流体力学第九章

kM a1 a3 L3a1 a2 a3 a4 a5 a2 a3
则
a1 a3 1 3a1 a2 a3 a4 a5 1 a2 a3 2
方程三个，未知数5个。
如取： a3 1, a5 1 则： a1 2, a2 3, a4 0
二、量纲和谐性原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量 纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个 物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一 致的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样， 以能量方程为例：
p v2 z C g 2 g
方程左边各项的量纲从左到右依次为:
4 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个 数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的 综合物理量，如前面讲过的相似准数。
1 vl LT L [Re] 2 1 1 LT
y L [ ] 1 L
3
基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量 （基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者 通过某种关系导出，前者互为独立的物理量。基本量 个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括全部 基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。
如、v 、l可以构成一组基本量，包含了L 、M 、 T这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因 为不包含基本量纲M。
第九章 相似原理与量纲分析法
流体力学研究方法：
⑴数学分析法：
写出反映流体运动的各物理量间的关系微分方程式，并 根据初始条件和边界条件对其求解，求得各量之间的规 律性关系。 ①数学手段→物理量，化学量间关系+单值性条件→理论解 ②提供理论依据：如伯努利方程→V 、P 、Q ③求解流体动力学问题有限： i）因流体流动现象很复杂，难以用微分方程描述； ii）即使能建立微分方程式，但难以确定初始条件和边界条 件，故无法求解。
示例：管内层流运动的压力损失
设与ρ，u，d，μ，l 有关，则
P k a u a a d a l a
1 2 3 4
5
（等温流动）
1 1 a3 a4 a5
ML k M L L ML L L
1 2 3 a1 1 a2
Vd l P k V d l k ( ) V 2 d l k Re V 2 d
2 3 1 0 1
P l l k Re 或 Eu k Re 2 V d d
如取： a3 1, a5 1
则：a1 0, a2 1, a4 2 l k l 0 1 1 2 2 2 P k V d l k ( ) V V 2 Vd d Re d
③有时只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象 本质，往往需用数学解析法来验证。
粘性流体基本方程组求解非常困难，在解决
实际问题时都要加以简化，但简化不能是随意
的，需要有一定的规则，简化之后的解是否符
合实际必须通过实验验证。但通常由于影响因
素很多，如果安排实验才能合理地反映流动规 律？模型实验如何进行？实验结果有多大推广 价值？如果根本没有方程时又如何处理？ …… 需要有理论加以指导。
L
ML1T 2 L 3 2 ML LT L2T 2 L 2 LT
三、雷利法（Rayleigh
源自文库
,1899年）
1）将影响流动过程的n个物理量的隐函数,写成幂函数形式：
an1 a1 a2 xn k x1 x2 xn 1
2）用基本量纲表示各物理量; 3）根据量纲和谐原则，方程两边基本量纲的指数应相等， 即构成指数应满足的方程（4个方程） 4）当n≤4时可直接求解，当n＞4时，有n-4个指数待定; 5）适当选择待定指数构造出准则数。

基本量纲： 长度 [L]、时间 [τ]、质量 [M]、温度 [T]
导出量纲：

力 [MLτ-2]、 压强 [ML-1τ-2]、 动力粘度 [M L-1τ-1]、 运动粘度 [L2τ-1]、 密度 [Mτ-3]、 速度 [Lτ-1]、 加速度 [Lτ-2]、 导热系数 [Mτ-3T]、 比热 [L2T-1τ-2]，……
64 l V 2 P Re d 2
对比理论结果：
可知： k 32
四、定理（Buckingham ,1914年）
1）列出影响因素：n个物理量，写成隐函数形式：
⑵实验法：
通过物理模拟实验寻求流体运动时，各量之间存在规律性。 对想象或进行的过程→观察、测量、分析→寻求各量之间 关系、分析、研究、加工→关于这个现象的内在规律→ 近似。 ①实验法很有局限性：实验结果只能用于特定的实验条件 或推广到与实验条件完全相同的现象中去。 ②由于设备条件限制（T、P过高，尺寸过大），使直接实 验难以进行。
§9-1 量纲分析法

量纲分析法将物理现象所涉及的物理量组成无
量纲综合量，利用定理使无量纲综合量构成 函数关系。

它反映了物理量之间的内在规律，并使待求的 函数的自变量数目减少到最低。

量纲分析法分析简明，抓住问题实质，能大大
减少试验次数，并有效简化实验条件。
一、量纲分析的基本概念
1 量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高 度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来 度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度 量纲），用L表示。 2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有 三个基本量纲：长度量纲L，时间量纲T，质量量纲M 导出量纲由基本量纲组合表示，如 加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT