函数的概念及其表示教案
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
函数的概念教案
函数的概念教案函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学建模、物理、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍函数的概念及其相关内容，帮助学生理解和掌握函数的基本知识。
一、函数的定义及表示函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
通常，将原集合中的元素称为自变量，将映射后的元素称为函数值。
函数可以用多种方式表示，常见的有：1. 函数的符号表示：一般用字母 f、g 等来表示函数，自变量用 x、y 等表示，函数值用 f(x)、g(x) 等表示。
2. 函数的图像表示：可以通过绘制函数的图像来表示函数。
将自变量 x 的取值范围确定后，可以根据函数的表达式或函数值计算出函数的函数值，然后绘制函数图像。
3. 函数的表达式表示：可以用代数表达式表示函数。
常见的函数表达式有：多项式、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、函数的性质函数有许多重要的性质，下面介绍其中的几个常见性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而函数的值域是函数值所能取到的范围。
2. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数关于原点对称的性质。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)，即函数图像关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即函数图像关于 y 轴对称。
3. 单调性：函数的单调性指的是函数图像的变化趋势。
递增函数表示函数在定义域内随着自变量的增大，函数值逐渐增大；递减函数表示函数在定义域内随着自变量的增大，函数值逐渐减小。
三、函数的运算在数学中，函数之间可以通过运算生成新的函数。
常见的函数运算有：1. 函数的和、差、积、商：两个函数的和、差、积、商也是一个函数。
2. 函数的复合：给定两个函数 f(x) 和 g(x)，可以将一个函数的输出作为另一个函数的输入，生成新的函数。
复合函数表示为(f ∘ g)(x) 或 f(g(x))。
四、函数的应用函数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用举例：1. 物体的运动：通过函数来描述物体的运动状态，如位置函数、速度函数、加速度函数等。
高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案
高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案教材分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与素养课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
中职教育数学《函数的概念及其表示法》教案
中职教育数学《函数的概念及其表示法》教案一、教学目标1. 理解函数的定义和概念；2. 掌握函数的表示法及其应用；3. 能够用图像和公式表示函数。
二、教学内容函数的概念及其表示法三、教学过程Step 1 引入教师可以通过一个简单的例子引入函数的概念，如身高和体重的关系。
身高是自变量，体重是因变量，通过身高可以确定体重，这就是一个函数关系。
Step 2 函数的定义函数是一种关系，它使一个集合中的每一个元素，都与另一个集合中的唯一一个元素相对应。
函数的定义可以用自然语言描述，也可以用数学符号表示。
Step 3 函数的符号表示函数可以用多种符号表示，包括函数定义域、值域、函数图像、函数公式等。
3.1 函数定义域函数定义域指自变量的取值范围，一般用符号表示。
例如，对于函数y = f(x)，定义域可以表示为x ∈ R。
3.2 函数值域函数值域指因变量的取值范围，一般用符号表示。
例如，对于函数y = f(x)，值域可以表示为y ∈ R。
3.3 函数图像函数图像是用平面直角坐标系表示函数的一种方法，可以直观地观察函数的性质。
通过绘制函数的图像，可以分析函数的单调性、奇偶性等特征。
3.4 函数公式函数公式是用数学符号表示函数的一种方法，通过函数公式可以直接计算函数在特定自变量取值下的因变量值。
例如，y = f(x)可以表示一个函数。
Step 4 函数的应用函数在实际问题中有很多应用，如经济学、物理学、生物学等领域。
教师可以通过一些实际问题引导学生分析和解决问题，培养学生运用函数概念的能力。
Step 5 练习与巩固教师可以设计一些练习题，帮助学生巩固函数的概念和表示法。
例如，给定一个函数的图像或函数公式，让学生确定定义域、值域等。
四、教学资源1. 平面直角坐标系；2. 函数图像绘制工具；3. 练习题。
五、课堂总结在本节课中，我们学习了函数的概念及其表示法。
通过掌握函数的定义、函数的符号表示和函数的应用，我们可以更好地理解和运用函数概念。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
函数的概念及其表示法教案
【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y 的理解； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】}中的任意一个值，有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做动脑思考探索新知() 1,-+∞0，得12 x．因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．0,这个函数与-<x x,0.．但是它们的对应法则不同，因此不是同）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．(C)之间的11月29C）随时间）变化的曲线如下图过 程行为 行为 意图 间曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =．引导 分析 说明说明 启发 引领自我 体会 了解 体会 领悟从函 数的 角度 讲解 公式45*动脑思考 探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.总结 归纳 介绍 说明 举例 说明思考 理解 记忆 观察带领 学生 总结 函数 的三 种表 示方 法并 了解 其各 自的 特点 可以过 程行为 行为 意图 间例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 举例 介绍体会 了解教给 学生 自我 分析 总结 55 *巩固知识 典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6 y /元 0.120.240.360.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函质疑说明强调 引领讲解启发 分析观察 体会 思考 主动 求解 理解 领会通过 例题 进一 步领 会函 数三 种表 示方 法的 特点 突出 图像 的作 法 数形 结合 带领过 程行为 行为 意图 间数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域；（2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格；（3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法． 例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ． 解 （1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x0 1 2 3 4 5 …y11.411.7322.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.强调 归纳 总结 说明启发 引导强调 讲解领会 理解 记忆 了解 思考 求解 理解学生 总结 归纳 函数 的图 像做 法特 别注 意步 骤性 和细 节 演示 过程 中提 醒学 生注 意作 图的 细节70*运用知识 强化练习 教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆提问 巡视 指导动手 求解 交流及时 了解 学生 知识 掌握。
函数的概念及其表示——函数的表示法教案
函数的概念及其表示——函数的表示法【教学目标】1．知识与技能：掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法。
2．过程与方法：培养数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3．情感、态度与价值观：掌握分段函数的概念。
【教学重难点】教学重点：解析法、图象法。
教学难点：作函数图象。
【教学过程】一、复习引入。
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法。
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
例如，2s 60t =，2A r π=，S 2rl π=，2(0)y ax bx c a =++≠，2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
学生的身高单位：厘米学号123456789身高125135140156138172167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。
公共汽车上的票价表。
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
三、例题讲解。
例1：某种笔记本每个5元，买{1,2,3,4}x ∈个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像。
《3.1 函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y ＝f (x )是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f (x )”为y 是x 的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
高中数学教案 第1讲 函数的概念及其表示
第1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.2.同一个函数(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几类函数的定义域：(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A.y＝(x)2B.u＝3v3C.y＝x2D.m＝n2n解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2n和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.(2)已知f(x)＝x＋3＋1x＋2，若f(a)＝133，则a＝.解析：f(a)＝a＋3＋1a＋2＝133，解得a＝1或－5 3 .答案：1或－5 3(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1x－2的定义域为.解析：x2＋2x＋3≥0，－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].答案：[－1，2)∪(2，3]函数的概念1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2xD.f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.反思感悟函数概念的判定方法(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.函数的定义域例1(1)(2024·雅安期末)函数y ＝ln （x ＋1）4－x2的定义域为()A.(－1，2)B.(－1，2]C.(1，2)D.(1，2]解析：A ＋1＞0，－x 2＞0得－1＜x ＜2，所以函数y ＝ln （x ＋1）4－x 2的定义域为(－1，2).故选A.(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是()A.[－5，5]B.－12，2C.[－2，3]D.12，2解析：B函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12，2.故选B.反思感悟函数定义域的求解方法(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(2)求抽象函数定义域的方法：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.训练1(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋|x |x －1的定义域为()A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)B.[－3，1)∪(1，2]C.[－2，1)∪(1，3]D.(－2，1)∪(1，3)解析：Cx 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得－2≤x ≤3且x ≠1.(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为()A.(2，3]B.(－2，3]C.[－2，3]D.(0，3]解析：A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，≤3，即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.函数的解析式例2(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1x )＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f(x＋1x)＝x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0).∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，a＝2，5a＋b＝17，a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.反思感悟函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).训练2(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝.解析：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).答案：x 2－4x ＋3(x ≥1)(2)已知f (x )满足f (x )－2f (1x )＝2x ，则f (x )＝.解析：∵f (x )－2f (1x)＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f (1x )－2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .答案：－2x 3－43x(3)已知f [f (x )]＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝.解析：因为f (x )为一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋b (k ＋1)，因为f [f (x )]＝4x ＋9，所以k 2x ＋b (k ＋1)＝4x ＋9恒成立，2＝4，（k ＋1）＝9，＝2，＝3＝－2，＝－9，所以f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.答案：2x ＋3或－2x －9分段函数求分段函数的函数值例3已知函数f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，则f (3)＝.解析：因为f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，所以f (3)＝f (1)＝f (－1)＝e －1＋1＝1.答案：1分段函数与方程、不等式例4(1)(2024·济宁模拟)已知a ∈R ，函数f (x )log 2（x 2－3），x ＞2，3x ＋a ，x ≤2.f (f (5))＝2，则a ＝.解析：因为5＞2，所以f (5)＝log 2(5－3)＝1≤2，所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.答案：－1(2)(2024·咸阳模拟)已知函数f (x )2x ，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则不等式f (x )＜1的解集为.解析：当x ≤0时，f (x )＝2x ＜1＝20，解得x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝|ln x |＜1，即－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.综上，不等式f (x )＜1的解集为(－∞，0)∪(1e ，e).答案：(－∞，0)∪(1e，e)反思感悟分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.训练3(1)(2024·合肥模拟)已知f (x )e x －2，x ＜4，log 5（x －1），x ≥4，则f (f (26))等于()A.1 5B.1 eC.1D.2解析：C f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1.(2)(2024·唐山模拟)设函数f(x)2＋1，x≤0，x，x＞0.若f(a)＝0，则a＝.解析：当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，a＝1，故实数a的值为1.答案：1限时规范训练(六)A级基础落实练1.(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A.y＝(x＋2)2B.y＝3x3＋2C.y＝x2x＋2 D.y＝t＋2解析：BD函数y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝(x＋2)2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误；对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.2.函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A.(2，＋∞)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：D∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，－2＞0，－3≠0，解得x＞2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3.(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是()解析：ACD对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象.故选ACD.4.(2023·成都期末)已知函数f(x)x＋2），x≤0，x，x＞0，则f(f(－2))＝()A.4B.8C.16D.32解析：C f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C.5.一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝()A.1B.2C.3D.5解析：C设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，2－2k＝0，＋b＝3，解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.6.(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(|x|)＝x3B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x|D.f(|x|)＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误.对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误.对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误.对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.故选D.7.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)x＋1－1，x≥1，log3（x＋5）－2，x＜1，且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝()A.－16B.16C.26D.27解析：C若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m＜1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m ＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.8.(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝f（x）x＋2的定义域是()A.[－2，5]B.(－2，3]C.[－1，3]D.(－2，5]解析：D因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝f（x）x＋2有意义，则5≤x≤5，＋2＞0，解得－2＜x≤5，所以y＝f（x）x＋2的定义域是(－2，5].故选D.9.已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝.解析：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x.答案：x2－2x10.设函数f(x)，x≤0，x，x＞0，则满足f(x＋2)＜f(2x)的x取值范围为.解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x ＞2.综述：x取值范围为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)11.(2024·昆明市第一中学考试)已知f(x＋1)＝1x，则f(x)＝，其定义域为.解析：0，0，解得x＞0，所以f(x＋1)＝1x(x＞0)，令x＋1＝t，则t＞1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝1（t－1）2(t＞1)，所以f(x)＝1（x－1）2(x＞1).答案：1（x－1）2(1，＋∞)12.已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋1－2x的定义域为.解析：2≤2x≤2，－2x≥0，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].答案：[－1，0]B级能力提升练13.(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则()A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R，2x2＋4x＋3f（x）＜2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R，2x2＋4x＋5f（x）＜2解析：B因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6，所以f(x)＝x2＋2x＋2.对于A，C，f(x)＝(x＋1)2＋1≥1，所以f(x)的最小值为1，无最大值，故A，C错误；对于B，2x2＋4x＋3f（x）＝2x2＋4x＋3x2＋2x＋2＝2－1x2＋2x＋2，因为0＜1x2＋2x＋2≤1，所以1≤2－1x2＋2x＋2＜2，即1≤2x2＋4x＋3f（x）＜2，故B正确；对于D，2x2＋4x＋5f（x）＝2x2＋4x＋5x2＋2x＋2＝2＋1x2＋2x＋2，2＜2＋1x2＋2x＋2≤3，即2＜2x2＋4x＋5f（x）≤3，故D错误.故选B.14.(2024·武汉二调)已知函数f(x)＋1，x≤a，x，x＞a，若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，1]C.[0，＋∞)D.(－∞，1]解析：B法一：易知函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域为R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]，故选B.法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x＞a时，2x＞12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除选项A，D；若a＝2，则当x≤a 时，x＋1≤3，当x＞a时，2x＞4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除选项C.故选B.15.设函数f (x )x ＋λ，x ＜1（λ∈R ），x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是.解析：当a ≥1时，2a ≥2，∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立；当a ＜1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案：[2，＋∞)16.设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )x ＋a ，－1＜x ＜0，e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f (92)＝f (32)，则ab的取值范围为.解析：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (92)＝f (12＋4)＝(2)2f (12)＝2e b ，f (32)＝f (－12＋2)＝2f (－12)＝22×（－12）＋a ＝2(a －1).因为f (92)＝f (32)，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈(2e ，＋∞)，故ab的取值范围为(2e ，＋∞).答案：(2e ，＋∞)。
函数的概念及其表示——函数的概念
函数的概念及其表示——函数的概念【教学目标】1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。
2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高。
3．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习。
【教学重难点】教学重点：是理解函数的概念；教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。
【教学方法】激趣法探究法拓展法讨论法自主学习法【教学准备】多媒体课件【教学时间】1课时【教学过程】一、复习与引入。
今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子） 学生举出如xy x x y x y 2,3,12=+=+=等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生。
提问1．3=y 是函数吗？提问2．x y =与x x y 2=是同一个函数吗？ （由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做30+=x y ．）教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．二、新课。
现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始提问）提问3．观察图中的3个对应，你看出它们有什么共同特点？学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对应的共同点。
（板书）函数（一）函数的概念1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈。
《函数的概念及其表示》教学设计
《函数的概念及其表示》教学设计一、内容和内容解析1.内容：函数的概念．2.内容解析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础．学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域，引入抽象符号f x（）．函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x ,数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”和“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念．二、目标和目标解析1.目标（1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念．=（） 的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数．（2）理解y f x（3）在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念．（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性．（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养．三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题．教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性．如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题．教学中，要让学生通过三个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f 的本质．在对三个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养，成为第三个教学问题，这也是本节课的教学难点．教学中可以将三个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念．在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题．教学中，除让学生按函数定义，仿照三个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习．四、教学支持条件分析本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上．五、教学过程设计引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x ,而且对于每一个确定的x 都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与2=xyx是否相同吗？要解决些问题，就需要进一步学习函数概念．（一）函数概念的抽象问题1：请同学们根据如下情境回答问题．某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？（2）如果有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？（3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，并提醒学生先不要看教科书．学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范．设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述．问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？（3）你能仿照问题1中对S与t 的对应关系的精确表述，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表述吗？追问：问题1和2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动：学生阅读题目后，自主回答．设计意图：问题（1）是引导学生使用不同表示方法，例如表1的形式：表1解析式w=350d ；等等．问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力．通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题．问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I 与t 的对应关系吗？图1师生活动：给学生适当时间阅读思考，有些学生可能认为 I 不是时间 t 的函数，对此可进行如下追问．追问：（1）你能根据图1找到中午12时的AQI 的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值t ，都有唯一确定的AQI 的值与之对应，所以，我们可以根据初中所学的函数定义，得出I 是t 的函数，而且还可以断定I 的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围．如果我们设I 的取值范围是C ，那么从图中可以确定，33 0150C B I I ⊆=｛|＜＜｝．这样，我们可以把I 与t 的对应关系描述为：对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图1中曲线所给定的对应关系，在数集3B 中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应，因此I 是t 的函数．设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的．实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射．为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点．这里，只要学生能够理解I 是t 的函数，并能够接受这种描述方式就可以了．问题4：上述问题1到问题3中的函数有哪些共同特征？由此你概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分思考的时间，可以给出表2帮助学生思考，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程．表2教师引导学生得出：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y f x∈．=（），x A设计意图：让学生通过归纳三个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念．在此过程中，要突破“如何在三个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点．(二)函数概念的初步应用问题5：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习．设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三要素．（三）区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设a，b 是两个实数，而且a＜b．我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a，b），（a，b］．这里的实数a 与 b 都叫做相应区间的端点．这些区间的几何表示如表3 所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．表3实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．如下表，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］，（－∞，b）．（四）函数的三要素问题6：如何判断两个函数相等？问题１和问题２中函数的对应关系相同，你认为它们是同一函数吗？由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题１和问题２中，尽管两个函数的对应关系都是 y = 350x ，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R ，而是R 的真子集，因此它们与正比例函数 y = 350x （x ∈R ）也不是同一个函数．问题7：函数2u t =，()t -∞+∞∈，，2s r =，()r ∈-∞+∞，与2y x =，()x ∈-∞+∞，，是同一个函数吗？虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．例1 下列函数中哪个函数与函数 y = x 是同一个函数？（1）2y =；（2）u =（3）y =（4）2n m n=． 师生活动：先由学生思考，之后教师示范（1）：2y x ==（|0x x x ∈｛≥｝），它与函数y = x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与y = x （x ∈R ）不是同一个函数．学生练习（2）～（4）．设计意图：进一步强化学生明确函数的三要素，抓住函数的本质．例2 已知函数12f x x =+（）． （1）求函数的定义域； （2）3f -（），23f （）的值． （3）当0a ＞时，求f a （），1f a -（）．分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y f x=（） ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域指能使这个式子有意义的实数的集合．解：（1有意义的实数x的集合是| 3x x-{≥}，使分式12x+有意义的实数x的集合是| 2x x≠-｛｝．所以，这个函数的定义域是| 2|23 3|x xx x xxx≠-=--≠-｛｝≥，且｛{≥}｝．即322+---[，）（，∞）．（2）将-3与23代入解析式，有1(3)132f+==---；2133238823f+==（）=（3）因为0a＞，所以f a（），1f a-（）有意义．12f aa=+（）；111121f aa a-=-++（）．练1 求下列函数的定义域：（1）147f xx=+（）；（2）1f x=（）．解：使分式147x+有意义的实数x的集合是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭．所以，这个函数的定义域是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭，即77+44---（∞，）（，∞）．（2x的集合是| 1x x{≤}有意义的实数x 的集合是| 3x x-{≥}，所以，这个函数的定义域是| 1 | 3 31|x xx x x x--={≤}{≥}≤｛≤｝．即31-[，]．练2 已知函数332f x x x =+（）． （1）求2f （），2f -（），2+2f f -（）（）的值； （2）求f a （），f a -（），+f a f a -（）（）的值． 解：（1）将2代入解析式，有32322228f =⨯+⨯=（）； 将-2代入解析式，有32322228f -=⨯-+⨯-=-（）（）（）； 2+228+280f f -=-=（）（）（）．（2）333232f a a a a a =⨯+⨯=+（）； 333232f a a a a a -=⨯-+⨯-=--（）（）（）；33+32+320f a f a a a a a -=+--=（）（）（）．练3判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）1f x =（）和0gx x =（）． 解：（1）21305h t t =-（|026t t t ∈｛≤≤｝），它与函数21305y x x =-（x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数；（2）1f x =（）（x ∈R ）和01g x x ==（）（|0x x x ∈≠｛｝）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数．（五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容．师生活动：教师进行总结．要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征，特别是对于“A 中任意一个数”“ B 中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会；（3）对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验；等等．设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解．（六）布置作业教材72页——习题3.11．复习巩固1，2，4．2．综合应用10．六、目标检测设计1．近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．（1）臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是；（2）上述函数的定义域是；值域是．设计意图：考查学生对函数三个要的认识，巩固函数概念．2．习题3.1第8题．设计意图：考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力．。
函数的概念及其表示第一课时参考教学方案
《函数的概念及其表示（第一课时）》教学设计1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念．教学难点：函数概念及符号“y＝f(x)，x∈A”的理解．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本第60页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：（1）本章将要研究函数的概念、性质及其应用；（2）函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础；（3）起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世界中各种各样的运动变化规律．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、问题导入问题2：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x．（1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？师生活动：学生先回忆初中所学的函数概念，分析：在这个变化过程中，有两个变量x 与l，并且对于x的每一个确定的值，l都有唯一确定的值与其对应，那么l是x的函数．预设的答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．设计意图：用学生熟悉的例子导入，唤醒学生已有的知识经验—基于变量关系的函数定义，但是用初中的定义又不能清晰地解决问题（2），制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数概念．（板书：函数的概念）三、新知探究1．分析实际问题，感知函数的共同特征，逐步发现构成函数的要素问题3：阅读材料，回答问题：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．（1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？师生活动：问题（1），学生判断并说明理由，因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数；问题（2），学生可能会出错，老师应该引导学生关注时间t的变化范围．追问1：能否根据现有条件回答“24h时对应的距离是多少？”为什么？（不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．）追问2：这个说法犯了什么错误？（忽略了时间t的变化范围．）追问3：你认为如何描述才能准确反映实际问题？（在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．）教师点拨：学生的回答可能不够严谨，老师用精确的语言描述问题2中S与t的对应关系．为学生做示范：列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是S＝350t．①其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S 和它对应．设计意图：通过创设问题情境，让学生意识到除了关注对应关系之外，还必须明确自变量的取值范围也是函数的一个重要构成要素，提升了对函数概念的认识．问题4：阅读材料，回答问题：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？（3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题．师生活动：（1）学生直接回答：w＝350d，w是工作天数d的函数．（2）学生判断并说明理由．不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．（3）学生描述：工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．②其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．设计意图：问题4与问题3的解析式相同但是定义域不同，是离散型函数．让学生模仿问题3给出描述，并且对两者进行比较，使学生进一步体会关注自变量的取值范围的重要性．问题5：阅读材料，回答问题：图1图1是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）I是t的函数吗？为什么？（2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题．师生活动：学生独立完成有困难，教师通过追问帮助学生思考．追问1：①通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？（在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．）②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？（不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．）预设的答案：从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．设计意图：问题5是用图象表示的函数关系，通过这个例子强化学生对图象类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．问题6：阅读材料，回答问题：表 1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况设计意图：用新的方式阐述熟悉的函数，使学生熟悉新的语言，进一步体会集合—对应说函数定义的精确性和普适性．例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k ≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述．师生活动：先让学生思考，展示其想到的不同情境．预设的答案：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．设计意图：一个解析式对应多种问题情境，让学生感受函数能解决一类问题的作用，让学生感受函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型．四、归纳小结，布置作业问题8：本节课我们主要学习了函数的概念，为什么要重新学习函数的概念？用“集合—对应说”下的函数概念分析一个函数要关注哪几个要素？这些要素的特点是什么？与初中的函数概念相比，要特别注意哪个要素？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：初中所学的函数概念主要关注的是变量之间的依赖关系，对自变量的变化范围缺乏约束，在应用中容易产生误判．采用“集合—对应说”之后，同时关注函数的定义域、对应关系和值域．其中对应关系是核心，有如下特征：对于定义域中任意实数在值域中都能找到唯一的实数与之对应．但对应关系的形式多样，除了解析式，还可以是图象，表格，文字语言等．与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确“集合—对应说”的意义，更加深刻地认识到函数的内涵．作业布置：教科书习题3.1第1，3题．五、目标检测设计1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到底面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为：h＝130t－5t2．①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述．设计意图：考查函数的概念．2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图2所示．图2（1）函数的对应关系为图中曲线，求该函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．设计意图：考查对应关系是图象的函数的要素以及图象与解析式的互相转化．3．集合A，B与对应关系f如下图3所示：图3f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？设计意图：考查对应关系是venn图的函数的要素，让学生明确函数的对应关系的多样性．4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝x来描述．设计意图：考查用函数解决实际问题的能力．参考答案：1．定义域为A＝{t|0≤t≤26}，值域为B＝{h|0≤h≤845}．对应关系h＝130t－5t2把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数130t－5t2．2．（1）如果记2016年11月2日8时为0，依次下去，11月3日8时为24时，那么函数的定义域为A＝{t|0≤t≤24}，值域为B＝{S|2≤S≤12}．（2）约9.33 ℃．3．是函数，定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2，3，4，5}，对应关系f为问题中给出的图．4．那么可以构建如下情境：例如设正方形的面积为x，边长为y，那么y＝x．其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x≤25}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤5}．对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长y．。
高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典
§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。
函数的概念说课教案8篇
函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。
函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
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函数的概念及其表示
【知识点分析及例题】 一、函数的概念
1、函数的定义
一般地：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称
():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈.
注意：函数概念中的关键词
(1) A ，B 是非空数集.若求得自变量取值范围为∅，则此函数不存在． (2)任意的x ∈A ，存在唯一的y ∈B 与之对应. 2. 函数的定义域、值域
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域.
3. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 注：常见定义域的取值范围
（Ⅰ）关系式为整式或齐次根式时，函数定义域的取值范围为全体实数； （Ⅱ）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （Ⅲ）关系式含有偶次根式时，被开方数大于等于零；
（Ⅳ）关系式中含有零指数幂或负指数幂的式子时，底数不等于零；
（Ⅴ）实际问题中，函数定义域的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义.
4. 相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据.
5. 区间的概念
设,a b 是两个实数，而且a b <.我们规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b . （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b . （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b ，(,]a b .
这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数R 可以用区间表示为(,)-∞+∞.“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <，的实数x 的集合分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞，(,]b -∞，(,)b -∞.
二、函数的表示
1、函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.
（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).
2、求函数的解析式的方法
（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.
（2）换元法: 适用于已知(())
f g x的解析式,求()
f x.
（3）消元法: 适用于同时含有()
f x和
1
()
f
x
，或()
f x和()
f x
.
3、分段函数
当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数．
注意：分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数．
4、映射的概念
设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 与之对应，那么就称对应
():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。
注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是非空数集. 【例题】
类型一：函数与映射概念考查
例1、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
例2
、 判断以下是否是函数：
（2）542-=x y ；（3）x y ±=；（4）x x y -+-=23；（5）922=+y x
例3、下列是映射的是（ ）
图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、 类型二：相等函数
例4、下列各对函数中，是相等函数的序号是________．
①f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ②f (x )＝(2x ＋1)2
与g (x )＝|2x ＋1| ③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z)与g (n )＝2n －1(n ∈Z) ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 类型三：求函数定义域
例5、求下列函数的定义域
①2
3
-+
=x x y ； ②1-=x x y ； ③12--=x x y ； ④1321)(-⋅-=x x x f ；
(A)
⑤0)3(2
1
)(-+-=x x x f ； ⑥2)(2-+=x x x f .
例6
、已知函数1()2
f x x =+. (1)求函数的定义域. （2）求(3)f -,(6)f 的值.
(3）当0a >时，求()f a ,(1)f a -的值.
类型四：求函数值域
例7、求下列函数的值域.
（1
）1y =（观察法） （2）246,[1,5]y x x x =-+∈（配方法）
（分离常数法） （4
）y x =+
类型五：抽象函数的定义域
1、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
3
x
y x =
-
2、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3、已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4、已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例8、已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
例9、函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A. B. C. D.
例10、若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
类型六：求函数解析式
例11、（1）已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式；
（2）已知f (x )满足x x
f x f =+)1
(2)(，求)(x f .
（3）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．
例12、已知f (x )是－次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )，
f (x ＋1)的解析式．
类型七：分段函数问题
例12、已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
（1）求1
(3),(),(5)2
f f f -的值.（2）若()3f x =，求x 的值.
例13、已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ＋2 x ≤0
－x ＋2 x >0，不等式f (x )≥x 2的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
例14、如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点
B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y.
(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f(x)；(2)画出y ＝f(x)的图象；(3)若△APB 的面积不小于2，求x 的取值范围．。