计算方法期中测试(二)答案

期中测试（下）

班级： 姓名： 学号： 分数：

一、填空题（20分）

1、

计算积分1

⎰

,取4位有效数字。

2、5个节点的牛顿-

3、求积公式

0()()b

n

k k k a

f x dx A f x =≈∑

⎰

4、数值积分公式

()1

1

()29[(1)8(0)(1)]f x dx f f f -'≈-

++⎰

5、求解一阶常微分方程初值问题00(,),()y f x y y x y '==的改进欧拉公式为

二、选择题（6分）

1、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 2、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型

B ． 观测

C ． 截断

D ． 舍入 3、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。

A ．控制舍入误差

B ． 减小方法误差

C ．防止计算时溢出

D ． 简化计算 4、求解初值问题00(,),()y f x y y x y '==欧拉法的局部截断误差是( A )；中心欧拉法的局部截断误差是( B )； 改进欧拉法的局部截断误差是( B )；四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( D )

A. 2()O h

B. 3()O h

C. 4()O h

D.

5()O h 三、计算题（64分）

1、（10分）试分别推导复化梯形和复化辛普森求积公式。 证明：以积分

()b

f x dx 为例。将积分区间[,]a b 做n 等分，步长()/h b a n =-。

2、(10分) 求A 、B 使求积公式1

1

()[(1)(1)][(0.5)(0.5)]f x dx A f f B f f -≈-++-+⎰

的代数精度尽量高, 并求其代数精度；

利用此公式求2

1

1

I dx x

=

⎰

(保留4位小数)。 解：2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

3、(12分) 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分2

201

I dx =

⎰的近似值（保留4位小数）。

0861953.=~=0.8620

4、(12分) 用龙贝格方法计算积分

2

1

x e dx -⎰

的近似值（误差满足310ε-=，保留4位小数）。

T 1 T 2 T 4

T 8

S 1 S 2 S 4

C 1 C 2

R 1

解：T = 0.7468

R = 0.6839 0 0 0.7314 0.7472 0 0.7430 0.7469 0.7468

9'12'15'

16'

5、(20分) 对于一阶微分方程初值问题2(0)1

y x y

y '=-⎧⎨

=⎩，取步长02.h =，分别用Euler 预报－校正法和经典的四阶龙格--库

塔法求02(.)y 的近似值。（在用经典的四阶龙格—库塔法求解时请写出1234,,,K K K K 的表达式及值）

解：Euler 预报－校正法

四、选做题（10分） 用显式欧拉方法求2

()x

t y x e dt -=

⎰

在点0.5x =处的近似值（取步长h=0.1）。

解：

⎰-=x t t

x y 0

d e )(2

等价于

()()()⎡⎤=++⎢⎥

⎣⎦

∑22n-1

n k k=1h T f a f x f b =+∑n-1

k=0

1()

2212

2n n k+h T T f x

⎪⎩⎪⎨⎧=='-0)0(e 2

y y x (0>x )

记2

e ),(x

y x f -=,取0123450.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5.h x x x x x x =======

则由欧拉公式

⎩⎨

⎧=+=+0)

,(01y y x hf y y n n n n , 0,1,2,3,4,5n =

可得 0.4717

五、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

一、用龙贝格求积公式计算积分1

204

1I dx x =

+⎰的近似值，要求收敛精度0.0001ε=

2

1211214224 ()11) (0)4,(1)2

1

((0)(1)) 3

2

2) (0.5) 3.211

(0.5) 3.1

2241

= =3.13333

33

3) (0.25) 3.76471,(0.75) 2.56

11

((0.25)(0.75)) 3.13118

244 = 3f x x f f T f f f T T f S T T f f T T f f S T =

+===+===+=-===++=解：设421218448421

=3.14157

3161

= =3.14212

1515

4) (0.125) 3.93846,(0.375) 3.50685,(0.625) 2.8764,(0.875) 2.26549

11

((0.125)(0.375)(0.625)(0.875)) 3.13899

2841

= =3.1415933

1 = T C S S f f f f T T f f f f S T T C --=====++++=-421211684261

=3.14159

1515641

==3.14158

6363

5) 3.14094,=3.14159,=3.14159,=3.14159

S S R C C T S C R --=