【解析版】天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)试题

天津新华中学2012－2013学年度第一学期高三年级第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ，若=A B B ，则c 的取值范围是A. (0,1]B. [1,+)∞C. (0,2]D. [2,+)∞【答案】D【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为AB B =，所以A B ⊆.所以1c ≥，即[1,)+∞，选B.2. 已知命题:"[1,2],-0"2p x x a ∀∈≥，命题:"R,+2+2=0"2q x x ax -a ∃∈使，若命题“p q 且”是真命题，则实数a 的取值范围是A. {|-2=1}a a a ≤或B. {|-2}a a ≤C. {|-22}a a a ≤≤≤或1D. {|-21}a a ≤≤ 【答案】A【解析】由20x a -≥，得2,[1,2]a x x ≤∈，所以1a ≤.要使q 成立，则有244(2)0a a ∆=--≥，即220a a +-≥，解得1a ≥或2a ≤-.因为命题“p q 且”是真命题，则,p q 同时为真，即112a a a ≤⎧⎨≥≤-⎩或，即2a ≤-或1a =，选A.3. 已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为 A. 2 B. －1 C. －1或2 D. 0【答案】B【解析】因为函数为幂函数，所以211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-.因为幂函数在(0,)+∞，所以530m -->，即35m <-，所以1m =-.选B.4. 已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为【答案】A【解析】当0x =时，(20)(2)1y f f =-==,排除B,C,D,选A.5. 给定函数①12=y x -，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为 A. 0 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个【答案】C【解析】①为幂函数，102-<，所以在(0,1)上递减.②223333()24x x x -+=-+，在(0,1)上递减，所以函数23+3=2xx y -在(0,1)，递减.③1122log 1log 1y x x =-=-，在(0,1)递增.④sin 2y x π=的周期，4T =，在(0,1)上单调递增，所以满足条件的有2个，选C. 6. 设3=2a log ，=2b ln ，12=5c -，则A. <<a b cB. <<b c aC. <<c a bD. <<c b a【答案】C【解析】321l o g 2l o g 3=，21ln 2log e =，12155-=。

因为2252log 3log 0e >>>>，所以221110log 3log 5e<<<，即c a b <<。

选C. 7. 函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数【答案】D【解析】函数(1)f x +，(1)f x -都为奇函数，所以(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x -=---，所以 函数()f x 关于点(1,0)，(1,0)-对称，所以函数的周期4T =，所以(14)(14)f x f x -+=---+，即(3)(3)f x f x +=--+，所以函数(3)f x +为奇函数，选D.8. 设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于A. 13B. 5C. 223c +2c D. 222b +2b【答案】B【解析】做出函数()f x 的图象如图，要使方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根，结合图象可知，()1f x =，所以三个不同的实数解为0,1,2，所以2221235x x x ++=，选B.二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）把答案填在题中横线上. 9. 若121()=log (2+1)f x x ，则()f x 的定义域为 .【答案】1(,0)2-【解析】要使函数有意义，则有12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，即12211x x ⎧>-⎪⎨⎪+<⎩，所以解得102x -<<，即不等式的定义域为1(,0)2-. 10. 已知(+1)=1f x x -，则()=f x （x ∈ ）. 【答案】2()2f x x x =-，[1,)x ∈+∞ 【解析】令1t x =+，则1t ≥，2(1)x t =-，所以22()(1)12f t t t t =--=-，所以2()2f x x x =-，[1,)x ∈+∞.11. 函数212()=log (-2-3)f x x x 的单调递减区间为 .【答案】(3,)+∞【解析】令223t x x =--，则12log y t =在定义域上为减函数.由2230t x x =-->得，3x >或1x <-，当3x >时，函数223t x x =--递增，根据复合函数的单调性可知，此时函数()y f x =单调递减，所以函数的递减区间为(3,)+∞.12. 已知函数2=+-1+2y x ax a 的值域为[0,+)∞，则a 的取值范围是 . 【答案】423a ≥+或423a ≤-【解析】令2()12t g x x ax a ==+-+，要使函数y t =的值域为[0,)+∞，则说明[0,){()}y y g x +∞⊆=，即二次函数的判别式0∆≥，即24(21)0a a --≥，即2840a a -+≥，解得423a ≥+或423a ≤-，所以a 的取值范围是423a ≥+或423a ≤-.13. 已知x R ∀∈，(1+)=(1-)f x f x ，当1x ≥时，()=(1)f x ln x+，则当<1x 时，()=f x . 【答案】ln (3-x)【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知函数关于1x =对称，当1x <时，21x ->，所以()(2)l n [(2)1]lf x f x x x =-=-+=-. 14. 定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如4x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(0,2)【解析】因为函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，所以(1)(1)1(1)f f m --=--，即关于x 的方程21x mx m -++=，在(1,1)-内有实数根，即210mx mx m -+-=，若0m =，方程无解，所以0m ≠，解得方程的根为11x =或21x m =-.所以必有111m -<-<，即02m <<，所以实数m 的取值范围是02m <<，即(0,2).三、解答题：（本大题共4小题，共44分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分10分）已知(+1)(2-)0x x ≥的解为条件p ，关于x 的不等式222+-2-3-1<0(>-)3x mx m m m 的解为条件q . （1）若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围. （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围. 16. （本小题满分10分）已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x +mx -x,y x+y =≤≤，若AB ⋂是单元素集，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，()0f x <又(1)2f =-.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）求()f x 在区间[－3,3]上的值域；（4）若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围. 18. （本小题满分12分）对于函数()f x 若存在0x R ∈，00()=f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知2()=(1)-1(0)f x ax b x b a +++≠（1）当=1,=-2a b 时，求函数(f x ）的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若=()y f x 图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．【试题答案】一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D ABACCDB二、填空题： 9. 1(-,0)210. 2-2x x ，[1,+)∞ 11. (3,+)∞12. 4+234-23a a ≥≤或 13. ln (3-x) 14. (0,2)三、解答题：15. 解：（1）设条件p 的解集为集合A,则2}x -1|{x ≤≤=A 设条件q 的解集为集合B,则1}m x 1--2m |{x +<<=B 若p 是q 的充分不必要条件,则A 是B 的真子集13211221>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-<-->+m m m m （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件, 则B 是A 的真子集0323211221≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-≥--≤+m m m m16. 解：A B ⋂是单元素集[]3,0,3y x x ∴=-∈与21y mx x =-+-有一个交点即方程2(1)40m x x-++=在[]0,3有一个根，0(1)1032m ∆=⎧⎪⎨+≤≤⎪⎩ 解得3m =(2)(0)(3)f f ⋅< 解得103m >(3)若0x =，方程不成立(4)若3x =，则103m =，此时方程213403x x -+=根为3x =或43x = 在[]0,3上有两个根 ，不符合题意 综上103m >或3m = 17.（1）解：取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数.18. 解：（1）2,1-==b a 时，3)(2--=x x x f ，3,1032)(2=-=⇒=--⇒=x x x x x x f∴函数)(x f 的不动点为－1和3；（2）即x b x b ax x f =-+++=1)1()(2有两个不等实根，转化为012=-++b bx ax 有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立即10044)4(0)1(422<<⇒<⨯--=∆⇒>--a a a b a b ，a ∴的取值范围为10<<a ； （3）设),(),,(2211x x B x x A ，则abx x -=+21， A ，B 的中点M 的坐标为)2,2(2121x x x x ++，即)2,2(aba b M - B A 、 两点关于直线1212++=a kx y 对称，又因为A ，B 在直线x y =上，1-=∴k ，A ，B 的中点M 在直线1212++=a kx y 上.aa a a a ab a b 121121212222+-=+-⇒=++=∴， 利用基本不等式可得当且仅当22=a 时，b 的最小值为221.。