【新教材】新人教A版必修一 幂函数 教案

幂函数

典例精析

题型一 幂函数的图象与性质

【例1】点（错误!，2)在幂函数f （x ）的图象上,点(－2,错误!)在幂函数g(x ）的图象上.

(1）求f （x)、g （x)的解析式；

（2)问当x 为何值时，有：①g(x ）＜f(x)；②f(x)＝g （x ）;③f （x)＜g(x).

【解析】(1)设f(x)＝xa ，因为点（错误!，2)在幂函数f(x)的图象上，将（错误!,2）代入f(x)＝xa 中，得2＝(错误!)a,解得a ＝2，即f(x ）＝x2.

设g （x)＝xb ，因为点(－2，错误!）在幂函数g （x ）的图象上，将（－2，错误!）代入g （x)＝xb 中,得错误!＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g(x)＝x －2。

(2)在同一坐标系中作出f （x ）和g(x ）的图象，如图所示，由图象可知：

①当x ＞1或x ＜－1时,g(x)＜f(x ）；

②当x ＝±1时,f （x)＝g （x)；

③当－1＜x ＜1且x≠0时,f(x ）＜g （x ）.

【点拨】（1）求幂函数解析式的步骤:

①设出幂函数的一般形式y ＝xa （a 为常数);

②根据已知条件求出a 的值；

③写出幂函数的解析式.

本题的第（2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求

出不等式和方程的解。这一问也可用分类讨论的思想。x2＝1x2

，即x4＝1，x ＝±1，以x ＝1，－1为分界点分x ＞1,－1＜x ＜1，x ＜－1,x ＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果。

【变式训练1】函数f(x ）＝(m2－m －1） 322

--m m x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞）时是减函数，求实数m 。

【解析】因为f （x ）为幂函数,

所以m2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，f(x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数；

当m ＝－1时，f （x)＝x0在(0,＋∞)上不是减函数.

所以m ＝2。

题型二 作函数图象

【例2】作下列函数图象:

（1)y ＝1＋log2x;

（2)y ＝2|x ｜－1；

（3)y ＝｜x2－4｜。

【解析】(1)y ＝1＋log2x 的图象是：

(2）y ＝2|x|－1的图象是：

（3）y ＝|x2－4|的图象是：

【变式训练2】在下列图象中，二次函数y ＝ax2＋bx 与指数函数y ＝（错误!）x 的图象只可能是（ ）

【解析】A.

题型三 用数形结合思想解题

【例3】已知f （x)＝|x2－4x ＋3|。

(1）求f （x ）的单调区间；

(2）求m 的取值范围,使方程f （x)＝mx 有4个不同实根.

【解析】

递增区间为［1,2]，［3，＋∞);

递减区间为(－∞，1),（2,3).

(2)设y ＝mx 与y ＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l 与y ＝f(x ）有三个公共点，如图所示。令它的斜率为k ，则0＜m ＜k.

由⎩⎨⎧-+-==342x x y kx y

⇒x2＋(k －4）x ＋3＝0.①

令Δ＝（k －4）2－12＝0⇒k ＝4±2错误!。

当k ＝4＋2错误!时,方程①的根x1＝x2＝－错误!∉(1，3)，舍去；当k ＝4－2错误!时，方程①的根x1＝x2＝错误!∈（1,3）,符合题意。故0＜m ＜4－2错误!.

【点拨】（1)作出f(x)的图象；（2)利用(1）的图象，研究函数y ＝mx 与y ＝f(x)的交点情况。

【变式训练3】若不等式x2－logax ＜0对x ∈（0,错误!）恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.0＜a ＜1

B.116≤a ＜1 C 。a ＞1 D.0＜a≤错误!

【解析】原不等式为x2＜logax,设f （x ）＝x2，g(x ）＝logax ，因为0＜x ＜

错误!＜1，而logax ＞x2＞0,所以0＜a ＜1，作出f(x ）在x ∈(0，错误!）内

的图象,如图所示。

因为f （错误!)＝错误!,所以A （错误!，错误!),当g(x ）图象经过点A 时，错误!

＝loga 12

⇒a ＝错误!,因为当x ∈（0，错误!)时，logax ＞x2,g （x)图象按如图虚线位置变化，所以116

≤a ＜1，故答案为B. 题型四 有关图象的对称问题

【例4】设函数f(x)＝x ＋错误!，x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）的图象为C1，C1关于点A （2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g （x)。

(1）求函数y ＝g （x ）的解析式,并确定其定义域；

（2)若直线y ＝b 与C2只有一个交点,求b 的值,并求出交点的坐标.

【解析】（1）设P （u ，v ）是y ＝x ＋错误!上任意一点，所以v ＝u ＋错误!。①

设P 关于A （2,1）对称的点为Q(x,y)，

所以⎩⎨⎧=+=+2,4y v x u ⇒⎩⎨⎧-=-=.2,4y v x u

代入①得2－y ＝4－x ＋错误!⇒y ＝x －2＋错误!.

所以g(x)＝x －2＋错误!，其定义域为（－∞，4)∪（4，＋∞)。

(2)联立方程得

⎪⎩

⎪⎨⎧-+-==412,x x y b y ⇒x2－（b ＋6）x ＋4b ＋9＝0， 所以Δ＝（b ＋6)2－4×（4b ＋9)＝b2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.所以，当b ＝0时，交点为(3,0)；当b ＝4时，交点为（5，4).

【变式训练4】函数f(x)的定义域为R ，且满足：f(x)是偶函数，f （x －1）是奇函数。若f(0。

5）＝9，则f(8。5)等于( )

A 。－9

B 。9

C 。－3 D.0

【解析】因为f （－x ）＝f(x ），f （－x －1)＝－f(x －1),所以f(－2＋x)＝－f(－x ）＝－f(x ）,则f(4＋x ）＝－f(x ＋2）＝f （x ），即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f （0.5)＝9，故应选B 。本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.

总结提高

掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法。函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换