含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

[学习要求]

（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。

（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

第一阶梯

例1：实数绝对值的涵义是什么？

探路：实数绝对值的定义是分类给出的。

解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

即：

评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。例2：型如：|x|a，（其中a>0）不等式的解法。

探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。

解：当a>0时， |x|

|x|>a x2>a2x>a或x<－a；其几何意义为

评注：

解：型如|x|0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|0）的解集为－aa，（a>0）的解集为x>a或x<－a是十分重要的。

例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤

|a|+|b|”

探路：利用“代换法”

证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤

|a|+|b|

评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。

（1）|a·b|=|a|·|b|；（2），（b≠0）；

（3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|

例4：不等式||<1的解集是（）

（A）{x|5

（C）{x|7

探路：

根据不等式的性质|f(x)|0）求解。

解：

<1－1<－3<12<<44

评注：本题考查含绝对值不等式的解法。

例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4

探路：

含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。

解：由3x+2=0，得x=；由x-2=0，得x=2，∴

原式或或

或或

x<－1或02

x<－1或x>0 故原不等式的解集为{x|<－1或x>0}

评注：

①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们

把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。

②分类讨论思想、解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。

第二阶梯

例1：解下列不等式

（1）|-2|≤3；（2）|x2-3x|>4

探路：当a>0时，有|f(x)| ≤a－a≤f(x)≤a；|f(x)|>a f(x)>a或f(x)<－a

解：

（1）原不等式－3≤－2≤3－1≤≤5，∵≥0，

∴0≤≤50≤3x-2≤252≤3x≤27≤x≤9

∴原不等式的解集为{x|≤x≤9}；

（2）原不等式x2-3x>4或x2-3x <-4x2-3x-4>0或x2-3x+4<0

解x2-3x-4>0，得x<-1或x>4；解x2-3x+4<0，得x∈

∴原不等式的解集是{x|x<-1或x>4}。

评注：

依据a>0，x∈R时，有|x|a x>a或x<－a

可知，去掉绝对值符号的主要方法，为 |f(x)|0）；|f(x)|>a

f(x)>a或f(x)<－a，（a>0）

例2.解下列不等式

（i）|x2－9|≤x+3；

探路：根据实数绝对值的意义，即|a|=去掉绝对值符号，再行解之。

解：原不等式（I）或（II）

不等式组（I）x=－3或3≤x≤4；

不等式组（II）2≤x＜3；

∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。

探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，再行解之。

解：原不等式－(x+3)≤x2－9≤x+3≤

x=－3或2≤x≤4。

∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。

评注：