与 反向时，若| |>| |,则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |;若| |<| |,则 + 的方向与 相同，且| +b|=| |-| |.
1．用“相反向量”定义向量的减法：
1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量(a) =a
任一向量与它的相反向量的和是零向量a+ (a) =0
如果a、b互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0
3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差
即：ab=a+ (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法
二、讲解新课：
1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
《向量的加法和减法》 说课稿
《向量的加法和减法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《向量的加法和减法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“向量的加法和减法”是高中数学必修 4 第二章平面向量中的重要内容。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。
向量的加法和减法是向量运算的基础，后续的向量数乘运算以及向量的数量积运算都建立在加法和减法的基础之上。
同时，向量的加法和减法在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
本节课的内容在教材中起着承上启下的作用，通过对向量加法和减法的学习，学生能够进一步理解向量的概念，为后续的学习打下坚实的基础。
二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平面几何的相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力。
但是，向量对于学生来说是一个全新的概念，学生在理解向量的加法和减法的几何意义时可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要通过直观的图形和实例，帮助学生理解向量的加法和减法的运算规律。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量加法和减法的定义。
（2）掌握向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则。
（3）能够熟练进行向量的加法和减法运算。
2、过程与方法目标（1）通过实例，经历向量加法和减法概念的形成过程，培养学生的观察、分析和抽象概括能力。
（2）通过向量加法和减法的作图，体会数形结合的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）在向量加法和减法的探究过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）向量加法和减法的定义及运算法则。
（2）向量加法和减法的几何意义。
2、教学难点（1）对向量加法和减法的几何意义的理解。
（2）灵活运用向量加法和减法的运算法则解决实际问题。
向量的加法与减法 北京市清华附中高一数学平面向量教案[全套]
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向量的加法与减法第一课时向量的加法教学目的：1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．培养学生化归的数学思想．教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．教学难点：对向量加法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：1．复习上节要点(见ppt课件)，提问教材P98练习及习题5.1中各3道题(前课作业)．并判断下列命题的真假：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；(2) 两个向量平行是两个向量相等的必要条件；(3) 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．分析：判断上述三个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：(1) 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．(2) 由于两个向量相等，必须这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；(3) 不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定．小结：学习向量时，由于向量具有数形两重性，所以不仅要知其本身的一些概念性质，还应与相关的平面几何知识联系起来，这对理解向量的一些性质很有好处．2．设置情境，引入新课：由于大陆和台湾没有直航，因此，虽然台湾国民党主席连战和亲民党主席宋楚瑜来大陆访问的第一站都是南京，但都要先从台北到香港，再从香港到南京．请问他们的两次位移之和是什么？这就是向量的加法 (板书课题)．二、新课：1．向量的加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做向量a、b的和．记作：a+b，即a+b=AB BC+=AC．零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a．2．两个向量的和向量的作法：(1) 三角形法则：两个向量“首尾”相接．注意：1°．三角形法则对于两个向量共线时也适用；2°．两个向量的和向量仍是一个向量．例1已知向量a、b，求作向量a+b．作法：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b．(2) 平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a、b的和．这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则．注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．3．向量和与数量和的区别：(1) 当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不相同，且|a+b| < |a| + |b|；(2) 当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b相同，且|a+b| = |a| + |b|；(3) 当向量a、b反向时，若|a| > |b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| = |a| -|b|；若|a| < |b|，则a+b的方向与a相反，且|a+b| = |b| - |a|．4．向量的运算律：(1) 交换律：a+b=b+a．证明：当向量a、b不共线时，如上图，作平行四边形ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a．因为AC=AB+BC=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以，a+b=b+a．当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b| = |a| + |b|，b+a与a同向，且|b+a| = |b| + |a|，所以，a+b=b+a．若a与b反向，不妨设|a| > |b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a反向，且|a+b| = |a| - |b|，b+a与a反向，且|b+a| = |a| - |b|，所以，a+b=b+a．综上，a+b=b+a．(2) 结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)．学生自己验证(如右图)．注：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了．例如：(a+b) + (c+d) = (b+d) + (a+c)．a+b+c+d+e= [d+ (a+c)] + (b+e)．例2如图，一艘船从A点出发以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为2km / h，求船实际航行的速度的大小与方向．解：设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．在Rt∆ABC中，|AB| = 2，|BC| = 23，所以，|AC| =22||||AB BC+= 4．因为tan∠CAB =232=3⇒∠CAB = 60︒．答：船实际航行的速度的大小为4km / h，方向与水流速间的夹角为60︒．三、小结：1．a+b是一个向量，在三角形法则下：平移b向量，使b的起点与a的终点重合，则a+b就是以a的起点为起点，b的终点为终点的新向量．2．一组首尾相接的向量和：AB+BC+…+EF=AF，如图．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．若O为△ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是△ABC的( D )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心2．下列各等式或不等式中一定不能成立的个数为( A )①|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| ② |a| - |b| = |a+b| = |a| + |b|③ |a| - |b| = |a+b| < |a| + |b| ④ |a| - |b| < |a+b| = |a| + |b|A．0 B．1 C．2 D．3五、课后作业：1．教材P101—102练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第1、2、3、4题(本上)．(第3题的角用反三角函数表示)3．《数学之友》T5.2．第二课时向量的减法教学目的：1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量．教学难点：对向量减法定义的理解．教学过程：一、设置情境，引入新课：如图：两个人提一桶水，用力大小一样，怎样提比较省力？学生讨论、辨析，分析出数学问题：甲用力为向量a，乙用力为向量b，且|a| = |b|，水桶重力为c，使得a+b+c=0的c一定时，a和b大小何时最小？(当a和b共线时最小)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法(板书课题：向量的减法)．二、新课：1．相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，记作-a．规定：零向量的相反向量仍是零向量．注意：(1) a与-a互为相反向量．即- (-a) =a．(2) 任意向量与它的相反向量的和是零向量．即a+ (-a) = (-a) +a=0．(3) 如果a、b互为相反向量，那么a= -b，b= -a，a+b=0．2．a与b的差：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．即a-b=a+ (-b)．3．向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法．4．a-b的作法：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．思考：为从向量a的终点指向向量b的终点的向量是什么？(b-a)注：还可以从加法的逆运算来定义，如下图所示，因为a+b=c，所以b就是c-a，因而只要作出了b，也就作出了c-a．要作出a-b，可以在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b．问：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小(|a-b|的几何意义) 如何？方向怎样？答：两个向量的差还是一个向量，a-b的大小是|a-b|，是连接a、b的终点的线段，方向指向被减向量．5．例题分析：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．思考：已知的四个向量的起点不同，要作向量a-b与c-d，首先要做什么?解：首先在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA、DC，则BA=a-b，DC=c-d．例2如图所示，ABCD中AB=a，AD=b，用a、b表示向量AC、DB．解：由平行四边形法则，得AC=a+b．由作向量差的方法，得DB=AB-AD=a-b．思考：(1) 例2中，当a、b满足什么条件时，a+b与a-b互相垂直？(2) 例2中，当a、b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？(3) 例2中，a+b与a-b有可能相等吗？为什么？参考答案：(1) 当ABCD为菱形，即|a| = |b|时，a+b与a-b垂直．(2) 当ABCD为长方形，即a⊥b时，|a+b| = |a-b|．(3) 不可能，因为ABCD的对角线总是方向不同的．三、小结：1．相反向量是定义向量减法的基础，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：x-y=x+ (-y)．2．向量减法有两种定义：(1) 将减法运算转化为加法运算：a-b=a+ (-b)；(2) 将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果b+x=a，则x=a-b．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．3．对任意两个向量a、b，总有| |a| - |b| | ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|成立．四、巩固练习：1．在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则用a、b表示向量AC+DB的是( A )A．a+a B．b+b C．0 D．a+b 2．△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( B )A．a+b B．-(a+b) C．a-b D．b-a 3．下列等式中，正确的个数是( B )①a+b=b+a；②a-b=b-a；③0-a= -a；④- (-a) =a；⑤a+ (-a) =0．A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知|AB| = 8，|AC| = 5，则|BC|的取值范围是_____________．[3，13]五、课后作业：1．教材P104练习(书上)．2．教材P104习题5.2中第6、7题(本上)．3．《数学之友》T5.3．。
教案 高教版(数学)第二册——7.2 向量的加法与减法
向量的加法与减法教学目标1、掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；2、掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；3、明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；4、在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；5、通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识。
知识结构:定义三角形法则几何表示方法向量的加法平行四边形法则向量的加减法交换律结合律综合运用向量的减法相反向量定义几何表示法则（一）向量的加法教学目标知识目标：1、向量加法定义；2、向量加法的平行四边形法则和三角形法则；3、向量加法的运算律。
能力目标：1、掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义；2、能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量；3、理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义；4、掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。
情感目标：●教学重点向量加法的定义，向量加法的平行四边形法则与三角形法则。
●教学难点对向量加法定义的理解。
●教学方法启发引导式●教学过程一、创设情境，引入新知问题：1、由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和时什么？+，2、如图（2），飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C，则两次位移的和是AB BC应该是____________。
+应该是（3）如图（3），船的速度是AB，水流速度是BC则两个速度的和是AB BC___________．答：（1）这人两次的位移的和是从台北到上海；（2）飞机两次位移的和是AC ；（3）两个速度的和是AC 。
高一数学向量的加法与减法一 教案
高一数学向量的加法与减法一课题： 5.2向量的加法与减法（一） 目标：⑴掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。
⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量难点：对向量加法的定义的理解.过程:一、复习引入物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则） 如果两个力在同一直线上呢？ 二、新课：由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向量求和的平行四边形法则 1．平行四边形法则：由同一点A 为起点的两个已知向量b a ,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向量AC 就是向量ba,的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图 注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。
由以上“两个力在同一直线上的合力”及“飞机从A 到B ，再改变方向从B到C ，则两次位移的和→→+BC AB 应该是”引出：2．向量和的定义：已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB==,，则向量AC 叫做向量b a ,的和。
记作：b a +;即AC BC AB b a =+=+这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:两个向量相加时，把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是这两个向量的和向量，AC BC AB =+（两个向量“首尾”相接）注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；推广：①可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则：②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点便可，如：OB AO AB +=练习：课本99页1、2、3、4.由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模） 3.两向量的和向量与原向量之间的关系⑴ a a a=+=+00⑵ AB +BA =0⑶ 当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a ,不同向，且||||||b a b a+<+⑷当向量b a ,同向时，b a +的方向与b a,同向，且||||||b a b a +=+当向量b a ,反向时，若||||b a >，则b a +的方向与,a同向，且||||||b a b a -=+；若||||b a <，则b a +的方向与,a反向，且||||||a b b a -=+；4．向量的运算律：⑴交换律：a b b a+=+证明：当向量b a,不共线时,如上图，作平行四边形ABCD ，使a AB =，b AD =则b BC =,a DC =因为b a BC AB AC+=+=，a b DC AD AC +=+=所以a b b a +=+当向量b a ,共线时，若a 与b同向，由向量加法的定义知： b a +与a同向，且||||||b a b a +=+a b +与a 同向，且||||||a b a b+=+，所以a b b a +=+ 若a 与b反向，不妨设||||b a >，同样由向量加法的定义知： b a +与a 同向，且||||||b a b a-=+a b + 与a同向，且||||||b a b a -=+，所以a b b a +=+ 综上，a b b a +=+⑵结合律：)()(c b a c b a++=++学生自己验证。
向量的加减法教案
向量的加减法教案第一章：向量简介1.1 向量的定义向量的概念：具有大小和方向的量向量的表示方法：用箭头表示，例如→a 或<a, b>1.2 向量的性质向量的大小：向量的长度或模向量的方向：向量的起点到终点的线段单位向量：大小为1的向量1.3 向量的坐标表示二维空间中的向量：用(x, y) 表示三维空间中的向量：用(x, y, z) 表示第二章：向量的加法2.1 向量加法的定义向量加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量2.2 向量加法的几何意义向量加法：起点相同的两个向量，终点相加得到一个新的向量2.3 向量加法的坐标表示二维空间中的向量加法：(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)三维空间中的向量加法：(a, b, c) + (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) 第三章：向量的减法3.1 向量减法的定义向量减法：将两个向量的对应分量相减得到新的向量3.2 向量减法的几何意义向量减法：起点相同的两个向量，终点相减得到一个新的向量3.3 向量减法的坐标表示二维空间中的向量减法：(a, b) (c, d) = (a-c, b-d)三维空间中的向量减法：(a, b, c) (d, e, f) = (a-d, b-e, c-f)第四章：向量的数乘4.1 向量数乘的定义向量数乘：将一个向量与一个实数相乘得到新的向量4.2 向量数乘的几何意义向量数乘：将向量的大小乘以实数，方向不变4.3 向量数乘的坐标表示二维空间中的向量数乘：(a, b) c = (ac, bc)三维空间中的向量数乘：(a, b, c) c = (ac, bc, cc)第五章：向量加减法的应用5.1 向量加减法的几何应用向量加减法在几何图形中的应用，例如计算向量位移、速度等5.2 向量加减法的物理应用向量加减法在物理学中的应用，例如计算力的合成和分解5.3 向量加减法的实际应用向量加减法在计算机图形学中的应用，例如计算图像的位移和旋转第六章：向量加减法的运算律6.1 向量加法的运算律交换律：向量a + 向量b = 向量b + 向量a结合律：(向量a + 向量b) + 向量c = 向量a + (向量b + 向量c)6.2 向量减法的运算律减法与加法的关联：向量a 向量b = 向量a + (-向量b)结合律：(向量a 向量b) 向量c = 向量a (向量b + 向量c)第七章：向量的数乘运算7.1 向量数乘的运算律分配律：向量a (向量b + 向量c) = (向量a 向量b) + (向量a 向量c) 结合律：向量a (向量b 向量c) = (向量a 向量b) 向量c7.2 标量与向量的运算标量与向量相乘：标量向量= 向量标量第八章：向量加减法的应用举例8.1 二维空间中的向量加减法应用例题：计算物体在两个力的作用下的位移8.2 三维空间中的向量加减法应用例题：计算飞机在两个推力的作用下的位移第九章：向量的数乘应用举例9.1 二维空间中的向量数乘应用例题：计算物体在力的大小变化后的加速度9.2 三维空间中的向量数乘应用例题：计算飞机在推力大小变化后的加速度向量加减法的基本概念、运算律及应用10.2 向量加减法的拓展向量加减法在其他领域的应用，例如生物学、经济学等10.3 向量加减法的练习题及解答提供一些向量加减法的练习题，帮助学生巩固所学知识重点和难点解析一、向量简介1.1 向量的定义与表示方法：理解向量的基本概念，以及向量的大小和方向。
向量的加减法教案
向量的加减法教案教案名称：向量的加减法课时数：2课时教学目标：1.知识目标：了解向量的加法和减法的定义；掌握向量的加法和减法的计算方法；2.能力目标：能够应用向量的加法和减法解决实际问题；3.情感目标：培养学生乐于探究数学问题的兴趣，培养学生团队合作意识。
教学重点：1.向量的加法和减法的定义；2.向量的加法和减法的计算方法；3.向量的加法和减法的应用。
教学难点：1.复杂问题的向量相加或相减；2.向量相减的组合应用。
教学方法：1.情境教学法：通过启发引导和情境模拟的方式，提高学生的学习兴趣和动手能力；2.合作学习法：通过小组合作讨论和交流思考，培养学生的团队合作意识。
教学准备：1.教师准备：课件、多媒体设备、小黑板等；2.学生准备：课本、作业本、笔、尺等。
教学过程：Step 1 引入新知1.教师出示两个有向线段，并提问：“什么是向量？”学生回答后，教师进一步引导：“向量有哪些表示方法？”2.学生回答后，教师出示标准向量和单位向量，并让学生描述它们的特点。
Step 2 向量的加法1.教师出示两个向量，分别是AB和CD，然后分析向量相加的方法。
2.教师引导学生进行手工测量，并计算向量相加的过程，然后用标准向量和单位向量进行验证。
3.学生进行小组讨论，总结出向量相加的规律，并将规律记录在笔记中。
Step 3 向量的减法1.教师出示两个向量，分别是AB和CD，然后分析向量相减的方法。
2.教师引导学生进行手工测量，并计算向量相减的过程，然后用标准向量和单位向量进行验证。
3.学生进行小组讨论，总结出向量相减的规律，并将规律记录在笔记中。
Step 4 综合应用1.教师设计一个实际问题，如：将物品从A点搬运到B点，再从B点搬运到C点，学生根据问题提供的向量情况，计算运动过程中的位移向量和总位移向量。
2.学生进行小组讨论，解决实际问题，并将答案写在白板上。
3.教师选择几组答案进行讲解，并与学生讨论是否存在其他解法。
《向量的加减法(2)》示范课教案【高中数学】
《向量的加减法（二）》教学设计1．通过实数的减法运算类比得出向量的减法，掌握向量减法的运算并理解其几何意义. 2．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算，提升直观想象和逻辑推理能力．教学重点：了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义．教学难点：对向量减法法的应用．一、新课导入回顾：前面我们学习了向量的加法运算，要注意哪些知识？答：①两个向量相加还是一个向量；②向量的加法的三角形法则和平行四边形法则；③向量的加法运算也遵循交换律和结合律．追问1：向量有加法运算，那么有没有“减法运算”，呢？你还记得在实数中是如何定义减法的吗？答：在数的运算中，减法是加法的逆运算．在向量中，我们可以通过向量加法来定义向量的减法．二、新知探究问题1：根据向量的加法类比实数减法，如何定义向量的减法呢？答:若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a−b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 问题2：已知向量a，b不共线，如何根据向量加法的三角形法则和向量的减法运算，得到向量a−b的作图方法呢？答：在平面内任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为OB⃗⃗⃗⃗⃗ +BA⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，即b+BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a−b．追问1：对比向量加法的几何意义，你能说出向量减法的几何意义吗？◆教学目标◆教学重难点◆教学过程答：当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a −b .追问2：如果向量a //b （a 、b 均不为零向量），又如何作出a −b 呢？答案：和以上的方法一样，仍然先将两个向量的起点平移至一公共点O 处，连结两个终点，方向指向被减向量即可．即：如图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，a −b =BA⃗⃗⃗⃗⃗ ． 类似的，b −a =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ．问题3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量有类似的关系吗？ 答：因为[a +(−b )]+b = a + [(−b )+b ]= a ，所以 a −b = a + (−b).这表明：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 追问：你能尝试通过作图得到上述结论吗？ 答：如图，设OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则根据向量减法三角形法则知道BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b 作OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，根据向量的加法法则，以线段OA 、OD 为邻边作平行四边形OACD ，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +（−b ） 此时，连接AB ，因为OB //AC ，且OB =CA ，所以OCAB 是平行四边形，所以，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即a −b =a +（−b ）．三、应用举例例1：如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，求证： b +c −a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗要证：b +c −a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，只要证b +c =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a .abb −a a −b O A B O A B解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为b +c =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA⃗⃗⃗⃗⃗ +a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以b +c =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a . 例2：化简下列各式：①OM →－ON →＋MP →－NA →；②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．解 ①OM →－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →. 四、课堂练习1．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A解析 DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .2．如图，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．证明：作直径BD ，连接DA ，DC ，则有OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，所以CH//DA ,AH//DC ,所以四边形AHCD 是平行四边形，所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又DC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，由向量减法的几何意义得，DB →＝AB →－AD→＝a －b .当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．五、课堂小结1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a −b =a +（−b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．2.向量减法的几何意义：两个向量a 、b 的差a −b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 终点的向量. 六、布置作业课本13页练习.。
向量加减初中教案
向量加减初中教案教学目标：1. 理解向量的加法和减法的定义。
2. 学会使用向量的加法和减法法则进行计算。
3. 掌握向量加法和减法的交换律和结合律。
4. 能够应用向量加减法解决实际问题。
教学重点：1. 向量的加法和减法的定义。
2. 向量的加法和减法法则。
3. 向量加法和减法的交换律和结合律。
教学难点：1. 对向量加法和减法定义的理解。
2. 应用向量加减法解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体教学设备。
2. 向量加减法的教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习向量的定义和表示方法。
2. 引导学生思考数和向量的加减运算的相似性和差异性。
二、向量的加法（15分钟）1. 介绍向量的加法的定义。
2. 讲解向量的加法的三角形法则和平行四边形法则。
3. 示例讲解如何作两个向量的和向量。
4. 学生练习作两个向量的和向量。
三、向量的减法（10分钟）1. 介绍向量的减法的定义。
2. 讲解如何作两个向量的差向量。
3. 示例讲解向量的减法运算。
4. 学生练习向量的减法运算。
四、向量加法和减法的性质（10分钟）1. 介绍向量加法和减法的交换律和结合律。
2. 示例讲解如何使用交换律和结合律进行计算。
3. 学生练习使用交换律和结合律进行计算。
五、应用向量加减法解决实际问题（10分钟）1. 介绍实际问题中的向量加减法应用。
2. 示例讲解如何应用向量加减法解决实际问题。
3. 学生练习应用向量加减法解决实际问题。
六、总结和布置作业（5分钟）1. 总结向量加减法的定义和运算规则。
2. 强调向量加减法在实际问题中的应用。
3. 布置相关的作业题目。
教学反思：本节课通过复习引入的方式，引导学生思考数和向量的加减运算的相似性和差异性。
通过讲解和示例，让学生掌握向量的加法和减法的定义和运算规则。
在应用环节，让学生通过实际问题练习应用向量加减法，增强学生的实际操作能力。
在教学过程中，要注意引导学生主动思考和参与，提高学生的学习兴趣和积极性。
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向量的加法与减法课题：教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课1课时课时安排：教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1.ｂａ、①用有向线段表示；②用字母等表示；2.向量的表示方法：AB；③用有向线段的起点与终点字母：ABAB|④向量的大小――长度称为向量的模，记作|.3.零向量、单位向量概念：00的向量叫零向量，记作①长度为0的方向是任意的零向量、单位向量的定义都是只限制大.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.小，不确定方向平行向量定义：4.①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；ｃｂｃａａｂ. 平行，记作∥②我们规定0与任一向量平行.向量∥、、 5.相等向量定义：. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量ｂａａｂ 1（）向量＝与；相等，记作（2）零向量与零向量相等；来表示，并（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段. 且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．． 6.共线向量与平行向量关系：. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（1. 2（）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 7.对向量概念的理解AB：起的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素向量.二个要素点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有：大小、方向.不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；与起点无关：两个要素向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向三个只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向1 / 8，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段要素二、讲解新课：1求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量的加法：三角形法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的课本中采用了平行四边形法则（对于两个向量共线不适应））（“首尾相接，首尾连”和三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的a b ACbAB?aBC?A叫做、，则向量在平面内任取一点如图，已知向量，，作a bab?AC?a?b?AB?BC，即与的和，记作CCbaa+bBa+bBDaabb三角形法则平行四边形法则A(1)A特殊情况：aa bbba?ba?BAA CC B)3()2(a a?0?a?0?a对于零向量与任一向量，有）两相向量的和仍是一个向量；1探究：（bbabaaba与。
+不共线时，|+|+|<|（2）当向量的方向不同向，且||bbbaababaaba反向+|=|、与|,、同向，且||+|（3）当+与当同向时，则babbaaaabbaab+的方向与相同，且。
若||++|,|=||<|则|-||时，若|则|>||,baba|.|+b|=|的方向与|-|相同，且（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加abba2．向量加法的交换律：+=+2 / 8babacc) ++ (=．向量加法的结合律：3) +(+cBCa?AB?CD?b , 证：如图：使,ADCDACab??c =则+() ADABBc ) =+ (+bbaacc)++∴=() ++ (从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：h/32km的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河A点出发以例1如图，一艘船从h/2km).水的流速为用与流速间的夹角表示，求船的实际航行的速度的大小与方向(ABAD表示水流解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，，的速度AC就是船的实际航，则ABCD 以AD,AB为邻边作平行四边形.行的速度ABC?Rt3|BC|?|AB2?|2，在中，224|??|AC||AB|?|BC所以32??60CAB?3?CABtan???因为2 h/4km60，方向与水流速间的夹角为答：船的实际航行的速度的大小为：四、课堂练习h/32km的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的A点出发以1、一艘船从h/4km速度的大小为，求水流的速度h3km/23km4的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸2，以、一艘船距对岸8km，求河水的流速时，船的实际航程为vv，3、一艘船从A的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为点出发以21h4km/?60vv 船的实际航行的速度的大小为和，求，方向与水流间的夹角是21，则船的实际航行速度5km/h、一艘船以的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h4km/hkm/h，最小是大小最大是?五、小结1向量加法的几何法则；2?交换律和结合律；bbaa 3?+| | + ||注意：|≤|，当且仅当方向相同时取等号3 / 8六、课后作业：2、已知两个力F,F的夹角是直角，且已知它们的合力F与F的夹角112?，|F|=10N 求F和F的大小是60 213、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计（略）八、课后记：4 / 8向量的加法与减法（2）：课题教案目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量向量减法的概念和向量减法的作图.教案重点：教案难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时课时安排：1 ：多媒体、实物投影仪教具：教案过程一、复习引入：. 有,二个要素：大小、方向1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量ｂａ、2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母等表示；AB③用有向线段的起点与终点字母：；ABAB，记作|④向量|. 的大小――长度称为向量的模零向量、单位向量概念：3.00的向量叫零向量，记作0①长度为的方向是任意的零向量、单位向量的定义都是只限制大②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量..小，不确定方向 4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；ｃｂｃａａｂ. 平行，记作、向量②我们规定0与任一向量平行.∥、∥长度相等且方向相同的向量叫相等向量.5.相等向量定义：平行向量就是共线向量.6.共线向量与平行向量关系：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法：7.三角形法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的和）平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）（“首尾相接，首尾连”aabb8=．向量加法的交换律：++baabcc)9．向量加法的结合律：=() +++ (+二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作?a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量?(?a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (?a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 03?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a?b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：5 / 8ba与b的差，记作a?叫做若b + x = a，则x．求作差向量：已知向量a、b，求作向量30 = aa = b) + ba + (?b) + b = + ∵(a?作法：在平面内取一点O，减法的三角形法则BA OBOA b= a= , a= b, ?则作的终点指向向量a的终点的向量?即ab可以表示为从向量AB强调：差向量“箭头”指向注意：1??b表示a被减数) b?2?用“相反向量”定义法作差向量，ab = a + (?显然，此法作图较繁，但最后作图可统一b a?b = a + (?b)∥ab∥c a??a ba?ba OB O A B'ABb?b a?a ba?Ab OOBbA B三、讲解范例：、例1已知向量a、b、cd，求作向量a?b、c?d OBOAODOC, , d= , c= b O 解：在平面上取一点, ，作= a=BABADCDC则?= a?b, d作= c, ,a bABCD DBb?ADACaAB?中，表示向量，用、例2平行四边形，，解：由平行四边形法则得：ADABDB?AC= = b,a?b= a +）a+b满足什么条件时，ab与a?b垂直？（|| = |b|, 变式一：当a | = |互相垂直）, b？（a?b|aa, 变式二：当ab满足什么条件时，|+b可能是相当向量吗？（不可能，∵?与ab对角线方向不同）+变式三：ab：四、课堂练习bab aaabaa aaaab-=①1.下列等式:+0②+=+③-(-)=④⑤+(-)=0 +(-)= ( )B.3 C.4A.2 D.56 / 8( )2.下列等式中一定能成立的是ABABBCBCACAC B=A. . -+=ABABCBCBACAC-+ D. C.==QPSPPSOP( ) -化简的结果等于+3.+SQOQQSP B C. D. A. . OBOAOAOB baa AOB b|=. =且∠|, =90=,若°|,则|=12,|4.已知-|=5,BAAEAD n ABCDEF m=.,, =5.在正六边形=中则,应满足条件.|=|a|+|b|时,|6.已知a、b是非零向量,则a-b bmn a6.反向-与参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 135. 五、小结向量减法的定义、作图法六、课后作业：ABCABC b ABC a , 1.在△=中等于, ,=( )则aabbaab B b.- D.+(-+--)C.A.OBOAODOC db ABCD ac O平面上的点, =设, =, =2., 为平行四边形则=,dabcdbcdabcbacd B a=0 -=0 D.=0 C.-=0 +.---+A.+++-+ ( ),正确的命题个数为3.在下列各题中aabbbaa (1)若向量+与,方向相反且|方向相同|＞|与|,则baababba |＞||,则方向相同方向相反,且|-+(2)若向量与与abababa |,则与-,且|方向相反|＜(3)若向量|与方向相同bbababaa +|＜与|,则(4)若向量方向相反与方向相同,且|-|B A.1 .2 C.3 D.4ABCD :中,4.如图，在四边形根据图示填空dabcabbccd ++=,=.-=,-++=,3A向的速度向垂直于对岸的点出发以2方5.一艘船从km/h大而船实际行驶速度的大小为4 km/h,的则河水的流速行驶,.小为baabbbaa.与的关系为|-成立|若6.,、共线且|则+|＜EDABAECDBC dbcd ABCDE aabc. , 、=,设=用、, =,表示=、,7.在五边形中ABCDO内任一点，试根据图中给出的向如图所示，是四边形8.AB cabbdac-=,使量，确定、、、的方向（用箭头表示）,+DC dacbd.和并画出=,-+7 / 8ABBCOD acb ACOABCDBD ca-, ,=试证明已知9., 是□的对角线:与的交点,=若=+OB b.=fef 0 - 参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-abbdac-5.2 km/h 6.+与-的方向相反且都不为零向量 7.8.)9.(略七、板书设计（略）八、课后记：8 / 8。