最新8-6微分法在几何上的应用汇总
8-6微分法在几何上的应用65393
则 Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2x; Gx 2x a,G y 2 y,Gz 0.
Fy Gy
Fz
2y 2z
0,
Gz M0 2 y 0 0,0,a
Fz Gz
Fx 2a 2 , Gx M0
Fx Gx
Fy 0. G y M0
曲线在点 M0 0,0, a的切线方程为
z f x, y
曲面方程为隐函数的情形：
Fx, y, z 0
1.两向量的数量积及两向量平行和垂直的充要条件;
2.直线的方向向量与空间直线方程;
3.平面的法向量与空间平面的方程;
4.隐函数的存在定理3.
1
第六节 微分法在几何上的应用
一. 空间曲线的切线与法平面
1. 设空间曲线 的参数方程为: x t, y t, z t,
x0 y0 za 0 2a 2 0
x 0
即
z a
法平面方程为： y 0
12
二. 空间曲面的切平面与法线
1. 设曲面 的方程为: Fx, y, z 0
M 0 x0 , y0 , z0 为曲面上一点,
在曲面上过点 M 0任作一曲线 ,
z
M0
5
方程组:
F x, Gx,
y, y,
z z
0 0
在点
M 0 x0 , y0 , z0
的某一邻域内确定
一组隐函数 y x, z x,
两边对x求全导数，得
F x
F y
dy dx
F z
dz dx
0
多元函数微分法在几何中的应用
⇒
dy z − x , = dx y − z dz x − y = , dx y − z
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量
T = {1, 0,−1},
x −1 y + 2 z −1 = = , 所求切线方程 切线方程为 所求切线方程为 1 0 −1
x = t; 例；求曲线 y = t 2 ;在点(1,1,1)处的切线方程和法平面 方程 . z = t 3;
解：对应与点(1,1,1), t = 1, dx dy = 1, = 2t t =1 = 2, dt dt
dz = 3t 2 t 1 = 3, = dt
dx dy dz ∴T = , , = {1,2,3}, dt dt dt t = 1 在点(1,1,1)处的切线方程为： 处的切线方程为：
x −1 y −1 z −1 , = = 1 2 3 法平面方程为： 法平面方程为：
( x − 1) + 2( y − 1) + 3( z − 1) = 0,
即： x + 2 y + 3 z − 6 = 0
例1
x = te t , y = 2 sin t + cos t , z = 1 + e 3 t 求曲Γ :
的任意一条曲线， 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线， 垂直， 它们在 M 的切线都与同一向量 n 垂直，故曲面上 通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面 切平面. 上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面 切平面方程为
′ ′ Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
微积分学的实际应用
问题分析
• 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题:
分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
平均速度 v
s
t
s s0 t t0
g 2
(t
0
t).
t0 t
t
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim v lim s s0 lim s
tt0
tt0 t t0 t0 t
2. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. q dq
C’(x)=0.5-9800/x2
令C′(x)=0，x=140 又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或
微积分在几何学中的运用
微积分在几何学中的运用微积分是数学中最精妙的分支之一，因为它描述了变化，尤其是变化率（也称为导数）的概念。
微积分在几何学中有广泛的应用，特别是在曲线焦点的计算和判定方面，有助于我们理解微积分的实用性和重要性。
首先，让我们来看一下如何使用微积分来计算曲线焦点。
焦点定义为曲线上的一点，它的位置完全确定了曲线的高低与起伏，也可以理解为曲线的核心，有关曲线焦点的精准定位很关键，这时候微积分就发挥它的作用了。
最简单的情况是一次函数y=ax+b，你可以看到它的焦点就是（b/a，0）。
然而对于更复杂的函数，例如y=ax2+bx+c，情况就不太一样了，此时将因式变换成一般形式是y=a'x2+b'x+c'，根据余弦定理，这种情况下函数的焦点就是（（-b'）/（2a'），-a'/4*（b')2/（4a'））。
以上就是通过微积分计算曲线焦点的方法，而且是与多项式次数无关的，只要将多项式转换成一般形式就行，对于高次多项式也可以有效设置出它的准确的位置。
另一方面，微积分也可以用来判定曲线的单调性和有界性。
函数在某点的取值要增大或者减少，可以使用微分检查函数在某点是否可以到达此目标，而且可以使用顶点判别定理来判断函数是否有界，可以准确预测函数的上下限范围。
有了上述的知识，就可以更有效地实现函数的构造和参数的优化，比如在工程技术中中，飞行器需要满足一定的空气动力学要求，通过函数参数调整可以实现想要的目标，节省大量的实验成本和内存。
总之，微积分在几何学中有广泛的应用，归结起来一句话：微积分可以做到可以用来计算曲线焦点、判断函数的单调性和有界性，及实现函数构造参数优化等应用，不仅可以优化曲线设计，还可以体现出不同的数学性质。
8-6-1多元微分在几何上的应用 共29页
x 4 y 6 z 21
三、小结
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
思考题
如 果 平 面 3xy3z1 60与 椭 球 面 3x2y2z21相 6切 ， 求 .
思考题解答
z z 0 f x ( x 0 , y 0 ) x x ( 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) y y ( 0 )
切平面上点的 竖坐标的增量
函z 数 f(x,y)在 (x 0 点 ,y0)的全微
z f ( x, y)在( x0, y0 )的全微分，表示曲面z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 , z0 )处的切平面上的点的竖坐标的增量.
z 0
2
或
x z
y 2
2 0
0.
四、 x y 2z
11 .
2
END
法线方程为 x2y1z4. 4 2 1
例 4 求曲面z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程. 解 令 F (x ,y ,z) z e z 2 x y 3 ,
Fx(1,2,0) 4,
Fy (1,2,0) 2,
Fz(1,2,0) 0,
切平面方程 4 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 0 ( z 0 ) 0 ,
Gy Gz0 Gz Gx0 Gx Gy0
法平面方程为
G F y yG F z z0 ( x x 0 ) G F z z G F x x 0 (y y 0 ) G F x xG F y y 0 ( z z 0 ) 0 .
微积分在平面和立体几何中的应用
微积分在平面和立体几何中的应用生活中我们是否想过这样的问题，超市中许多种匹萨中到底哪一个最实惠；面对一块及将中上花的花坛我们到底应该买多少种子；一个没气的篮球，我们到底应该用气筒打多少下。
这些问题似乎和我们所学的微积分没什么关系，但是如果没有微积分，这些问题根本没法解决。
那么他们是怎么联系起来的呢？【一】 平面图形面积求法一 哪一块匹萨最实惠——扇形面积求法对于扇形的匹萨来说，单位面积的匹萨价钱越低就越实惠，而价钱是既定的，我们所要求的就是匹萨的面积，也就是扇形的面积。
对于扇形的面积，初中都已经学过，就是22360r s πθ︒=（θ指的是角度），其实就是把圆的面积当做已知条件，并没有给出确切的解释。
而高中课本中的公式rl s 21=221r θ=（这里的θ是指弧度），只是把角度换成了弧度，也没有给出确切的解释。
所以今天，我们就来探讨一下扇形面积的求法。
以 b a s ⨯=（a,b 为矩形长宽）r l θ= r c π2=（此公式为圆周率的实际定义）为定理推导。
命题：证明圆心角为θ，半径为r ，弧长r l ⨯=θ的扇形的面积为rl s 21=221r θ= 证明：将扇形沿对称轴分为全等的两部分，其中一部分翻转后再拼接，再将每一个小扇形沿对称轴分为全等的两部分，其中两个四分之一扇形翻转后再拼接，将此步骤重复n 次（ n ∞→),图形最终将变成一个矩形，其长为2l ，宽为r 。
因此可证扇形面积 rl s 21=221r θ= 上证法中用到了微积分中典型的化曲为直的思想，既简单有易理解。
同样的方法也可用于求扇环的面积。
这样一来，哪一块匹萨最实惠的问题就解决了。
二 圆形面积求法生活中圆形的东西比比皆是，对于圆形的表面积我们只是记住了一个公式2R s π=并没有给出确切的解释，而今天我们从三个角度来深度探讨。
1.基本求法由222R y x =+可得22x R y -±=，将半个圆的面积乘以2即可 故dx x r s R R⎰--=222，认为θcos R x =，则可得 ⎰⎰=⨯-=⨯-=-πππθθθθ222222)(sin 2)cos (cos 2R d R R d R R s R R 2.参数方程求法由222R y x =+可设θcos R x =，θsin R y =则可得 )cos (sin 22θθR d R ydx s R R R R ⎰⎰--== 由第一类换元法θθθd d sin )(cos -=可得3.层层嵌套求法如图所示，从0→R 每一个小圆环的面积rdr S π2=∆ 故22002r R r rdr s R πππ===⎰4.扇化圆求法 由扇形面积公式rl s 21=221∧=r θ可得 每一个小扇形的面积2221Rd R s πθ==∆上述求法中⎰=Rrdr s 02π 表明表面积是周长的原函数，面积的导数是周长。
微分学的应用
例7
z x2 y2 上的一点 , P 例 8 求曲线C : y0 使得P点处的切线与 轴正向相交成 角。 x 4
过 例 9 在 柱 面x y R 上 求 一 曲 线 ， 使 得 它 通
2 2 2
点( R,0， 且 每 点 处 的 切 向 量 与轴 、z轴 的 夹 0 ） x 角相等。
abc 5 证明abc 27( ) ( a , b, c 0) 5
3
求 椭 球 面 y z xz yz a 上z坐 标 x
2 2 2 2
最大与最小的点以及向 平面投影的边界 xoy 曲线方程。
设函数f ( x , y )在点O(0,0)及其领域连续， f ( x , y ) f (0,0) 且 lim 2 A 0, 讨论 2 x 0 x 1 x sin y cos y
Lz f z z 0 L ( x，y，z ) 0
注 1.若由问题的实际意义知必存在。 2. 拉格朗日乘数法可推广到 n 元函数上去.
求 u f ( x1，x2， xn ) 在 m ( m n) 个约束条件
则
(1) 当 0 时, M 0为极值点 且A 0 时, f ( x0 , y0 ) , 为极大值, A 0 时, f ( x0 , y0 )为极小值 ;
( 2) 0时, M 0 不 是 极 值 点 ; ( 3) 0时, 不 一 定
三.最大值和最小值
设 f (x, y) 在有界闭区域D上连续 , 则 f (x, y) 在D 上必有最大,小值。
{dx, dy, dz} | M 0等.
2. 若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把 x 看成 参数而 得方向向量 {1, y( x0 ), z( x 0 )}
§8.6微分法在几何上的应用.
§8.6微分法在几何上的应用 重点：1.空间曲线的切线与法平面的求法2.曲面的切平面与法线的求法.难点：空间曲线作为曲面 F(x,y,z)=O 与曲面 一.空间曲线的切线与法平面切线方程为：1y+2=0法平面方程：(x-1)+0 (y+2)-(z-1)=0 即 x-z=0 二.曲面的切平面与法线1.曲面由F(x,y,z)=O 给出可以证明：Fx(xo, yo , zo ), Fy (xo , yo , zo), Fz (xo, yo , zo )= n 垂直于M (x °,y °,Z o )点的任何曲线 在M 点的切线,即所有这些切线共面，其法线方向为n ,这个平面称为切平面•其方程为：X X y (t) z1.设的参数方程为y (t)z(t)在 (1)式 中，用t 除 各 分母.令M 1M ( t o)得：切程:X X o y y o z Z o⑵'(t o )'(t o )'(t o)法平面方程 :'(t o )(x X o )+'(t o )(y y o ) + '(t o)(zZ o ) =o (3)X o(1)线方X 割线MM '勺方程是：上的交线时，其切线与法平面的求法G(x,y,z)=Oz Z o y y o 例1. 求曲线x= t, yt 2,z 3t 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.2.空间曲线 的方程 (X),曲线在点(X)M( X o , y o ,z o )F x(x°, y°,z°)(x X o) + F y(x。
，y o,Z o)(y y°) + F z(x°, y°,z°)(z z°) 0法线方程为:肾y y。
F y z Z o Fz2.曲面由z=f(x,y)给出此时令 F(x,y,z)=z-f(x,y)或 F(x,y,z)=f(x,y)-z,可化为 I 由曲面 F(x,y,z)=0 给出的情形.解此方程组得：y',z',(x 。
816多元函数微分学的几何应用
若记向量 n ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , , y 0 , z 0 ) F z ( x 0 , , y 0 , z 0 ))
曲线Γ在点M处 切线的方向向量记为 则※式可改写T 成 n ( x T ( t 0 ) 0,y 即 ( ,t 向0 ) 量z ( , nt 0 与 )T) 垂直,.
利用2. 结果, 在M(x0, y0, z0)处,
下面求出.
切线方程为 xx0 yy0 zz0 ,
1 法平面方程为
y(x0) z(x0)
1 ( x x 0 ) y ( x 0 ) y ( y 0 ) z ( x 0 ) z ( z 0 ) 0 .
8
8.6 多元函数微分学的几何应用
8.6 多元函数微分学的几何Байду номын сангаас用
8.6 多元函数微分学的 几何应用
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 全微分的几何意义 小结 思考题 作业
第8章 多元函数微分法及其应用
1
8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
1. 空间曲线的方程为参数方程
x x(t)
设空间曲线的方程 y y(t) (t )(1)
Fx Fy dz G x G y dx F y F z
Gy Gz
Gy Gz
利用2.结果,
xx0 yy0 zz0 1 y(x0) z(x0)
9
8.6 多元函数微分学的几何应用
所以 G F((xx,,yy,,zz))00,在点 M(x0, y0, z0)处的
切线方程为
xx0 yy0 Fy Fz Fz Fx
3
即
微分法在几何上的应用
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为： 根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的 《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线， 它们在 M 处的切线在同一个平面上。 法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：
∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式 简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量 ：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面 方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0
7(7)微分法在几何上的应用解析
dz G x G y dx Fy Fz
Gz
G y Gz Gy x x0 y y0 利用2.结果, 1 y( x0 )
z z0 z( x0 )
9
微分法在几何上的应用
F ( x, y, z ) 0 , 在点 M(x0, y0, z0)处的 G( x, y, z ) 0 x x0 y y0 z z0 切线方程为 , Fz Fx Fy Fz Fx Fy
(t0 )( x x0 ) y.(t0 )( y y0 ) z(t 0 )( z z0 ) 0 x 中心的某球面上 证 任取曲线上一点 ( x( t ), y( t ), z ( t )),
曲线过该点的法平面方程为 x( t )[ X x( t )] y( t )[Y y( t )] z( t )[ Z z( t )] 0 因原点 (0,0,0) 在法平面上, 故有 x(t ) x(t ) y(t ) y(t ) z(t )z(t ) 0
即 [ x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) ] 0
于是
x 2 (t ) y 2 (t ) z 2 (t ) C
14
微分法在几何上的应用
隐式方程 1. 设曲面Σ的方程为 F ( x , y , z ) 0 的情形 M ( x0 , y0 , z0 ) , 函数 F ( x , y , z ) z F ( x, y, z ) 0 的偏导数在该点连续且不同 时为零. M ( x0 , y0 , z0 ) 今在曲面Σ上任取一条 过点M 的曲线Γ, 设其参数 方程为
微分法的几何应用(2)
2 y
2 z
2 4
，即
x
2 y
2 z
2 4；
2
2
2
1 1
14
螺旋线在点 M 处的法平面方程为 2(x 2) 2( y 2) 2(z 2 )0 ，
4
即 4x4 y4z 20 。
注：（1）只要与x(t ), y(t ), z(t )成比例的向量均
可作为切线的方向向量。
（2）若曲线方程为 y y( x) ， z z( x) ，则以 x 为参数，
§8.8 微分法的几何应用
8.8.1 空间曲线的切线与法平面 z
L
定义 1：设 L 为一空间曲线，
M
M, ML 。当点 M 沿曲线
M0
L 趋近于点M 时，割线 MM
o
y
的极限位置 MT ，称为曲线 L x
在点 M 处的切线。过点M 且与切线MT 垂直的
平面，称为曲线 L 在点M 处的法平面。
1
x x(t) 设空间曲线为 L： y y(t) ，且 x(t ) 、 y(t ) 、z(t )
则 Fx 2x ， Fy 2 y ，Fz 2z ，
设切点为 M( x , y , z ) ，则该点处切平面的法向量为
n{2x ,
2 y ,
2z }2{ x ,
y ,
z }
，
∵切平面与平面3x4 y z2 平行，
它们的法向量平行， 17
∴ x y z ， 解得 x 3z ， y 4z ， 3 41
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
(z
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8-6微分法在几何上
的应用
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
法平面方程为 «Skip Record If...»
2.空间曲线方程为 «Skip Record If...»
切线方程为 «Skip Record If...»
法平面方程为 «Skip Record If...»
例2求曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
解2 将所给方程的两边对«Skip Record If...»求导并移项，得
«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» 由此得切向量 «Skip Record If...» 所求切线方程为 «Skip Record If...» 法平面方程为 «Skip Record If...» «Skip Record If...»
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为 «Skip Record If...»
在曲面上任取一条通过点M 的曲线
«Skip Record If...»
曲线在M 处的切向量 «Skip Record If...»
令 «Skip Record If...»
则 «Skip Record If...»由于曲线是曲面上通过«Skip Record If...»的任意一条曲线，它们在«Skip Record If...»的切线都与同一向量«Skip Record If...»垂直，故曲面上通过«Skip Record If...»的一切曲线在点«Skip Record If...»的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点«Skip Record If...»的切平面.
切平面方程为«Skip Record If...»
通过点«Skip Record If...»而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为«Skip Record If...»
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M 处的法向量即
n T
M
,z
y x z dx dy --=,z y y x dx dz --=
«Skip Record If...»
特殊地：空间曲面方程形为 «Skip Record If...»
令 «Skip Record If...»
曲面在M处的切平面方程为
«Skip Record If...»
曲面在M处的法线方程为
«Skip Record If...»
全微分的几何意义
因为曲面在M处的切平面方程为
«Skip Record If...»
切平面上点的竖坐标的增量
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的全微分，表示曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切平面上的点的竖坐标的增量.
若«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与«Skip Record If...»轴的正向所成的角«Skip Record If...»是锐角，则法向量的方向余弦为
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
其中 «Skip Record If...» «Skip Record If...»
例3 求旋转抛物面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切平面及法线方程.
解«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»
切平面方程为 «Skip Record If...» «Skip Record If...»
法线方程为 «Skip Record If...»
例4 求曲面«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切平面及法线方程.
解令 «Skip Record If...»
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
切平面方程 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
法线方程 «Skip Record If...»
例5 求曲面«Skip Record If...»平行于平面«Skip Record If...»的各切平面方程.
解设«Skip Record If...»为曲面上的切点,。