人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册导学案6.1分类计数原理和分步计数原理(1)
6-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修三
问题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和 不同点是什么?
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、 相乘
不同点 每类方案中的每一 种方法都能独立完 成这件事
注意点 类类独立 不重不漏
每步依次完成才算 完成这件事情（每 步中的每一种方法 不能独立完成这件 事）
方法，那么完成这件事的方法总数为:
N＝m1×m2×…×mn
例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表 班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 由分步计数原理：
共有 30×24=720种不同方法.
A大学 生物学
B大学 数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
数学
解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考
虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为
N 6 4 1 9 (种).
3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?
解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
分步乘法计数原理推广 如果完成一件事有n步不同方案, 在第1步方 案中有m1种不同的方法，在第2步方案中有m2种
不同的方法，…，在第n步方案中有mn种不同的
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。
甲地 丁地
乙地 丙地
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9
种方法。
分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类 办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法， ……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
分步乘法计数原理
思考： 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。 从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
变式练习1、某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，
现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要
求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图
所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共
有________种．180
B A
C
D
变式练习2、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中① ② ③
④ ⑤五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有
6.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（0~9） 给教室的座位编号，总共编出多少种不同的号码？
分类加法计数原理:完成一件事有两类方案,在第一类方案中
有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法那么完成这
新教材适用高中数学第6章分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案新人教A版选择性必修第三册(含答案)
新教材适用高中数学学案新人教A版选择性必修第三册：6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标1．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．2．能说出分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．3．能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．核心素养1．通过两个计数原理的学习，提升逻辑推理素养．2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算素养．3．通过合理地分类或分步解决实际问题，提升逻辑推理的素养.知识点 1 分类加法计数原理提醒：定义中各种方案之间相互独立，任何一类方案中任何一种方法也相互独立．想一想：若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．练一练：思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( √ )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船每天有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．( √ )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．( √ )知识点 2 分步乘法计数原理想一想：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有m1×m2×…×m n种不同的方法．练一练：思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( × )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9.( √ )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．( × )知识点 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都是用来计算完成一件事的方法种数区别一针对的是“分类完成问题”针对的是“分步完成问题”区别二各种方法相互独立各个步骤中的方法相互连续区别三任何一种方法都可以做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事提示：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情．练一练：如图，从A→B→C有_4__种不同的走法；从A→C有_6__种不同的走法．[解析]A→B→C分两步：第一步，A→B，有2种走法；第二步，B→C，有2种走法．所以A→B→C共有2×2＝4(种)走法．A→C分两类：第一类，A→B→C共有4种走法；第二类，A→C(不经过B)有2种走法．所以A→C共有4＋2＝6(种)走法．题型探究题型一分类加法计数原理典例1 (1)如图所示为一个电路图，若只合上一个开关，可通电的线路共有( B )A．6条B．5条C．9条D．4条(2)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( C )A．3种B．5种C．7种D．9种(3)有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名．学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有_6__种．[解析](1)可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，通电的线路共有3＋2＝5(条)．(2)分三类：买1本、买2本或买3本，各类购买方式依次有3种、3种、1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．(3)三项体育运动项目，每个项目设冠军和亚军各一名，即每个项目可有2个奖项．由分类加法计数原理，学生甲获奖的不同情况有2＋2＋2＝6(种)．[规律方法] 应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．对点训练❶ (1)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有 56 种．(2)某校开设物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数为_16__.(用数字填写答案) [解析](1)完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．(2)可分为3类，第1类，只选化学不选生物学，需再从物理、思想政治、历史、地理中选择2门，有6种选法；第2类，只选生物学不选化学，同样也有6种选法；第3类，化学和生物学都选，需再从其他4门中选择1门，有4种选法，所以共有6＋6＋4＝16种选法．题型二分步乘法计数原理典例2 由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[分析](1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0.[解析](1)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法．故可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝18(个)．(2)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法．故可组成可以有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个)．[规律方法] 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．(2)计数：逐一求出每一步中的方法数．(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．对点训练❷ (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( A )A．56B．65C．30 D．11(2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个101,111,121，…，191,202，…，999.则5位回文数有 900 个．[解析](1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有9×10× 10＝900，故答案为900.题型三两个计数原理的综合应用典例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理知共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．[规律方法] 利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．对点训练❸如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由2个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( B )A．60 B．48C．36 D．24[解析]长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)“平行线面组”．题型四用计数原理解决涂色(种植)问题典例4 如图所示，要给A，B，C，D四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？[解析]A，B，C，D四个区域依次涂色，分4步．第1步，涂A区域，有3种选择；第2步，涂B区域，有2种选择；第3步，涂C区域，它与A，B区域颜色不同，有1种选择；第4步，涂D区域，它与A，C区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．[规律方法] 涂色问题的两种解决方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步．(2)首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理．然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．对点训练❹将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有 42 种．[解析]分别用a，b，c代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为①②③④⑤.先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a.再种②号田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b.若③号田种植c，则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2×2＝4(种)．若③号田种植a，则④号田可种植上b或c.(1)若④号田种植c，则⑤号田有2种种植方法；(2)若④号田种植b，则⑤号田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(种)．易错警示分步标准不清致错典例5 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有 64 种．[错解]分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)．[辨析]用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．[正解]由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 ＝64(种)．1．已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是( A ) A．4 B．5C．6 D．7[解析]由集合M中的元素作为点P的横坐标，集合N中的元素作为点P的纵坐标，在第一象限的点P共有2个，在第二象限的点P共有2个，由分类加法计数原理可得点P的个数为2＋2＝4.2．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( B ) A．2 160 B．720C．240 D．120[解析]第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，根据分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种分法．3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( D )A．24种B．30种C．36种D．48种[解析]由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)结果．4．跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第1格：在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有_8__种办法．[解析]每次向前跳1格，共跳6次，有唯一的跳法；仅有一次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳5次，有4种的跳法；有两次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳4次，有3种的跳法．则共有1＋4＋3＝8种．故答案为8.。
人教A版高中数学选择性必修三精品课件 第6章 计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
合作探究 释疑解惑
探究一 分类加法计数原理的应用
【例1】 (1)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4.若某个焊接点脱落导 致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有( )种.
A.9 B.11 C.13 D.15 (2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
(1)解析:按照可能脱落的焊接点的个数分为四类: 第1类:脱落1个,则有(1),(4)共2种情况; 第2类:脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况; 第3类:脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况; 第4类:脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种情况. 综上,由分类加法计数原理,知共有2+6+4+1=13种情况,故选C. 答案:C (2)解:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足 题目条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.由分 类加法计数原理,知符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.
【变式训练1】 某校高三共有三个班,其各班人数如下表:
班级
男生数
女生数
总数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
20
30
50
高三(3)班
25
20
45
(1)从三个班中选一名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生担任学生会生活部 部长,有多少种不同的选法?
2. 一般地,有如下分类加法计数原理: (1)完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类 方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法. (2)推广:如果完成一件事情有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的 方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的 方法,那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(人教A版2019选择性必修第三册)
（2）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
[解析]（1）设购买笔支，笔记本本，则得将的取值分为三类：①当时，，因为为整数，所以可取，，，，共有4种方案.②当时，，因为为整数，所以可取，，共有2种方案.③当时，，因为为整数，所以只能取2，只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）.
情境设置
新知生成
分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，，做第步有种方法.那么，完成这件事共有种方法.
新知运用
例2已知集合，表示平面上的点，问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
（3）可表示多少个不在直线上的点？
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；混合型问题一般是先分类再分步.
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢？是什么计数法？
6-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法、那么完成这件事 共有N=m×n种不同的方法. 推广： 完成一件事情需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
2、如何完成：“分类”
第1类：A大学的专业，m1=5种； 第3类：C大学的专业，m3=2种；
第2类：B大学的专业，m2=4种； N=m1+m2+m3=11
问题2： 做一件事情，完成它可以有n类不同方案,在第一类方案中有m1种 不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中 有mn种不同的方法，那么应当如何计数呢？
4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的
选法? (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的
选法?
解：(1) 12种；(2) 60种.
课堂练习
5.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽
2、如何完成： “分步”
第1步：选一个男生，m=30种； 第2步：选一个女生，n=24种；
N=m×n=30×24=720
例3：书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文 艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法? 分析：（1）“要完成的一件事”： “从书架上取1本书”
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计课题 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理单元第六单元学科数学年级高二教材分析本节内容是分类加法计数原理与分步乘法计数原理，由使用字母或数字为教室座位编号情境导入，学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理这些知识点，为分类加法计数原理与分步乘法计数原理的运用做铺垫.教学目标与核心素养1.数学抽象：通过具体案例将分类加法与分步乘法具体化；2.逻辑推理：通过新知导入逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相关知识，为排列组合的学习打好基础的同时，也能学习利用计数原理解决实际问题；4.直观想象：通过分类与分步的直观动画，展示完成一件事需要的过程；5.数学运算:能够正确判断分类与分步问题，并进行计算；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性.重点分类加法计数原理；分步乘法计数原理.难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课新知导入：情境一：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？答：因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.情境二：从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?答：从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法.思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.思考：你能举出生活中类似的例子吗？答：如一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法？学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，学生思考问题，引出本节新课内容.设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.有多少种不同的选择？情境三：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，...，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码.思考：该问题与前一个问题有什么区别？答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.思考：你能说出上述问题有什么特征吗？答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.问:你能通过这些得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的计算方法吗？讲授新课新知讲解（一）：分类加法计数原理定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+n种不同的方法.说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.课堂练习：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)例题讲解：例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学答：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中可以选择5种专业，在B大学中可以选择4种专业，根据分类加法计数原理，共有5+4=9种专业可以选择思考：如果完成一件事有三类不同的方案，每类方学生根据不同的情境问题，探究分类加法计数原理.利用例题引导学生掌握并灵活运用分类加法计数原理.利用不同的情境问题，探究分类加法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？答：N= m1+m2+…+ m n新知讲解（二）：分步乘法计数原理定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法则完成这件事共有N= m ×n 种不同的方法.说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情.课后练习：(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(×)例题讲解：例2 设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？答：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．例题讲解：例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?答：(1)从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.(2)分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三步从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.课堂练习：1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ C ）A．5种B．4种C．9种D．20种2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由学生根据不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法.利用例题引导学生掌握并灵活运用分步乘法计数原理.通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程利用不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探一楼到五楼共有（ B ）种走法A．10种B．16种C．25种D．32种3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____54________.4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有__180__种.拓展提高一：5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？答：(1) 13+12+9=34(2) 13×12×9＝1404(3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况;②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况;③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况.由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法链接高考：6、（2020 全国高三模拟）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.乘坐站数0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9票价（元） 2 3 4（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的方案共有多少种？答：(1)小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的方案共有6+6=12 种(2)小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.索精神.要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元（乘坐站数有1，2，3三种方法），小李付费4元（乘坐站数有7，8，9三种方法），所以共有3×3=9种方法;②如果两人都付费3元，且要满足小华比小李先下地铁，则可能有：小华坐了4站，小李坐了5或6站2种方法；小华坐了5站，小李坐了6站1种方法.共有2+1=3种方法.所以，共有9+3=12种方案.课堂小结 1.分类加法计数原理2.分步乘法计数原理学生回顾本节课知识点，教师补充.让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.板书§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、新知导入三、例题讲解二、新知讲解四、课堂练习1.分类加法计数原理五、拓展提高2.分步乘法计数原理六、课堂总结七、作业布置教学反思。
新教材人教a版选择性必修第三册61第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案
共有( B )
A. 24种
B. 36种
C. 48种
D. 72种
1. （2020广东云浮高二期末）某演讲比赛候选人中有高一学生5名，高二学
生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1名参加市团委组织的演讲比赛，
则不同的选法有( A )
A. 60种
根据具体问题的特征，选择“分类”或 分配）等一些综合问题.
“分步”.
⒉数学运算——借助两个计数
3.能利用两个计数原理解决一些简单的
原理，计算一些实际问题的完
实际问题、解决涂色.组数.抽取（分配
成方法种数.
）等一些综合问题.
2. 书架上有3本数学书，2本英语书，从数学书、英语书中各取一本，有多 少种取法？
2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个
数为( D )
A. 56
B. 54
C. 53
D. 52
B
BCD
12. （2020山东淄博高二月考）若一个三位自然数各数位上的数字中，有且
仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，
114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列，第22个“单重数”是
探究点二 分步乘法计数原理的应用
例 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上都有0~9这十个数字，这4个拨号 盘从左到右可以组成多少个四位数的号码（数字允许重复）？
变式 如果数字不允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号 码？
解题感悟 1.应用分步乘法计数原理时，完成一件事要分几个步骤，只有每个步骤都完 成了，才算完成这件事，每个步骤缺一不可. 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路： （1）分步：将完成一件事的过程分成若干步； （2）计数：求出每一步中的方法数； （3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.
人教A版选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生 了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的 强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学
B大学 数学 会计学 信息技术 学 法学
如果这名同学 只能选一个专 业，那么他共 有多少种选择 呢？
分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
一、学习目标1分钟
1理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
二、问题导学1：6分钟 学生自学，请同学们阅读课
文p1-6.在课文找出解决以下问题的方法和答案
思考1：用一个大写的的英文字母或一个0～9 阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编 出多少种不同的号码？
例3．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不 同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2 本，问有多少种不同的取法？
解:先分类，再分步
第1类方法：取中、英书本有：N1= 9 ×7= 63种方法； 第2类方法：取中、日书本有：N2= 9 ×5=45种方法； 第2类方法：取英、日书本有：N3= 7×5=35种方法；
故有n=5×５×５×５= 种 .
3、 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有 三类方法,从局部上看每类又需两步完成,
所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
三、点拨精讲6分钟
1、分类加法计数原理（加法原理） 完成一件事，有两类方案，在第1类方案中有
6-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)(课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修三
利用分类加法计数原理计数 利用分步乘法计数原理计数 法计数原理，把完成每
分类（类类独立） 不重不漏
分步（步步关联） 步骤完整
一步的方法数相乘，得 到总数.
课本P5
1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4
人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种
分步乘法计数原理推广
完成一件事需要n个步骤，
函做数第y 1步f (有x)m在1种点不x 同a的处方的法函，数值 f (做a)第比2它步在有点mx2种 不a 附同近的其方他法点，的函 数.值..都..小.
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法.
对比总结
虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为
N 6 4 1 9 (种).
例子3：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1，A2，…A9， B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号 码？
完成一件事 步骤1
给座位编号
用大写英文字 母编号 6
步骤2 用阿拉伯数 字编号10
有关诗歌：
计数原理入门径， 何时相加何时乘？ 分类相加无重漏， 分步相乘步骤整。
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求; 万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
新课程标准解读
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与 分步乘法计数原理． 2.能根据具体问题的特征，选择两种计数 原理解决一些实际问题． 3．会根据实际问题的特征，合理地分类 或分步．
相同点 不同点
注意点
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
用来计算完成一件事的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
人教A版高中数学选择性必修第三册6-1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
题型二 分步乘法计数原理 [学透用活]
[典例 2] 从－2，－1,0,1,2,3 这六个数中任选 3 个不重复的数作为二次函 数 y＝ax2＋bx＋c 的系数 a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？
[解] 由题意知 a 不能为 0，故 a 的值有 5 种选法； b 的值也有 5 种选法；c 的值有 4 种选法． 由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为 5×5×4＝100(条)．
[方法技巧] 利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这 件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使 问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
答案：D
2．[多选]现有 4 个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有 6 人、7 人、8 人、9
人，则下列说法正确的是
()
A．选 1 人为负责人的选法种数为 30
B．每组选 1 名组长的选法种数为 3 024
C．若推选 2 人发言，这 2 人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 335
D．若另有 3 名学生加入这 4 个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，
2．8 个乒乓球队每两个队比赛一场，共有多少场比赛？
解：根据题意得 8 个乒乓球队每两个队比赛一场，其中第一支要和剩余 的 7 支球队都要赛一场，有 7 场比赛；
第二支球队要和除第一支球队之外的 6 支球队都要赛一场，有 6 场比赛； 第三支球队要和除第一、二支球队之外的 5 支球队都要赛一场，有 5 场 比赛； 以此类推，第七支球队只需要和第八支球队赛一场，有 1 场比赛．则共 需要比赛 7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（场）．
人教A版高中同步学案数学选择性必修三 第6章 计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
过关自诊 1.当一个事件既需要分步又需要分类时,分步和分类有何先后顺序吗?
提示 当一个事件既需要分步又需要分类时,通常要明确是先分类后分步还 是先分步后分类,并且要明确分类的标准和分步的程序问题.
2.[人教B版教材例题]某班班委由2位女同学、3位男同学组成,现要从该班 班委里选出2人去参加学校组织的培训活动,要求至少要有1位女同学参加, 则不同的选法共有多少种? 解 按照选择的女同学人数分为两种情况,即2位都是女同学和只有1位女同 学. 2位都是女同学的选法显然只有1种. 只有1位女同学的选法,可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人,有2 种选法;再从3位男同学中选出1人,有3种选法.依据分步乘法计数原理,共有 不同的选法种数为2×3=6. 依据分类加法计数原理,不同的选法种数为6+1=7.
12345
5.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中任意选出3名队员参 加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法种数 为 9 .(用数字作答) 解析 分为两类:第1类是2名老队员、1名新队员,有3种选法;第2类是2名新 队员、1名老队员,有2×3=6种选法.根据分类加法计数原理,入选的3名队 员中至少有1名老队员的选法种数为6+3=9.
探究点三 两个计数原理的综合应用
【例3】 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英 语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种 不同的选法?
解 由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语. 设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要 分两种:(1)教英语;(2)教日语. 第1类:甲入选. (1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2 种选法;
高二上学期数学人教A版选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
N=m1m2m3 ….mn
应用1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2 层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1) 从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？ (2) 从书架的第1,2,3层各取1本书，有多少种不同 的取法？
应用2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
应用3. 在所有的两位数中，个位数字大于十 位数字的两位数有多少个？
应用4.
从{3,2,1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作 为抛物线方程 y ax2 bx c(a 0)的系数, 使抛 物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线 有多少条？
应用5.某中学艺术组有9人，每人至钢琴，3人会小号，从 中选出会钢琴与小号的各1人，有多少种选法？
新知运用
运用1.给程序模块命名, 需要3个字符, 其中首字 符要求用字母A~G或U~Z, 后两个要求用数字1~9, 问 最多可以给多少个程序命名?
运用2.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化 学成分。一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位 置的长链，长链中每个位置上都由一种称为碱基化学成分 所占据。总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示。在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现， 所以任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假 设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不 同的RNA的分子?
运用3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥 有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出 台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3 个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个 字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。 那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
人教A版高中数学选择性必修第三册6-1第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件
A．a2＝10
B．a3＝10
C．a4＝90
D．a5＝90
解析：2 位回文数包含 11,22,33，…，99，共 9 个，所以 a2＝9；3 位回文数， 第一位和第三位有 9 种情况，中间有 10 种情况，根据分步乘法计数原理可 知，有 9×10＝90（个），故 a3＝90；4 位回文数，第一位和第四位有 9 种 情况，中间两位有 10 种情况，根据分步乘法计数原理可知，有 9×10＝90 （个），故 a4＝90；5 位回文数，第一位和第五位有 9 种情况，中间一位有 10 种情况，第二位和第四位有 10 种情况，根据分步乘法计数原理可知，有 9×10×10＝900（个），故 a5＝900.
题型二 选(抽)取与分配问题 [学透用活]
[典例 2] 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋 但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别参加 象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
[解] 法一：分四类：第 1 类，从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象 棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，有选法 3×2 ＝6(种)；
第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
题型一 数字排列组数问题 [学透用活]
[典例 1] 用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数？ (2)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？
[解] (1)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排 法，除 0 外共有 4 种排法，第二、三位可以排 0，因此，共有 4×5×5＝100 个．
(2)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125 个．
高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理主备：审核：高二数学组审批：日期：导引入课题问题 1 ：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?知识点一：分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有m n种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。
知识点二：完成一件事，需要分成n个步骤。
做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，则完成这一件事共有种不同的方法。
注：各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成。
学例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？跟踪训练：1.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少个不同的号码？2． 如图,由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条。
从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法?例2：设某班有男生30名，女生24名。
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3：书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1) 从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2) 从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?跟踪训练：A 村B 村C 村北南中北南1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )A.56B.65C.30D.112.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有________个.3.一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复) 练1、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要从两类课程中选一门，则有多少种不同的选法？2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？4、已知A∈{3，4，6}，B∈{1，2，7，8}，R∈{8，9}，则方程（x-A）2 +(y-B)2= R2可表示不同的圆的个数有多少？5、用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的:(1)三位数? (2)无重复数字的三位数?(3)小于500且没有重复数字的自然数?测1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有6名同学只会用综合法证明,有4名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )A.10B.16C.20D.242.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中,比2 019大的数的个数为( )A.10B.11C.12D.133.一个科技小组中有4名女同学和5名男同学,从中任选1人参加学科竞赛,不同的选派方法共有________种;若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有________种.4.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.5.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有多少种?。
人教A版(2019)数学选择性必修第三册6_1分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．3．会根据实际问题合理分类或分步．学习重难点重点：理解两个计数原理的内容及它们的区别难点：两个计数原理的应用学习过程一、新知探究知识点一、分类加法计数原理[提出问题]2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．问题1：该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？提示：两类，即乘飞机、坐火车．问题2：这几类方案中各有几种方法？提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？提示：共有7＋6＝13种不同的方法．[导入新知]1．完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．[化解疑难]1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．知识点二、分步乘法计数原理[提出问题]2013年9月，第12届全运会在辽宁召开，这是中国体坛的一大盛事．一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车．问题1：该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳．问题2：完成每一步各有几种方法？提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？提示：共有7×6＝42种不同的方法．[导入新知]1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．[化解疑难]1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．二、典型例题题型一：分类加法计数原理例1．某校高三共有三个班，各班人数如下表.(1)从三个班中选1(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？[类题通法]利用分类加法计数原理时要注意(1)要准确理解题意，确定分类的标准．(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．[活学活用]1、若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．题型二：分步乘法计数原理例2．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．[类题通法]利用分步乘法计数原理时要注意(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．[活学活用]2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？题型三：两个计数原理的综合应用例3．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？[类题通法]在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．[活学活用]3、有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？三、随堂检测1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．12C．64 D．812．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是() A．18 B．17C．16 D．103．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________种．4．一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．5．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？参考答案典型例题例1．解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．[活学活用]1、解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.典型例题例2．解：(1)三位数有三个数位：故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．[活学活用]2、解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20种不同的取法．(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法．典型例题例3．解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．[活学活用]3、解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法．随堂检测1．答案：B解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．答案：B解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．3．答案：36解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．4．答案：712解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法．5．解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．。
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6.1分类计数原理和分步计数原理（1）
一、学习目标
正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
二、学习重点和难点
重点：分类计数原理和分步计数原理．
难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．
三、自主学习
1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法．
2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法．
四、典型例题
例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？
(五)课堂练习
1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有种不同的取法
2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有个？
3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有种数．
4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有个。
六、合作探究
1、有91个乒乓球运动员进行冠军赛，采取每输一场即淘汰出局的淘汰制，问决出冠军1人，需要比赛多少场?（）
A、88
B、89
C、90
D、91
2、用1，5，9，13种任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的真分数
七、巩固提高
1、从甲地到乙地有3趟火车，从乙地到丙地有2班轮船，另外，从甲地直接到丙地有1趟飞机，则从甲地到丙地可选择的旅行方式的种类是（）
A、6
B、7
C、8
D、9
2、某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?
(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?
（选题意图：本例旨在让学生理解两个基本原理.）
2、求证：（a1＋a2＋…＋a m）·（b1＋b2＋…＋b n）·（c1＋c2＋…＋c k）展开式的项数是m·n·k （m，n，k∈N）．
八、归纳小结
1、什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？
2、应用两个基本原理时需要注意什么呢？
答案
三、自主学习1、N=m1＋m2＋…＋m n
2、N＝m1×m2×…×m n
四、典型例题
例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．
师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．
例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．
答：可以组成100个三位整数．
(五)课堂练习
1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有种不同的取法（5＋4=9）
2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有个？
(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)
3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有种数．
(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)
4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有个。
（4×4×4=64）
六、合作探究
1、1. 解：依比赛规则第一轮比赛45(场)还有一人轮空而直接进入第二轮比赛，所以第二轮比赛23(场)……所以共进行：45+23+11+6+3+1+1=90(场)，选C
2、用1，5，9，13种任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的真分数答案：N=4＋3＋2＋1=10
七、巩固提高
1、分两类：1）经乙地到达丙地有3×2=6种，2）不经乙地直达丙地只有一种方法，总计6+1=7种，故选B
2、［例1］某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?
(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?
选题意图：本例旨在让学生理解两个基本原理.
解：(1)若从高一学生中选，则有10种不同选法；若从高二学生中选，则有8种不同选法；若从高三学生中选，则有7种不同选法；所以由分类计数原理共有10+8+7=25种不同选法.
(2)三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，由分步计数原理共有10×8×7＝５60种不同选法.
2、求证：（a1＋a2＋…＋a m）·（b1＋b2＋…＋b n）·（c1＋c2＋…＋c k）展开式的项数是m·n·k （m，n，k∈N）．
答案：
展开式每一项由一个a i，一个b z，一个c p组成，选a i的方法有m种，选b z的方法有n 种；选c p的方法有k种，故共有m·n·k种不同选项的方法，故项数为m·n·k．
八、归纳小结
1、什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？
答：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．
2、应用两个基本原理时需要注意什么呢？
答：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的。