波利亚解题理在中学数学解题中应用论文

浅谈波利亚解题理论在中学数学解题中的应用摘要：在中学数学解题中，了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行波利亚解题表的第一步，也是重要的一步。本文将按照波利亚的解题表、启发法和合情推理顺序阐述波利亚的解题思想和理论，最后再评述和阐述波利亚解题理论以及该理论在中学数学解题中的应用。

关键词：波利亚解题理论数学解题

“怎样解题表”中的问名与提示是用来促发念头的，正如波利亚所说：“如果你有一个念头，你就够幸运的了”；“如果你走运的话，你或许能找到另一个念头”。真正糟糕的事是，“我们根本就没有念头”，因为“想不起什么念头，我们只有对问题感到厌倦的危险”，这时，“任何一个可能指明问题新方面的问题，都值得欢迎，因为它可以引起我们的兴趣，可以使我们继续工作，继续思索”。所以解题表中的问题与提示具有启发解题思维的作用。只要按照“表”中的问题和建议思考问题、探索解题途径进而逐步掌握解题方法的一般规律，就能成为解题高手。波利亚还指出，寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。”

1.关于波利亚解题表的解释

学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。但是如果把问题留给他一个人而不给他任何帮助，或者帮助不足，那么他根本就得不到提高。而如果教师帮助的太多，就没什么工作留给学生学习了。

所以帮助学生不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量。要做到这一点，教师就应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生。然而最好是顺乎自然地帮助学生。教师应当把自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己原本应想到的。所以了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行解题表的第一步，也是重要的一步。当教师向他的学生提出表中的一个问题或建议时，教师心中可能有两个目的：第一，帮助学生解手上的题目；第二，提高学生的能力，使他将来能自己解题。经验表明，恰当运用我们表中问题和建议往往能给学生以帮助。这些问题和建议有两个共同的特征：常识性和普遍性。实践性和模仿性是这两个共同特征隐含的教学含义。也就是说，想要提高学生解题能力的教师，必须逐渐地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。

2.波利亚解题理论在中学数学解题中的应用

波利亚解题理论和思想对我国的数学教育影响是巨大的，我国教育研究者对波利亚解题理论的研究也取得了许多具有特色的成果。具体来说，20世纪80年代，徐利治等就数学方法论的研究得到了一些具有重要意义的研究成果，比如“关系映射反演原则”、“数学抽象的方法与抽象度分析方法”等。可以说，从后来的发展看，我国的数学方法论研究基本就是在这一基础上开展的。在应用求解

的过程中，一方面继承了波利亚解题理论的精髓，从程序化的解题系统、启发法的过程分析、开放性的念头诱发和探索性的问题等四方面概括了波利亚解题思想的本质、真谛和核心等；另一方面，他从数学知识结构、数学思维能力、数学经验感和数学情感态度等方面论述了解题研究存在的问题以及存在问题的原因分析，最后从学习心理学和数学逻辑方面阐述了自己的解题研究观，对我国数学解题研究起到了很好的引导作用，具有很强的教学实践价值。可以说，这在某种程度上可视为超越波利亚解题理论的佳作。我国作为一个解题(以往基本上是解常规的数学题)大国，波利亚的影响是深刻而重要的。

3.案例分析：“鸡兔同笼”问题

“鸡兔同笼”问题早见于我国古代的《孙子算经》，波利亚认为该题是一个“智力测验的难题”，若干世纪以来一直使“许多聪明的青少年感兴趣”。

【题目】一户农家的大笼子里关着若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿。问其中鸡、兔各有几只?

【解法1】（试凑法）一共50只家畜，它们不会全是鸡，否则只有100条腿；也不可能全是兔子，否则就有200条腿，会不会正好一半是鸡，另一半是兔子？如果这样，总共的腿数为25×2+25×4，即150条腿，超过了题目中的140条，可知兔子数应少于25只，让我们试一试20（即20只兔子，30只鸡），这时总共的腿数为20×4+30×2=140(条)。我们得到了答案!用的是试凑、猜测的方法。

这里给定的数字(50和140)比较小，也比较简单，试凑起来比较容易。如果数字较大或较复杂，就需要试凑更多次数，还可能要“碰运气”，当然，如果边试凑、边“推理”(有意识地把兔子数增多或减少)，使试验有目的、有次序地进行，就可减少试凑的次数。

【解法2】（触景生情引发的巧思）在我们持续探求新解法时，有人忽然看见笼子里的家畜做出一种新姿势：每只鸡都用一条腿站着，而每只兔子都仅用后腿(两条)站着。这时，只用了半数的腿，即70条腿．在70这个数目中，显然鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次。从70这个数减去所有的头数50，就应是兔子的头数，70-50=20，即兔子20只，于是鸡有30只。

【解法3】（代数的方法）一般拿到这个问题会列方程（组）求解。

设有鸡x只，兔子y只，则有，容易解得

对于给定较大的数，或多种多样类似的问题，这种将日常语言“翻译”成代数语言的方法，普遍适用，并且不需要多少诀窍。

以上三种解法，各有长处，试凑法以后也称“逐步校正法”或“逐步逼近法”，是很重要的数学思想方法；“解2”显示了创造的奇美；“解3”的优点是“程式化”；“解3”表现了代数的个性和威力，用字母代替数，把问题一般化，求得公式，使“鸡兔同笼”问题一劳永逸地解决了。

参考文献

[1]杨慧娟,杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想[j]

[2]罗增儒.数学解题学引论[m]

[3]曹琳彦，颜宝平.运用波利亚解题思想指导中学数学解题教学[j]