微分中值定理怎样构造辅助函数

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微分中值定理怎样构造

辅助函数

文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键,下面介绍怎样构造的方法,还有附带几个经典例题,希望对广大高数考生有所帮助。

先看这一题,已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证在(a ,b )中存在ε使f ’(ε)=f(ε)

证明过程: f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,

所以 y dx

dy =,即dx dy y =1,所以对两边简单积分,即⎰⎰=dx dy y 11,所以解出来(真的是不定积分的话后面还要加个常数C ,但这只是我的经验方法,所以不加)就是x y =ln ,也就是x e y =,这里就到了最关键的一步,要使等式一边为1!,所以把x e 除下来,就是1=x e

y ,所以左边就是构造函数,也就是x e y -⋅,而y 就是f(x),所以构造函数就是x e x f -)(,你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续,且f(a)=f(b)=0,求证:

在(a ,b )中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证:一样的,

xy dx dy 2-=,把x,y 移到两边,就是xdx dy y 21-=,所以积分出来就是2ln x y -=,注意y 一定要单独出来,不能带ln ,所以就是=y 2x e

-,移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ,再用罗尔定理就出来了。

三、已知f(x)连续,且f(a)=f(-a),求证在(-a ,a )中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

证:

02=+y x dx dy ,移项就是dx x dy y 121-=,所以x y ln 2ln -=,所以就是21x

y =,移项就是12=⋅x y ,所以构造的函数就是2)(x x f ⋅,再用罗尔定理就可以了。

注:这种方法不是万能的,

结合下面例题尝试做下。

微分中值定理的证明题

1. 若()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,()()0f a f b ==,证明:R λ∀∈,

(,)a b ξ∃∈使得:()()0f f ξλξ'+=。

证:构造函数()()x F x f x e λ=,则()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知:,)a b ξ∃∈(,使()0F ξ'= 即:[()()]0f f e λξξλξ'+=,而0e λξ≠,故()()0f f ξλξ'+=。 经典题型二:

思路分析:

实战分析:

设,0a b >,证明:(,)a b ξ∃∈,使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证:将上等式变形得:1111111111(1)()b a e e e b a b a

ξξ-=-- 作辅助函数1

()x f x xe =,则()f x 在11[,]b a 上连续,在11(,)b a

内可导, 由拉格朗日定理得: 11()()1()11f f b a f b a

ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ,

即 11111(1)11b a e e b a e b a

ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ , 即:ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。 经典题型三

设()f x 在(0,1)内有二阶导数,且(1)0f =,有2()()F x x f x =证明:在(0,1) 内至少存在一点ξ,使得:()0F ξ''=。

证:显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又(0)(1)0F F ==,故由罗尔定理知:0(0,1)x ∃∈,使得0()0F x '=

又2()2()()F x xf x x f x ''=+,故(0)0F '=, 于是()F x '在0[0]x ,上满足罗尔定理条件,故存在0(0,)x ξ∈, 使得:()0F ξ''=,而0(0,)x ξ∈⊂(0,1),即证

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