中考二次函数含参问题小综合~2018年九年级中考数学模拟篇

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2018中考数学试题二次函数解答题试题汇编(含答案解析)

2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。

2018年秋浙教版九年级数学上册《二次函数》综合达标题及解析

D．－1 或－7
10．抛物线 y＝ax2＋bx＋3(a≠0)过 A(4,4)、B(2，m)两点，点 B 到抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0＜d≤1，则实数 m 的取值范围是( A．m≤2 或 m≥3 ) C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
B．m≤3 或 m≥4
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．用配方法把二次函数 y＝x2－6x＋7 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式为__ 12．二次函数 y＝x2－2x 的图象的对称轴是直线__ __ . __.
)
6．把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得函数图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则( A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 ) C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
7．关于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象有下列命题：①当 c＝0 时，函数的图象经过原点；② 当 c ＞0 ，且函数的图象开口向下时， ax2＋ bx＋ c ＝ 0 必有两个实数根；③函数图象最高点的纵坐标是 4ac－b2 ；④当 b＝0 时，函数图象关于 y 轴对称．其中正确的个数是( 4a A．1 B．2 C．3 D．4 ) D．－34≤y≤2
1
)
8．当－4≤x≤2 时，函数 y＝－(x＋3)2＋2 的取值范围为( A．－23≤y≤1 B．－23≤y≤2 C．－7≤y≤1
2018 年秋浙教版九年级数学上册《二次函数》综合达标题及解析
9．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋4x＋m，则 m 的值是( A．1 或 7 B．－1 或 7 C．1 或－7 )

(人教版)2018中考数学：拓展题型-二次函数综合题((有答案)

目录拓展题型二次函数综合题 (1)拓展一二次函数与线段和差问题 (1)拓展二二次函数与三角形面积问题 (6)拓展三二次函数与特殊四边形判定问题 (15)拓展四二次函数与特殊三角形判定问题 (24)拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题针对演练1. (2016贺州10分)如图，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(10，8)，沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为(6，8)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O ，A ，E 三点．(1)求此抛物线的解析式； (2)求AD 的长；(3)点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△P AD 的周长最小时，求点P 的坐标．第1题图2. (2016大连12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称．(1)填空，点B 的坐标是________；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC .求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．第2题图3. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．第3题图备用图【答案】1．解：(1)∵四边形OABC是矩形，B(10，8)，∴A(10，0). ……………………………………………………(1分) 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，∴2210100668a b ca b cc⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩，解得13103abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为y＝－13x2＋103x；………………………(3分)(2)由题意可知：AD ＝ED ，BE ＝10－6＝4，AB ＝8，………(4分) 设AD 为x ，则ED ＝x ，BD ＝AB －AD ＝8－x ，在Rt △BDE 中，ED 2＝EB 2＋BD 2，即x 2＝42＋(8－x )2，………………………………………… (5分) 解得x ＝5，即AD ＝5；……………………………………………………(6分) (3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)，∴△P AD 的周长l ＝P A ＋PD ＋AD ＝P A ＋PD ＋5，…………(7分)∵抛物线的对称轴是线段OA 的垂直平分线，点P 是抛物线对称轴上的一动点，∴PO ＝P A ，∵l ＝P A ＋PD ＋5＝PO ＋PD ＋5，∴当PO ＋PD 最小时，△P AD 的周长l 最小，即当点P 移动到直线OD 与抛物线对称轴的交点处时PO ＋PD 最小，……………………………………………………………… (8分)设直线OD 的解析式为y ＝kx ，将D 点坐标(10，5)代入得：5＝10k ，解得k ＝12，∴直线OD 的解析式为y ＝12x ，………………………………(9分)当x ＝5时，y ＝52，∴P 点的坐标是(5，52)．……………………………………(10分)2．解：(1)(0，12)；…………………………………………… (2分)【解法提示】由y ＝x 2＋14得：A (0，14)， ∵点B 、O 关于点A 对称，∴B (0，12)．(2)∵直线BC 过点B (0，12)，∴直线BC 解析式为y ＝kx ＋12，………………………………(3分)∴C (12k -，0)，又∵P 是直线l 上一点，∴可设P (12k -，a )．如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴，垂足为N ，连接PB ，第2题解图①则在Rt △PNB 中，由勾股定理得：PB 2＝PN 2＋NB 2， ∵PB ＝PC ＝a ，∴a 2＝(12k -)2＋(a －12)2，……………………………………(5分)解得a ＝21144k +，∴PB ＝21144k +，∴P 点坐标为(12k -，21144k +)，……………………………(6分) 当x ＝12k -时，y ＝21144k +，∴点P 在抛物线上；…………………………………………(7分) (3)如解图②，由C ′在y 轴上，可知∠CBP ＝∠C ′BP ，第2题解图②∵PB ＝PC ，∴∠CBP ＝∠PCB ， ∵PC ∥C ′B ，∴∠PCB ＝∠ABC ，∴∠C ′B P ＝∠CBP ＝∠ABC ＝60°， ∴△PBC 为等边三角形，∵OB ＝12，∴BC ＝1，OC ＝32， ∴PC ＝1，∴P (32，1)．…………………………………………………(12分) 3．解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， ∴C (0，3)，E (2，3)，将C (0，3)，E (2，3)代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 得， 3423c b c =⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)由(1)得y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)， ∴AO ＝1，BO ＝3，又∵C (0，3)， ∴OC ＝3，在Rt △AOC 中，由勾股定理，得AC ＝=， ∵CO ＝BO ＝3，OF ＝2， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，AF ＝3，BF ＝1， ∴MF ＝BF ＝1， ∵RO ∥MF ，∴△ARO ∽△AMF ， ∴RO AO MF AF =， ∴113RO =，解得RO ＝13，∴CR ＝3－13＝83，在Rt △AOR 中，AR ＝=， ∴△ACR 的周长为10＋83＋103＝8＋4103； (3)存在点P ，使得AP ＋PH ＋HG 的值最小．如解图，取OF 中点A ′，连接A ′G 交直线EF 的延长线于点H ，过点H 作HP ′⊥y 轴于点P ，连接AP ，此时，AP ＋PH ＋HG 的值最小，第3题解图设直线A ′G 的解析式为y ＝kx ＋a ，将A ′(1，0)，G (4，－5)代入得， 045k a k a +=⎧⎨+=-⎩，解得5353k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线A ′G 的解析式为y ＝－53x ＋53，令x ＝2，得y ＝－103＋53＝－53，∴点H 的坐标为(2，－53)，∴符合题意的点P 的坐标为(0，－53)．拓展二二次函数与三角形面积问题针对演练1. (2016永州12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过(－1，0)， (3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为3102？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2015攀枝花)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB .(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2015桂林)如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：____________________；(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD 的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2016常州10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的表达式；(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF ＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图【答案】1．解：(1)令x ＝0，得y ＝－3， ∴C (0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3中，得 309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；…………………………(3分)(2)联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵O 是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝0，即22022k k +++-+= 解得k ＝－2，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴A (－3，23)，B (3，－23)；…………………………(7分)；(3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.理由如下：假设存在实数k 使得△ABC 的面积为3102，联立方程组223y x x y kx⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得 1122k x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2222k x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则A ()，B(222,22k k k ++++)， ∴S △ABC ＝12OC (x B －x A )＝3102， ∴12×3×＝3102，∴k 2＋4k ＋16＝10，即k 2＋4k ＋6＝0， ∵b 2－4ac ＝16－24<0， ∴此方程无解，∴不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102.………………(12分)2．解：(1)把点A (－1，0)，B (3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴y ＝－x 2＋2x ＋3；【一题多解】由题意可知点A (－1，0)，点B (3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线解析式为y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.(2)存在点D ，使得△BCD 的面积最大．设D (t ，－t 2＋2t ＋3)，如解图①，作DH ⊥x 轴于点H ，C 点坐标为(0，3)，第2题解图①则S △BCD ＝S 四边形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ＝12t (－t 2＋2t ＋3＋3)＋12(3－t )(－t 2＋2t ＋3)－12×3×3＝－32t 2＋92t ，∵－32＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，∴当t ＝－922×（－32）＝32时，S △BCD＝－32×(32)2＋92×32＝278，即点D 的坐标为(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278； (3)存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等．如解图②，∵P (1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一，第2题解图②∵直线BC 为y ＝－x ＋3，∴过点P 作BC 的平行直线l 1，设l 1为y ＝－x ＋b ，将P (1，4)代入即可得到直线l 1的解析式为y ＝－x ＋5，联立方程组2523y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得1123x y =⎧⎨=⎩， 2214x y =⎧⎨=⎩， ∴Q 1(2，3)；∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3， ∴M (1，2)，设PM 与x 轴交于点E ， ∵PM ＝EM ＝2，∴过点E 作BC 的平行直线l 2，则过点E 且与BC 平行的直线l 2与抛物线的交点也为所求Q 点之一，即将直线BC 向下平移2个单位得到直线l 2，解析式为y ＝－x ＋1，联立方程组2123y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴Q 2(22)，Q 3(22)， ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2()，Q 3()． 3．解：(1)y ＝－12x 2＋3x ＋8；【解法提示】把点A (0，8)、B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 可得， 83280c b c =⎧⎨-++=⎩，解得38b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8.(2)在y ＝－12x 2＋3x ＋8中，当y ＝0时，－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)， ∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ，∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数关系式为：S ＝－12t 2＋5t ，∵S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；(3)存在，当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时，要使S △PCD＝S △CED ，CD 为公共边，故只需求出过点B 、E 且平行于CD 的直线即可，如解图．第3题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入y ＝kx ＋b ，得530b k b =⎧⎨+=⎩，解得535k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5， ∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线解析式为y ＝－53(x ＋5)＋5，分别与抛物线解析式联立得：方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2(舍去)，分别将x 值代入抛物线解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)． 4．解：(1)由题意知，A (3，3)在二次函数y ＝x 2＋bx 的图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3，解得b ＝－2，∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x ；……………………………(2分) (2)如解图①所示，过点P 作PB ⊥QQ 1于点B ，第4题解图①∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上，∴PB ＝QB ＝2 ，………………………………………………(3分) 设P (a ，a )，则Q (a ＋2，a ＋2)，P 1(a ，a 2－2a )，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2＋2a )，∴四边形PQQ 1P 1的面积为：22(2)(22)22a a a a a a S -+++--=⨯ ＝－2a 2＋2a ＋2＝－2(a －12)2＋52，…………………………(4分) 当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1， ∴a 的取值范围为0＜a ＜1，∴当a ＝12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52；…(5分)(3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，143)，如解图②所示，连接OM ，第4题解图②∵点M 为抛物线顶点， ∴M (1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ， ∴OM ⊥OA ，即∠AOM ＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM ⊥OA ，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，…………(6分)如解图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可．如解图②，过点A 作AC ⊥MC 于点C ，易得四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O ′，过O ′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ===， ∴AO ′＝5，∵△AO′E 1∽△AOM ，…………………………………………(7分) ∴11AE AO OE AO AO AM AM '-==，∴=，解得OE 1＝423， ∵点E 1在y ＝x 上，∴E 1(43，43)，……………………………………………………(8分)同理可得HF 2＝GE 2＝423，又∵OG ＝2OA ＝62，∴OE 2＝62－423＝1423，∴E 2(143，143)．综上所述，符合条件的E 点的坐标为：E 1(43，43)、 E 2(143，143)． ………………………………………………………………(10分)拓展三二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. (2016茂名8分)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD .(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；(2)点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．第1题图备用图2. (2016安顺14分)如图，抛物线经过A (－1，0)，B (5，0)， C (0，－52)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A ＋PC 的值最小，求点P 的坐标； (3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A 、C 、M 、N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2016南充10分)如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式；(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝1010，求点Q的坐标；(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．第3题图4. (2016成都12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x＋1)2－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－83)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A、B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．第4题图备用图【答案】1．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点， ∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；…………………………………………………………………(2分) (2)如解图①，连接PC 、PE ，第1题解图①∵2122(1)b a -=-=⨯-，当x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点D 坐标为(1，4)，设直线BD 为：y ＝mx ＋n ，将点B 、D 坐标分别代入表达式，得 304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得26m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝－2x ＋6，设点P 坐标为(x ，－2x ＋6)，由勾股定理可得PC 2＝x 2＋(3＋2x －6)2， PE 2＝(x －1)2＋(－2x ＋6)2， ∵PC ＝PE ，∴x 2＋(3＋2x －6)2＝(x －1)2＋(－2x ＋6)2，解得x ＝2，则y ＝－2×2＋6＝2，∴P (2，2)；……………………………………………………(5分) (3)依题意可设点M 坐标为(a ，0)，则G 坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)．如解图②，以F 、M 、N 、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM ＝MG ，第1题解图②即|2－a |＝|－a 2＋2a ＋3|， ① 2－a ＝－(－a 2＋2a ＋3)，解得a ＝1±212，② 2－a ＝－a 2＋2a ＋3，解得a ＝3±132，综上所述，M 点的坐标为(1－212，0)，(1＋212，0)， (3－132，0)，(3＋132，0)．………………………………………(8分)2．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点A (－1，0)，B (5，0)，C (0，－52)代入得，0255052a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得12252a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－2x －52；………………………(4分)(2)由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，如解图，连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点即为所求，第2题解图设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，由题意得115052k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝12x －52，∵抛物线y ＝12x 2－2x －52的对称轴是x ＝2，∴当x ＝2时，y ＝12x －52＝12×2－52＝－32，∴点P 的坐标是(2，－32)；……………………………………(9分) (3)存在．………………………………………………………(10分) (i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如解图所示，第2题解图∵四边形ACNM 是平行四边形， ∴CN ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x ＝2对称，∵C 点的坐标为(0，－52)，∴点N 的坐标为(4，－52)； …………………………………(11分) (ii)当存在的点N ′在x 轴上方时，如解图所示，作N ′H ⊥x 轴于点H ， ∵四边形ACM′N ′是平行四边形，∴AC ＝M′N′，∠N′M′H ＝∠CAO ，∠AOC ＝∠M′HN′， ∴Rt △CAO ≌Rt △N′M′H (AAS)， ∴N ′H ＝OC ，∵点C 的坐标为(0，－52)，∴N′H ＝52，即N′点的纵坐标为52， ∴12x 2－2x －52＝52，解得x 1＝2＋14，x 2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，52)或(2＋14，52)．(13分)综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为(4，－52)，(2＋14，52)，(2－14，52)．………………………………(14分)3．解：(1)根据题意得，A (－5，0)，B (3，0)是抛物线与x 轴的交点， ∴设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋5)(x －3)，…………………(1分) ∵抛物线过点C (0，5)，∴a ＝－13，∴抛物线的解析式为y ＝－13(x ＋5)(x －3)＝－13x 2－23x ＋5；…………………………………………………………………(2分) (2)如解图，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，第3题解图∵OA ＝5，OC ＝5， ∴∠CAO ＝45°. ………………………………………………(3分)设AF 的长为m ，则DF ＝22m ，ME ＝AE ＝m ＋1，∴sin ∠AMF ＝DFMF ，∴2 5 msin 10DF MF AMF ==⨯=∠，…………………(4分) 在Rt △MEF 中，FM 2＝ME 2＋EF 2， ∴(5m )2＝(m ＋1)2＋12，解得m 1＝1，m 2＝－12(不符合题意，舍去)，………………(5分) ∴AF ＝1，∴点Q 的横坐标为－4.又∵点Q 在抛物线y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q (－4，73)；…………………………………………………(6分) (3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋n (k ≠0)，由题意得505k n n -+=⎧⎨=⎩，解得15k n =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋5. ……………………………(7分) 由题知，点Q ，N ，F 及点P ，M ，E 的横坐标分别相同，设F (t ，0)，E (t ＋1，0)，∵点M ，N 均在直线y ＝x ＋5上， ∴N (t ，t ＋5)，M (t ＋1，t ＋6)，∵点P ，Q 在抛物线y ＝－13x 2－23x ＋5上，∴Q (t ，－13t 2－23t ＋5)，P (t ＋1，－13t 2－43t ＋4)，……………(8分)在矩形平移过程中，以P 、Q 、N 、M 为顶点的平行四边形有两种情况： ①点Q 、P 在直线AC 的同侧时，QN ＝PM ，∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(－13t 2－43t ＋4)－(t ＋6)，解得t ＝－3，∴M (－2，3)；…………………………………………………(9分) ②点Q ，P 在直线AC 的异侧时，QN ＝MP ，∴(－13t 2－23t ＋5)－(t ＋5)＝(t ＋6)－(－13t 2－43t ＋4)，解得t 1＝－3＋6，t 2＝－3－6，∴M (－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)，∴符合条件的点M 是(－2，3)，(－2＋6，3＋6)或(－2－6，3－6)．…………………………………………(10分)4．解：(1)∵抛物线与y 轴交于点C (0，－83)，∴a －3＝－83，解得a ＝13，∴y ＝13(x ＋1)2－3，当y ＝0时，有13(x ＋1)2－3＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4，∴A (－4，0)，B (2，0)；……………………………………(3分)(2)由(1)可知，A (－4，0)，B (2，0)，C (0，－83)，D (－1，－3)，∴S 四边形ABCD ＝S △AHD ＋S 梯形OCDH ＋S △BOC ＝12×3×3＋12×(83＋3)×1＋12×2×83＝10，从面积分析知，直线l 只能与边AD 或BC 相交，所以有两种情况： ① 如解图①，当直线l 与边AD 相交于点M 1时，第4题解图①则13=10=310AHM S ⨯△， ∴12×3×(1M y -)＝3， ∴1M y -＝－2，∵A (－4，0)，D (－1，－3)，∴直线AD 的解析式为y ＝－x －4，∴M 1(－2，－2)，……………………………………………(5分) 过点H (－1，0)和M 1(－2，－2)的直线l 的解析式为y ＝2x ＋2； ② 如解图②，当直线l 与边BC 相交与点M 2时，同理可得点 M 2(12，－2)，第4题解图②过点H (－1，0)和M 2(12，－2)的直线l 的解析式为y ＝－43x －43，综上所述：直线l 的函数表达式为y ＝2x ＋2或y ＝－43x －43； …………………………………………………………………(7分) (3)以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形．设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且过点H (－1，0)的直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，第4题解图③ ∴－k ＋b ＝0，∴b ＝k ，∴y ＝kx ＋k .由2128333y kx k y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，∴13x 2＋(23－k )x －k －83＝0，∴x 1＋x 2＝－2＋3k ， y 1＋y 2＝kx 1＋k ＋kx 2＋k ＝3k 2，∵点M 是线段PQ 的中点，∴由中点坐标公式得点M (32k －1，32k 2)．假设存在这样的N 点如解图③，直线DN ∥PQ ，设直线DN 的解析式为y ＝kx ＋k －3，由23128333y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝3k －1， ∴N (3k －1，3k 2－3)， ∵四边形DMPN 是菱形， ∴DN ＝DM ，∴DN 2＝DM 2，即(3k )2＋(3k 2)2＝22233()(3)22k k ++，整理得3k 4－k 2－4＝0， ∵k 2＋1＞0，∴3k 2－4＝0，解得k ＝±233， ∵k ＜0，∴k ＝－233，∴N (－23－1，1)，∴以DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为(－23－1，1)．……………………………………………(12分)拓展四二次函数与特殊三角形判定问题针对演练1. (2016枣庄10分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第1题图2. (2016新疆13分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－13x ＋1与y 轴交于点D .(1)求抛物线的解析式； (2)求证：△DBO ∽△EBC ；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．第2题图3. (2016襄阳13分)如图，已知点A 的坐标为(－2，0)，直线 334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线y＝ax 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点．(1)请直接写出B ，C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F .若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点，过点M 作MN ∥AB ，交AC 于点N .点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t (秒)．当t(秒)为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？第3题图【答案】1．解：(1)依题意得1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得， 303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；……………………………(3分) (2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，如解图，连接AM ，第1题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC ，∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)；…………………………………………………(6分) (3)设P(－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)， ∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10，①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t 1＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t 2＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 3＝3＋172，t 4＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．………(10分) 2．(1)解：当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx －3＝－3， ∴C (0，－3)，即OC ＝3， ∵OB ＝OC ＝3OA ， ∴OB ＝3，OA ＝1， ∴A (－1，0)，B (3，0)，将A (－1，0)，B (3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3得： 309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；…………………………(4分) (2)证明：由抛物线解析式y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4可得： E (1，－4)，当x ＝0时，y ＝－13x ＋1＝1， ∴D (0，1)，即OD ＝1，∴BD ==，同理可得CE ＝2，BE ＝25，BC ＝32， ∴在△DBO 和△EBC 中，∵2DB DO BO EB EC BC ===，∴△DBO ∽△EBC ；…………………………………………(9分) (3)解：存在，点P 的坐标为(1，－1)，(1，－3＋17)，(1，－3－17)，(1，14)或(1，－14)．…………………(13分)【解法提示】如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，连接PC ，PB ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，设点P (1，a)，第2题解图则PG ＝1，GC ＝|a ＋3|，PM ＝|a |，PC 2＝1＋(a ＋3)2，PB 2＝a 2＋4，BC 2＝18， ①当P 是等腰三角形顶点时，PC 2＝PB 2，即1＋(a ＋3)2＝4＋a 2，解得a ＝－1，∴P 1(1，－1)；②当C 是等腰三角形顶点时，PC 2＝CB 2，即1＋(a ＋3)2＝18，解得a 1＝－3＋17，a 2＝－3－17， ∴P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)； ③当B 是等腰三角形顶点时，PB 2＝CB 2，即4＋a 2＝18，解得a 1＝14， a 2＝－14，∴P 4(1，14)，P 5(1，－14)．综上所述，存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．3．解：(1)B (4，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－38x 2＋34x ＋3，D (1，278)；…………(4分)【解法提示】令x ＝0，代入y ＝－34x ＋3，得y ＝3， ∴C (0，3)，令y ＝0，代入y ＝－34x ＋3，得－34x ＋3＝0，解得x ＝4， ∴B (4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把C (0，3)代入y ＝a (x ＋2)(x －4)，∴a ＝－38，∴抛物线的解析式为y ＝－38(x ＋2)(x －4)＝－38x 2＋34x ＋3＝－38(x －1)2＋278， ∴顶点D 的坐标为(1，278)． (2)如解图①，第3题解图①∵四边形DEFP 是平行四边形， ∴DP ∥BC ，设直线DP 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵直线BC 的解析式为y ＝－34x ＋3，∴m ＝－34，∴y ＝－34x ＋n ，把D (1，278)代入y ＝－34x ＋n ，∴n ＝338，∴直线DP 的解析式为y ＝－34x ＋338，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－38x 2＋34x ＋3y ＝－34x ＋338，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，∴把x ＝3代入y ＝－34x ＋338，得y ＝158，∴P 的坐标为(3，158)；………………………………………(7分)(3)由题意可知：0≤t ≤6，设直线AC 的解析式为y ＝m 1x ＋n 1，把A (－2，0)和C (0，3)代入y ＝m 1x ＋n 1，得⎩⎪⎨⎪⎧－2m 1＋n 1＝0n 1＝3，解得⎩⎨⎧m 1＝32n 1＝3， ∴直线AC 的解析式为y ＝32x ＋3，由题意知：QB ＝t ，如解图②，当∠NMQ ＝90°时，∴OQ ＝4－t ，第3题解图②把x ＝4－t 代入y ＝－34x ＋3，∴y ＝34t ，∴M (4－t ，34t )，∵MN ∥x 轴，∴N 的纵坐标为34t ，把y ＝34t 代入y ＝32x ＋3，∴x ＝12t －2，∴N (12t －2，34t )，∴MN ＝(4－t)－(t 2－2)＝6－32t ，∵MN ∥AB ，∠NMQ ＝90°，∴MQ ＝34t ，当MN ＝MQ 时，∴6－32t ＝34t ，∴t ＝83，此时QB ＝83，符合题意；……………………………………(9分)如解图③，当∠MNQ ＝90°时，第3题解图③∵QB ＝t ，∴点Q 的坐标为(4－t ，0)，把x ＝4－t 代入y ＝32x ＋3，∴y ＝9－32t ，∴N (4－t ，9－32t )，∵MN ∥x 轴，∴点M 的纵坐标为9－32t ，把y ＝9－32t 代入y ＝－34x ＋3，∴x ＝2t －8，∴M (2t －8，9－32t )，∴MN ＝(2t －8)－(4－t )＝3t －12，∵MN ∥AB ，∠MNQ ＝90°，∴NQ ＝9－32t ，当NQ ＝MN 时，∴9－32t ＝3t －12，∴t ＝143，∴此时QB ＝143，符合题意；………………………………(10分)如解图④，当∠NQM ＝90°时，过点Q 作QE ⊥MN 于点E ，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ，第3题解图④设QE ＝a ，把y ＝a 代入y ＝－34x ＋3，∴x ＝4－43a ，∴M (4－43a ，a )，把y ＝a 代入y ＝32x ＋3，∴x ＝23a －2，∴N (23a －2，a )，∴MN ＝(4－43a )－(23a －2)＝6－2a ，当MN ＝2QE 时，∴6－2a ＝2a ，∴a ＝32，∴MF ＝QE ＝32，∵MF ∥OC ，∴△BMF ∽△BCO ，∴MF CO ＝BF BO ，∴BF ＝2，∴QB ＝QF ＋BF ＝MF ＋BF ＝32＋2＝72，∴t ＝72，此情况符合题意，…………………………………(12分)综上所述，当t ＝83或143或72秒时，△QMN 为等腰直角三角形．………………………………………………………………(13分)。

内蒙古2018年中考数学重点题型专项训练二次函数综合题

二次函数综合题类型一与角度有关的问题★1.抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点 P 的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA 的大小，并说明理由．第 1 题图解：(1)当y＝0时，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，∴B 点的坐标为(3，0)，当x＝0，得 y＝3，即 C 点坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋3(k≠0)，将点 B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得 k＝－1，∴直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3；(2)由(1)可知OB＝OC＝3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，抛物线对称轴为 x＝1，设抛物线对称轴交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E，当点 P 在 x 轴上方时，如解图①，第 1 题解图①∵∠APB＝∠ABC＝45°，且 PA＝PB，∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°，2∠DPB＝12∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB，在 Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22，∴PE＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点 P 在 x 轴下方时，由对称性可知 P 点坐标为(1，－2－22)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点 P,使∠APB=∠ABC，P点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)；（3）如解图②，作点A关于y轴对称的点F，点 F 的坐标为(1，0)，则∠OCA＝∠OCF，设直线 CF 的解析式为 y＝kx＋b，把点 C(0，3)，F(1，0)代入求得 k＝－3，b＝3，则直线 CF 的解析式为 y＝－3x＋3，y＝－3x＋3联立，y＝－x2＋2x＋3x1＝0解得y1＝3 ，x2＝5y2＝－12，直线 CF 与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，－12)，第1题解图②设点 Q 的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，当0＜a＜5 时，∠OCF＜∠OCQ，则∠OCA＜∠OCQ；当a＝5时，∠OCF＝∠OCQ，则∠OCA＝∠OCQ；当a＞5时，∠OCF＞∠OCQ，则∠OCA＞∠OCQ.类型二线段及周长问题★1. 如图，抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－4)，且抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点 P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及 x 轴于 F、D 两点.请问是否存在这样的点 E，使 DE＝2DF？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.第 1 题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (4，0)，B (－4，－4)，⎧ － 1⨯16 + 4b +c = 0⎧ 1 ⎪ 4 ⎪b =， 2 ∴ ⎨ 1，解得 ⎨⎪ ⎪⎪－⨯16 - 4b +c = -4⎩c =2 ⎩ 4∴抛物线的解析式为 y ＝－14 x 2＋12 x ＋2；（2）由抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2 可得其对称轴为直线x ＝1 2－1 ＝1，点 C 的坐标为(0，2)，2 ⨯(－4)如解图，作点 C 关于对称轴 x ＝1的点 C′，则 C′的坐标为(2，2)，连接BC ’；即 BC′＝(2 + 4)2+ (2 + 4)2＝62，BC′与对称轴的交点即为所求点 P ，连第 1 题解图接 CP ，此时△PBC 的周长最小．设直线 BC′的解析式为 y ＝kx ＋m ，∵点 B(－4，－4)，C′(2，2)，⎧ 2k+m= 2，解得⎨⎧ k =1，∴⎨-4k+m= -4⎩m =0⎩∴直线BC′的解析式为 y＝x，将 x＝1代入 y＝x，得 y＝1，∴点 P 坐标为(1，1)．∴BC＝42+ (2 + 4)2= 213 .∵△PBC 的周长为 CP＋BC＋PB＝BC＋BC′，∴△PBC 周长的最小值为213＋62；(3)由点A(4，0)，B(－4，－4)可得直线AB的解析式为y＝12x－2，设点E(x，12x－2)，其中－4<x<4，则F(x，－14 x2＋12x＋2)，DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14 x2＋12x＋2|，当2－12x＝－12x2＋x＋4，即点F位于x轴上方，解得 x1＝－1，x2＝4(舍去)，将 x＝－1代入 y＝1x －2，得到y＝－5，∴E(－1，－5)，222当 2－12x＝12x2－x－4，即点F位于x轴下方，解得 x1＝－3，x2＝4(舍去)，将 x＝－3代入 y＝12x－2，得到 y＝－72，∴E(－3，－72)．综上所述：点 E 的坐标为：(－1，－52)，(－3，－72)．★2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y＝－x＋4与x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y＝ax2＋bx与直线 y＝－x＋4交于另一点B，且点 B 的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P作 PM∥OB 交第一象限内的抛物线于点 M ，过点 M 作MC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PF⊥MC 于点 F，设 PF 的长为 t，①求 MN 与 t 之间的函数关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；②当 MN 取最大值时，连接 ON ，直接写出sin ∠BON 的值．第 2 题图解：(1)∵y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，∴A (4，0)，∵点 B 的横坐标为1，且直线 y ＝－x ＋4经过点 B ，∴B (1，3)，∵抛物线 y ＝ax 2＋bx 经过 A (4，0)，B (1，3)，⎧16a + 4b = 0 ，∴ ⎨3 ⎩a + b =⎧a = -1解得 ⎨.⎩b =4∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋4x ；(2)①如解图①，作BD ⊥x 轴于点D ，延长MP 交x 轴于点E ，第 2∵B(1，3)，A(4，0)，∴OD＝1，BD＝3，OA＝4，∴AD＝3，∴AD＝BD，∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∵MC⊥x 轴，∴∠ANC＝∠BAD＝45°，∴∠PNF＝∠ANC＝45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN＝∠PNF＝45°，∴NF＝PF＝t，∵∠PFM＝∠ECM＝90°，第 2 题解图①∴PF∥EC，∴∠MPF＝∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC＝∠BOD，∴∠MPF＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠MPF，∴OD BD＝MF PF＝3，∴MF＝3PF＝3t，∵MN＝MF＋FN，∴MN＝3t＋t＝4t；②如解图②，作 BG⊥ON 于 G 点，第 2 题解图②当过点 M 的直线与直线 AB 平行且与抛物线只有一个交点时， MN 取最大，∴设与 AB 平行的直线 y＝－x＋b，当－x2＋4x＝－x＋b；即 x2－5x＋b＝0，25＝25－4b＝0，解b＝4 .25∴直线 y＝－x＋4，∴抛物线 y＝－x2＋4x 与 y＝－x＋254的交点 M(52，154)，∴N 点的横坐标为52，N 点的纵坐标为－52＋4＝32，即 N(52，32 )，∴ON 的解析式为 y＝53 x，∵BG⊥ON，5设 BG 的解析式为 y＝－3 x＋b，将 B(1，3)代入 y＝－5x＋b，解得 b＝14，3 3 514∴BG 的解析式为 y＝－3 x＋3，⎧y =3x⎧x =35 517⎪⎪联立⎨514 ，解得⎨21 ，⎪⎪⎪y = -x +⎪ y =3 3 17⎩⎩3521即G(17，17)．∴由勾股定理，得 OB＝12+ 32＝10 ，BG＝(1735-1)2+ (1721- 3)2＝61734，634∴sin∠BON＝BG＝17 ＝685 .OB10 85★3 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PD∥y 轴交直线 AC 于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，⎧9 + 3b+c= 0⎧b =－4，∴ ⎨，解得⎨1+b+c= 0 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y＝x2－4x＋3；(2)令x＝0，则y＝3，∴点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，设点 P(x，x2－4x＋3)，∵PD∥y 轴，∴点 D(x，－x＋3)，3 9 ∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1<0，∴当 x＝32时，线段 PD 的长度有最大值94；(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA＝MB，由三角形的三边关系，|MA－MC|<BC，∴当 M、B、C 三点共线时，|MA－MC|最大，即为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋m(k≠0)，⎧k + m =0⎧k= -3，则⎨，解得⎨m =3 ⎩m =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝－3x＋3，∵抛物线 y＝x2－4x＋3的对称轴为直线 x＝2，∴当 x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，∴点 M(2，－3)，即抛物线对称轴上存在点 M(2，－3)，使|MA－MC|最大．类型三面积问题★1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为 M(－1，4)．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB 面积相等时，求点 D 的坐标；(3)点P 在线段AM 上，当PC 与y 轴垂直时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为 E ，将△PCE 沿直线 CE 翻折，使点 P 的对应点 P′与 P 、E 、C 处在同一平面内，请求出点 P′坐标，并判断点 P′是否在该抛物线上．第 1 题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点C (0，3)，顶点为 M (－1，4)，⎧c =3⎧a = -1⎪ b⎪b = -2⎪- = -1， ∴ ⎨ 2a，解得 ⎨⎪ ⎪ ⎪a - b + c =4⎩c =3⎩∴所求抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)令y ＝－x 2－2x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，故A(－3，0)，B(1，0)．∴AB＝4，∴OA＝OC＝3，△AOC 为等腰直角三角形．∴直线 AC 的解析式为 y＝x＋3，如解图①，设 AC 交对称轴 x＝－1于点F(－1，yF)．Array易得 yF＝2，故点 F(－1，2)．设点 D 坐标为(－1，yD)，则S△ADC＝12|DF|·|AO|＝12×|yD－2|×3.又 S△ABC＝1|AB|·|OC|＝1×4×3＝6.2 2第 1 题解图①由12×|yD－2|×3＝6 得：|yD－2|＝4，故 yD＝－2或 yD＝6.∴点 D 坐标为(－1，－2)或(－1，6)．(3)如解图②，点P′为点P关于直线CE的对称点．过点 P′作P′H⊥y 轴于点 H，设 P′E 交 y 轴于点 N.在△EON 和△CP′N中⎪∠CP'N = ∠EON =90，⎨故△CP′N≌△EON(AAS)．∴CN＝EN，设 NC＝m，则 NE＝m，第 1 题解图②易得直线 AM 的解析式为 y＝2x＋6，当y＝3时，x＝－32，故点 P(－32，3)．∴P′C＝PC＝32，P′N＝3－m，在 Rt△P′NC中，由勾股定理，得(32)2＋(3－m)2＝m2，解得 m＝158，则3－m＝98.即 CN＝158，P′N＝98，∵S△P′NC＝12|CN|·|P′H|＝12|P′N|·|P′C|，∴P′H＝109.由△CHP′∽△CP′N 可得CH CP'=CP CN'，故 CH＝CP CN'2＝65.∴OH＝3－65＝95，∴P′的坐标是(109，95)．将点 P′(109，95)的坐标代入抛物线解析式，等式不成立，所以点 P′不在该抛物线上．★2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数 y＝－x＋b 的图象交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为－7.点 P 是二次函数图象上 A、B 两点之间的一个动点(不与点 A、B 重合)，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的垂线交 AB 于点 C，作PD⊥AB 于点 D.(1)求b及 sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出 m 的值；如果不存在，请说明理由．第 2 题图解：(1)∵当y＝0时，－x2＋2x＋8＝0，∴x1＝－2，x2＝4.∵点 A 在 x 轴负半轴上，∴A(－2，0)，OA＝2，∵点 A 在一次函数 y＝－x＋b 的图象上，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴一次函数表达式为 y＝－x－2，如解图，设直线 AB 交 y 轴于点 E，则 E(0，－2)，OE＝OA＝2，∴△AOE 为等腰直角三角形，∠AEO＝45°，∵PC⊥x 轴交 AB 于点 C，∴PC∥y 轴，∴∠AEO＝∠ACP＝45°，2；∴sin∠ACP＝sin45°＝第 2 题解图(2)∵点P在二次函数y＝－x2＋2x＋8图象上且横坐标为m，∴P(m，－m2＋2m＋8)，∵PC⊥x 轴且点 C 在一次函数 y＝－x－2的图象上，∴C(m，－m－2)，∴PC＝－m2＋3m＋10，∵PD⊥AB 于点 D，∴在 Rt △CDP 中，sin ∠ACP ＝PDPC＝22，∴PD ＝－22m 2＋322m ＋5 2 ；(3)存在，m 的值为－1或2.理由如下：如解图，分别过点 D 、B 作 DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为 F 、G.∵sin ∠ACP ＝22，∴cos ∠ACP ＝ 22，又∵∠FDP ＝∠ACP ，∴cos ∠FDP ＝22，在 Rt △PDF 中，DF ＝22PD ＝－12m 2＋32m ＋5，∵点 B 纵坐标为－7，且点 B 在直线 AB ：y ＝－x －2上，∴点 B (5，－7)，∴BG ＝5－m ，∵P 不与 A 、B 两点重合，∴－2<m <5， ∴当S ∆PCD＝DF ＝1时，解得 m 1＝－1或 m 2＝5(舍)． S ∆PBC BG 2 当 S ∆PCD＝DF＝2 时，解得m 1＝2 或m 2＝5(舍)，S ∆PBC BG∴m 的值为－1或2.★3.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)，把点 A(0，4)代入上式，解得 a＝54，∴y＝54 (x－1)(x－5)＝54x2－245x＋4＝54 (x－3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线 x＝3.(2)存在，P点坐标为(3，85)．理由如下如解图①，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP，BA，∵点 B 与点 C 关于对称轴对称，∴PB＝PC，第 3 题解图①∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC，∴此时△PAB 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，把 A(0，4)，C(5，0)代入 y＝kx＋b 中，⎧b =4⎧4⎪k =－5 ，得⎨，解得⎨⎩5k+b= 0 ⎪⎩b =4 ∴直线 AC 的解析式为 y＝－45x＋4，∵点 P 的横坐标为3，∴y＝－45×3＋4＝85，∴P 点坐标为(3，85)．(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，理由如下：如解图②，设 N 点的横坐标为 t，第 3 题解图②此时点 N(t，45t2－245t＋4)(0<t<5)．过点 N 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴、AC 于点 F、G，过点A作 AD⊥NG，垂足为点 D.由(2)可知直线AC的解析式为y＝－45x＋4，把x＝t 代入 y＝－45x＋4得 y＝－45t＋4，则G(t，－45t＋4)．此时 NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t，∵AD＋CF＝OC＝5，∴S△NAC＝ S△ANG＋ S△CNG＝12 NG·AD ＋12 NG·CF ＝12 NG·OC ＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252，∴当 t＝52时，△NAC 的面积最大，最大值为252，由 t＝52，得 y＝45t2－245t＋4＝－3，∴N 点坐标为(52，－3)．类型四特殊三角形存在问题★1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1 上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．第 1 题图 ⎧b=－1⎪－⎧a =－12a解： (1) ⎪⎪，依题意，得⎨a + b + c =0 ，解得⎨b =－2⎪ ⎪⎪c =3 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线 x ＝－1，抛物线经过 A (1，0)，∴B(－3，0)．把 B(－3，0)，C(0，3)分别代入 y＝mx＋n，⎧-3m+n= 0⎧m=1，得⎨，解得⎨n =3 ⎩n =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.（2）如解图，连接MA，第 1 题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使 MA＋MC 值最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点．设直线 BC 与对称轴 x＝－1的交点为 M，把 x＝－1，代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.∴M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若 P 为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝3+217 ，t2＝3-217 .综上所述，满足条件的 P 点共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，3+217 )，P4(－1，3-217 )．★2.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴直线 x＝1.(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求 h 的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任意一点，点Q在直线l：x＝－3 上，△PBQ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由．第 2 题图解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝3.把B(3，0)代入 y＝ax2＋bx＋3，得 9a＋3b＋3＝0，又－2b a＝1，∴解得a＝－1，b＝2.∴解析式是：y＝－x2＋2x＋3；【一题多解】设所求解析式为：y＝m(x－1)2＋n，⎧4m+n= 0⎧m= -1，则把 B(3，0)，C(0，3)代入得⎨，解得⎨m + n =3 ⎩n =4⎩解析式是：y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x＋3.(2)由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点 D 作 y 轴的平行线分别交 CB，OB 于点 E，F，∴△BEF∽△BCO，则OC EF＝BO BF，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.【一题多解】由 y＝－(x－1)2＋4 得抛物线顶点D(1，4)，∵△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，第 2 题解图①∴EF＝BF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.(3)设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴与l 的垂线，垂足分别是点 M ， N ，∠PMB ＝∠PNQ ＝90°，∠BPM ＝∠QPN ，PB ＝PQ ，∴△PMB ≌△PNQ ，PM ＝PN .第 2 题解图②①当点 P 在 x 轴上方时，有－x 2＋2x ＋3＝x ＋3，即：x 2－x ＝0，解得 x 1＝0，x 2＝1，∴P 1(0，3)，P 2(1，4)．②当点 P 在 x 轴的下方时，有：－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋3)，即：x 2－3x －6＝0，解得 x ＝ 3 ± (-3)2- 4 ⨯1⨯ (-6)＝ 3 ± 33 ，2 2∴P 3( 3－ 33，－ 9－ 33 )，P 4( 3 + 33，－ 9 + 33)， 2 2 2 2∴满足条件的点 P 有四个点，分别是 P1(0，3)，P2(1，4)，P3(3－233 ，－9－233 )，P4(3+233 ，－9+233 )．★3. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(c>0)的图象与x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且OB＝OC＝3，顶点为 M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为 Q，若 OQ＝m，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵OB＝OC＝3，∴B (3，0)，C (0，3)，⎧0 = -9 + 3b +c ⎧b =2， ∴ ⎨，解得 ⎨⎩3 =c⎩c =3二次函数的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图所示，连接AC ，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，则 M (1，4)，设直线 MB 的解析式为 y ＝kx ＋n ，⎧ 4 =k +n，则有 ⎨⎩0 = 3k +n⎧ k = -2，解得 ⎨⎩n =6∴直线 MB 的解析式为 y ＝－2x ＋6，∵PQ ⊥x 轴，OQ ＝m ，第 3 题解图∴点 P 的坐标为(m ，－2m ＋6)，∴S 四边形ACPQ ＝ S Rt △AOC ＋ S 梯形 PQOC ＝ 1AO ·CO ＋ 1 (PQ ＋ 2 2CO )·OQ ＝12×1×3＋12(－2m ＋6＋3)·m ＝－ m 2＋92 m ＋32(1≤m <3)；7 16210 10 (3)线段 BM 上存在点 N ( ，)，(2，2)，(1＋，4－)5 555使△NMC 为等腰三角形．理由如下：如解图，连接 MC ，由于 N 是直线 BM 上一点，由(2)知：直线 BM 的解析式为：y＝－2x ＋6，因此设 N (x ，－2x＋6)且1<x <3，由勾股定理可得：CM ＝ (1 - 0)2+ (4 - 3)2= 2 ，CN ＝ x 2+(-2x +3)2，MN＝(x -1)2+ (-2x+ 2)2，①当 NC ＝CM 时， x 2+(-2x +3)2＝ 2 ，解得 x 1＝75，x 2＝1(舍去)，此时 N (75，165)；②当 MN ＝CM 时， (x -1)2+ (-2x + 2)2＝ 2 ，解得 x 1＝1＋510，x 2＝1－510(舍去)，此时 N (1＋ 10，4－210)；55③当 CN＝MN 时，x2+(-2x +3)2＝(x-1)2+ (-2x+ 2)2，解得 x＝2，此时 N(2，2)．类型五特殊四边形的存在问题★1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．第 1 题图备用图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，⎧-1 -b +c = 0⎧b =2， ∴ ⎨，解得 ⎨ ⎩-9 + 3b +c =⎩c =3∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图①，连接PC 、PE .抛物线对称轴为直线 x ＝－2ba ＝2－＝1， 2×（－1）当 x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点 D 坐标为(1，4)，第1题解图①设直线 BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，⎧m = -2将 B 、D 分别代入表达式，解得⎨⎩n =6 ，则 y ＝－2x ＋6，设点 P 的坐标为(x ，－2x ＋6)，∵C (0，3)，E (1，0)，∴由勾股定理可得 PC 2＝x 2＋[3－(－2x ＋6)]2，PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，∵PC＝PE，∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，解得 x＝2，y＝－2×2＋6＝2，∴点 P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3),如解图②，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，①2－a＝－(－a2＋2a＋3)，解得 a＝1± 21 ，2②2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝第 1 题解图②3 ±13，2∴M 点的坐标为( 1－21，0)，( 1 +21，0)，( 3－13，0)，2 2 2( 3 13 ，0)．2★2.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与 C 重合)，在 x 轴上找一点 E，使点 B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 E 点坐标．第 2 题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，⎧a -3+ c =0∴⎨16a+12 +c= 0 ，⎩解得：a＝－1，c＝4.∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋3x＋4.(2)∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C(0，4)．设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b.⎧4k+b= 0，解得：k＝－1，b 将 B(4，0)，C(0，4)代入得：⎨⎩b= 4＝4，∴直线 BC 的解析式为：y＝－x＋4.过点 P 作 x 的垂线与直线 BC 交于点 Q，如解图：第 2 题解图∵点 P 的横坐标为 t，∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4)．∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴m＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t<4)．∴当 t＝2时，m 的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)．【解法提示】将 y＝4代入抛物线的解析式得：－x2＋3x＋4 ＝4.解得：x1＝0，x2＝3.∵点 D 与点 C 不重合，∴点 D 的坐标为(3，4)．又∵C(0，4)，∴CD∥x 轴，CD＝3.∴当 BE＝CD＝3时，B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形．∴点 E(1，0)或(7，0)．1★3.如图，抛物线y＝4x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若该抛物线的对称轴交x轴于点B，抛物线顶点为C，点P为抛物线上任意一点，设点 P 的横坐标为 x，当 S△ABP＝1时，请求出满足条件的所有的点 P 的坐标；(3)点M为抛物线对称轴上一个动点，点N为平面内任一点，能否满足以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形，若满足，请直接写出 M 点的坐标；若不满足，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵抛物线y＝14x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)，∴y＝14x(x－4)，即 y＝14x2－x.(2)如解图①，由题意，抛物线对称轴为直线x＝2，∴B(2，0),∴AB＝2，∵S△ABP＝1，∴1AB·|yP|＝1，2∴1×2·|yP|＝1，2∴|yP|＝1，第 3 题解图①∴yP＝±1，当yP＝1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2±2 2 ；当yP＝－1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2，∴P1(－2 2 ＋2，1)，P2( 2 2 ＋2，1)，P3(2，－1)；(3)M1(2， 5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32) 【解法提示】如解图②，连接 AC，∵A(4，0)，B(2，0)，点C是抛物线 y＝14x2－x 的顶点，∴C(2，－1)，以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形时，分两种情况讨论：Ⅰ、当 AC 为菱形的边时：第 3 题解图②①∵四边形 ACM1N1为菱形，AM1、CN1为对角线，∴AC＝CM1＝ 5 ，∴BM1＝ 5 －1，∴M1的坐标为(2， 5 －1)；②∵四边形 ACM2N2为菱形，AM2、CN2为对角线，AC＝ 5 ，∴AC＝CM2＝ 5 ，∴BM2＝ 5 ＋1，∴M2的坐标为(2，－ 5 －1)；。

各地2018年中考数学试卷精选汇编二次函数(含解析)

二次函数
一、选择题 1．（2018•山东枣庄•3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点有 b2﹣4ac＞0 可对 A 进行判断；由抛物线开口向上得 a＞0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得 c＜0，则可对 B 进行判断；根据抛物线的对称轴是 x=1对 C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0），所以 a﹣b+c=0，则可对 D 选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac，所以 A 选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0，所以 B 选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线 x=1，
C、当 x＜-1时 y 的值随值的增大而减小，当-1＜x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，因此 C 不符合题意；
D、 a=2＞0，当 x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此 D 符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与 y 轴的交点坐标，可对 A 作出判断；求出抛物线的对称轴，可对 B 作出判断；根据
二次函数的增减性，可对 C 作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对 D 作出判断；即可得出答案。
2
1. （2018•山东菏泽•3 分）已知二次函数 y=ax +bx+c的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a与反比例函数
y=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

2018版中考数学：3.3-二次函数(含答案)

§3.3二次函数一、选择题1．(原创题)函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3且k≠0 D．k≤3解析当k＝0时，y＝－6x＋3的图象与x轴有交点；当k≠0时，令y＝kx2－6x＋3＝0，∵y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴Δ＝36－12k≥0，∴k≤3.综上，k的取值范围为k≤3.答案 D2．(原创题)抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝－3 D．x＝3解析∵－1，3是方程a(x＋1)(x－3)＝0的两根，∴抛物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交点横坐标是－1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝－1＋32＝1.答案 A3．(原创题)已知抛物线y＝x2－x－2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 013的值为() A．2 013 B．2 014C．2 015 D．2 016解析把(m，0)代入y＝x2－x－2，得m2－m－2＝0，即m2－m＝2.∴m2－m ＋2 013＝2＋2 013＝2 015.故选C.答案 C4．(改编题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是( ) A ．－1<x <5 B ．x >5 C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5解析由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点为(5，0)，对称轴是x ＝2，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．由图象看出当－1＜x ＜5时，函数图象在x 轴上方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是－1＜x ＜5.故选A. 答案 A5．(改编题)已知A (2，y 1)，B (3，y 2)，C (0，y 3)在二次函数y ＝ax 2＋c (a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 2解析由题意可知，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．∵0＜2＜3，∴y 3＜y 1＜y 2. 答案 D 二、填空题6．(原创题)若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 有最小值6，则c 的值为________．解析 ∵y ＝x 2－2x ＋c ＝(x －1)2－1＋c ，∴－1＋c ＝6，解得c ＝7. 答案 77．(原创题)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点的横坐标分别是m ，n ，则m 2n ＋mn 2＝________．解析由题意，得m ，n 是－x 2－2x ＋3＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得m ＋n ＝－2，mn ＝－3.∴m 2n ＋mn 2＝mn (m ＋n )＝－3×(－2)＝6. 答案 68. (原创题)已知二次函数y ＝－23x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(如图所示)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB ＋PC 取得最小值时，点P 的坐标为________．解析连结AC 交对称轴于P ，则此时PB ＋PC 有最小值．把x ＝0代入y ＝－23x 2－43x ＋2，得y ＝2，即OC ＝2.把y ＝0代入y ＝－23x 2－43x ＋2，得x 1＝1，x 2＝－3，即OA ＝3，OB ＝1.∵y ＝－23x 2－43x ＋2＝－23(x ＋1)2＋83，∴抛物线的对称轴是x ＝－1.设对称轴与x 轴的交点为D ，则OD ＝1.由△ADP ∽△AOC 可得23＝DP 2，解得DP ＝43.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43三、解答题9．(原创题)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；(4)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．解 (1)把点A (3，0)和点B (1，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ，得：⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3.(2)把x ＝0代入y ＝x 2－4x ＋3，得y ＝3.∴C (0，3)．又∵A (3，0)，设直线AC 的解析式为：y ＝kx ＋m ，把点A ，C 的坐标代入得：⎩⎨⎧m ＝3，k ＝－1.∴直线AC 的解析式为：y ＝－x ＋3. PD ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3) ＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94.∵0<x <3，∴x ＝32时，PD 最大为94.即点P 在运动的过程中，线段PD 长度的最大值为94. (3)∵PD 与y 轴平行，且点A 在x 轴上，∴要使△APD 为直角三角形，只有当点P 运动到点B 时，此时点P 的坐标为：(1，0)．(4)∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴作直线CB ，交抛物线的对称轴于点M ，则此时点M 即为使得|MA －MC |最大的点，∴|MA －MC |＝|MC －MB |＝BC . ∵B (1，0)，C (0，3)，∴设BC 的解析式为y ＝k ′x ＋n ，则⎩⎨⎧k ′＋n ＝0，n ＝3.∴⎩⎨⎧k ′＝－3，n ＝3.即y ＝－3x ＋3.当x ＝2时，y ＝－3.∴M (2，－3)．。

2018,2019中考一模二模的二次函数

2018、2019杭州中考、各区一模二模的二次函数题一．选择题1．四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）时，甲发现当x＝﹣1时函数的最小值为﹣1；乙发现4a﹣2b+c＝0成立；丙发现当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；丁发现当x＝5时，y＝﹣4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于03．已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣1（a为常数，且a≠0），（）A．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大B．若a＞0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小C．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而增大D．若a＜0，则x＜﹣1，y随x的增大而减小4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为（x1，m），（x2，m），（x3，n），（x4，n），其中m＜n．下列结论可能正确的是（）A．若a＞，则x1＜x2＜x3＜x4B．若a＞，则x4＜x1＜x2＜x3C．若a＜﹣，则x1＜x3＜x2＜x4D．若a＜﹣，则x3＜x2＜x1＜x45．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴为直线x＝1，且（x1，y1），（x2，y2）为其图象上的两点，（）A．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0B．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+2a（x1﹣x2）＜0C．若x1＞x2＞1，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞0D．若1＞x1＞x2，则（y1﹣y2）+a（x1﹣x2）＞06．对于代数式ax2+bx+c（a≠0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）①存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．①④B．②③C．③④D．④7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（，y）是函数图象上一点，则y＞0；②若点（﹣），（）是函数图象上一点，则y2＞y1；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A．①B．①②C．①③D．②③8．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9．对于二次函数y＝ax2+（﹣2a）x（a＜0），下列说法正确的个数是（）①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（2，1）和（0，0）两点；②若该函数图象的对称轴为直线x＝x0，则必有1＜x0＜2；③当x≥0时，y随x的增大而增大；④若P（4，y1），Q（4+m，y2）（m＞0）是函数图象上的两点，如果y1＞y2总成立，则a≤﹣．A．1个B．2个C．3个D．4个10．四位同学在研究函数y1＝ax2+ax﹣2a（a是非零常数）时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P 有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx+b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝﹣k；丁发现若直线y3＝m（m≠0）与抛物线有两个交点（x1，y1）（x2，y2），则x1+x2+1＝0．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、综合题（2019杭州中考）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）＝0．（1）若该方程有实数根，求m的值．（2）对于函数y1＝x2﹣（m+1）x+（m2+1），当x＞1时，y1随着x的增大而增大．①求m的范围．②若函数y2＝2x+n与函数y1交于y轴上同一点，求n的最小值．3．在平面直角坐标系内，二次函数y1＝ax2+（2﹣a）x+1与一次函数y2＝﹣ax+b﹣1（a，b 为常数，且a≠0）．（1）若y1，y2的图象都经过点（2，3），求y1，y2的表达式；（2）当y2经过点A（1，3），B（m，3a+3）时，y1也过A，B两点：①求m的值；②（x0，y1），（x0，y2）分别在y1，y2的图象上，实数t使得“当x0＜﹣t+3或x0＞2t﹣3时，y1＞y2”，试求t的最小值．4．二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y＝﹣x和直线y＝x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）①当x≥2时，y＝x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围；②若m＝6，且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围．（3）试证明：无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．5．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（nm≠0）的图象在同一平面直角坐标系中．（1）若两函数图象都经过点（﹣2，6），求y1，y2的函数表达式；（2）若两函数图象都经过x轴上同一点；①求的值；②当x＞1，比较y1，y2的大小．6．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式．（2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点①若x1+x2＝2，则y1＝y2，试求a的值．②当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．7．设二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5（a，b为常数，a≠0），且2a+b＝3．（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y1的图象始终经过一个定点，若一次函数y2＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，a满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）都在函数y1的图象上，若x0＜1，且m＞n，求x0的取值范围（用含a的代数式表示）．8．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．9．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）．（1）判断该二次函数图象与x轴交点个数，并说明理由；（2）若该二次函数的顶点坐标为，求m、n的值；（3）若把函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y大于0，求证：k＞．10．已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．11．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．（1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式．（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围．（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系．14．已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）．（1）当a＝﹣2，b＝﹣4时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．（2）在（1）的条件下，Q（m，t）为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P 也落在该函数图象上，求m的值．（3）当该函数图象经过点（1，0）时，若A（，y1），B（，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．15．已知函数y1＝x﹣m+1和y2＝（n≠0）的图象交于P，Q两点．（1）若y1的图象过（n，0），且m+n＝3，求y2的函数表达式：（2）若P，Q关于原点成中心对称．①求m的值；②当x＞2时，对于满足条件0＜n＜n0的一切n总有y1＞y2，求n0的取值范围．16．已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣bx﹣2（a≠0）．（1）当a＝2，b＝4时，求该函数图象的顶点坐标；（2）在（1）条件下，P（m，t）为该函数图象上的一点，若P关于原点的对称点P′也落在该函数图象上，求m的值；（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若A（），B（）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．17．设二次函数表达式为y＝ax2+bx（a≠0），且|a+b|＝1，它的图象过点（2，1）．（1）求此二次函数表达式；（2）当a＞0时，设函数图象上到两坐标轴的距离相等的点为A，且点A的横坐标为m （m≠0），求m的值；（3）当t1≤x≤t2时，对应y＝ax2+bx都有“y随x的增大而增大”，求t1的最小值与t2的最大值．18．已知抛物线y＝mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）．（1）无论m取何值，该抛物线都经过定点D．直接写出点D的坐标．（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式．（3）若在0≤x≤1的范围内，至少存在一个x的值，使y＞0，求m的取值范围．19．一次函数y＝ax+b（a≠0）和反比例函数y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（x0，y0）（1）若x0+y0＝b，求a的值；（2）若A，B关于原点中心对称，且x0＝﹣2，y0＝2﹣b；①求一次函数和反比例函数的关系式；②取一次函数图象上一点P（﹣2+m，n1）其中m＞0且m≠2，反比例函数图象上一点Q（﹣2+m，n2），请比较n1，n2的大小．20．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．。

2018中考数学专题复习一元二次方程与二次函数的含参问题(无答案)

一元二次方程与二次函数的含参问题一，堂前测1.如果关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为（）A. －1或－3B. 1或３C. －1或３D. 1或－32. 已知关于x 的方程2(12)10k x---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

3. 当m 取何值时，关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根?4. 已知函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点，求实数m 的取值范围。

5，已知关于x 的方程. 220 (0)kx x k k--=≠ （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。

6已知关于 x 的方程x 2-(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为时，求m 的值7已知函数y= x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点（x1,0）,(x2,0),若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。

二，例题1，已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +1）x + =0有实根。

（1）求m 的值（2）先作函数的图像关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。

（3）在（2）的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公共点时，求n2-4n 的最大值和最小值。

2，已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（3m +1）x +2m +2=0 （m ＞1）。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =m x 2﹣2x 1，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围。

【中考强化】2018年九年级数学中考复习二次函数解答题强化练习(含答案)

2018年九年级数学中考复习二次函数解答题强化练习1.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．2.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）3.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？4.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．5.已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、C(-3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠ACO=3．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△ABC=S△ADC时，求点D的坐标．7.如图，在一面靠墙的空地商用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为8米；①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围．8.抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0,3)点(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标,与y轴交点坐标；(3)画出这条抛物线；(4)根据图象回答：①当x取什么值时,y＞0,y＜0？②当x取什么值时,y的值随x的增大而减小？9.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？10.如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（0.5，2.5），C（2，1.75）．请根据以上信息，解答下列问题；（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？11.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告。

2018届中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题

××市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题××区、××区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B .（1）求、的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点、，该抛物线的顶点为点，求ABP ∠sin 的值；（3）设点在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与轴的交点为点，如果DOB AQO ∠=∠，求点的坐标.24.解：（1）∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分∵直线m x y +=的经过点)3,(n B∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点、 ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b ∴6=b ，8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分 ∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分图7∴PBAP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分（3）过点作x QH ⊥轴，垂足为点，则QH ∥轴∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDB QB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与轴的交点为点∴点的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB ∴25=QB ，24=DQ ……………1分 ∵23=AB ∴28=AQ ,24=DQ∵QH ∥轴 ∴AQ AD QH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分即点的纵坐标是又点在直线4+=x y 上点的坐标为)8,4(……………1分××区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．。

2018年中考数学真题汇编二次函数(含答案)

中考数学真题演练2 2018年中考数学真题汇编----二次函数
一、选择题
1.给出下列函数：①y=-3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）
A. ①③
B. ③④
C. ②④
D. ②③
【答案】B
2.如图,函数和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
3.关于二次函数，下列说法正确的是（）
A. 图像与轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 的最小值为-3
【答案】D
4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )
A. B.
C. D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. B.
C. D.
【答案】B
6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）
A. （-3，-6）
B. （-3，0）
C. （-3，-5）
D. （-3，-1）
【答案】B
7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝-t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）。

北京市各区2018届九年级中考一模数学试卷分类汇编：二次函数综合专题含答案.docx

二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2交于 A， B 两点（点 A 在点 B 左侧）．（ 1）当抛物线过原点时，求实数 a 的值；（ 2）①求抛物线的对称轴；4ax 3a 2 a0与 x 轴②求抛物线的顶点的纵坐标（用含 a 的代数式表示）；（ 3）当AB≤4时，求实数a 的取值范围．26.解： (1) ∵点 O 0,0 在抛物线上，∴3a 2 0 ， a 2 .--------------------23分(2)①对称轴为直线 x 2 ；②顶点的纵坐标为a 2 .-------------------- 4 分(3)（i ）当 a＞0时，-a2＜0，依题意，3a 2≥0.解得 a≥2 . 3（ ii ）当 a＜0时，-a2＞0，依题意，3a 2≤0.解得 a＜-2.综上， a＜ 2 ，或 a≥2.--------------------7 分3西城区26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线G：y mx22mx m 1(m0) 与 y 轴交于点C，抛物线 G 的顶点为D，直线：y mx m1(m0) ．（ 1）当m 1 时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长．（ 2）随着m 取值的变化，判断点 C ，D是否都在直线上并说明理由．（ 3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于 2 ，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．y1xO1【解析】（1）当m 1 时，抛物线 G 的函数表达式为y x22x ，直线的函数表达式为y x ，直线被抛物线 G 截得的线段长为 2 ，画出的两个函数的图象如图所示：y y=x 2+ 2xy=xxO(C)D（ 2）∵抛物线G：y mx22mx m 1(m 0) 与 y 轴交于点C，∴点 C 的坐标为C(0, m1) ，∵y mx2 2mx m 1 m(x 1)2 1 ，∴抛物线G 的顶点D的坐标为(1, 1) ，对于直线： y mx m 1(m 0)，当 x0 时，y m 1 ，当 x 1 时，y m ( 1) m 1 1 ，∴无论 m 取何值，点 C ，D都在直线上．（ 3）m的取值范围是m≤- 3 或 m≥ 3 ．2海淀区26．在平面直角坐系 xOy 中，已知抛物y x22ax b 的点在x上， P( x1 , m) ，Q( x2, m) （ x1 x2）是此抛物上的两点．（ 1）若a 1 ，①当 m b ，求x1，x2的；②将抛物沿y平移，使得它与 x 的两个交点的距离4，描述出一化程；（ 2）若存在数c，使得x1 c 1，且x2c7成立， m 的取范是．26．解：抛物 y x22ax b 的点在x上，4b(2a)20.4b a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分（ 1） a 1 ， b 1 .抛物的解析式y x22x 1 .①m b 1 ， x22x1 1 ，解得 x10 ， x2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分②依意，平移后的抛物y ( x1)2k .抛物的称是x 1 ，平移后与 x 的两个交点之的距离是 4 ，(3,0)是平移后的抛物与x 的一个交点 .(3 1)2k 0 ，即 k4.化程是：将原抛物向下平移 4 个位 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2） m16 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分丰台区26．在平面直角坐系xOy 中，抛物y ax24ax 3a 的最高点的坐是2．（1）求抛物的称及抛物的表达式；（2）将抛物在 1≤x≤4之的部分象 G1，将象 G1沿直 x = 1 翻折，翻折后的象G2，象G1和 G 2成象G． (0，b)作与 y 垂直的直l，当3直 l 和象 G 只有两个公共点，将两个公共点分P1(x1，y1)， P2( x2，y2)，求 b 的取范和 x1 + x2的．y6543217 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x1234567826．解：（ 1）∵抛物y ax24ax3a a x2a ，2∴ 称 x= 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵抛物最高点的坐是2，y ∴ a= -2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴抛物的表达式y2x28x 6 .⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）由象可知，b 2或 -6≤b<0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯x 6 分由象的称性可得：x1+x2=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分石景山区26．在平面直角坐系xOy 中，将抛物G1： y mx2 2 3 （m0 ）向右平移 3 个位度后得到抛物G2，点 A 是抛物 G2的点．4（1）直接写出点A的坐；（2）点（0，3）且平行于 x 的直 l 与抛物G2交于B， C 两点．①当 BAC =90 ° ，求抛物G2的表达式；②若60°BAC120°，直接写出 m 的取范．26．解 :（ 1）A3, 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2（2）① 抛物G2的表达式 y m( x3) 22 3 ，如所示，由意可得AD 2 33 3 .∵， AB AC ，BAC=90°∴ABD =45 .∴ BD AD 3 .yA ∴点B 的坐(0,3).∵点 B 在抛物G2上，B D C l可得 m 3.O x 3x= 3∴抛物 G2的表达式 y 3( x3) 2 2 3 ，3即 y3x2 2 x 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3②3m 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分9朝阳区26. 在平面直角坐系xOy 中，抛物y ax24ax 4 a 0 与y交于点A，其称与 x 交于点 B.（1）求点 A，B 的坐；（ 2）若方程ax24ax 4=0 a 0 有两个不相等的数根，且两根都在1， 3 之（包括 1， 3），合函数的象，求 a 的取范 .526.解：（ 1）y ax24ax4a( x 2) 24a4．∴ A（ 0，－ 4）， B（2， 0）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（ 2）当抛物点（1， 0），a4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分3当抛物点（2， 0），a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分合函数象可知， a 的取范47 分a 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯3燕山区24．如，在平面直角坐系中，直l : y=kx+k (k≠0) 与 x ,y 分交于A,B 两点，且点B(0,2) ，点P 在y正半上运，点P 作平行于x 的直y=t．（ 1）求k 的和点 A 的坐；（ 2）当t=4 ，直y=t与直l 交于点M，反比例函数y nM ，求反比例函数的解析式；（ n≠ 0）的象点x(3) 当 t<4 ，若直 y=t 与直 l 和（ 2）反比例函数的象分交于点C，D ，当 CD距离大于等于 2 ，求 t 的取范 .y lBP y=t6A O1x北京市各区2018 届九年级中考一模数学试卷精选汇编24.解：（ 1）∵直 l :y=kx+k 点 B(0,2) ，∴k=2∴y=2x+2∴ A(-1,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2′（2）当 t=4 ，将 y=4 代入 y=2x+2 得， x=1n∴M(1,4) 代入yx得， n=44⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .2′∴ yx（3）当 t=2 ， B(0,2)即 C(0,2) ，而 D(2,2)如， CD=2 ，当 y=t 向下运但是不超 x ，符合要求∴ t 的取范是 0 <t≤ 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .5′门头沟区26. 有一个二次函数足以下条件：①函数象与x 的交点坐分A(1, 0) ， B( x2 , y2 ) (点 B 在点 A 的右 )；② 称是x 3 ；③ 函数有最小是- 2.（ 1）根据以上信息求出二次函数表达式；（ 2）将函数象 x ＞ x2的部分象向下翻折与原象未翻折的部分成象“G”，平行于 x 的直与象“ G”相交于点C( x , y ) D (x4, y) E (x , y ) x3x x5），33 、4、55 （4合画出的函数象求x3 x4 x5的取范 .y7O x26.（本小分 7 分）（ 1）解：有上述信息可知函数象的点坐:(3,2)二次函数表达式：y a( x3)2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ 象 A (1 , 0)∴ 0a(13)22，解得 a1y⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2∴表达式 y1(x3)222BO x （ 2）象正确⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分由已知条件可知直与形“G”要有三个交点①当直与 x 重合，有 2个交点 ,由二次函数的称性可求x3x46⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴ x3x4x5＞11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分②当直 y 1( x3)22的象点，有 2 个交点，2由翻折可以得到翻折后的函数象y 1( x3)22 2∴令1( x 3)22 2 ，解得 x 3 2 2 ， x3 2 2 舍去⋯⋯⋯⋯6分2∴ x3x4x5＜9 2 2上所述 11＜x3x4x5＜9+2 2 ⋯⋯⋯⋯ 7 分8大兴区26. 在平面直角坐系 xOy 中 , 抛物y x2(3m 1)x 2m2m(m 0) ，与y交于点C，与 x 交于点 A ( x1,0) , B (x2,0)，且x1x 2 .（1）求2x1x23的；（ 2）当 m=2x1x2 3 ，将此抛物沿称向上平移n 个位，使平移后得到的抛物点落在△ ABC 的内部（不包括△ABC 的），求 n 的取范（直接写出答案即可）．26.（ 1）解关于 x 的一元二次方程， x23m 1 x 2m2m 0得 x=2 m+1, x=m ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ m＞0, x1＜ x2∴ x1=m, x2=2m+ 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）符合意的 n 的取范是. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分平谷区26．在平面直角坐系xOy 中，抛物y x22bx 3 的称直x =2．（ 1）求 b 的；（ 2）在 y 上有一点P（ 0，m），点 P 作垂直 y 的直交抛物于点A（ x1，y1），B（ x2， y2），其中x1x2．①当 x2x13，合函数象，求出m 的；②把直PB 下方的函数象，沿直PB 向上翻折，象的其余部分保持不，得到一个新的象W，新象W 在 0≤x≤5 ， 4 y 4 ，求m的取范．9北京市各区2018 届九年级中考一模数学试卷精选汇编26．解：（1）∵抛物线y x22bx 3 的对称轴为直线x =2，∴ b=2． (1)（2）①∴抛物线的表达式为y x24x 3．∵A（ x1， y ）， B（ x2， y），∴直线 AB 平行 x 轴．∵x2 x1 3，∴AB=3．∵对称轴为 x =2，∴AC= 1． (2)21m5． (3)∴当 x时，y42②当 y=m=-4 时， 0≤x≤5 时，4y1； (4)当 y=m=-2 时， 0≤x≤5时，2y 4 ； (5)∴ m 的取值范围为4m 2 ． (6)怀柔区26.在平面直角坐系 xOy 中，抛物 y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠ 0)，与 x 交于点 C，D(点 C 在点 D 的左 )，与 y 交于点 A ．(1)求抛物点 M 的坐；(2)若点 A 的坐（ 0， 3），AB ∥ x ，交抛物于点 B ，求点 B 的坐；(3)在 (2)的条件下，将抛物在 B ， C 两点之的部分沿y 翻折，翻折后的象G，若直y 1x m与象 G 有一个交点，合函数的象，求m 的取范．2y54321–5–4–3–2–1 O 1 2 3 4 5 x–1–2–3–4–526.(1)M(2 ， -1)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)B(4 ， 3)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(3)∵抛物 y=mx 2 -4mx+4m-1(m ≠ 0)与 y 交于点 A （ 0,3） ,∴4n-1=3.∴ n=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴抛物的表达式y x24x 3 .由1x m x24x 3 . 2由△=0，得 : m 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分16∵抛物 y x 24x 3 与x的交点C的坐（1,0），∴点 C 关于 y 的称点C1的坐（ -1,0） .把（ -1,0）代入y 1 x m ，得： m1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分22把（ -4,3）代入y 1 x m ，得：m5.211∴所求 m 的取范是m或＜ m ≤ 5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分162延庆区26．在平面直角坐系 xOy 中，抛物 y=ax2-4ax+3a(a＞ 0)与 x 交于 A，B 两点（ A 在 B 的左）．（ 1）求抛物的称及点A， B 的坐；（ 2）点 C（ t， 3）是抛物y ax24ax 3a( a 0) 上一点，（点C在称的右），点 C 作 x 的垂，垂足点D．①当 CD AD ，求此抛物的表达式；②当 CD AD ，求t的取范．y654321-3 -2 -1O12345x -1-2-326．（ 1）称： x=2⋯⋯1分A（ 1，0）或 B（ 3， 0）⋯⋯1分（ 2）①如 1，∵ AD=CD北京市各区2018 届九年级中考一模数学试卷精选汇编∴AD =3∴C 点坐（4， 3）⋯⋯3分将 C（ 4， 3）代入y ax24ax3a∴ 3 16a 16a3a∴ a=1∴抛物的表达式：y24x 3 ⋯⋯4分x② 3 t 4⋯⋯6分程略顺义区26 ．在平面直角坐系xOy 中，若抛物y x2y bx c 点A的横坐是- 1，且与y交于点 B（ 0， - 1），点 P 抛物上一点．（ 1）求抛物的表达式；2c 向下平移4个O x （ 2）若将抛物y x bx位，点 P 平移后的点Q．如果 OP=OQ，求点 Q 的坐．26．解：（ 1）依意b， b=2,12由B（ 0， - 1），得 c= - 1,∴抛物的表达式是y x2 2 x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分4北京市各区2018 届九年级中考一模数学试卷精选汇编（2）向下平移 4 个位得到y x2 2 x 5 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵OP=OQ ，∴ P、 Q 两点横坐相同，坐互相反数．∴ x2 2 x 1 x22x 5 0 ．∴ x1 3 ， x21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分把 x1 3 ， x21分代入 y x22x 5 ．得出 Q1（- 3， - 2）， Q2（1， - 2）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分。

【三年模拟精选】2018版中考数学：3.3-二次函数(含答案)

§3.3 二次函数一、选择题1．(2015·浙江温州模拟(2)，1，4分)若二次函数y ＝2x 2的图象经过点P (1，a )，则a 的值为 ( )A.12B ．1C ．2D ．4解析把P (1，a )代入y ＝2x 2得a ＝2×1＝2. 答案 C2．(2015·浙江温州模拟(2)，6，4分)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A (1，0)，对称轴是x ＝－1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是 ( ) A ．(－3，0) B ．(－2，0) C ．(3，0)D ．(2，0)解析抛物线与x 轴的另一个交点为B (b ，0)， ∵抛物线与x 轴的一个交点A (1，0)，对称轴是x ＝－1， ∴1＋b2＝－1，解得b ＝－3，∴B (－3，0)．答案 A3．(2014·浙江宁波期中，5，3分)对于y ＝2(x －3)2＋2的图象，下列叙述正确的是() A．顶点坐标为(－3，2)B．对称轴为y＝3C．当x≥3时y随x增大而增大D．当x≥3时y随x增大而减小解析形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的顶点坐标为(h，k)，不难得出y＝2(x －3)2＋2的顶点坐标是(3，2)，对称轴是x＝3，故A和B都错误；因为a＝2＞0，则图象开口向上，且当x≥3时，y随x增大而增大；当x≤3时y随x 增大而减小，故C正确，D错误．故选C.答案 C4．(2013·浙江湖州中考模拟七，8，3分)函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象大致是()解析本题可用排除法．A中，对于y＝ax＋b来说a＜0，对于y＝ax2＋bx ＋c来说，a＞0，故排除A；B中，对于y＝ax＋b来说a＞0，b＞0，对于y ＝ax2＋bx＋c来说，a＞0，b＜0，故排除B；C中，对于y＝ax＋b来说a＞0，b＜0，对于y＝ax2＋bx＋c来说，a＞0，b＜0，故C符合；D中，对于y＝ax ＋b来说a＞0，b＜0，对于y＝ax2＋bx＋c来说，a＜0，b＞0，故排除D.综上所述，选C.答案 C5．(2013·浙江湖州中考模拟十，8，3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是() A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定解析y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)、O(0，0)，∴抛物线的对称轴为x＝－1.∴抛物线上点B的对称点是(1，y1)．∵a＜0，∴当x＞－1时，y随x的增大而减小．∵1＜3，∴y1＞y2.故选A.答案 A6．(2014·浙江杭州朝晖中学三模，8，3分)设函数y＝kx2＋(3k＋2)x＋1，对于任意负实数k，当x<m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为() A．2 B．－2C．－1 D．0解析∵k<0，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随x的增大而增大，对称轴为x＝－b2a＝－3k＋22k，∴m≤－3k＋22k.又∵－3k＋22k＝－3 2－1k，k＜0，∴－3k＋22k>－32，∴m的最大整数值为－2.故选B.答案 B二、填空题7．(2015·浙江吴兴区一模，11，4分)二次函数y＝x2＋2x＋2的最小值为________．解析配方得：y＝x2＋2x＋2＝y＝x2＋2x＋12＋1＝(x＋1)2＋1，当x＝－1时，二次函数y＝x2＋2x＋2取得最小值为1.答案 18．(2014·浙江台州温岭四中一模，14，5分)将抛物线y＝－12x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为y＝－12x2，则b＝____，c＝____．解析由y＝－12x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝－12(x＋1)2－2，即y＝－12x2－x－52.故b＝－1，c＝－52.答案－1－5 29. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B(4，2)，一次函数y＝kx－1的图象平分它的面积．若关于x的函数y＝mx2－(3m＋k)x＋2m＋k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为________．解析过B作BE⊥AD于E，连结OB，CE交于点P，∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－12 三、解答题10．(2015·浙江杭州模拟(35)，22，12分)阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．证明：∵(a －b )2≥0，∴a －2ab ＋b ≥0，∴a ＋b ≥2ab .当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．(1)已知x >0，求函数y ＝2x ＋2x 的最小值． (2)问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升． ①求y 关于x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)；②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结果保留小数点后一位)．解 (1)y ＝2x ＋2x ≥22x ×2x ＝4.当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时，“＝”成立．当x ＝1时，函数取得最小值，y 最小＝4；(2)①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2升，∴y ＝x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋450x 2＝x 18＋450x (70≤x ≤110)；②根据材料得：当x 18＝450x 时有最小值，解得：x ＝90.经检验x ＝90是原方程的解， ∴该汽车的经济时速为90千米/时；当x ＝90时百公里耗油量为100×⎝ ⎛⎭⎪⎫118＋4508 100≈11.1(升)．。

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专题：二次函数含参问题小综合~2018年九年级中考数学模拟篇
1．(2018武昌模拟一16题)已知抛物线y＝x2－2x－1在－1≤x≤4之间的图像与抛物线y＝－x2＋2x＋1＋a的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是_________________________
2．(2018江汉模拟一16题)无论x为何值，关于x的代数式x2＋2ax－3b的值都是非负数，则a ＋b的最大值为
3．(2018硚口模拟二16题)已知a、b为y关于x的二次函数y＝(x－c)(x－c－1)－3的图象与x 轴两个交点的横坐标，则|a－c|＋|c－b|的值为___________
4．(2018二中广雅模拟一16题)已知当－1＜x＜0时，二次函数y＝x2－4mx＋3的值恒大于1，则m的取值范围是________
5．(2018文华中学模拟一16题)已知二次函数y＝x2－2nx＋n＋2的最小值大于0，则n的取值范围是___________
6．(2018文华中学模拟二16题)已知二次函数y＝(x－h)2－h＋2，当自变量x的取值在0≤x≤2的范围中时，函数有最小值h，则h的值为___________
7．(2018青山模拟一16题)已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋2－m ，在自变量x 的值满足－1≤x ≤2的情况下．若对应的函数值y 的最大值为6，则m 的值为_________
8．(2018勤学早模拟一16题)已知抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 的顶点坐标为(x 0，y 0)，当4
25410≤≤y 时，m 的取值范围是___________
9．(2018勤学早模拟二16题)抛物线2
3212++=bx x y ，当0≤x ≤1时抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3，则b 的值为_______________
10．(2018新观察模拟五16题)关于x 的二次函数y ＝－(x －m )2＋2，当2≤x ≤4时函数有最大值－m ，则m 的最大值为____
11．(2018新观察模拟六16题)二次函数42
12-+-=
m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为___________
12．(2018新观察模拟七16题)已知函数|3)(3
1|2--=h x y ，当0≤x ≤2时，函数y 随x 的增大而增大，则实数h 的最大值为___________。