第五章多目标规划

•F
•C •B
•O
•A
• 当一个可行解的优化方向集合和可行域的交集为非空时， 两个目标z1，z2可以同时改善，即这样的可行解是劣解。优化方 向集合和可行域的交集为空集时，两个目标函数不可能同时改 善。这样的可行解是多目标规划的Pareto解。图中的可行解 B,C,D是多目标规划的Pareto解。Pareto解集为折线BCD。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(5)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -4 0 1 -14 z2 0 1 0 0 4 0 -3 -6 x2 0 0 0 1 -1 0 1 4 x1 0 0 1 0 2 0 -1 2 x4 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。 •x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。 •x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。
❖线性加权法
F(X)=1f1(X)+ 2f2(X)+ ……+ KfK(X) 其中0≤1， 2，… ，K≤1，称为目标权重。
第五章多目标规划
例1：住房选择（决策空间是离散的）
面积(m2） 单价（元/m2）
住房A 200
4800
住房B 180
5500
住房C 150
4000
朝向 南 西 东
地段 丙 甲 乙
•5
•目标z2的最优 解
•4
•x5= 0
•多目标规划的Pareto•解s.t集. x1+
•C
• 2x1+
x2 x2
≤6 ≤10
• x1+2x2 ≤10
•3
•z •x1=
2 •2 0
•1
•O
•x3= 0
•目标z1的• 最优x1，x2≥0
解
•B
•z1
•x4=
•x2=
0 •A
•0123456
0
第五章多目标规划
产量（吨）
总产量不低于12吨
总产量12吨
•如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解 也将发生变化。变化情况如下表：：
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(3)
允许排放的 产品A产量 产品B产量 产品C产量 最大利润 污染(m3) （吨） （吨） （吨） （万元）
25
7
5
0
83
19
7
5
0
83
18
•min z2= x1-2x2
•s.t. x1+ x2+x3
=6
• 2x1+ x2 +x4 =10
• x1+2x2
+x5=10
• x1, x2, x3, x4, x5≥0
•多目标线性规划问题的图解。
第五章多目标规划
•多目标规划的图形
•max z1=3x1+2x2
•6
•max z2=-x1+2x2
•D
•
fi(X)>fi(X*)
•则称X*为这个多目标规划的一个Pareto解（也称为非劣 解、有效解）。
•如果一个多目标规划问题有一个以上的Pareto解，这些 Pareto解组成的集合称为Pareto解集。
第五章多目标规划
•Pareto解集的图解
•f(x)
•f1(X) •f2(X)
•x1
•x2
•x3
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(4)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -1 -1 0 -16 z2 0 1 0 0 -5 3 0 0 x2 0 0 0 1 2 -1 0 2 x1 0 0 1 0 -1 1 0 4 x5 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,0,2), z1=16, z2=0是 Pareto解。对应于B点。 •x3进基，x2离基，两个目标同时会变差，回到劣解A。 •x4进基，x5离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解C。
•多目标线性规划单纯形表(1)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10
如果非基变量在两个目标中的检验数都大于0，当前的基础 可行解是劣解。这个非基变量进基，两个目标都会改善。
•z1
•B •z1
•F •改目善标的•函O方数向z2
•目标函数z1
改善的方•向A
•对于多目标规划可行域中的点，根据两个目标函数的法线 方向，可以确定两个目标同时可以改进的方向。这是一个锥 体，锥体内的方向称为多目标规划的优化方向集合。
第五章多目标规划
•多目标线性规划的Pareto解集(2)
•D •E
•劣解
•Pareto 集
•x4 •x5 •x •劣解
•图中x1、x5为劣解，x2、x3、x4为Pareto解 第五章多目标规划
•多目标线性规划的Pareto解集(1)
•设两个目标的线性规划为
•min z1=c11x1+c12x2 •min z2=c21x1+c22x2 •s.t.
• a11x1+a12x2≤b1
单价（元/m2） 3000 (1.0) 6000 (0.0) 4800 5500 4000 0.400 0.167 0.667
朝向 南 (1.0) 北 (0.0)
南 西
地段 甲 (1.0) 丁 (0.0)
丙 甲
楼层 三层 (1.0) 一层 (0.0)
四层 七层
东
乙
三层
1.0
0.4
0.9
0.4
第五章多目标规划
•用单纯形表求解多目标线性规划Pareto解
集
•双目标线性规划问题为
•标准化问题为
•max z1=3x1+2x2 •max z2=-x1+2x2 •s.t. x1+ x2 ≤6 • 2x1+ x2 ≤10 • x1+2x2 ≤10 • x1，x2≥0
•min z1=-3x1-2x2
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(2)
•最优解如下表：
产品
条件
最优解
利润（万元/吨）
目标函数，最大化
总利润83万元
耗用原料（吨/吨） 耗用原料不超过38吨 耗用原料38吨
排放污染（m3/吨） 排放污染不超过25m3 排放污染19m3
销售价格（万元/吨） 销售总额不低于100万元 销售总额260万元
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(6)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 2 0 0 0 -1 -10 z2 0 1 -2 0 0 0 -1 -8 x2 0 0 1/2 1 0 0 1/2 5 x3 0 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 x4 0 0 3/2 0 0 1 -1/2 5
• a21x1+a22x2≤b2 • x1, x2≥0
•E
•设以z1为单目标的线性规划
最优解为B，以z2为单目标的
线性规划最优解为D。可行
域内部（不包括边界）的可
行解都是劣解。
•O
•z
2
•D
•z
2
•F
•C
•z
1
•B •z
1
•A
第五章多目标规划
•z2 •D
•C
•目标函数z1和z2
•E
•z2
同时改善的方向
第五章多目标规划
•求解多目标线性规划的线性加权法
•5
•4
•3
•z2
•2
•1
•1z1+ 2z2 •z1
•max z1=3x1+2x2 •max z2=-x1+2x2 •s.t. x1+ x2 ≤6 • 2x1+ x2 ≤10 • x1+2x2 ≤10 • x1，x2≥0
•目标函数线性加权：
• z=1z1+ 2z2 • 0≤1 ,2≤1 • 1+ 2＝1
第五章多目标规划
2020/12/11
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(1)
产品
ABC
条件
利润（万元/吨）
9 4 1 目标函数，最大化
耗用原料（吨/吨） 4 2 5 耗用原料不超过38吨
排放污染（m3/吨） 2 1 3 排放污染不超过25m3
销售价格（万元/吨） 30 10 20 销售总额不低于100万元
6
6
0
78
17
5
7
0
73
16
4
8
0
68
15
3
9
0
63
14
2
10
0
58
13
1
11
0
53
12
0
12
0
48
11
没有可行解
第五章多目标规划
•利润最大化和排放污染最小化双目标问题的图
示 •最大利润（万元） •8
•排放污染最小和利润最大两 个目标可以同时实现的区域
3
•7
8
•允许排放的污染和
最大利润之间的关系
•7
3
•6 8
•6 3
•5
8
•允许排放的污染（m3）
•5
•25 24 23 22 21 19 18 17 16 15 14 13
3
12
第五章多目标规划
•两个目标的规划问题的劣解和非劣解
• 第一个目标取定一 个值z1A，作为约束条 件，优化第二个目标，
得到第二个目标的最优
•第一个目标
•非劣解集(Pareto解集)
劣解”或“Pareto”解，
非劣解的两个目标不可 •劣解 •劣解
•两个目标都可能实现的区域
能同时改进。
第五章多目标规划
•多目标规划问题的非劣解和非劣解集
•设多目标规划的可行域为，设其中的一个可行解 X*∈ ，它的K个目标值分别
•
f1(X*) ，f2(X*)， ……，fk(X*)
•如果对于任意的可行解X ∈ ，都至少有一个目标i， 使得
产量（吨）
1 1 1 总产量不低于12吨
•利润最大化的线性规划模型为：
•max z=9x1+4x2+x3
•s.t. 4x1+ 2x2+ 5x3≤38
• 2x1+ x2+ 3x3≤25
• 30x1+10x2+20x3≥100
• x1+ x2+ x3≥12
•
x1, x2, x3≥0
耗用原料约束 排放污染约束 销售总额约束 产量约束
•当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,5,1,5,0), z1=10, z2=8是 Pareto解。对应于D点。
•x1进基，x3离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解C。 •x5进基，x2离基，z1会变差，z2会变差，将回到劣解O。 •已搜索到这个多目标规划的所有Pareto解B点，C点，D点。
值Z2A，得到A点。……
用同样的方法得到B点。
•非劣解(Pareto解)
依次进行，得到两个目 •z2B
•B
标之间关系的曲线AB 和相应的区域。
•M •P’
•非劣解(Pareto解)
•区域内部的点N和M称
•N
为“劣解”，劣解的两 •z2A
•P •A
个目标同时可以改进。
曲线AB上的点称为“非
•z1B
•z1A •第一个目标
•由图解可以看出，加权以后的 单目标问题的最优解必定是多 目标规划的一个Pareto解。
•012345
第五章多目标规划
•多目标的线性加权转化为单目标规划问题
•一、多目标规划转化为单目标规划问题
•1、评价函数法
•
百度文库
F(X)=U{f1(X)，f2(X)，…，fK(X)}
•将多目标规划问题转化为单目标规划问题。最简单的 评价函数是线性加权。
楼层 四层 七层 三层
第五章多目标规划
• 确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进 行归一化处理。最理想的值为1，最不理想的值为0， 将各决策方案的实际目标值转化为0～1之间的值。
最好
最差
实A 际B 指 标C
归A 一B 化C
面积（m2） 200 (1.0) 75 (0.0) 200 180 150 1.0 0.84 0.60
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(3)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 1/2 0 -3/2 0 -15 z2 0 1 0 5/2 0 1/2 0 5 x3 0 0 0 1/2 1 -1/2 0 1 x1 0 0 1 1/2 0 1/2 0 5 x5 0 0 0 3/2 0 -1/2 1 5 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(5,0,1,0,5), z1=15, z2=-5是劣解。 对应于A点。 •x2进基，x3离基，z1，z2同时改善，进到Pareto解B。 •x4进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，回到劣解O。
如果任何一个非基变量在两个目标中的检验数不同时大于0， 这个基础可行解是Pareto解，任何一个非基变量进基，一个 目标将会改善，而另一个目标将会变差。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(2)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,0,6,10,10), z1=0, z2=0是劣 解，对应于图中的O点。 •x1进基，x4离基，z1会改善，z2将会变差，进到劣解A。 •x2进基，x5离基，z1，z2可以同时改善，进到Pareto解D。