2016年北京高考数学真题及答案(文科)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

（1）已知集合{|24}A x x =<<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =I
（A ）{|25}x x << （B ）{|4x x <或5}x > （C ）{|23}x x << （D ）{|2x x <或5}x >
（2）复数
12i
2i
+=- （A ）i （B ）1i + （C ）i -
（D ）1i -
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36
（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是
（A ）11y x
=
- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+
（D ）2x y -=
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（5）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为
（A ）1 （B ）2 （C
（D
）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A ）15
（B ）
25 （C ）8
25
（D ）
9
25
（7）已知(2,5),(4,1)A B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为
（A ）1- （B ）3 （C ）7
（D ）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名
学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛
（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9
）已知向量=a
，=b ，则a 与b 夹角的大小为 ． （10）函数() (2)1
x
f x x x =
-≥的最大值为 ． （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．
（12）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线为20x y +=
，一个焦点为0)，
则a = ；b = ． （13）在ABC △中，π
3
A 2∠=
，a =，则b c = ．
（14）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种
商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
① 第一天售出但第二天未售出的商品有 种； ② 这三天售出的商品最少有 种．
俯视图
正（主）视图
侧（左）视图
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三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
（16）（本小题13分）
已知函数()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，
w 至少定为多少？
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当3w =时，估计该市居民该月的
人均水费．
用水量（立方米）
频率
组距
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（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB DC ，DC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：DC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）设点E 为AB 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，
使得//PA 平面CEF ？说明理由．
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过(2,0),(0,1)A B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交
于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．
（20）（本小题13分）
设函数32()f x x ax bx c =+++．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）设4a b ==．若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （Ⅲ）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C
（6）B
（7）C
（8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）6
π
（10）2 （11）
32
（12）1 2 （13）1
（14）16
29
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b =
==， 所以2
11b b q
=
=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =． 所以21n a n =- (1,2,3,)n =L ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，13n n b -=．
因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和
113(21)133n n S n -=+++-++++L L
(121)13213n
n n +--=+
- 2
31
2
n n -=+．
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（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+
sin2cos2x x ωω=+
π
)4
x ω=+,
所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω
==． 依题意，
π
πω
=，解得1ω=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π
())4
f x x +．
函数sin y x =的单调递增区间为ππ
[2π,2π]22k k -+ ()k ∈Z ．
由 πππ
2π22π242
k x k -++≤≤， 得 3ππππ88
k x k -
+≤≤． 所以()f x 的单调递增区间为3ππ
[π,π]88
k k -
+ ()k ∈Z ． （17）（共13分）
解：（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．
依题意，w 至少定为3．
（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
10.5=（元）
．
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（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为PC ⊥平面ABCD ，
所以PC DC ⊥． 又因为DC AC ⊥，
所以DC ⊥平面PAC ． （Ⅱ）因为//AB DC ，DC AC ⊥，
所以AB AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAC ． 所以平面PAB ⊥平面PAC ．
（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面CEF ．证明如下：
取PB 中点F ，连结,,EF CE CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以//EF PA ． 又因为PA ⊄平面CEF ， 所以//PA 平面CEF ．
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
又c
所以离心率c e a ==
P
F
B
E
A
D
C
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（Ⅱ）设00(,)P x y 00(0,0)x y <<，则220
044x y +=． 又(2,0)A ，(0,1)B ，所以， 直线PA 的方程为0
0(2)2
y y x x =--． 令0x =，得0022M y y x =-
-，从而0
02||112M y BM y x =-=+-． 直线PB 的方程为00
1
1y y x x -=+． 令0y =，得001N x x y =-
-，从而00||221
N x
AN x y =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积
1
||||2
S AN BM =
⋅ 000021
(2)(1)212
x y y x =++-- 22000000000044484
2(22)x y x y x y x y x y ++--+=
--+ 00
0000002244
22
x y x y x y x y --+=--+ 2=．
从而四边形ABNM 的面积为定值．
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）由32()f x x ax bx c =+++，得 2()32f x x ax b '=++．
因为(0)f c =，(0)f b '=，
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时，32()44f x x x x c =+++，
所以2()384f x x x '=++．
令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或2
3
x =-．
数学（文）（北京卷） 第 10 页（共 10 页）
()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：
所以，当0c >且027c -
<时，存在 1(4,2)x ∈--，2(2,)3x ∈--，
32
(,0)3x ∈-，使得123()()()0f x f x f x ===．
由()f x 的单调性知，当且仅当32
(0,)27
c ∈时，函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点．
（Ⅲ）当24120a b ∆=-<时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，
此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ． 当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．
当4,0a b c ===时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．。