第五章多目标规划
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第五讲多目标规划模型
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
的函数：
U (x) U ( f1, f 2 ,..., f p )
并设
aij f i (x j )
且各个方案的效用函数分别为
U (x j ) U (a1 j , a2 j ,..., a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ordU ( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),...., U ( X p ))T s.t. gi ( X ) 0
6
U ( X 1 ) j a1 j 34
j 1
6
U ( X 2 ) j a2 j 40.6
j 1
6
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
j 1
6
U ( X 4 ) j a4 j 40.27
j 1
U* maxU U ( X 3 ) 57.925
^
^
S
x
f j (x)
f
* j
j
S j1, j 2,3,, p
4、步骤法（STEM法）
这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者 之间的对话逐步进行，故称步骤法。
步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的 一组理想解(f1*,f2*,…,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,…,p) 无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解 作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修 改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原 来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。
依次进行，直到
得最优值 f1*
得最优值
f
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
5 多目标规划
优先因子（pl） ： 不同目标有主次 优先因子之间的关系 为轻重两种差别。一 Pl＞＞ Pl+1，即Pl对 种差别是绝对的， 应的目标比 Pl+1对应的目 标有绝对的优先性。只有 可以用优先因子pl 在高级优先因子对应的目 来表示，一种差别 标已优化的基础上，才考 虑较低级优先因子对应的 是相对的，这些目 目标。
在研究以什么为“最 佳’’的衡量指标时, 可能会提出各种各样的 目标来 ①要求总花费最少 ②要求糖的总斤数最大 ③要求甲糖果数量最大
2 多 目 标 数 学 模 型 及 特 点
模型一般形式： 与单目标规划模型不同，多目标 规划的目标函数为多个。
max f i ( x) f ( f1 ( x), f 2 ( x), f n ( x)) min g ( x) g ( g ( x), g ( x), g ( x)) i 1 2 n si ( X ) bi yi ( X ) ci x X
的有效解，根据决策者的
偏爱从其中选择出一个有
效解称为满意解
（satisfaction solution）
3 多目标规划的解
设多目标规划模型的可行域为
R=｛X‖gi(X)≤bi,i=1,2,3…m｝，对于最大化（max）
的多目标规划问题，不同解的定义如下： （1）有效解(非劣解) （2）满意解 （3）弱有效解 （4）绝对最优解
对于每一个目标都给定了一定的目标值，要求
在约束条件下目标函数尽可能逼近给定的目标值。
决策者给定目标函数相应的目标值，在各种约 束条件下，使各个目标函数尽量逼近给定的目标，
这种求解多目标问题的方法即为目标规划或目的
规划（goal programming）。
2. 基本概念及数学模型
在研究以什么为“最 佳’’的衡量指标时, 可能会提出各种各样的 目标来 ①要求总花费最少 ②要求糖的总斤数最大 ③要求甲糖果数量最大
2 多 目 标 数 学 模 型 及 特 点
模型一般形式： 与单目标规划模型不同，多目标 规划的目标函数为多个。
max f i ( x) f ( f1 ( x), f 2 ( x), f n ( x)) min g ( x) g ( g ( x), g ( x), g ( x)) i 1 2 n si ( X ) bi yi ( X ) ci x X
的有效解，根据决策者的
偏爱从其中选择出一个有
效解称为满意解
（satisfaction solution）
3 多目标规划的解
设多目标规划模型的可行域为
R=｛X‖gi(X)≤bi,i=1,2,3…m｝，对于最大化（max）
的多目标规划问题，不同解的定义如下： （1）有效解(非劣解) （2）满意解 （3）弱有效解 （4）绝对最优解
对于每一个目标都给定了一定的目标值，要求
在约束条件下目标函数尽可能逼近给定的目标值。
决策者给定目标函数相应的目标值，在各种约 束条件下，使各个目标函数尽量逼近给定的目标，
这种求解多目标问题的方法即为目标规划或目的
规划（goal programming）。
2. 基本概念及数学模型
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划课件
min U(F(X))
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
X∈R
然后求解该问题，并将其最优解X*作为(VP) 的最优解。 由于构造评价函数的多种多样，也就出现 了多种不同的评价函数方法。
处理多目标规划的一些方法
1. 线性加权和法 对 重 且(要 ∑V程λPj)=中度1，的给然p以个后适目构当标造的f评1权(X价系),函数f2数(λXj≥),0…(j,=f1p(,X2,)…按,p其),
挑选出满意的方案来。这时称BC上的点为
非劣解，或有效解。
多目标规划解的概念
对于一般的多目标规划问题：
(VP)
V-min F(X)=(f1(X), f2(X),…,fp(X))T
s.t. gi(X)≤0, i=1,2,…,m
其中X=(x1,x2,…,xn)T, p≥2
设R={X| gi(X)≤0, i=1,2,…,m}
多目标规划解的性质
类似地可证明：像集F(R)的有效点一
定是弱有效点，即
E
* pa
E w* p
通过在像集F(R)上寻找有效点（或弱 有效点），就可以确定约束集合R上 的有效解（或弱有效解）。对此，有 如下的定理。
多目标规划解的性质
定理4 在像集F(R)上，若Epa*已知，则在约 束集合R上，有
X∈R
p-1
其中Rp-1=Rp-2∩{X |fp-1(X)≤fp-1*}
处理多目标规划的一些方法
此时求得最优解X*，最优值为fp*，则 X*就是多目标问题(VP)在分层序列意 义下的最优解。进一步有下列定理。
定理6 设X*是由分层序列法所得到的 最优解，则X*∈Rpa*.
处理多目标规划的一些方法
(2)若fj(Y)= fj(X*), j=1,2,…,j0-1 但fj0(Y)<fj0(X*) 2≤j0≤p 此时必有fj(Y)= fj(X*)≤fj*, j=1,2,…,j0-1 因此，Y是问题 (Pj0) min fp(X) X∈Rj0-2∩{X |fj0-1(X)≤fj0-1*} 的可行解，又由
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
第5章 多目标规划复习
最次要的目标放在次要的等级中2目标优先级的约定1对同一个目标而言若有几个决策方案都能使其达到可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案
第5章 多目标规划目标规划的优先级 先将目标等级化： 先将目标等级化：将目标按重要性的程度 不同依次分成一级目标、二级目标…..。 不同依次分成一级目标、二级目标…..。最 次要的目标放在次要的等级中 2、目标优先级的约定 对同一个目标而言， （1）对同一个目标而言，若有几个决策方案 都能使其达到， 都能使其达到，可认为这些方案就这个目 标而言都是最优方案；若达不到， 标而言都是最优方案；若达不到，则与目 标差距越小的越好。 标差距越小的越好。
3、多目标解的概念 • 若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到，就称该解为多目标规划的最优解 最优解； 达到，就称该解为多目标规划的最优解； • 若解只能满足部分目标，就称该解为多目 若解只能满足部分目标， 标规划的次优解 标规划的次优解； 次优解； • 若找不到满足任何一个目标的解，就称该 若找不到满足任何一个目标的解， 问题为无解 无解。 问题为无解。
复习思考题
1. 试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。 2.通过实例解释下列概念 :(a)正负偏差变量；(b)绝对约束与目标约束； (c)优先因子与权系数。 3. 为什么求解目标规划时要提出满意解的概念，它同最优解有什么区别。 4. 试述求解目标规划单纯形法与求解线性规划的单纯形法的相同及异同 点。 5. 判断下列说法是否正确: • 线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式； • 正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值； • 目标规划模型中，应同时包含系统约束(绝对约束)与目标约束；
4、多目标规划模型 5、多目标规划的单纯形算法 多目标规划的单纯形算法 • 多目标规划问题与线性规划问题相似，可 多目标规划问题与线性规划问题相似， 用单纯形算法求解。 用单纯形算法求解。 • 注意：在比较检验数大小时，要先比较较 注意：在比较检验数大小时， 高级别的系数，再比较较低级别的系数。 高级别的系数，再比较较低级别的系数。
第5章 多目标规划目标规划的优先级 先将目标等级化： 先将目标等级化：将目标按重要性的程度 不同依次分成一级目标、二级目标…..。 不同依次分成一级目标、二级目标…..。最 次要的目标放在次要的等级中 2、目标优先级的约定 对同一个目标而言， （1）对同一个目标而言，若有几个决策方案 都能使其达到， 都能使其达到，可认为这些方案就这个目 标而言都是最优方案；若达不到， 标而言都是最优方案；若达不到，则与目 标差距越小的越好。 标差距越小的越好。
3、多目标解的概念 • 若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到，就称该解为多目标规划的最优解 最优解； 达到，就称该解为多目标规划的最优解； • 若解只能满足部分目标，就称该解为多目 若解只能满足部分目标， 标规划的次优解 标规划的次优解； 次优解； • 若找不到满足任何一个目标的解，就称该 若找不到满足任何一个目标的解， 问题为无解 无解。 问题为无解。
复习思考题
1. 试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。 2.通过实例解释下列概念 :(a)正负偏差变量；(b)绝对约束与目标约束； (c)优先因子与权系数。 3. 为什么求解目标规划时要提出满意解的概念，它同最优解有什么区别。 4. 试述求解目标规划单纯形法与求解线性规划的单纯形法的相同及异同 点。 5. 判断下列说法是否正确: • 线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式； • 正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值； • 目标规划模型中，应同时包含系统约束(绝对约束)与目标约束；
4、多目标规划模型 5、多目标规划的单纯形算法 多目标规划的单纯形算法 • 多目标规划问题与线性规划问题相似，可 多目标规划问题与线性规划问题相似， 用单纯形算法求解。 用单纯形算法求解。 • 注意：在比较检验数大小时，要先比较较 注意：在比较检验数大小时， 高级别的系数，再比较较低级别的系数。 高级别的系数，再比较较低级别的系数。
第五章多目标决策课件
15
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 一、基本原理
• 二、步骤和方法
• 三、应用领域
• 四、应用层次分析法的注意事项 • 五、 应用实例
16
一、层次分析法的基本原理
层次分析法根据问题的性质和要达到的 总 目标，将问题分解为不同的组成因素，
并按照因素间的相互关联影响以及隶属关 系将因素按不同层次聚集组合，形成一个 多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相 对于最高层(总目标)的相对重要权值的确
14
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
• 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与 定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其
系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各 个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、 政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、 城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛 的重视和应用。
. 目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。 最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一 层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为 准则层。
. 多 目标决策过程，就是依据某种科学方法，对于整个多层 次结构的目标准则体系，合理地给出表示每个可行方案注 意程度的数值，称之为满意度。
不要超过9个因素。
25
判断矩阵元素aij 的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
第五章_多目标规划
R x gi ( x ) 0, i 1, 2,, m 称为多目标规划问题
的可行集或容许集， x R 称为可行解或容许解 . 多目标规划问题与前面讲的规划问题的主要区 别在于：目标函数不止一个，而是 p 个（ p 2 ） 。 多目标规划问题的解法：根据问题的实际背景 和特征，设法将多目标优化问题转化为单目标优 化问题，从而得到满意解的方法.
F f1 ( x ), f 2 ( x ), f p ( x ) 为其最优值.
T
容易看出，在使用分层序列法时，若对某个 问题 Pi ， 其最优解是唯一的， 则问题 Pi 1 , Pp 的 最优解也是唯一的，且 x(i 1) x( p) x(i ) 。因 此常将分层序列法修改如下：选取一组适当 的小正数 1 ,, p ，成为宽容值，把上述的问 题 Pi 修改如下：
解： 设该厂每周生产布料 A1 , A2 , A3 的小时数为
x1 , x2 , x3 ，总利润为 y1 f1 ( x ) （元） ，总能耗为 y2 f 2 ( x ) （ t 标准煤） ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T ，
y1 f1 ( x ) 0.15 400 x1 0.13 510 x2 0.20 360 x3 y2 f 2 ( x ) 1.2 0.4 x1 1.3 0.51x2 0.36 1.4 x3
一般的多目标规划问题都可写成如下的形式：
min f1 ( x ) min f 2 ( x ) min f p ( x ) s.t. gi ( x ) 0, i 1, 2,, m
其中， x = ( x1 , x2 ,, xm )T Rn ， p 2 .
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的 最优化（最大或最小），而不顾其他目标。
运筹学05目标规划
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
目
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 公司经理提出如下优先次序的要求： ．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的） ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 1.5 倍，因此公 致）。 由于每件豪华型的利润是普通型的 由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。 件。
2.目标约束 绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满 足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有 约束条件，具有最高优先级。 目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目 标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 在约束中加入正、负偏差变量。 可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标 约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b
第五章_多目标规划
朝向 地段 楼层 评价值 0.15 0.2 0.1 1.0 0.4 0.9 0.690 0.4 1.0 0.6 0.580 0.7 0.7 1.0 0.695* 南 丙 四层 西 甲 七层 东 乙 三层
由图解可以看出，加权以后的 单目标问题的最优解必定是多 目标规划的一个Pareto解。
012345
多目标的线性加权转化为单目标规划问题
一、多目标规划转化为单目标规划问题 1、评价函数法
F(X)=U{f1(X)，f2(X)，…，fK(X)} 将多目标规划问题转化为单目标规划问题。最简单的 评价函数是线性加权。
当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。
x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。 x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。
多目标线性规划单纯形表(6)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 2 0 0 0 -1 -10 z2 0 1 -2 0 0 0 -1 -8 x2 0 0 1/2 1 0 0 1/2 5 x3 0 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 x4 0 0 3/2 0 0 1 -1/2 5
两个目标的规划问题的劣解和非劣解
第一个目标取定一 个值z1A，作为约束条 件，优化第二个目标，
第一个目标
得到第二个目标的最优
值Z2A，得到A点。……
用同样的方法得到B点。
依次进行，得到两个目 z2B
B
标之间关系的曲线AB
和相应的区域。
M P’
区域内部的点N和M称为
N
“劣解”，劣解的两个 z2A
目标同时可以改进。曲
多目标规划方法概述
一、效用最优化模型 建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
（2.1）
（2.2）
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸 应满足：若采用向量与矩阵
二、求解目标规则的单纯形方法
目标规划模型仍可以用单纯形方法求解 ，在求解时作以下规定：①因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：②因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，
（3.16）
（3.17）
（3.18）
（3.19）
在以上各式中， 、 分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数， 为第 个目标的预期值， 为决策变量， 、 分别为第 个目标的正、负偏差变量，（3.15）式为目标函数，（3.16）式为目标约束，（3.17）式为绝对约束，（3.18）式和（3.19）式为非负约束， 、 、 分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中， ； ； 。
（2.23）
（2.25）
（2.24）
用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材的配套光盘。
3 目标规划方法通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
（2.1）
（2.2）
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸 应满足：若采用向量与矩阵
二、求解目标规则的单纯形方法
目标规划模型仍可以用单纯形方法求解 ，在求解时作以下规定：①因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数为：②因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，
（3.16）
（3.17）
（3.18）
（3.19）
在以上各式中， 、 分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数， 为第 个目标的预期值， 为决策变量， 、 分别为第 个目标的正、负偏差变量，（3.15）式为目标函数，（3.16）式为目标约束，（3.17）式为绝对约束，（3.18）式和（3.19）式为非负约束， 、 、 分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中， ； ； 。
（2.23）
（2.25）
（2.24）
用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材的配套光盘。
3 目标规划方法通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。
Chap5多目标规划
min p1 n1
(3) 引入偏差变量 p2≥0, n2 ≥0, 将对利润的要求表示为
4x1 5x2 p2 n2 500
同理，p2与 n2 不会同时为正，即至少有一个为零。 若p2 = 0, 意味着利润超过了预期的500万。 若n2 = 0, 意味着没有实现500万利润。 总之，“期望利润尽可能达到并超过500万”的目标可 表示为
H ( x1 , x2 ) 0
若可行点x*满足 1. 左方、下方及左下方都没有可行点, 则x*是有效解; 2. 左下方没有可行点，则x*是弱有效解； 3. 左下方没有可行点，但左方或下方有可行点，则x*
是弱有效解但不是有效解。
作业 P115: 1(1), 4(2), 8(建模)
§5.4 多目标规划的解法
T
, fp(x) ,
, gm ( x)T , , hl ( x)T .
§5.2 偏差概念的应用
对于多目标决策问题，遇到非刚性要求的约 束和期望实现的某些目标，可使用偏差的概 念建模，以更好地满足实际问题的要求。
例5.2 甲、乙两种产品均使用设备A和原料B，单位生
产时间分别为7、10小时；对B的单耗分别为2、3吨，
在第一列中选主元素，进行旋转运算，得
c1 >> c2 >> c3 > 0
x1 x2 n1 n2 n3 n4 p1 p2 p3
p4
0 7 1 0 0 2 1 0 0 2
4
0 3 0 1 0 1 0 1 0 1
6
0 4 0 0 1 1 0 0 1 1
3
1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 4
0 4c2 0 0 0 c2 c1 c1 c2 c3 c2 3c2
(3) 引入偏差变量 p2≥0, n2 ≥0, 将对利润的要求表示为
4x1 5x2 p2 n2 500
同理，p2与 n2 不会同时为正，即至少有一个为零。 若p2 = 0, 意味着利润超过了预期的500万。 若n2 = 0, 意味着没有实现500万利润。 总之，“期望利润尽可能达到并超过500万”的目标可 表示为
H ( x1 , x2 ) 0
若可行点x*满足 1. 左方、下方及左下方都没有可行点, 则x*是有效解; 2. 左下方没有可行点，则x*是弱有效解； 3. 左下方没有可行点，但左方或下方有可行点，则x*
是弱有效解但不是有效解。
作业 P115: 1(1), 4(2), 8(建模)
§5.4 多目标规划的解法
T
, fp(x) ,
, gm ( x)T , , hl ( x)T .
§5.2 偏差概念的应用
对于多目标决策问题，遇到非刚性要求的约 束和期望实现的某些目标，可使用偏差的概 念建模，以更好地满足实际问题的要求。
例5.2 甲、乙两种产品均使用设备A和原料B，单位生
产时间分别为7、10小时；对B的单耗分别为2、3吨，
在第一列中选主元素，进行旋转运算，得
c1 >> c2 >> c3 > 0
x1 x2 n1 n2 n3 n4 p1 p2 p3
p4
0 7 1 0 0 2 1 0 0 2
4
0 3 0 1 0 1 0 1 0 1
6
0 4 0 0 1 1 0 0 1 1
3
1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 4
0 4c2 0 0 0 c2 c1 c1 c2 c3 c2 3c2
管理运筹学-管理科学方法：目标规划
目标规划数学模型的一般形式
达成函数
目标约束
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值， 和 为pl 优先因子
对应各目标的权系数。
18
OR:SM
目标规划问题及其数学模型
总结：用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
9
OR:SM
第一节 多目标规划问题
• 线性规划模型存在的局限性： • 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题
4
OR:SM
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
产品 资源
甲
设备A
2
设备B
0
设备C
3
单位利润
3
乙 现有资源
0
16
2
10
4
32
5
解：线规划模型：
maxZ=3x1+5x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
• 根据市场需求/合同规定：
管理运筹学-管理科学方法
第5 章 目标规划
学Sub习tit要le 点
了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 理解目标的优先级和目标权系数 了解目标规划图解法和单纯形法
多目标规划(施光燕第五章)
f1(x1, x2) = 4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均
为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
min (di di－ )
i 1
p
X R s.t f i ( X ) di di－ f i 0 － d 0 ， d i 1，„„，p i 0 i
(3)
可以证明，若(X，d +，d - )是(1－3)的最优解，其
+ 中d +＝(d1 ，„„，d + ) ， d ＝ (d ， „„ ， d p 1 p )，则X是
(2)的最优解。因而可将(3)作为目标规划模型的 一般形式。在此一般形式基础上，还可以建立加权的 或分层的目标规划模型。
第三节 多目标规划解的概念
在单目标规划问题中，任意两个可行方案都可通过比
较其目标函数值来确定其优劣。在所有可行方案中，使目 标达最优的就是最优解。 而在多目标规划问题中，约束集R中的两个方案x1，x2 其优劣往往不能进行比较。这是因为它们的目标值F(X1)与 F(X2)是向量，而向量是无法直接比较大小的。所以，在R 中也往往不存在一个方案对每个目标都是最优的。 X 这种多目标规划问题区别于单目标规划问题的本质表 明，仅仅将单目标问题最优解的概念平移到多目标问题中 是不行的。本章将介绍多目标规划问题各种解的概念及其 相互关系。
V min[ f1 ( X )，„„，f p ( X )] (VMP) i=1，„„，m gi ( X ) 0 或 V min F ( X ) (VMP) X R
《多目标规划》课件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值范围的限制条件，通常表示为决 策变量的不等式或等式。
02
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、技术限制、经
济限制等。
约束条件的处理需要考虑其对目标函数的综合影响，以确定最
03
优解的范围。
决策变量
01 决策变量是规划问题中需要确定的未知数，通常 表示为数学符号或参数。
多目标规划的算法改进与优化
混合整数多目标规划算法
结合整数规划和多目标规划的优点，解决具有离散变量的 多目标优化问题。
进化算法
借鉴生物进化原理，通过种群进化、基因突变等方式寻找 多目标优化问题的Pareto最优解。
梯度下降法
利用目标函数的梯度信息，快速找到局部最优解，提高多 目标规划的求解效率。
多目标规划在实际问题中的应用前景
特点
多目标遗传算法能够处理多个相互冲突的目标函数，提供一组非劣解集供决策者选择。 它具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，适用于复杂的多目标优化问题。
注意事项
多目标遗传算法需要合理设置遗传参数和选择策略，以确保求解的有效性和准确性。
04
多目标规划案例分析
生产计划优化案例
总结词
生产计划优化案例主要展示多目标规划在生产计划方面的应 用，通过合理安排生产计划，降低成本并提高生产效率。
《多目标规划》课件
• 多目标规划概述 • 多目标规划的基本概念 • 多目标规划的常用方法 • 多目标规划案例分析 • 多目标规划的未来发展与展望
目录
01
多目标规划概述
定义与特点
定义
多目标规划是一种决策方法，旨在同 时优化多个目标函数，并考虑多个约 束条件。
特点
多目标规划求解方法介绍
§3.3 多目标规划求解方法介绍
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
一、约束法
1.基本思想：在多个目标函数中选择一个主要目标作为 目标函数，其它目标处理为适当的约束。
(VP)V s.t.
min F (x) gi (x) 0, i
f1 ( x), , 1,, m
f p (x)
T
S x gi (x) 0,i 1,,m
无妨设 f1(x)为主要目标，对其它各目标 f2(x),, f p (x) 可预先
(LVP)
g2 (x) x1 x2 8 0 g3 (x) x1 6 0
g4 (x) x2 4 0
g5 (x) x1 0
g6 (x) x2 0
用约束法求解。设 f1(x) 为主目标。
第一步：分别求解
f1
min s.t.
f1 ( x) xS
得
x(1) (6,0)T
x(1) -30 x(2) 3
f p (x) x S p1
得最优值
f
* p
则 Sp
x
f p (x)
f
* p
Sp1 是在分层序列意义下的最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下的最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一个j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
考虑上述(VP)问题， 为主目标。
fk (x)
第一步： （1）对 j 1,2,, p ，求解单目标问题：
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•多目标线性规划单纯形表(1)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10
如果非基变量在两个目标中的检验数都大于0，当前的基础 可行解是劣解。这个非基变量进基，两个目标都会改善。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(4)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -1 -1 0 -16 z2 0 1 0 0 -5 3 0 0 x2 0 0 0 1 2 -1 0 2 x1 0 0 1 0 -1 1 0 4 x5 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,0,2), z1=16, z2=0是 Pareto解。对应于B点。 •x3进基，x2离基，两个目标同时会变差，回到劣解A。 •x4进基，x5离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解C。
楼层 四层 七层 三层
第五章多目标规划
• 确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进 行归一化处理。最理想的值为1，最不理想的值为0， 将各决策方案的实际目标值转化为0～1之间的值。
最好
最差
实A 际B 指 标C
归A 一B 化C
面积（m2） 200 (1.0) 75 (0.0) 200 180 150 1.0 0.84 0.60
•当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,5,1,5,0), z1=10, z2=8是 Pareto解。对应于D点。
•x1进基，x3离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解C。 •x5进基，x2离基，z1会变差，z2会变差，将回到劣解O。 •已搜索到这个多目标规划的所有Pareto解B点，C点，D点。
•F
•C •B
•O
•A
• 当一个可行解的优化方向集合和可行域的交集为非空时， 两个目标z1，z2可以同时改善，即这样的可行解是劣解。优化方 向集合和可行域的交集为空集时，两个目标函数不可能同时改 善。这样的可行解是多目标规划的Pareto解。图中的可行解 B,C,D是多目标规划的Pareto解。Pareto解集为折线BCD。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(5)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 0 -4 0 1 -14 z2 0 1 0 0 4 0 -3 -6 x2 0 0 0 1 -1 0 1 4 x1 0 0 1 0 2 0 -1 2 x4 0 0 0 0 -3 1 1 2 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。 •x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。 •x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。
产量（吨）
1 1 1 总产量不低于12吨
•利润最大化的线性规划模型为：
•max z=9x1+4x2+x3
•s.t. 4x1+ 2x2+ 5x3≤38
• 2x1+ x2+ 3x3≤25
• 30x1+10x2+20x3≥100
• x1+ x2+ x3≥12
•
x1, x2, x3≥0
耗用原料约束 排放污染约束 销售总额约束 产量约束
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(3)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 0 1/2 0 -3/2 0 -15 z2 0 1 0 5/2 0 1/2 0 5 x3 0 0 0 1/2 1 -1/2 0 1 x1 0 0 1 1/2 0 1/2 0 5 x5 0 0 0 3/2 0 -1/2 1 5 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(5,0,1,0,5), z1=15, z2=-5是劣解。 对应于A点。 •x2进基，x3离基，z1，z2同时改善，进到Pareto解B。 •x4进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，回到劣解O。
产量（吨）
总产量不低于12吨
总产量12吨
•如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解 也将发生变化。变化情况如下表：：
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(3)
允许排放的 产品A产量 产品B产量 产品C产量 最大利润 污染(m3) （吨） （吨） （吨） （万元）
25
7
5
0
83
19
7
5
0
83
18
第五章多目标规划
•多目标规划的例子(2)
•最优解如下表：
产品
条件
最优解
利润（万元/吨）
目标函数，最大化
总利润83万元
耗用原料（吨/吨） 耗用原料不超过38吨 耗用原料38吨
排放污染（m3/吨） 排放污染不超过25m3 排放污染19m3
销售价格（万元/吨） 销售总额不低于100万元 销售总额260万元
• a21x1+a22x2≤b2 • x1, x2≥0
•E
•设以z1为单目标的线性规划
最优解为B，以z2为单目标的
线性规划最优解为D。可行
域内部（不包括边界）的可
行解都是劣解。
•O
•z
2
•D
•z
2
•F
•C
•z
1
•B •z
1
•A
第五章多目标规划
•z2 •D
•C
•目标函数z1和z2
•E
•z2
同时改善的方向
6
6
0
78
17
5
7
0
73
16
4
8
0
68
15
3
9
0
63
14
2
10
0
58
13
1
11
0
53
12
0
12
0
48
11
没有可行解
第五章多目标规划
•利润最大化和排放污染最小化双目标问题的图
示 •最大利润（万元） •8
•排放污染最小和利润最大两 个目标可以同时实现的区域
3
•7
8
•允许排放的污染和
最大利润之间的关系
•7
劣解”或“Pareto”解，
非劣解的两个目标不可 •劣解 •劣解
•两个目标都可能实现的区域
能同时改进。
第五章多目标规划
•多目标规划问题的非劣解和非劣解集
•设多目标规划的可行域为，设其中的一个可行解 X*∈ ，它的K个目标值分别
•
f1(X*) ，f2(X*)， ……，fk(X*)
•如果对于任意的可行解X ∈ ，都至少有一个目标i， 使得
单价（元/m2） 3000 (1.0) 6000 (0.0) 4800 5500 4000 0.400 0.167 0.667
朝向 南 (1.0) 北 (0.0)
南 西
地段 甲 (1.0) 丁 (0.0)
丙 甲
楼层 三层 (1.0) 一层 (0.0)
四层 七层
东
乙
三层
1.0
0.4
0.9
0.4
•
fi(X)>fi(X*)
•则称X*为这个多目标规划的一个Pareto解（也称为非劣 解、有效解）。
•如果一个多目标规划问题有一个以上的Pareto解，这些 Pareto解组成的集合称为Pareto解集。
第五章多目标规划
•Pareto解集的图解
•f(x)
•f1(X) •f2(X)
•xz2的最优 解
•4
•x5= 0
•多目标规划的Pareto•解s.t集. x1+
•C
• 2x1+
x2 x2
≤6 ≤10
• x1+2x2 ≤10
•3
•z •x1=
2 •2 0
•1
•O
•x3= 0
•目标z1的• 最优x1，x2≥0
解
•B
•z1
•x4=
•x2=
0 •A
•0123456
0
第五章多目标规划
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(6)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 2 0 0 0 -1 -10 z2 0 1 -2 0 0 0 -1 -8 x2 0 0 1/2 1 0 0 1/2 5 x3 0 0 1/2 0 1 0 -1/2 1 x4 0 0 3/2 0 0 1 -1/2 5
值Z2A，得到A点。……
用同样的方法得到B点。
•非劣解(Pareto解)
依次进行，得到两个目 •z2B
•B
标之间关系的曲线AB 和相应的区域。
•M •P’
•非劣解(Pareto解)
•区域内部的点N和M称
•N
为“劣解”，劣解的两 •z2A
•P •A
个目标同时可以改进。
曲线AB上的点称为“非
•z1B
•z1A •第一个目标
如果任何一个非基变量在两个目标中的检验数不同时大于0， 这个基础可行解是Pareto解，任何一个非基变量进基，一个 目标将会改善，而另一个目标将会变差。
第五章多目标规划
•多目标线性规划单纯形表(2)
z1 z2 x1 x2 x3 x4 x5 RHS z1 1 0 3 2 0 0 0 0 z2 0 1 -1 2 0 0 0 0 x3 0 0 1 1 1 0 0 6 x4 0 0 2 1 0 1 0 10 x5 0 0 1 2 0 0 1 10 •当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,0,6,10,10), z1=0, z2=0是劣 解，对应于图中的O点。 •x1进基，x4离基，z1会改善，z2将会变差，进到劣解A。 •x2进基，x5离基，z1，z2可以同时改善，进到Pareto解D。