泰勒展开式

函数的幂级数展开式

通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：

问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数

；

问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？

下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成

这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：

，

，

………………………………………………

，

………………………………………………

在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：

把这些所求的系数代入得：

该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.

关于泰勒级数的问题

上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？

函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差

是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.

泰勒定理

设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：

此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）

在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：

其中c 在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。

函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.

即：

几种初等函数的麦克劳林的展开式

1.指数函数e x

2.正弦函数的展开式

3.函数(1+x)m的展开