曹钦翔无向图问题选讲
无向图详解(清华)
第7章 图的基本概念1736年数学家欧拉发表了第一篇图论论文，解诀了哥尼斯堡七桥问题。
图论起源于一些数学游戏难题，如迷宫问题，匿门博弈问题，棋盘上马的行走路线，哥尼斯堡七桥问题等，在这些问题的研究基础上，又提出了著名的四色问题，哈密尔顿（环游世界）数学难题。
1847年克希霍夫用图论分析电路网络，最早将图论应用于工程科学。
图论的应用非常广泛，主要有运筹学、网络理论、信息论、控制论、博奕论及计算机科学等等。
7.1 无向图和有向图无向图集合{}{}a b b a ,,=，称{}b a ,为无序对，记为()b a ,.定义1 设B A ,为集合，则称 (){}B b A a b a ∈∈,, 为B A ,的无序积，记为B A & 由定义知：A B B A &&=例1 {}{}2121,,,b b B a a A == 则()()()(){}()()()(){}()()(){}2221112221121122122111,,,,,&&,,,,,,,,,,,,,,&a a a a a a A A A B a b a b a b a b b a b a b a b a B A ====定义2 一个无向图G是一个二元组E V ,，即E V G ,=，其中⑴ {}n v v v V ,,,21 =是非空集合，称为G 的顶点集，V 中元素称为顶点或结点； ⑵ {}n e e e E ,,,21 =是无序积V V &的一个多重子集，称E 为G 的边集，E 中的元素称为无向边或简称边。
由定义知，图G 的边e 是V 的两个元素j i v v ,的无序对()j i v v ,，称j i v v ,是e 的端点。
当j i v v =时，称e 为环。
由于E 是多重集合，因此，G 的两个结点之间可能存在若干条不同的边，称这些边为平行边。
设E V G ,=，用小圆圈表示V 中顶点，若()E b a ∈,，则就在b a ,之间连线段表示边()b a ,，即可画出图形来。
曹钦翔无向图问题选讲
– 枚举这条边？如何保证严格次小？
方案1：倍增 方案2：线段树
曹钦翔无向图问题选讲
例题10
问题描述：
– 输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去两条 边使图不连通的方案的总数。
– n<=2000
曹钦翔无向图问题选讲
例题9
问题描述：
– 输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去一条 边和一个点使得图不连通的方案的总数。
xy是否在一个双连通分支中？
曹钦翔无向图问题选讲
例题11
思路：
– 如果xy不在一个双连通分支中
回答“No”
– 如果xy在一个双连通分支中
需要判断是否存在两条边，删除它们之后xy不连通 只需要考虑xy所在的极大双连通分支中的点和边 有没有同学能够证明这两个结论？
曹钦翔无向图问题选讲
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
曹钦翔无向图问题选讲
例题8
思路：
– 严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
曹钦翔无向图问题选讲
高考物理状元谋略十图像问题
图像问题一、解决图象问题时必须弄清楚以下四个方面：(1)坐标轴的物理意义。
(2)斜率的物理意义。
(3)面积的物理意义。
(4)交点、拐点的物理意义。
二、例题赏析1．设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v0在宇宙中飞行。
飞船可视为横截面积为S的圆柱体（如图1所示）。
某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。
已知尘埃云分布均匀，密度为ρ。
假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面。
若不采取任何措施，飞船将不断减速。
通过监测得到飞船速度的倒数“1/v”与飞行距离“x”的关系如图2所示。
求飞船的速度由v0减小1%的过程中发生的位移及所用的时间。
2．（2010年全国Ⅰ）【题号：3200001891】汽车由静止开始在平直的公路上行驶,0~60s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示.(1)画出汽车在0～60s内的v－t图线;(2)求在这60s内汽车行驶的路程.3．如图所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连．若在木块上再作用一个竖直向下的变力F，使木块缓慢向下移动0.1 m，力F做功2.5 J时，木块再次处于平衡状态，此时力F的大小为50 N．(取g＝10 m/s2)求：(1)弹簧的劲度系数．(2)在木块下移0.1 m的过程中弹性势能的增加量．4．[多选](2015·全国新课标Ⅰ ) 【题号：3200000906】如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v－t图线如图乙所示。
若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( )A．斜面的倾角B．物块的质量C．物块与斜面间的动摩擦因数D．物块沿斜面向上滑行的最大高度【命题立意】知识：本题考查了v－t图象、牛顿第二定律。
能力：考查对v－t图象结合牛顿第二定律的理解能力和推理能力。
5．(2015·延安质检)如图所示为某物体做直线运动的v－t图象，关于这个物体在4 s内的运动情况，下列说法中正确的是( )A．物体始终向同一方向运动B．4 s末物体离出发点最远C．加速度大小不变，方向与初速度方向相同D．4 s内通过的路程为4 m，而位移为零6．(2015·江西师大附中模拟)M、N是某电场中一条电场线上的两点，若在M点释放一个初速度为零的电子，电子仅受电场力作用，并沿电场线由M点运动到N点，其电势能随位移变化的关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．电子在N点的动能小于在M点的动能B．该电场有可能是匀强电场C．该电子运动的加速度越来越小D．电子运动的轨迹为曲线7．(2015·辽师大附中三模)如图甲所示，空间存在水平向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场内有一足够长的绝缘直杆，它与水平面的倾角为θ，一带电荷量为－q、质量为M的带负电小球套在直杆上，从A点由静止沿杆下滑，小球与杆之间的动摩擦因数μ<tan θ。
NOI导刊基础算法策略.ppt
⑵状态元素a1，a2，…，an的可能值为一个连续的值域。 设
ai1— 状 态 元 素 ai 的 最 小 值 ； aik— 状 态 元 素 ai 的 最 大 值 (1≤i≤n) ， 即 a11≤a1≤a1k，a21≤a2≤a2k， ai1≤ai≤aik，……，an1≤an≤ank
If dis[knight[kk].x,knight[kk].y,x,y]<min then begin
Min:= dis[knight[kk].x,knight[kk].y,x,y];
Mink:=k;
End; End； Now:= all-mink武士走到汇合点的距离+ mink武士走到汇聚 点的距离+ 国王走到汇聚点的距离+从汇聚点到汇合点的距离； Best：=min（best，now） End；
枚举方法的优化
枚举算法的时间复杂度：状态总数*单个状态的耗时 主要优化方法：
⑴ 减少状态总数 ⑵ 降低单个状态的考察代价 优化过程从以下几个方面考虑： ⑴ 枚举对象的选取 ⑵ 枚举方法的确定 ⑶ 采用局部枚举或引进其他算法
枚举算法的应用
例题1：二进制数的分类
若将一个正整数转化为二进制数后，0的个数多于 1的个数的这类数称为A类数，否则称为B类数。 例如：
基础算法策略
长沙市第一中学 曹利国
第一部分
枚举策略
枚举策略的基本思想
枚举法，又称穷举法，指在一个有 穷的可能的解的集合中，一一枚举 出集合中的每一个元素，用题目给 定的检验条件来判断该元素是否符 合条件，若满足条件，则该元素即 为问题的一个解；否则，该元素就 不是该问题的解。
枚举策略的基本思想
(1)一次只能移一个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
2015年公务员考试图形推理总结向出题人思路靠拢
2015年公务员考试图形推理总结向出题人思路靠拢公考中的图形推理主要是通过对题干所给几幅图形特征的观察，抽象出一个规律，根据此规律进行推理，从而得出答案的一种推理题。
图推中考查的推理基本不依赖于具体的事物，较少受知识和文化的影响，因而被称为“文化公平”测验。
但由于对于同一个图形的解读思路十分广阔，所以对于考生来应对图形推理题首先要解决的问题应该是如何将思路收拢，即看到图形之后如何舍去开阔、多面的思路而只留下出题人的思路。
当然，做到与出题人思路相同是较难的，但应尽量做到贴近出题人思路。
那么，具体应如何在考场中迅速把握出题人思路呢，下面本文将对整个图形推理进行总结梳理。
图形推理考查形式很多样，但是总结历年公考真题具体形式无非以下两种：规律推理与重构推理。
规律推理中所涉及的具体思路又可分为：数量类，样式类及位置类。
数量类对于一组图形的初步观察，如果图形组成元素凌乱，但局部有部分数量变化明显，则将这类图形的思路定位为数量类。
数量类具体考查主要集中在点、线、角、面、素。
历年的联考中对的数量类的考查最多。
尤其2011年与2012年的联考数量类考题数在4和7道。
所以考生应将数量类作为规律推理的重点，在考场中也是首选的一种做题思路。
【例题1】（公务员考试-行测-2010-918-46）【答案】C国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|【考点】面的数量【解析】本题属于数量类中对于面的数量的考查，题干中每幅图的封闭面的数量均为4，所以选择C选【例题2】（公务员考试-行测-2011-51）【答案】A【考点】素的种类【解析】对于素的考查课分为两种：素的数量与素的种类。
本题考查的是素的种类。
题干中每幅图形都只包含一种元素，选项中只有A项含有一种元素，BCD都是至少含有两种元素。
所以选择A选项。
样式类样式类思路图形的主要特征是：图形组成元素相似。
分别考查图形的内在属性和外在形状。
2023华为杯d题解题思路
2023华为杯D题解题思路2023华为杯D题是一道关于图论算法的题目，要求在给定的无向图中，找出至少两个长度为奇数且没有公共点的环。
这是一道难度较高的计算机科学问题，需要掌握至少一个基本的图论算法。
解题思路如下：1.图论基础知识在正式开始讨论解题思路之前，我们需要先了解一些基本的图论概念。
无向图是一个由若干个顶点和边组成的图形，其中边可以相互连接两个顶点，但没有方向。
一个环是一个由至少三个顶点组成的图形，其中第一个顶点和最后一个顶点通过边连接。
环的长度是环中边的数量。
2.暴力解法一种朴素的解决方案是通过遍历所有可能的环来找到答案。
这可以通过深度优先搜索（DFS）实现。
从每个顶点开始，使用DFS遍历每个节点，记录它们的路径。
当找到一个与第一个顶点连接的顶点时，检查路径是否具有奇数长度并且是否与之前找到的环没有公共点。
如果是，则找到了一个解决方案。
否则，继续搜索。
这种方法是可行的，但不适用于大型无向图。
3.Fleury算法Fleury算法是寻找欧拉回路的著名算法，也可以应用于查找奇环。
在这种方法中，我们选择一个顶点开始，并沿着还没有被访问的边进行遍历。
如果没有环，则选择另一个顶点继续搜索。
如果找到了一个环，则检查它的长度是否为奇数。
如果是，返回该环，否则选择另一个顶点。
这种方法相对快速，但受限于欧拉遍历的条件（每个顶点的度数必须为偶数）。
4.Johnson's algorithmJohnson算法是一种更快的方法，可以在O（V^3）时间内找到所有奇环。
它通过将所有点加入一个超级源，覆盖每个顶点到源的最短路径中的边，使得整个图形变得偶数。
然后，使用Fleury算法查找所有欧拉回路。
这些线路都是偶数长度，因此由源到终点的路径将有一个奇数长度。
通过查找所有这样的路线，找到所有奇环。
5.结论在本文中，我们介绍了三种不同的解决方案来解决2023华为杯D题的问题。
虽然暴力算法可能在小规模的图上有效，但在大规模图中使用它会很慢。
空间中陷迷茫,平面中找本质--对2014年江西高考理科第10题的探究
1.3 将面 A1 AMM 1 进行反射，得到面 MM 1 N1 N 设第三次的反射点为 E3 ， E3 必在面 MM 1 N1 N 上，如图 4．
z D1 M1 C1 A1 E B1 N1 y E2 C D MN E 1 A B x 图4 z D1 M1 C1 A 1 E B 1 N1 y E2 C D M N E 1 E11 A B x D E1 M C E11 N B
2 2
A1 E 2 AA12
35 ，又由 AA1 E 5 12 13 ， A1 E1 2 A1 E 10 3 13 E2 ME1 ，可得 ME2 4 ， E1 E2 ，其中 L1 AE ， 3 L2 EE1 ， L3 E1 E2 ，显然 L1 L2 L3 ．
3， 12) ， 一质点从顶点 A 射向点 E (4 ， 遇
长方体的面反射 （反射服从光的反射原 理） ， 将第 i 1 次到第 i 次反射点之间的 3， 4) ， L1 AE ，将 线段记为 Li (i 2 ， 线段 L1 ， L2 ， L3 ， L4 竖直放置在同一 水平线上，则大致的图形是(
一般地，对椭圆
x2 y 2 1 ，若 F1 PF2 的外角平分 a 2 b2 线 PM 交 x 轴于点 M ，无论点 P 在双曲线上除实轴
值） ．对于双曲线
端点外的哪一点，都有
1 1 2a 2 ． 2 （定值） kk1 kk 2 b
通过对一道高考压轴题的分析，本文从八个不
同视角研究了角平分线的性质，提供了 14 种繁简各 异的解法，涉及三角形内角平分线定理、直线方程、 点到直线的距离、平面向量的共线与垂直、向量夹 角公式、余弦定理、到角公式、二倍角公式、互余 的三角函数诱导公式、斜率的定义、三角形面积、 焦点三角形性质、三角形内切圆性质、向量运算的 几何意义、对称性质、光学性质等等知识点，思维 跨度大，涉及知识面广，解法灵活又各具特色，并 且对一般形式的椭圆和双曲线加以推广，得到两个 相同或类似的结论，充分体现了高考试题的延展性， 发挥了高考试题的教育功能！
古典概型_1 PPT
不知道正确答案,多选题更难猜对，这是为什么？
率 (A)，(B)，(C)，(D)，(A，B)，
(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，
初
D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，
B，D)，(A，C，D)，(B，C，
D)，(A，B，C，D).
步
≈0.0667＜0.25
例题分析
【例2随时随地彰显尊贵身份。
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步
P(“答对”)=
例题分析
（1）假设有20道单选题，如果有一个考
概 生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，
还是他掌握了一定的知识的可能性大？
率
初
答对17道的概率
步
例题分析
（2）在标准化的考试中既有单选题又有不定项选
概 择题，不定项选择题从A、B、C、D四个选项中选 出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果
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赠每的送次VI的发P类共放型的享决特文定权档。有下效载期特为权1自个V月IP，生发效放起数每量月由发您放购一买次，赠 V不 我I送 清 的P生每 零 设效月 。 置起1自 随5每动 时次月共续 取发享费 消放文， 。一档前次下往，载我持特的续权账有，号效-自
4行遍性问题 2
游戏者沿十二面体的棱从一个 城市出发，经过每座城市恰好一次， 然后返回到出发点，即“绕行世界”。 正十二面体的顶点与棱的关 系可以用平面上的图来表示，于是 上面所提问题相当于在平面图上找 一个回路，它通过图中一切顶点。
yansxjm@
问题:
分析
图G中的一个回路C称为G的 一个Hamilton回路，如果C含有G的 所有顶点。Hamilton回路简称H-回路。 包含G的所有顶点的路称为 Hamilton路。而称 含有Hamilton回路 的图为Hamilton图 简称为H-图。
图解
若用顶点表示城镇，边表示连接两 城镇的路，边上的权表示距离(或时间、 费用)，于是推销员问题就成为在加权 图中寻找一条经过每个顶点至少一次 的回路，即有最小权的Hamilton路， 我们称这种回路是最优Hamilton回路。
yansxjm@
应 用
除推销员问题之外，邮局中负责 到各个信箱取信的邮递员，以及去各 个分局送邮件的汽车等都会类似地遇 到这种问题。还有一些问题表面上似 乎与之无关，而实际上却可以归结为 推销员问题来解决。
对C重复上面的第二步骤，直到条件不满足为 止，最后得到的C即为所求。
3
yansxjm@
说明
上述方法得到的Hamilton回路 虽然未必是最优的，但有理由认 为它常常是比较好的。
检验
为了知道找出的这个解的好 坏，可以利用最小生成树的到最 优Hamilton回路权的下界，让得 到的解与这个下界比较。
yansxjm@
3 4 5
例 求右图所示投递区的一条最佳邮递路线．
1．图中有 v4、v7、v8、v9 四个奇次顶点
用 Floyd 算法求出它们之间的最短路径和距离：
Pv4v7 v4 v3v2 v7 , d (v4 , v7 ) 5 Pv4v8 v4 v8 , d (v4 , v8 ) 3 Pv4v9 v4 v8 v9 , d (v4, v9 ) 6 Pv7 v8 v7 v8 , d (v7 , v8 ) 9 Pv7 v9 v7 v9 , d (v7 , v9 ) 6 Pv8v9 v8 v9 , d (v8 , v9 ) 3
2023年高考语文备考之巧用“无图想图”法准确理解古诗词的情感
解答古诗词鉴赏题的一个关键突破点是如何准确理解情感。
在谈这个问题之前，请先看一道地理学科的试题：19世纪末，湖广总督张之洞筹划在湖北建设铁厂，考虑的厂址是大冶或省城武昌附近的汉阳。
1893年铁厂最终在汉阳建成投产。
请依据材料，指出与大冶相比，当时在汉阳建设铁厂的区位优势。
张之洞与汉阳钢铁厂依据文字提供的信息确定两个地点：“汉阳”和“大冶”，然后在两地所在的湖北省的整体空间框架内比较汉阳和大冶两地的区位特征，最终归纳出汉阳的区位优势。
完成这个思维过程，需在头脑中建立一张这样的图：值得注意的是，这张图并没有出现在题目材料中，而是需要答题者依据题目材料信息生成，进而将这张图作为准确答题的凭借和依据。
这就是地理学科非常重要的一种解题思想：“无图想图”。
天寒白屋贫把这个思路迁移到高考的古诗词鉴赏题的备考中。
以这首诗为例：逢雪宿芙蓉山主人刘长卿日暮苍山远，天寒白屋贫。
柴门闻犬吠，风雪夜归人。
【注】本诗写于作者漂泊湘楚两地时，时年七十岁。
上面这首诗的后两句描绘了怎样的画面？表达了诗人什么情感？要完成这两个问题，首先从最后两句入手：找出后两句以及注解中对答题有用的字词。
后两句的字词为：“柴门”，“犬吠”，“风雪”，“夜”这四个词都属于写景，有景必有情，哪个字代表情感？显然集中在“归”这个字。
接着看注解：“漂泊”，“七十”两个信息联系起来，作者晚年仍漂泊他乡。
至此，将诗句中写景抒情的字词与注解的两个信息关联起来，是否就可以得出这样的认识：这首诗要表达的就是“年老在外的漂泊之苦”？这个看似准确的答案恰恰就是问题所在：没有实现对诗词的具体精确化阅读，所以提炼出了空泛化的情感。
采用“无图想图”的思路来化解这个思维困境。
第一步，将需要解答的核心问题关联诗词内部的关键信息。
得出“漂泊之苦”的主要依据是：“风雪”和“夜归人”两个词。
由此建立这张思维结构图：01思维结构图第二步，将诗词中的关键信息代换成画面。
诗中的“风雪”二字可以产生怎样的画面？注意，想象的画面一定要与诗词所传达的基本情感基调配合。
几何不定图形问题析解
几何不定图形问题析解
蔡建锋
【期刊名称】《中学理科：初中数理化》
【年(卷),期】2000(000)011
【摘要】在平面几何学习中经常会遇到一类没有几何图形，而要进行分类讨论的几何题，解此类题时，必须先按题意分析各种情况，分别画出图形，然后求解．【总页数】2页(P26-27)
【作者】蔡建锋
【作者单位】浙江
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.巧析因数解不定方程两例 [J], 周士藩
2.用几何方法求不定方程的整数解 [J], 贾丕珠
3.析解二次函数串联几何图形问题 [J], 刘继征
4.分类讨论解平面几何阴影图形问题 [J], 祝正平
5.中考数学几何图形问题解析 [J], 沈建华
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曹钦翔wc组合计数与动态规划
每个题分数固定，提交正确的答案的考 生可以得到这一题的分数。
组合计数例题3
根据获得的பைடு நூலகம்分进行排名
总分越高排名越靠前 总分相同时编号较小的考生排名靠前
这n人中，排名最靠前的s人将获得候选 资格
而这s人中将通过最终的科学委员会面 试选出其中的t人。
计数公式的基本算法
乘方的计算
补充：如何高效的求出1+x+x2+…+xn
组合数的计算
组合计数例题
请同学们踊跃发言
组合计数例题1
搭积木的方案计数。
只允许使用横向放置长度不超过k的长长条 形积木，但每一种积木数量不限
只允许在一个1*w底座上进行搭建 每一块积木必须放置在整数位置 每一块积木下方的每一个位置都必须有其
取余数运算的实现
涉及加减、乘、除运算，但保证除数与 p互质
利用求数论倒数进行除法运算，即：
a/b 与 a * b-1 同余
求数论倒数可以在O(p)-O(1)的在线算法， 以及每次运算O(logp)的算法。
取余数运算的实现
只涉及乘、除运算，p为质数
把每个数X写成下面形式：
X = Y * pn 其中Y与p互质
所以：1≤s1<s2<…<sm-1<sm=n。
组合计数公式6~8
请同学们自行推导。
取余数运算的实现
由于组合计数问题的答案通常比较大， 题目中往往要求选手输出“答案除以某 个数p之后取余数”的结果。
p通常是一个质数，但也有例外。 组合计数过程中，如果涉及除法运算，
那么在“取余数”的实现会比较复杂。
清北学堂2019.8.9
清北学堂2019.8.9Day 4 上午赵和旭概率某个事件A发⽣的可能性的⼤⼩，称之为事件A的概率，记作P(A)。
假设某事的所有可能结果有n种，每种结果都是等概率，事件A涵盖其中的m种，那么P(A)=m/n。
例如投掷⼀枚骰⼦，点数⼩于3的概率为2/6=1/3。
如果两个事件A和B所涵盖的结果没有交集，那么P(A或B发⽣)=P(A)+P(B)还是掷骰⼦P(点数⼩于3或点数⼤于4)=2/6+2/6=2/3如果A和B所涵盖的结果有交集那么P(A或B发⽣)=P(A)+P(B)-P(A与B同时发⽣)P(点数⼩于3或点数为偶数)=2/6+3/6-1/6=2/3记事件B为“事件A不发⽣”那么P(A)+P(B)=1，即P(B)=1-P(A)P(点数不⼩于3)=1-2/6=2/3在两个互不⼲扰的事中，事件A在其中⼀件事中，事件B在另外⼀件事中那么P(A与B同时发⽣)=P(A)*P(B)掷两个骰⼦，P(第⼀个点数⼩于3且第⼆个点数为偶数)=(2/6)*(3/6)=1/6期望事件A有多种结果，记其结果的⼤⼩为x，那么x的期望值表⽰事件A的结果的平均⼤⼩，记作E(x)。
E(x)=每种结果的⼤⼩与其概率的乘积的和。
例如，记掷⼀枚骰⼦的点数为xE(x)=1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)=7/2若c为常数，那么：E(x+c)=E(x)+c，E(c*x)=c*E(x)记两个事件的结果分别为x,yE(x+y)=E(x)+E(y)例如：E(语⽂成绩+数学成绩)=E(语⽂成绩)+E(数学成绩)若两个事件互相独⽴，E(x*y)=E(x)*E(y)E(语⽂成绩*数学成绩)=E(语⽂成绩)*E(数学成绩)概率与期望的计算有⼀个共同的计算技巧：若事件所产⽣的所有⽅案都是等概率的，那么⼀些概率与期望即可转化为⼀个计数问题，算出后再除以总⽅案数即可。
如求事件符合条件A的概率，则转化为对符合A的⽅案数的计数问题；若求⽅案的某种价值的期望值，则转化为所有⽅案的价值总和的计数问题。
图象信息型选择题的解法
图象信息型选择题的解法
沈平奇
【期刊名称】《甘肃教育》
【年(卷),期】2003(000)0S2
【摘要】随着素质教育的不断深入,数学试题的题型也在不断创新.近年来,数学试题推出了一些设计思想开阔、题型新颖脱俗的与图形有关的图象信息型选择题.这类选择题的特点是:它们往往不是以知识为中心,而是以问题为中心;它们并不拘泥于具体的知识点,而是将数学知识、方法和原理融于一体,突出对数学思想和数学方法及应用能力的考查.如:(1998年高考题)向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是().解题说明:1.本题考察旋转体的体积公式、观察和理解函数图象的能力及解决实际问题的能力;2.本题不要求具体写出V关于h的函数解析式,只要求由函数图象推出水瓶的形状;3.本题是一道非常规的数学题,要求学生要有较强的分析能力和解决实际问题的能力.又如:(2000年高考题)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线表注的数字表示该段网线在单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分别沿不同的路线同时传递,则在单位时间内传递的最大信息量为().(A)26(B)24(C)20(D)19解题说明:数字所标最大信息量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否...
【总页数】1页(P)
【作者】沈平奇
【作者单位】兰化一中;甘肃兰州
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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人工智能技术导论第三版
人工智能技术导论（第三版）第3章1、何为状态图和与或图？图搜索与问题求解有什么关系？解：按连接同一节点的各边间的逻辑关系划分，图可以分为状态图和与或图两大类。
其中状态图是描述问题的有向图。
在状态图中寻找目标或路径的基本方法就是搜索。
2、综述图搜索的方式和策略。
解：图搜索的方式有：树式搜索，线式搜索。
其策略是：盲目搜索，对树式和不回溯的线式是穷举方式，对回溯的线式是随机碰撞式。
启发式搜索，利用“启发性信息”引导的搜索。
3、什么是问题的解？什么是最优解？解：能够解决问题的方法或具体做法成为这个问题的解。
其中最好的解决方法成为最优解。
4、什么是与或树？什么是可解节点？什么是解树？解：与或树:一棵树中的弧线表示所连树枝为“与”关系,不带弧线的树枝为或关系。
这棵树中既有与关系又有或关系，因此被称为与或树。
可解节点:解树实际上是由可解节点形成的一棵子树,这棵子树的根为初始节点，叶为终止节点，且这棵子树一定是与树。
解树:满足下列条件的节点为可解节点。
①终止节点是可解节点；②一个与节点可解，当且仅当其子节点全都可解；③一个或节点可解，只要其子节点至少有一个可解。
5、设有三只琴键开关一字排开，初始状态为“关、开、关”，问连接三次后是否会出现“开、开、开”或“关、关、关”的状态？要求每次必须按下一个开关，而且只能按一个开关。
请画出状态空间图。
注：琴键开关有这样的特点，若第一次按下时它为“开”，则第二次按下时它就变成了“关”。
解：设0为关，1为开6、有一农夫带一只狼、一只羊和一筐菜欲从河的左岸乘船到右岸，但受下列条件限制：1）船太小，农夫每次只能带一样东西过河。
2）如果没农夫看管，则狼要吃羊，羊要吃菜。
请设计一个过桥方案，使得农夫、狼、羊、菜都不受损失地过河。
画出相应状态空间图。
提示：（1）用四元组（农夫、狼、羊、菜）表示状态，其中每个元素都可为0或1，用0表示在左岸，用1表示在右岸。
（2）把每次过河的一次安排作为一个算符，每次过河都必须有农夫，因为只有他可以划船。
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APIO2011 无向图问题选讲
北京大学哲学系曹钦翔
题外话
●欢迎在RENREN添加“曹钦翔@OI”为好友并留言交流OI问题。
–/profile.do?id=326651055 ●在“曹钦翔@OI”的相册中也可以找到本PPT 的完整版。
无向图的基本元素 点、边
无向图的基本元素
●点、边
●度数
无向图的基本元素
●点、边
●度数
●距离
●连通性
无向图的相关算法
●最短路算法
●最小生成树算法
●求割点算法
●求割边（桥）算法
无向图的遍历
●DFS——只包含树边和回边
●BFS——只包含同层内的边和相邻两层之间的边
例题1
●问题描述：
–你现在需要从0号位置去M号位置，每次一可以选
择：
●（1）跳一小步——跳2格
●（2）跳一大步——跳L格
–向左跳、向右跳都可以。
例题1
●问题描述：
–不过问题在于有些格子被挖空了，所以每次跳完之
后，你不能落在这些被挖空的格子上。
–挖去的格子是一些连续段
●所有从s[i]到t[i]中的格子都被挖空了（i=0,1,2…n）。
–问到达M至少需要多少次“跳一大步”，若无法实
现，输出-1。
–n<=50
例题1
M=4，L=6
例题1
M=4，L=6
例题1
●M=4，L=6
●只需一次“跳一大步”
例题1
思路：
–跳“一小步”没有代价，所以，可以通过跳若干个
“一小步”相互到达的格子可以被抽象成一个图论
的点。
–跳“一大步”就是代价为1的边。
–原题转化为最短路问题。
例题2
●问题描述：
–某个国家有n个城市，
●这n个城市的坐标是输入的；
●你可以通过坐标计算任意两个城市之间的距离。
例题2
●问题描述：
–现在，需要在一些城市之间建造公路、在某些城市
内建造机场，使得所有城市都连通起来。
●如果AB两城市有公路相连，则他们是连通的
●如果AB两城市都建有机场，则他们是连通的
●如果AB两城市都与C城市连通，则他们是连通的
例题2
问题描述
–每修一公里公路费用是D，每造一个机场费用是C。
–求使所有城市之间都相互连通的最小费用。
例题3
●问题描述
–输入一个无向图，每次操作：
●选择4个不同的点ABCD。
●判断这四点之间，当前是否只连了AB、CD两条边。
●若是，删去这两条边且添加上AC、BD这两条边。
–问：至少需要多少次操作才能使得这个图连通；若
无法实现，则输出“impossible”。
例题3
无法操作
例题3
可以操作
例题3
可以操作，操作后全图连通
例题3
可以操作，操作后全图连通
例题4
●问题描述：
–输入一个n个点的边有权值的无向图
●每个点的编号依次为0,1,2…n-1
●权值为正
–问，这个图有多少种不同的生成树，使得树中每个
点i到0点的距离与原图中i点与0点的最短距离都相
等
–答案mod 1000000009输出
例题4
●思路：
–如何产生一个符合题意的生成树？
●Dijkstra和Prime的结合体！
●Prime部分：
–初始时生成树中只有一个0号点。
–每次添一条边把一个原本不在树中的点x连到树上
●Dijkstra部分：
●每次选x时，选择不在树中的、与0号点距离最近的点
例题5
●问题描述：
–输入一个n点m边的有向无环图，边有权值。
●每个点的编号依次为0,1,2…n-1
–求从0号节点出发，并且依次遍历节点a1,a2,a3…a s
的最少时间。
例题5
●问题描述：
–遍历的过程中可以
●（1）从一个节点“步行”到另一个节点。
步行耗时为边
的权值，此权值为正。
●（2）乘坐时间机器到过去。
即当依次遍历了ABCDE后，
可以乘坐时间机器返回C，之后可以进一步返回A或B，但
是无法再通过时间机器直接到达D或E。
–n<=50
例题6
●问题描述：
–输入一个n点m边的有向无环图，边有权值。
●每个点的编号依次为0,1,2…n-1
–求从0号节点出发遍历所有节点所需要的最少时间。
例题6
●问题描述：
–遍历的过程中可以
●（1）从一个节点“步行”到另一个节点。
步行耗时为边
的权值，此权值为正。
●（2）乘坐时间机器到过去。
即当依次遍历了ABCDE后，
可以乘坐时间机器返回C，之后可以进一步返回A或B，但
是无法再通过时间机器直接到达D或E。
例题7
●问题描述：
●某国家有n个城市和m个乡村，
–所有城市和乡村的坐标是输入的
–因此，他们之间的距离可以通过坐标计算
●现在希望通过下面方式建造一些公路，使得每个乡村的直
接的或者间接的与一个城市通过公路相连。
每一次：
–（1）等概率地选择一个尚未与城市相连的乡村
–（2）建一条最低成本的公路把他和一个城市或者一个与城市已经相连的乡村连接起来
●问：建造这些公路的总成本的期望是多少。
●n,m<=50
例题8
●问题描述：
–输入一个n个点m条边的无向图。
求他的一个严格
次小生成树。
●严格次小生成树是指权值严格大于最小生成树的权值的权
值最小的生成树。
–n<=100000
–m<=300000
例题8
思路：
–严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
例题8
●思路：
–严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
●严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
例题8
●思路：
–严格次小生成树与最小生成树有什么关系？
●严格次小生成树与最小生成树只相差一条边！
–枚举这条边？如何保证严格次小？
●方案1：倍增
●方案2：线段树
例题10
问题描述：
–输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去两条
边使图不连通的方案的总数。
–n<=2000
例题9
●问题描述：
–输入一个n个点的无向连通图，求从图中删去一条
边和一个点使得图不连通的方案的总数。
●删去的点不能是删去的边的顶点
–n<=2000
例题11
●问题描述：
–输入一个n点m边的无向图，离线回答k个这样的询
问：
●是否存在3条不同的连接点x和点y的路径，使得任意两条
路径都没有公共边
–n,m,k<=50000
例题11
●思路：
–如果题面中的3改成2，就只需要判断：
●xy是否在一个双连通分支中？
例题11
●思路：
–如果xy不在一个双连通分支中
●回答“No”
–如果xy在一个双连通分支中
●需要判断是否存在两条边，删除它们之后xy不连通
●只需要考虑xy所在的极大双连通分支中的点和边
●有没有同学能够证明这两个结论？
再次题外话
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