波利亚解题理在中学数学解题中应用论文
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。
本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。
初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。
数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。
”这种“解题”不同于“题海战术”。
他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。
[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。
笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。
为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。
[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学
研究浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学夏国海柳瑛摘要：重视解题教学是中国数学教育的特色之一，但由于应试教育和功利性的竞赛导致如今的解题教学产生了教学枯燥无味、大搞“题海战术”等现象的存在。
而波利亚解题思想在世界上的影响极其深远，它所蕴含的丰富的数学思想对于学生的数学学习有着巨大的积极作用。
因此，如何在波利亚解题思想的基础上改进一线数学教师的解题教学，这是值得深思的问题。
关键词：波利亚；解题思想；高中数学；解题教学一、波利亚解题思想与解题教学（一）波利亚解题思想波利亚（George Polya，1887-1985），世界上著名的数学家和数学教育家，在数学领域内有着颇为精深的造诣。
他的解题思想主要体现在其代表作《怎样解题》一书中，该书主要内容基本上是围绕“怎样解题”表而展开，“怎样解题”表把解题分为了“了解问题”“拟定计划”“实行计划”和“回顾”四个步骤。
这是按照正常人解决问题时思维的自然过程而划分的，其中最关键和最核心的环节是“拟定计划”。
“怎样解题”表不仅说明应该如何去解决具体的数学问题，而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法，包括化归与转化的思想、归纳与类比的思想、一般与特殊的思想等等。
化归是数学中最常用的方法之一，即通过适当的转化过程，把需要解决的问题归为一类以及已经解决或能够轻松解决的问题，进而解决原始问题。
关于归纳与类比、一般与特殊两种思想方法，波利亚在《数学与猜想》第一卷中都进行了详细的阐述。
其中类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊或一般到一般的思想方法；而归纳则是从特殊到一般，它是从具体的、特殊的事物中去探索其存在的规律，然后得出这类事物存在的普遍规律。
因此，归纳与类比、一般与特殊两种思想方法往往是同时运用的。
（二）解题教学解题，在数学领域里的解释就是求出数学题的答案，这个答案也可以称之为“解”。
解题教学的基本含义就是通过典型数学题的数学，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。
基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析-教育文档资料
基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析1.何为波利亚解题模型在近代，产生了许多解题模式，主要有早期桑代克所提倡的“试误说”，到美国出名教育家杜威提出的阶段解决模型，最后是心理学家皮亚杰的认知心理模型。
虽然这些研究对于教师认识学生的认知问题有严重意义，但数学问题相较于其它学科有自己独到的学科特点，还应当详尽问题详尽分析，上述解决模式并不一定能够完全适用于数学解题过程中。
因此随着科学分类研究的日益细化，也产生了许多学科数学的相关研究包括数学解题模型在内，其中影响最为深刻的当属波利亚解题模型。
波利亚解题模型是波利亚的经典书目《怎样解题》中的严重理论，他将该模型分为四个部分：第一，看到数学题目时应先理清题目思路，看清题目的已知、未知还有所求问题；第二，分析题目的各个要素包括已知、未知、问题之间的相互联系，找到解题的方向所在，形成基本的解题策略；第三，将解题策略详尽运用于数学题目中；第四，对整个解题过程包括理解题目、思路的形成、计划的执行检验评价。
2.波利亚解题模型在高中数学解题中的详尽运用波利亚的解题模型的严重思想除了包括上述的四个部分，还包括更加细密的四个模型，分别是双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。
这四种解题模式被更多的运用于数学实际解题过程中。
（1）双轨迹模式双轨迹模式要运用两条轨迹来解题，类似于换位思考的思想。
譬如我们确定三角形ABC，已知为边a、点B、点C，未知为点A，问怎么确定点A。
换种方式理解我们发现，点A即是以点B为圆心、以边c为半径的圆和以点C为圆心、以边b为半径的圆的交点。
这里就把问题归结为一个点，再把已知的条件转换成两个部分，每一个部分都可以看成是点的轨迹，结论即在两条轨迹的交点处。
（2）笛卡尔模式笛卡尔在数学的解析几何方面做出了严重贡献，在解决数学问题的过程中也形成了独到的数学思想。
他认为，所有的数学问题都可以转换成代数问题进行解决，而所有的代数问题又可以转换成解方程的思想。
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用摘要：波利亚的解题思想集中体现在“解题表”中。
本文以该思想为理论基础，以一元一次方程实际问题为载体，研究了在一元一次方程实际问题中，如何按照波利亚的解题步骤进行解题，即如何理解题目、如何拟定方案、如何执行方案、如何回顾反思。
希望以此为基础，对初中方程的解题教学起到一定的借鉴意义。
关键词：波利亚；解题思想；解题表；一元一次方程一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。
”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。
他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。
因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。
”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面。
使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。
他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。
具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要的纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，它是教学的重点，也是教学的难点。
掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。
刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。
一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。
波利亚解题辨析论文
波利亚解题辨析论文徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加大力度传播波利亚思想．有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是客观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训练与题海战术有很大区别．一、训练的目的不同“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”．因此，波利亚把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与建议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问题和建议都与它有关．”“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题过程中典型有用的智力活动做进一步解释．全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能．二、训练的方式不同“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中．过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的贡献．“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知数是什么已知数是什么条件是什么这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果．波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式是绝然不同的．波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法．波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．怎样教猜想怎样教合情推理没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力．这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．三、能力培养的效果不同应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的．在数学学科中，能力指的是什么波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法”的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程．事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道与它有关的问题吗你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题你是否见过形式稍微有不同样的题目你能改述这题目吗你能不能用不同的方法重新叙述它你能不能想出一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题你能否解决这道题的一部分你能不能从已知数据导出某些有用的东西能不能想出适于确定未知数的其他数据你能改变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去”，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．《怎样解题》书中，有个精彩的实例：已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的题．“你能不能用不同的方法重新叙述它”这道题可以换个说法叙述为：在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．这是第二次变化．所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分”可以，先放弃一个条件，第三次变化问题．（下略）“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力是有益的．“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”。
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用-2019年精选文档
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。
波利亚的数学解题思想及其应用
波利亚的数学解题思想及其应用【摘要】《中国教育现代化2035》提出：到2035年，总体实现教育现代化，迈入教育强国行列，推动我国成为学习大国、人力资源强国和人才强国。
本文通过文献研究法，查询波利亚解题理论，并分析波利亚在“怎样解题表”中的四大阶段。
其次探讨如何将四大阶段中的理论应用于数学解题过程中，以此来提高学生解题速度、正确率，增加学生数学学习的兴趣，从而提高学生的数学成绩。
最后结合初中数学的习题课教学，提出相应的教学建议，提升教师的教学管理能力以及学生的解题能力，对于培养高素质人才，推动教育强国具有积极作用。
【关键词】波利亚解题思想；怎样解题表；初中数学；习题课一、引言《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出教育要培养学生逐步会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，学生能进一步发展数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，对数学具有好奇心和求知欲，为了达成这一目标，教师要想方设法的调动学生学习的积极性。
“新课标”的改革就是要充分发挥学生的数学天性，让学生勇于探索数学问题，在数学活动中体会到数学学习的快乐。
在《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担意见》中也有提及：要减少义务教育阶段学生作业的总量并规范校外培训机构。
那么如何让学生能够轻松地学习，教育家乔治•波利亚所著的《怎样解题》给出了解答，解题理论作为一种使学生学会解题的学习模式应运而生。
波利亚解题思想告诉教师教学是一种启发式、互动式的模式，应以学生为主体、充分发挥学生的想象力和创造力，不断培养学生的解题能力，让学生热爱学习、喜爱解题。
本文将着力研究如何运用波利亚解题思想让学生去解决数学问题。
二、波利亚理论波利亚先生一生致力于探究如何训练学生的解题能力，并通过自身多年的教育经验编写了一本名为《怎样解题》的书。
该书最终凝练出的“怎样解题表”，可以说是对如何更好地理解、把握、解决数学问题的最佳答复。
波利亚解题理论在初中解题教学中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀波利亚解题理论在初中解题教学中的应用波利亚解题理论在初中解题教学中的应用Һ欧㊀桥㊀（湖州师范学院，浙江㊀湖州㊀３１３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文探究了波利亚解题理论在中学数学解题教学中的应用，介绍了波利亚的 怎样解题表 ，结合新课标浅谈波利亚解题表的意义，从波利亚解题四阶段出发分析中学生解题常见错误类型，借波利亚解题思想帮助学生掌握解题的方法，培养学生解决问题的能力，让学生能够熟练运用波利亚解题理论对问题进行思考从而解答问题．ʌ关键词ɔ波利亚解题理论；解题错误；培养解题能力１㊀波利亚的 怎样解题表 １．１㊀波利亚的简介美籍匈牙利数学家乔治㊃波利亚是美国科学院㊁法国科学院和匈牙利科学院的院士．１９４０年移居美国，并担任布朗大学和斯坦福大学教授．他长期从事数学教学工作，在数学领域内有着极深的造诣，其在数学教育方面的成就对我国的数学教学改革及数学教师的培养与培训具有重要的指导意义．最著名的作品分别是‘怎样解题：数学思维的新方法“‘数学的发现“‘数学与猜想“，这些著作被翻译成各种语言，并且广泛传播于各大高校，其中‘怎样解题：数学思维的新方法“一书更是被译成了１７种文字，仅平装本就销售了一百万册以上．其著作中的 怎样解题表 以文字的形式揭示了人们在解答问题时的思维形式和思维过程，为解题指明了大概方向，使得解题有法可依．１．２㊀新课标背景下， 怎样解题表 的意义新课标提出：学习者在获得知识技能的过程中，只有亲身参与了教师认真设计的教学活动，才能在数学思考㊁问题解决和情感态度这三个方面得到应有的发展．在数学教学活动中，解题是最主要的活动形式之一．教师必须通过解决问题的教学来让学生获得数学思维的发展，并借此培养技能及发展学生的智力．波利亚的 怎样解题表 为我们提供了解决问题的有效途径．解决问题的本质就是不断改变问题，从而引发灵感．对于中学数学来说，解题就是要不断创设新的问题情境，借用新的情境来激发学生的思维，从而进一步得到正确的答案．波利亚的解题理论还指明了对数学问题解决活动具有重要意义的思维模式，如合理的推理模式㊁笛卡儿模式㊁递归模式㊁叠加模式等．教师可以使用 解决方案 中的思想来指导学生将现有问题转换为类似或更具体的问题，让学生自己去探索，充分发挥他们的主体作用，提高他们解决问题的能力，从而更好地体现新课程理念．２㊀从波利亚解题四阶段看中学生解题常见错误在数学的学习及解题过程中，数学自身的性质 严谨性㊁科学性使学生在解题过程中都会或多或少地产生错误，这是难以避免的，也是情有可原的．因此，对错误进行系统的分析和研究就变得十分重要且必要，下面笔者将对实习中所带班级学生的作业中的错误情况进行分析．所给的案例是笔者在丽水市外国语学校实习期间的上课内容，两个班学生的作业都是笔者亲自批改的，对两个班学生的做题情况有大致掌握，对错误率最高的一些题目也看了每位学生的解题过程，并与他们有过交流沟通，对他们的解题思路与过程有一定的了解．２．１㊀理解题目阶段理解题意即了解问题，是解题的基础．学生在将所给的题目语句转化为数学语言上总存在一些困难，有时容易曲解题意，有时对文字较多的题目的处理会抓不住重点，无法挖掘文字背后的数学含义．例如在解答二次函数问题时，对自变量取值范围的考虑要求学生不仅要知道数学意义上的范围，还要综合考虑它所代表的实际意义．案例１㊀抛物线ｙ＝２ｘ２－２２ｘ＋１与坐标轴的交点个数是（㊀㊀）．Ａ．０㊀㊀㊀㊀Ｂ．１㊀㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀㊀Ｄ．３正确答案是Ｃ，易错选项是Ｂ．这是一道非常简单的基础题，在批改作业时发现班级里有三位学生做错了，理由是题目中问的是与坐标轴的交点，即ｘ轴㊁ｙ轴，他们却想当然地只算了ｘ轴上的交点而忽视了ｙ轴．在二次函数专题大多数讨论的都是ｘ轴上的交点，这使得他们对于坐标轴中的ｘ轴更敏感．这种错误就是没有审清题目导致的．２．２㊀拟订方案阶段波利亚认为在四大步骤的解题全过程中这一步是最重要的也是最困难的，因为在探索一道题的解题途径中如果最后证实这个方案是错误的，那么就又要回到这一环节重新拟定．在这一阶段里学生对题目的处理会出现以下几种常见错误：分类不当㊁没有数形结合的观念㊁缺乏整体意识㊁受思维定式的影响．案例２㊀二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的图像如图１所示，对称轴为ｘ＝－１，下列四个结论正确的是（㊀㊀）．㊀图１①４ａｃ－ｂ２＜０；②３ｂ＋２ｃ＜０；③４ａ＋ｃ＜２ｂ；④ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＜ａ（ｍʂ－１）．正确答案是①②④．在统计错题时发现很多学生无法判定④是否正确，这里重点分析④的判定，首先根据给出的图像我们能得到的信息有：ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０，经过与学生的交流，笔者发现他们的疑惑是不能理解ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ表示的意思，这里其实用到的还是数形结合思想，我们发现将ｘ＝ｍ㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀代入解析式中会得到ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ，将式子变形一下得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ，这与④中的式子已经有很大的相似之处了，将④式左右两边同时加上ｃ，得到等价不等式ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＋ｃ＜ａ＋ｃ，把左边的ｂ移项到右边得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ＜ａ－ｂ＋ｃ，表示的意思是ｙｍ＜ｙ－１，根据图像我们可以看到，当ｘ＝－１时，ｙ取最大值，因此ｘ＝ｍ（ｍʂ－１）时ｙ的值小于最大值是符合题意的，故④正确．２．３㊀执行方案阶段在这一阶段，有些学生不能进行等价转换，在证明题目时容易陷入循环论证的死胡同里，更多的学生（这里尤指低年级学生）容易犯些非智力因素的错误，比如：计算粗心，作图随意等．在实习期间，笔者也在初二班级旁听过程中发现在合并同类项时总有学生出现合并错误，不是次数出错就是单项式抄写出错．案例３㊀若二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ图像的对称轴是直线ｘ＝３，则关于ｘ的方程ｘ２＋ｍｘ＝７的解为（㊀㊀）．Ａ．ｘ１＝０，ｘ２＝６㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｘ１＝１，ｘ２＝７Ｃ．ｘ１＝１，ｘ２＝－７Ｄ．ｘ１＝－１，ｘ２＝７正确答案是Ｄ．这道题是一道基础题，更多的还是检验学生的计算能力．班级中有３位学生错选了Ｃ，从选项中看Ｃ与Ｄ十分相似，这也意味着出题人知道学生在解题时会在某一步骤出错从而得出与正确答案一步之遥的错误答案．通过询问学生得知，他们出错是在将ｘ２＋ｍｘ＝７化成ｘ２＋ｍｘ－７＝０之后，用十字相乘法进行因式分解这一步．２．４㊀回顾与反思阶段张奠宙教授在‘数学教育概论“一书中提道：与前两个阶段相比这一阶段是最容易被忽视的阶段．大多数学生在解题后缺乏检查的意识，但是在数学的解题过程中，解题者不重视检验导致的功亏一篑现象时有发生，这就告诫我们为了保证解题的正确性，检验是很重要的．也有学生不善于回顾检验导致解题错误的，有的时候由于思维定式的束缚，他们仍然按照原来的解题思路进行验证检查，因此当问题出现在方法上而不是在具体运算上时，他们很难察觉出错误．对此，在日常教学中，教师须有意识地要求学生养成答完题再去回顾的习惯，并且要尝试用多种方法㊁从多种角度去进行检验．回顾是最容易被人们忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节固定下来，是一个非常有远见且正确的做法．回顾反思不仅仅是检查这道题做对了没有，更重要的是学会总结，总结做题方法㊁做题思路，在日后的学习中是否能用到今日所学内容，又能否将所总结的结论推广到其他类型的问题上，这才是波利亚解题理论第四阶段最重要的学习目的．３㊀波利亚解题思想的反思波利亚的 怎样解题表 中的问句㊁提示语都是一种引导，是用来促发念头的．在解题时最难的往往是对一道题目毫无思绪不知如何下手．这时，任何一个有可能对解决问题有指引作用的问题都是对我们有帮助的，它可以引起我们继续思考下去的兴趣与信心，可以使我们继续探索．波利亚的解题思想为中学数学思想方法的教学提供了一种理论模式．波利亚的解题思想并不一定很明显地表现在数学教材之中，在大多数情况下，它是隐含于数学知识和解题过程中的．因此若要以让学生更能接受的方式展示出来，则需要教师通过对教材的钻研来提炼和概括．波利亚认为，中学数学教育的根本目的是 教会中学生思考 ．教会他们去思考就要求数学教师不能只是简单地传授知识，还应努力培养学生在更广的范围中运用所学知识的能力，培养他们的自主意识．教师应该强调学习解题的技能技巧㊁教会学生有益的思考方式和理想的思维习惯．提高学生的数学解题能力是一项持续时间长且实施有难度的工程，这不仅与学生的知识背景㊁智力水平有关，也与学生的学习态度㊁学习方法有关，还与教师的教育思想㊁教学能力㊁教学方法㊁知识水平密切相关．因此每位教师都应该学习波利亚的解题理论，并在教学中教会学生如何思考问题㊁解决问题，从而培养他们良好的数学思维，提高他们的解题能力．教师对学生的错误要充分发挥自己的教学智慧，去挖掘学生在错误中体现的问题，因势利导，使学生由失败走向成功，给予他们学好数学的信心，让其体验和享受成功解题带来的乐趣，从而爱上解题㊁爱上数学．ʌ参考文献ɔ［１］Ｇ㊃波利亚．怎样解题：数学思维的新方法［Ｍ］．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，２００７．［２］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［３］丁洁．波利亚 怎样解题表 在初中数学应用题中的应用［Ｄ］．扬州：扬州大学，２０１５．［４］向正凡．辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２００６．［５］梁红娥．波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用［Ｄ］．呼和浩特：内蒙古师范大学，２００５．［６］井澜．基于数学素养的初中数学教学设计案例研究［Ｄ］．延吉：延边大学，２０１８．［７］朱丹丹．基于波利亚 怎样解题表 培养初中生解题能力［Ｄ］．武汉：华中师范大学，２０１８．［８］吴维煊．数学能力与数学方法［Ｍ］．镇江：江苏大学出版社，２００８．［９］任樟辉．数学思维理论［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００３．［１０］黄常健．运用波利亚解题思想上提高思维能力与创新意识［Ｊ］．中学数学，２０１７（１７）：６５－６７．［１１］张奠宙，宋乃庆．数学教育概论（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［１２］贾娟．波利亚 怎样解题表 中的元认知分析［Ｊ］．太原大学教育学院学报，２００９（０３）：７３－７４．［１３］高宇．初中生数学解题错误纠正策略效果研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２０１７．［１４］叶琳．合理利用波利亚解题模型于解题教学［Ｊ］．中学数学，２０１７（１９）：９２－９４．［１５］朱艺峰．初中生解题错误归类及教学对策［Ｄ］．杭州：杭州师范大学，２０１２．。
波利亚解题辨析论文
波利亚解题辨析论文摘要在数学领域中，波利亚解题法是一种十分有效的解题方法，它包括了数学技巧与观察力等不同的层面。
波利亚解题法最吸引人的地方是它的独特而极具创造性的方法。
然而，对于初学者而言，这种方法可能显得有些难以理解和应用。
本论文旨在通过对波利亚解题法的归纳总结，为解决数学问题提供一些新的思路。
首先，我们将介绍波利亚解题法的基本原则和方法，然后通过例题的讲解，展示波利亚解题法的应用情形。
最后，我们将总结波利亚解题法的优点和缺点，并提出建议，帮助初学者更好地掌握这种方法。
引言数学是许多学科中最重要的学科之一。
然而，对于许多人来说，数学的理解和应用都是一项极具挑战性的任务。
波利亚解题法作为一种具有创造性的数学解题方法，可以帮助解决这一问题。
波利亚解题法最初由波兰数学家波利亚提出，它最初的目的是研究复杂问题的本质。
它现在已经成为许多数学领域中必不可少的工具之一。
波利亚解题法的基本原则和方法波利亚解题法的基本原则是将一个复杂问题转换为一个简单问题的组合。
这个原则是通过将问题分解成若干个小部分来实现的。
这样，每个小问题都变得容易解决了。
在解决问题时，波利亚解题法强调观察力和想象力的运用。
观察力和想象力的使用是非常重要的，因为它们可以帮助我们将问题转化为一些更加容易解决的问题。
以下是波利亚解题法的一些基本原则和方法：1.根据问题中所提供的信息，尝试用不同的方式表达问题。
这将帮助您更好地理解问题，并将其转化为一个更简单的问题。
2.试着将问题分解为更简单的子问题，然后用不同的方法解决每个子问题。
这样，整个问题就变得容易解决了。
3.尝试将问题转化为另一种问题类型，并用不同的方法解决新问题。
这将帮助您更清楚地理解问题，并可能提供一个更好的解决方案。
4.利用已知的信息寻找出相应的模式，以此为基础寻找解决方案。
5.从其他领域或问题中寻找启发，将这些启发应用于解决当前问题。
波利亚解题法的应用在这一部分，我们将介绍波利亚解题法的应用情形，并提供一些例题的解答。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用
内蒙古师范大学硕士学位论文波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用姓名：***申请学位级别：硕士专业：学科教学·数学指导教师：***20051010中文摘要乔治·波利亚对数学教育的研究麓贡献举世瞩目，他在数学教育上的成就主要包括解题理论、数学教育理论和教师教育理论三个方面，这三个方面的理论对我国的数学谦程与数学教学改蕈、数学教师的培养与培训都有着十分重要的指鼯意义。
本文通过对波翻耍畜关著箨麓磷究，把其中鲶波裂亚关予数学壤嚣思维理论，比较全面系统地整理出来，从宏观和微观两个方丽加以论述，使其形成一个较为完善的体系。
渡利亚的解题理论强调盼是数学憨维的教学，钝把解霪作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，达到培养学生分析和解决惩题麓力魏霆鳇。
解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分，波利亚的解题理论给出＿『没有冠以心理学名词的勰题元认知理论体系。
数学解题元认鲡能力盼携高，有赖予解遂学习者善于运霜波翻亚的“穗示语”，以及蒋于提炼具有个人风格的“提示语”。
近年寒，在素质教育滋下，人钔深入｛爨究莠实载波穰亚的解题愚想。
教育创新的提嫩不仅符合时代和社会发展的要求，符合培养全面发展人的需要，而且像符合教育自身发展的客观规律，符合世界教育改革的大趋势，论文遥ｊ建借鉴渡翻驻的数学解遂愚怒，阐述了教学过程孛如俺培养学生良好的思维方式和创新精神。
数学痘发法是波剩亚予１９４５年嚣绕“怎样勰题”提出的一静教学思想。
２０世纪８０年代初期美国提出“问题解决教学思想，给出了数学启发法一种新的解释理论。
另外，本文还对波剁亚著作中的合情推理进行了分析，指出合情推理在数学发现麓创造思维中的重瑟作用，结合我溺的数学谍程改革探讨了合情推理在数学教学中的独特优势。
关键词：波利戏，数学思维，闯题解决，数学教学ＧｅｏｒｇｅＰｏｌｙａ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｗａｓｗｏｒｌｄ－ｆａｍｏｕｓ．Ｈｉｓａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇ，ｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｏｒｙｏｆｔｅａｃｈｅｒｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅｓｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｔｈｅｏｒｉｅｓｈａｄｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｎｔｈｅｒｅｆｏｒｍｏｆｍｏｄｅｒｎｃｉｒｒｏｃｕｍｕｌｉｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｔｅａｃｈｅｒｓｔＯｔｅａｃｈｉｎｇ，ｔｈｅｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｉｎｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｅｒｓ幻ｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆＰｏｌｙａ’ｓｗｏｒｋｓ，ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｌｅａｒｓｕｐｈｉｓｔｈｉｎｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｉｔｆｒｏｍｂｏｔｈｍｉｃｒｏａｎｄｍａｃｒｏｐｈａｓｅｓｔｏｄｅｖｅｌｏｐａｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍ．ＴｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓＰｏｌｙａｅｍｐｈａｓｉｚｅｓｉｓａｋｉｎｄｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ，ｗｈｏｒｅｇａｒｄｓｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓａｓａｍｅａｎｓａｎｄｔｅｌｌｓｐｅｏｐｌｅｈｏｗｔｏｅｎｌｉｇｈｔｅｎｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇｗｈｉｃｈｍａｙａｒｒｉｖｅａｔｔｈｅａｉｍｏｆｅｄｕｃａｔｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｂｉｌｉｔｙｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用《普通高中课程标准（2017版）》中的课程目标提到在高中阶段要通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
因此，高中数学教学十分重视学生解题能力的培养。
但传统的解题教学往往是模仿典型例题做变式训练，在这样的解题教学方式下，学生能通过大量地做题提高解题能力，却缺乏一个解题思维的培养过程。
著名的数学教育家波利亚在他所著的《怎样解题》中，针对人们解题思维的过程提出解题的四个步骤是：弄清问题→拟定计划→实施计划→回顾。
解题能力的培养并非让学生打“题海战术”，而是通过解题思维的培养以达到解题能力提高的目的。
本文以一道高考立体几何题为例，谈谈如何利用波利亚的解题思想培养学生的解题能力。
“学贵有疑”，回顾上述例题运用“怎样解题表”进行解题的过程，可见引导学生提出问题进行分析，探究解决问题的方法，有助于培养学生良好的思维习惯。
解题的第一步必须先弄清题目，“怎样解题表”通过分析题目的已知条件，将已知条件拆分并从中挖掘出其隐含的信息。
实际上，无论这些隐含信息是否在解题中用得上，这一过程对于学生分析问题的能力都是有很大帮助的。
第二步，在弄清问题的基础上，努力利用这些已知的信息与未知之间建立联系，若找不出直接的联系，就对原问题做出必要的变更或修改后，引进相应的辅助问题，从而拟定解决问题的计划。
在进行了第一、二步后，第三步的实施计划就显得较为简单了，根据拟定好的解题计划写出解题过程即可。
最后回顾题目，对解题过程进行反思、总结，教师应注意启发学生开阔思路，发散思维，学会多角度分析和多种解法。
波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会年轻人思考”。
故在解题教学中，教师应从“扶”到“放”，循序渐进引导学生自主探究，使学生的思维受到良好的训练。
波利亚解题思想论文
波利亚解题思想论文摘要：所谓解题的反思策略是指在解题完成以后解题者对自身思维过程进行重新认识和体验的一种策略。
波利亚将解题反思作为他解题四步走中的一步，犹可见其重要性，而在现实教学中，教师往往忽视这一步，使得学生的解题技能很难取得大的突破。
一、关于解题策略关于解题策略的概念，目前学术界尚没有统一界定，他们从不同的研究角度对解题策略进行了不同的界定。
本人结合前人研究，认为解题策略实质上是关于如何解题的一系列程序性知识，其内涵是指：在解题过程中，解题者为了达到有效解题的目的，而采用的规则、方法、技巧及调控方法的总和，它能根据解题情境中的各种变量、变量间的关系及其变化，对解题活动和方法的选择与使用进行调控。
它具有如下特点：1.操作性和监控性。
2.外显性和内隐性。
3.主动性和迁移性。
二、波利亚解题策略的分析目前对解题策略的概念没有统一界定，因而对解题策略的分类也是百家争鸣。
本人从波利亚的著作《怎样解题》中分析出几点策略，下面将结合具体的例题作简要阐释。
1、精细加工策略。
指把新信息与学生头脑中的旧信息联系起来，寻求字面意义背后的深层次意义，或者增加新信息的意义，从而帮助学生更好地理解题目的策略。
（1）首先，精细加工策略可以帮助学生理清题中的已知量、已知条件和未知量。
例：为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯。
已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品。
甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个。
乙店一律按原价的80℅销售。
现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元。
分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；解题分析：首先，找出题目所求是：两个函数关系式，其中已知量是：路灯每个5000元，已知条件是：甲厂家不超过100个就按原价付款，超过100个则每超过一个价格减少10元，但不低于3500元；乙厂家一律按原价80%销售。
高中数学中波利亚思想的教学应用研究
高中数学中波利亚思想的教学应用研究
? 安徽省临泉第二中学 黄 彦
波利亚解题模型是高中数学解题中的一种高效 解题方式．如何有效利用波利亚模型解题成为诸多高 中数学教 师 探 讨 的 重 点 问 题．基 于 此，本 文 将 从 波 利 亚解题模 型 的 概 念、解 题 步 骤 介 绍 入 手，就 高 中 数 学 教学如何有效应用波利亚解题模型帮助学生更好解 决数学问题提供有益参考，为全面提升高中数学教学 质量而提供理论保障．
一、波利亚解题模型概述
波利亚 解题模型 常常 有 以 下 几 个 解 题 步 骤：首 先，题 目 的 理 解 和 条 件 的 转 化．当 学 生 看 到 一 道 数 学 题时，首 要 的 任 务 是 要 根 据 题 中 的 文 字、数 量 信 息 梳 理已 知 和 未 知 条 件，这 利 于 学 生 尽 快 理 解 题 目 含 义， 进而找到题目中的关键信息和提示，从而和自己已学 的知识点进行联系，帮助解题．其次，找到解题思路和 制定解题计划．学生常因为慌忙应用自己已学知识解 题而忘了解题思路的寻找，在迫于寻找解题突破口的 时候往往因为知识点的错误应用而导致解题错误．在 波利亚解题模型中，学生要学会将未见过的题型转化 为已经掌握的题型进行巧妙解题，以此可以帮助学生 使用已学 知 识 解 决 更 多 更 复 杂 的 数 学 问 题．最 后，解 题的回顾 和 反 思．在 结 束 解 题 后，学 生 的 解 题 任 务 并 没有真正 结 束，很 多 学 生 解 了 一 道 题，马 上 忙 着 解 其 他数学题 目．但 事 实 上，这 容 易 导 致 运 算 错 误 或 者 马 虎大意等问题，学生需要对已解决的题目进行验算或 验证，这 样 才 能 确 保 计 算 过 程 不 出 差 错，很 好 地 避 免 了答案的偏差，提升了解题的正确性．
运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究
运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究赵㊀源(江苏省金湖中学㊀２１１６００)摘㊀要:近些年来ꎬ在素质教育的引导下ꎬ相关教育工作者不断研究并探索波利亚的解题思想.教育创新观点的提出ꎬ不但与当前时代与社会发展的具体需要相符ꎬ同时也能满足全面培养人才的需要ꎬ并且与教育本身的客观规律相一致ꎬ体现了全球教育改革的潮流.本文借助于波利亚的数学解题思想ꎬ为教学过程中怎样培养高中生科学的思维方式与创新能力提供了相应的借鉴.关键词:数学解题ꎻ波利亚ꎻ策略研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００４０－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:赵源ꎬ江苏省金湖人ꎬ中学教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀步入２１世纪之后ꎬ我国的基础教育也过渡到新时期ꎬ即课程改革阶段.做为一线教育工作者ꎬ更愿意接受的是能够有效应用在数学当中的全新教学模式ꎬ并且能够直接将其应用在实际教学当中.波利亚解题理论正是基于上述背景下产生的.㊀㊀一㊁明确问题的解题策略波利亚指出ꎬ分析题目中的定义ꎬ属于明确问题过程中的重要策略.教师在教学工作当中ꎬ要引导学生关注定义ꎬ探寻科学的解题思路ꎬ进而理解问题.这一步骤的解题策略包括下列几点.(１)在解题之前ꎬ要尝试绘出相应的图形.要想提高解题能力ꎬ其思维转变的重点.通常来讲ꎬ如果将问题转化成图形ꎬ将看到满意的效果.(２)明确问题当中的全部数据.不要混淆措词ꎬ例如正负㊁有限或者无限等等.同时应明确已知与未知数据.(３)在绘出的图形当中ꎬ找到已知和未知数据.其中应用的符号要做到简洁明了ꎬ明确题目当中所有数学术语和符号表达的意思.(４)着眼于整体去分析问题ꎬ考虑是否可以找出题目的具体特点.考虑自身所积累的知识与经验ꎬ是否解答过同类问题ꎬ是否可以推断出大致的结果.(５)可否对题目转换表达方式.分析还要具备什么已知条件ꎬ或者分析题目当中是否有不必要的条件.(６)分析问题当中的具体情境ꎬ已经掌握的解题方法与定理中是否和该题目的情境相关ꎬ同时尝试用该方法或者定理去理解题目.(７)思考问题的特殊状况.该方法在立体几何问题当中十分有效.(８)将问题进行简化处理.在空间几何问题当中ꎬ一般要把空间问题转变成平面问题加以分析与解决.此外ꎬ在完成上述流程之ꎬ先不要急于进行下一步ꎬ要重复进行一遍.多阅读几次题目是有益的.在重新分析题目中的假设以及结论过程中ꎬ考虑能够借助于公式化的语言重新来理解题目.㊀㊀二㊁制定方案的解题策略在这个步骤ꎬ普遍采用的策略包括下列几点.(１)模式识别过程.在该过程中ꎬ要将问题和过去熟悉的题目相结合.分析已有的解法ꎬ从中提炼对解题有帮助的信息.(２)分析未知条件.任何思考活动均在未知条件基础上进行.(３)先思考问题当中的一部分ꎬ分析能够有明确的思路.(４)思考问题的等价性ꎬ例如是否可以把条件等价转变ꎬ或者转变其描述方式.(５)转变问题ꎬ可否将问题中的已知条件实施分解ꎬ或是选取相符的分支目标.(６)转变抽象为具体ꎬ分析题目当中的特殊状况.即按照题目中的具体意思ꎬ引入一典型的语言或者数字ꎬ直至可以在结果当中看到规律ꎬ并继续进行ꎬ分析是否可以从规律当中看到其产生的原因.(７)添加辅助问题或者辅助线.在立体几何问题当中ꎬ辅助线的添加至关重要.(８)在一定程度上调整问题ꎬ使其变得简单.减少未知数据的具体要求ꎬ转变为其它问题ꎬ例如条件大体一致㊁结论或者形式相近的问题.一些情况下ꎬ还可以从其中发现着眼点.０４(９)假如上述这些工作仍然不足ꎬ那么将未知和已知条件颠倒ꎬ逆向思考问题ꎬ即所谓的倒推策略.例如假设题目中的结论成立ꎬ分析其性质.但是运用该策略也可能不成功ꎬ但是该方法能够当做解答证明题目的良好策略.㊀㊀㊀㊀三㊁检验回顾的解题策略在该步骤中ꎬ主要包括以下内容.(１)观察结果当中ꎬ是否应用了题目中全部的数据.(２)从对称性与度量等多个视角做出检验工作.(３)探讨结果在特殊情况下能否仍然成立.(４)分析最终的结果能否进行简化处理.(５)能否将结果推广到其它类似的结果当中.(６)开辟其它的解题方案.(７)该的解题方案可否用于解决类似的问题ꎬ该方案是否属于解决同类问题的普遍方案.在实际教学过程中ꎬ学生在解题之后ꎬ总是将心思放在答案方面ꎬ很少有学生去回头思考如何想到的该方案㊁该方法有哪些优势等等.不存在能够解决得完美无瑕的题目ꎬ总会留有一些工作需要处理.即所谓的检验回顾ꎬ探索该题目的最简单解法ꎬ同时要不断这样进行ꎬ对提升自身对解题的理解能力将带来显著的帮助.波利亚在数学解题表中曾指出ꎬ学生可否通过其他方法得到该结果.由此体现了检验回顾的策略ꎬ能够使解题方案实现多样化ꎬ并使其方案得到优化.在实际教学过程中ꎬ可知大量的数学问题均包括多种不同的解题方案ꎬ在解题之后ꎬ教师要积极引导学生从不同视角去思考ꎬ开辟新的方案ꎬ努力用多样化的方案去解决同一道题目.由此学生的思维得到拓宽ꎬ避免出现思维定型的状况.此外ꎬ能够丰富众多解题的技能ꎬ从众多不同的解题方案当中ꎬ师生一起探索出最简单易行的方法ꎬ借助于解题方案的优化ꎬ使学生的反思能力得到进一步提升ꎬ解题准确性显著改善.㊀㊀参考文献:[１]刘喆ꎬ高凌飚.西方数学教育中数学素养概念之辨析[Ｊ].中国教育学刊ꎬ２０１１(８).[２]单增.解题研究[Ｍ].南京:南京师范大学出版社ꎬ２００２.[３]王杰ꎬ高明.借助波利亚解题思想ꎬ指导中学数学解题教学[Ｊ].中学教育ꎬ２０１５(０６).[责任编辑:杨惠民]高中数学课堂师生有效对话的路径沈艾林(江苏省滨海县八滩中学㊀２２４０００)摘㊀要:数学课堂上ꎬ教师与学生是主要角色ꎬ因此师生之间的互动与对话成为了教学的重要组成部分.有效的对话能够帮助教学效率不断地提升ꎬ让师生之间的关系更加和谐亲密ꎬ还能够引导学生积极思考.本文对此进行了分析研究.关键词:高中ꎻ数学ꎻ师生ꎻ有效对话ꎻ路径中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００４１－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:沈艾林(１９８０.８－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在高中数学的教学过程中ꎬ课堂教学是教学的主要途径.搞好课堂教学ꎬ是提高整体教学质量的最佳方式.数学课堂上ꎬ教师与学生是主要角色ꎬ因此师生之间的互动与对话成为了教学的重要组成部分.有效的对话能够帮助教学效率不断地提升ꎬ让师生之间的关系更加和谐亲密ꎬ还能够引导学生积极思考.具体来说ꎬ在高中数学的课堂上ꎬ师生之间的有效对话可以从以下几方面抓起.㊀㊀㊀㊀一㊁导入环节 用对话调动学生的积极性相对于其他学科而言ꎬ高中数学是一门具有较强的逻辑性和抽象性的学科.很多高中生在学习数学的时候会感到吃力ꎬ原因有很多种ꎬ比如说没有打好数学基础ꎬ或者说数学思维逻辑不够明确ꎬ再者就是对数学学习缺乏兴趣.总的来说ꎬ兴趣对于学生学习数学有着至关重要的作用ꎬ有了学习的兴趣才能够克服学习方面的困难ꎬ积１４。
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析
波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析冯㊀洁(江苏省常州市龙城高级中学ꎬ江苏常州２１３０００)摘㊀要:培养高中生数学解题能力ꎬ是判断学生知识掌握和应用情况的关键指标ꎬ同时也是提升学生学习兴趣的重要途径.鉴于当前高中生在解题中面临的重重困难ꎬ科学融入波利亚解题模型ꎬ可促使学生在 理清题意㊁制定计划㊁执行计划㊁检验与回顾 的解题流程中高效解答题目ꎬ逐渐提升学生的解题能力.本文聚焦于此ꎬ结合解题实践ꎬ针对波利亚解题模型在数学解题中的应用展开了详细探究.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ波利亚解题模型ꎻ课堂教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００１４－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:冯洁(１９９６.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省溧阳人ꎬ硕士ꎬ中小学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀波利亚解题模型源于波利亚«怎样解题:数学思维的新方法».在该书中ꎬ波利亚紧紧围绕 解决数学问题 这一中心任务ꎬ提出了 波利亚解题模型 ꎬ倡导学生在解题时ꎬ应遵循 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 四个流程开展.其中ꎬ 理清题意 即为理解题目意思㊁明确题目已知条件㊁所求问题等ꎬ这是学生高效解题的关键ꎻ 制定计划 是联系题目已知条件㊁所求问题ꎬ运用所学的知识进行思考ꎬ寻找解题思路ꎻ 执行计划 则是依据上一个阶段中制定的解题思路ꎬ利用所学的知识㊁方法进行推理㊁运算ꎬ最终得出正确的结论ꎻ 检验与回顾 则是对整个解题过程进行回顾㊁反思㊁总结ꎬ在检验解题正确与否的基础上ꎬ进行知识积累ꎬ并为学生后续的解题奠定基础[１].鉴于波利亚思想的内涵ꎬ将其应用到高中数学解题教学中ꎬ已经成为一线教师研究的重点.１高中数学解题教学状况１.１解题教学驱动性不足ꎬ学生学习积极性较低新课标执行前期ꎬ高中数学解题教学大多仍以讲解式教学和练习式教学为主.讲解式教学由教师主导ꎬ注重对问题进行剖析和讲解ꎬ学生处于被动学习状态ꎻ练习式教学则以学生为主体ꎬ对学生自主学习能力和独立思考能力要求较高.因此ꎬ教师教学设计不够全面ꎬ教学模式趣味性较低ꎬ导致解题教学驱动性不足ꎬ学生学习缺乏主动性等现象在讲解式教学和练习式教学中都有体现.在讲解式教学中的体现为学生注意力不集中ꎬ打瞌睡㊁走神等现象频发ꎻ在练习式教学中的体现为学生解题效率较低㊁正确度较低.例如ꎬ教师在讲解 椭圆的标准方程 相关的知识点时ꎬ会在引导学生进行等式的化简后推导出椭圆的标准方程ꎬ但因为学生对于等式的化简存在困难ꎬ而课堂时间有限ꎬ造成学生缺少练习时间ꎬ教师也需要进行后续的讲解.这造成 一步慢ꎬ步步慢 的情况ꎬ学生也无法跟上教师后续的讲解进度ꎬ学习自信心也会受到打击.１.２解题教学创新性不足ꎬ难以培养学生核心素养新课程标准指出ꎬ高中数学教学需要在传授知识的基础上培养学生的运用能力㊁创新精神㊁核心素养等综合能力.数学习题每年都会迎来一定的创新ꎬ４１虽然考查的内容大体相同ꎬ但解题思路会发生一定的改变.前期高中数学教师因为没有针对性地培养学生的解题能力和核心素养ꎬ导致学生掌握了某一个问题的解题方法ꎬ并未掌握这一类题型的解题方法.例如ꎬ教师在讲解 已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋ｘ２＋１)ꎬ若实数ａꎬｂ满足ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ－１)＝０ꎬ则ａ＋ｂ＝? 这一问题的核心在于观察ｆ(ｘ)在定义域内是增函数还是减函数.教师在讲解时也会按部就班地完成讲解ꎬ但在实际过程中缺乏引导学生深度思考的过程ꎬ导致学生只能将解题方法运用到这一个题目上ꎬ无法触类旁通.１.３忽视回顾与反思环节ꎬ解题教学有效性不足回顾反思作为解题教学的收尾阶段ꎬ其具有帮助学生查漏补缺㊁增强学生记忆力㊁提升学生解题思维的重要作用.但在当前高中数学教学中ꎬ仍有部分教师忽视回顾反思教学开展ꎬ导致解题教学有效性不足.以 立体几何初步 这一章节知识点为例ꎬ教师在讲解完成之后会为学生布置相关的复习任务ꎬ如进行习题训练等.因为教师并未了解学生的实际学情ꎬ其很难针对性地布置复习任务ꎬ因此大部分教师会选择 题海战术 ꎬ试图通过量变来引起质变.并且ꎬ学生在完成复习任务之后教师的评价也极其简单ꎬ大都只有几个 对钩 或者一个 阅 字ꎬ复习任务的有效性难以充分体现ꎬ学生也无法根据教师的评价确定自身的问题.久而久之ꎬ学生的复习积极性会不断降低ꎬ学习压力也会因为题海战术不断增加.２波利亚解题模型在高中数学解题教学中的实践应用㊀㊀为对波利亚解题模版在解题中的应用展开深入研究ꎬ笔者结合以下两道题目进行了详细的探究:例１㊀已知正项等比数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝２ꎬ２Ｓ２＝ａ２＋ａ３求:(１)等比数列ａｎ{}的通项公式? (２)设ｂｎ＝２ｎ－１ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和?基于波利亚解题模型ꎬ在解答这一问题时ꎬ可从以下四个方面进行:第一ꎬ理清题意.引导学生自己读题㊁审题ꎬ理解题目的含义ꎬ明确题目中的已知条件㊁未知内容㊁所求目标等.在本题中学生经过审题ꎬ理清了题目中已知条件㊁所求目标.其中ꎬ已知条件:数列ａｎ{}的首项㊁第二项和第三项的和㊁ａｎ{}是正项等比数列ꎻ所求目标:数列ａｎ{}㊁ｂｎ{}的通项公式ꎬ以及ｂｎ{}的前ｎ项和?第二ꎬ制定计划.本阶段是形成解题思路的核心ꎬ主要是聚焦所求的问题ꎬ围绕已知量和未知量之间的关系进行探究ꎬ并在此基础上形成解题思路.在本题目中ꎬ先将题目中已知条件和所求问题联系起来ꎬ并由 等比数列的通项公式㊁数列ｂｎ{}的前ｎ项和 展开联想.在此基础上通过讨论㊁分析ꎬ逐渐形成本题目的解题思路:针对(１)来说ꎬ需要借助等比数列的性质ꎬ前ｎ项和求和公式ꎬ将ａｎ{}的首项和公比ｑ求出来ꎻ针对(２)来说ꎬ则需要借助数列ａｎ{}的通项公式ꎬ将ｂｎ{}的通项公式求出来.接着再利用错位相减的方法ꎬ将ｂｎ{}前ｎ项和求出来.第三ꎬ执行计划.主要是按照上述设计的解题思路进行解答.在本题目中根据上述分析所形成的解题思路ꎬ按照如下步骤执行解题:(１)设数列ａｎ{}公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为２Ｓ２＝ａ２＋ａ３ꎬ所以２(ａ１＋ａ２)＝ａ１ｑ＋ａ２ｑꎬｑ＝２所以ａｎ＝２ ２ｎ－１＝２ｎ(２)根据题目(１)得出:ｂｎ＝２ｎ－１ａｎ＝２ｎ－１２ｎꎬ假设ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎ则Ｔｎ＝１ˑ１２＋２ˑ(１２)２＋５ˑ(１２)３＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ－１＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ①又因为１２Ｔｎ＝１ˑ(１２)２＋３ˑ(１２)２＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１②由①－②得出:５１１２Ｔｎ＝１２＋２ˑ(１２)２＋２ˑ(１２)３＋ ＋(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１即１２Ｔｎ＝１２＋１－(１２)ｎˑ２－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１所以Ｔｎ＝３－４ˑ(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＝３－(２ｎ＋３)ˑ(１２)ｎ第四ꎬ检验与回顾.这一环节主要是解题完成之后对其进行检验ꎬ看其是否正确.同时ꎬ在这一阶段中ꎬ还应及时进行反思和积累ꎬ为学生后续解题奠定基础.在本题目解答完毕后ꎬ就先引导学生开展检验ꎬ之后围绕整个解题过程进行反思和总结.对此ꎬ有的学生表示本题目中主要围绕等比数列的性质㊁通项公式㊁错位相减法进行了考查ꎻ还有的学生在总结中提出了解答第一问数列ａｎ{}的首项和公比ｑ是关键ꎻ也有的学生在总结中提出了本题的难点在于第二问ꎬ关键是运算[２].如此ꎬ学生通过反思与总结ꎬ不仅掌握了这一类型数学解题的解答技巧ꎬ也学会了知识的迁移和应用ꎬ真正提升了学生的举一反三能力.３高中数学波利亚解题教学启示波利亚模型是一种重要的㊁系统化的解题方式ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ可促使学生在 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 的引导下ꎬ深入挖掘题目中已知条件和所求问题ꎬ并引导学生运用所学的知识寻求已知条件和未知条件的内在联系ꎬ最终将陌生的数学题目转化成为学生所熟悉的数学解题类型ꎬ以便于学生形成明确㊁清晰的解题思路.鉴于波利亚模型在数学解题中的应用价值ꎬ高中数学教师还应灵活开展课堂教学ꎬ引导学生在日常学习中逐渐掌握这一解题技巧和能力.首先ꎬ引导学生灵活应用波利亚 怎样解题 表.波利亚模型为学生提供了一个常规的解题思路ꎬ无论是简单的数学题目ꎬ还是复杂的数学题目ꎬ都可以按照这一思路展开.因此ꎬ为了引导学生真正掌握这一解题技巧ꎬ就应结合具体的题目ꎬ引领学生分析题目㊁确定目标㊁研究解题思路㊁解题实践等.如此ꎬ经过一段时间的训练之后ꎬ学生就会逐渐形成波利亚解题思维.其次ꎬ深层次挖掘波利亚解题思想观ꎬ培养学生的核心素养.根据波利亚解题的具体流程和内涵ꎬ对学生的审题能力㊁基础知识体系㊁数学思想㊁数学运算等都提出了更高的要求.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ还应立足于波利亚解题的思想观ꎬ聚焦学生的核心素养设计课堂教学方案ꎬ全面加强学生基础知识㊁数学审题能力㊁数学抽象素养㊁常见数学思想教学ꎬ借助针对性的训练提升学生的数学综合素养.最后ꎬ重视检验与总结.波利亚解题模型中的四个步骤组成了一个系统化的解题体系.在实际应用中ꎬ部分教师常常忽视回顾和检验.鉴于此ꎬ在日常解题教学时ꎬ应给予足够的重视ꎬ引导学生完成解题之后及时进行反思ꎬ使学生在反思㊁总结中ꎬ领悟数学解题中蕴含的数学思想ꎬ内化数学知识ꎬ并提升自身的数学解题能力[３].综上所述ꎬ波利亚模型作为一种有效的解题工具ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ不仅提升了学生的数学解题效率ꎬ也帮助学生逐渐形成了良好的解题习惯ꎬ真正提升了高中生的数学解题能力.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常解题教学中ꎬ应基于针对性的练习题目ꎬ对波利亚解题模型进行细化ꎬ使学生在针对性的训练中ꎬ逐渐掌握这一解题技巧.参考文献:[１]李辉.例谈波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用[Ｊ].语数外学习(高中版上旬)ꎬ２０２１(５):５５.[２]黄倩欣.基于波利亚解题理论的高中数学习题课教学研究[Ｄ].海口:海南师范大学ꎬ２０２０.[３]赵源.运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１２):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]６１。
波利亚解题理论在高考解题中的应用
波利亚解题理论在高考解题中的应用代瑞香;穆明星;陈露【摘要】波利亚\"怎样解题表\"具有较强的实践应用价值.本文以一道经典高考题为例,探索了波利亚的解题理论,具体实践了\"弄清题意\"\"拟定计划\"\"执行计划\"\"回顾检验\"四个步骤.从核心素养培养的视角来看,在数学教学中坚决执行波利亚的解题理论,有助于学生学会用数学的眼光观察问题,用数学的思维分析问题,用数学的语言描述问题.【期刊名称】《兵团教育学院学报》【年(卷),期】2019(029)003【总页数】7页(P69-75)【关键词】解题理论;核心素养;问题解决;推理【作者】代瑞香;穆明星;陈露【作者单位】石河子大学理学院,新疆石河子 832003;石河子大学理学院,新疆石河子 832003;石河子大学理学院,新疆石河子 832003【正文语种】中文【中图分类】G633.6引言波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。
“教会学生思考”意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。
[1]实际上，“学会思考”是任何一门学科的关键一环，教育的最终目的是培养一个会思考、有灵魂的人，而不是一个只会重复知识的机器。
数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”。
[2]为回答“一个好的解法是如何想出来的”这个问题，波利亚专门研究了解题的思维过程，并将自己的研究成果写成《怎样解题》一书。
书中的核心是关于分析解题时得到的一张“怎样解题表”，表中主要包括“了解问题”“拟定计划”“实行计划”和“回顾”四部分。
每一个部分又分别由多个具体的单独子部分组成。
一、波利亚“怎样解题表”在高考解题中的应用分析本文以2017 年数学全国卷2 卷理科第14 题为例进行波利亚解题表的应用分析。
波利亚在初中数学解题应用
波利亚在初中数学解题应用嘿，朋友！你可曾在初中数学的解题世界里迷茫徘徊，感觉像是走进了一个充满迷雾的迷宫？别担心，今天咱们就来聊聊波利亚这位解题大师的奇妙方法在初中数学中的神奇应用，说不定能为你点亮那盏走出迷宫的明灯！想象一下，在一个阳光明媚的午后，教室里同学们正对着一道道数学题抓耳挠腮。
小明眉头紧皱，笔在手中不停地转着，嘴里嘟囔着：“这题咋做啊，感觉脑袋都要炸了！”而旁边的小红也是一脸苦恼，把草稿纸都快画满了，还是没有头绪。
这时候，老师微笑着走过来，轻轻拍了拍小明和小红的肩膀说：“孩子们，别着急，让我们试试波利亚的解题方法。
”波利亚的解题方法就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的数学难题之门。
它首先强调要理解题目，这可不是简单地读一遍题目就完事儿了。
得像侦探破案一样，仔细琢磨每个条件，不放过任何一个蛛丝马迹。
比如说，看到一个几何图形，要想到它的性质、定理，这就像是给你配备了一套精良的破案工具。
然后呢，制定一个解题计划。
这就好比你在旅行前规划路线，是走大路还是抄小道，得心里有数。
有时候，我们可以从已知条件出发，逐步推导；有时候，又要从问题倒推，看看需要什么条件才能达到目标。
这就像在玩一场智力拼图游戏，得找到那些关键的拼图块，才能拼出完整的图案。
在实施计划的过程中，可别害怕犯错。
就像学骑自行车，难免会摔倒几次，但每一次摔倒都是在积累经验。
也许你一开始的思路是错的，那没关系，及时调整，重新出发。
要相信，只要坚持不懈，总能找到正确的方向。
你可能会反问自己：“这方法真的有那么神奇吗？”当然啦！你想想，以前解题是不是像无头苍蝇一样乱撞？有了波利亚的方法，就像是有了导航，能让你少走很多弯路。
再比如，有一道关于函数的题目，一开始看着那一堆数字和字母，是不是感觉头都大了？但按照波利亚的方法，先仔细分析题目中给出的函数表达式，再想想我们学过的函数性质，然后制定一个解题步骤，是不是思路就逐渐清晰了？对于初中数学来说，波利亚的解题方法就像是一位贴心的朋友，时刻陪伴在我们身边，帮助我们战胜一个又一个难题。
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识
教育教学论文-浅谈对波利亚解题思想的认识浅谈对波利亚解题思想的认识美籍匈牙利数学家乔治・波利亚的《怎样解题》一书系统阐述了解题的思维过程,并将其归纳为四个解题步骤,但是它不仅仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法。
教师要在整个解题过程中渗透波利亚解题思想,经过“两次使用”,降低难度,帮助学生在潜移默化中学会使用波利亚解题思想,从而不断地提高中学生的解题能力。
在数学学习过程中,许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差,考虑不周造成思路受阻等问题。
那么,怎样才能有一个好的解题思路呢?为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,美籍匈牙利数学家乔治・波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成了《怎样解题》一书,其核心是一张怎样解题表,把解题的全过程分成了“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”四个步骤,把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。
它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头,使我们对整个思维过程看得见、摸得着,将思路打开,达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的结果,以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识以及看法:笔者认为,波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题,而且其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法值得我们特别关注,并由此注意将其融入日常的数学教学之中。
1.化归与转化思想通过适当的转化过程,把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题,从而求得解答,这就是化归。
在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目吗?一道更为特殊化的题目?一道类似的题目?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目,把原有题目转化为新题目,而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。
反之,若不进行这种转化,我们可能根本无从下手,就只能望题兴叹了。
高中数学解题中波利亚解题模型的应用精选文档
高中数学解题中波利亚解题模型的应用21世纪我国基础教育进入到新课改时代，为了适应时代发展的需求，解决传统应试教育所带来的弊端，培养学生健全的人格，极力需要构建新的基础教育体系.高中数学教学中，往往存在学生压力过大，解题效率过低，不仅挫伤学生学习积极性，而且难以发挥学生创造力，使得如何提高学生数学素质，高效解答数学题目，成为当前每一位高中数学教师亟需解决的重要任务之一.一、波利亚解题模型概述波利亚是一位经典分析大师，在变分学、概率论及函数论等多方面有深入研究.波利亚解题思想较丰富，其中最为经典的专著有《数学的发现》、《数学与猜想》及《怎样解题》等，其中《怎样解题》中的解题模型及解题表具有重要应用价值.在波利亚解题模型中，将解题过程分为四个阶段，即理解问题、制定计划、实施计划及回顾分析.其中第一阶段，理解问题要弄清已知条件是什么，问题是什么.如：解决应用题时，采用数学语言将题目描述出来，明确其中的已知条件为未知条件等.弄清题目后，可通过大脑对相关条件及问题进行搜索定位，寻找采用哪一种方法来解决.第二阶段，制定计划则需要在面对问题时，应理解条件中各个要求有怎样的联系，或者未知量与已知量有什么关系等.可从寻找模型、寻找技能、转化题目三方面进行，也是指找到与此题目相类似的问题，并从相关解题中获得启发，深入分析题目的问题及条件等，查看是否有合适的思想方法及技能，尤其在遇到较为复杂的问题时，可将其转换为比较熟悉的模型，对其进行解决.第三阶段，实施制定的计划，在已形成的解题思路及解题方案的指引下，采用已学知识、技能及原理等解决问题.第四阶段，则需要对整个解题过程进行回顾性分析及总结，主要要求学生怎么理解问题，形成怎样的解题思路，及如何检验所得到问题的结果，本题是否还隐藏有其他的解决办法.二、波利亚解题模型在高中数学解题中的应用波利亚解题模型可分为四大类，即双轨迹模式、递归模式、叠加模式.详细掌握上述三种模式，将其储存在大脑中，随时支取并解决类似的问题，这样一来，可提高数学解题效率，培养学生创新思维.1.叠加模式所谓叠加模式将一般情况分为若干特殊情况的组合，或者将几种特殊情况叠加为一般情况，进而选取适宜的解决办法.例1当一个物体的抛物线的运动轨迹如图1所示，其初始速度设置为v，对其求取物体运动曲线的轨迹方程.解析对于此道题目的解答可采用叠加模式进行解决.可知物体的运动轨迹是一曲线，并不是圆弧.当一质点在水平方向的匀速直线运动经过t秒后，其位移为x=vt，而实际运动的轨迹则可视为两种运动的相互叠加.因此，可得出以下方程组：x=vt，y=gt2/2.消去t,得y=g2v2x2.由此可知，其运动轨迹是一条抛物线.2.递归模式所谓的递归模式常用在数列求和中.在高中数学解题中此类题型是较为常见的题，解决此类题目时需要应用递归模式.例2S2=12+22+32+42+52+62+…+n2的和.解析针对此题的解题方式我们可采用递归模式来进行求解.由公式（n+1）3=n3+3n2+3n+1,得出（n+1）3-n3=3n2+3n+1.将具体数值代进去，即可得到23-13=3×12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1；43-33= 3×32+3×3+1，…，（n+1）3-n3=3n2+3n+1.将两边相加，得到（n+1）3-1=3S2+3S1+n.最后将S1代入到上式中，可得到S2=n(n+1)(2n+1)/6，采取同样的办法可得到S3=［n(n+1)/2］2.3.双轨迹模式所谓的双轨迹模式在数学几何解题中有广泛应用，可将问题转化为一个点，根据条件将其分为几大部分，每一部分都能够转变为某一点的一条轨迹，而每条轨迹可能是一条直线或圆等，当满足条件后的几个轨迹交点也即是需要求解的问题.例3已知三个相等并且不在同一直线上的圆，作一圆使得包含其他三个，并且与三个圆均相切.解析对于此道题，要想实现与其他三个圆均相切，则必须找到相应的圆心及半径即可，根据圆心及半径作圆就较为简单.因此，本题的解题关键就是寻找圆心及半径.可假设作出下图2.在该图中O假设为要找的圆心，而O1、O2、O3为已知圆的圆心，其A、B、C均为切点，即：OA=OB=OC,表示所求圆的半径.另外，根据题目条件可知，三个已知小圆的半径均相等，即O1A=O2B=O3C，也表示OO1=OO2=OO3.这样一来，将问题转化为：已知圆心O1、O2、O3三点，作与它们距离相等的点O，换句话来说，求取△O1O2O3外接圆的圆心.最终，将此道题可转换为我们之前解答的题目，就可很简单的将圆作出来.三、结束语波利亚解题模式在高中数学解题中的应用逐渐推广，通过教学实践证明：应用波利亚解题模型可提高学生解题效率，培养学生创造思维能力，符合新课改要求.本文通过对其中三种波利亚解题模型进行详细分析，旨在为今后的高中数学教学工作提供借鉴.。
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浅谈波利亚解题理论在中学数学解题中的应用摘要：在中学数学解题中，了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行波利亚解题表的第一步，也是重要的一步。
本文将按照波利亚的解题表、启发法和合情推理顺序阐述波利亚的解题思想和理论，最后再评述和阐述波利亚解题理论以及该理论在中学数学解题中的应用。
关键词：波利亚解题理论数学解题
“怎样解题表”中的问名与提示是用来促发念头的，正如波利亚所说：“如果你有一个念头，你就够幸运的了”；“如果你走运的话，你或许能找到另一个念头”。
真正糟糕的事是，“我们根本就没有念头”，因为“想不起什么念头，我们只有对问题感到厌倦的危险”，这时，“任何一个可能指明问题新方面的问题，都值得欢迎，因为它可以引起我们的兴趣，可以使我们继续工作，继续思索”。
所以解题表中的问题与提示具有启发解题思维的作用。
只要按照“表”中的问题和建议思考问题、探索解题途径进而逐步掌握解题方法的一般规律，就能成为解题高手。
波利亚还指出，寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。
”
1.关于波利亚解题表的解释
学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。
但是如果把问题留给他一个人而不给他任何帮助，或者帮助不足，那么他根本就得不到提高。
而如果教师帮助的太多，就没什么工作留给学生学习了。
所以帮助学生不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量。
要做到这一点，教师就应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生。
然而最好是顺乎自然地帮助学生。
教师应当把自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己原本应想到的。
所以了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行解题表的第一步，也是重要的一步。
当教师向他的学生提出表中的一个问题或建议时，教师心中可能有两个目的：第一，帮助学生解手上的题目；第二，提高学生的能力，使他将来能自己解题。
经验表明，恰当运用我们表中问题和建议往往能给学生以帮助。
这些问题和建议有两个共同的特征：常识性和普遍性。
实践性和模仿性是这两个共同特征隐含的教学含义。
也就是说，想要提高学生解题能力的教师，必须逐渐地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。
2.波利亚解题理论在中学数学解题中的应用
波利亚解题理论和思想对我国的数学教育影响是巨大的，我国教育研究者对波利亚解题理论的研究也取得了许多具有特色的成果。
具体来说，20世纪80年代，徐利治等就数学方法论的研究得到了一些具有重要意义的研究成果，比如“关系映射反演原则”、“数学抽象的方法与抽象度分析方法”等。
可以说，从后来的发展看，我国的数学方法论研究基本就是在这一基础上开展的。
在应用求解
的过程中，一方面继承了波利亚解题理论的精髓，从程序化的解题系统、启发法的过程分析、开放性的念头诱发和探索性的问题等四方面概括了波利亚解题思想的本质、真谛和核心等；另一方面，他从数学知识结构、数学思维能力、数学经验感和数学情感态度等方面论述了解题研究存在的问题以及存在问题的原因分析，最后从学习心理学和数学逻辑方面阐述了自己的解题研究观，对我国数学解题研究起到了很好的引导作用，具有很强的教学实践价值。
可以说，这在某种程度上可视为超越波利亚解题理论的佳作。
我国作为一个解题(以往基本上是解常规的数学题)大国，波利亚的影响是深刻而重要的。
3.案例分析：“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题早见于我国古代的《孙子算经》，波利亚认为该题是一个“智力测验的难题”，若干世纪以来一直使“许多聪明的青少年感兴趣”。
【题目】一户农家的大笼子里关着若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿。
问其中鸡、兔各有几只?
【解法1】（试凑法）一共50只家畜，它们不会全是鸡，否则只有100条腿；也不可能全是兔子，否则就有200条腿，会不会正好一半是鸡，另一半是兔子？如果这样，总共的腿数为25×2+25×4，即150条腿，超过了题目中的140条，可知兔子数应少于25只，让我们试一试20（即20只兔子，30只鸡），这时总共的腿数为20×4+30×2=140(条)。
我们得到了答案!用的是试凑、猜测的方法。
这里给定的数字(50和140)比较小，也比较简单，试凑起来比较容易。
如果数字较大或较复杂，就需要试凑更多次数，还可能要“碰运气”，当然，如果边试凑、边“推理”(有意识地把兔子数增多或减少)，使试验有目的、有次序地进行，就可减少试凑的次数。
【解法2】（触景生情引发的巧思）在我们持续探求新解法时，有人忽然看见笼子里的家畜做出一种新姿势：每只鸡都用一条腿站着，而每只兔子都仅用后腿(两条)站着。
这时，只用了半数的腿，即70条腿．在70这个数目中，显然鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次。
从70这个数减去所有的头数50，就应是兔子的头数，70-50=20，即兔子20只，于是鸡有30只。
【解法3】（代数的方法）一般拿到这个问题会列方程（组）求解。
设有鸡x只，兔子y只，则有，容易解得
对于给定较大的数，或多种多样类似的问题，这种将日常语言“翻译”成代数语言的方法，普遍适用，并且不需要多少诀窍。
以上三种解法，各有长处，试凑法以后也称“逐步校正法”或“逐步逼近法”，是很重要的数学思想方法；“解2”显示了创造的奇美；“解3”的优点是“程式化”；“解3”表现了代数的个性和威力，用字母代替数，把问题一般化，求得公式，使“鸡兔同笼”问题一劳永逸地解决了。
参考文献
[1]杨慧娟,杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想[j]
[2]罗增儒.数学解题学引论[m]
[3]曹琳彦，颜宝平.运用波利亚解题思想指导中学数学解题教学[j]。