微分中值定理怎样构造辅助函数

微分中值定理怎样构造

辅助函数

文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。

先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)

证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,

所以 y dx

dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e

y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：

在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的，

xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e

-，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。

三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

证：

02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x

y =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。

注：这种方法不是万能的，

结合下面例题尝试做下。

微分中值定理的证明题

1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，

(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。

证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ∃∈（，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 经典题型二：

思路分析：

实战分析：

设,0a b >，证明：(,)a b ξ∃∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111111111(1)()b a e e e b a b a

ξξ-=-- 作辅助函数1

()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11(,)b a

内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a

ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ，

即 11111(1)11b a e e b a e b a

ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。 经典题型三

设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。

证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ∃∈，使得0()0F x '=

又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈⊂(0,1)，即证