初等数论1.1(小学教育专业)
初等数论及其应用
= 251649
16
课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
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总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
12
余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
初等数论第一章1
第一节 数的整除性
例8 设a1, a2, , an是整数，且 a1 a2 an = 0，a1a2
则4n。
an = n，
解 如果2 n|，则n, a1, a2, , an都是奇数。于是a1 a2 an是奇数个奇数之和，不可能等于 零，这与题设矛盾，
所以2n，即在a1, a2, , an中至少有一个偶数。
n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在k和k 1中有一个是偶数，所以8n2 1。 例9的结论虽然简单，却是很有用的。例如，使
用例3中的记号，我们可以提出下面的问题： 问题 d(1)2 d(2)2 d(1997)2被4除的余数是
多少？
第一节 数的整除性
例10 证明：方程
第一节 数的整除性
定理1 下面的结论成立： (ⅰ) ab ab； (ⅱ) ab，bc ac； (ⅲ) bai，i = 1, 2, , k ba1x1 a2x2 akxk，此处xi(i = 1, 2, , k)是任意的整数； (ⅳ) ba bcac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) ba, a0 |b| |a|; ba且|a| < |b| a = 0。
是否为偶数？
解对于n的每个约数d，都有n = d 正约数d与 是n 成对地出现的。
d
n，因此，n的
d
第一节 数的整除性
只有当d = ,dn即n = d2时，d 和
才n 是同一个数。
d
故当且仅当n是完全平方数时，d(n)是奇数。
因为442 < 1997 < 452，所以在d(1), d(2), , d(1997)中恰有44个奇数，故d(1) d(2) d(1997)是偶数。
(ⅰ) A和B的元素个数相同；
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件
唯一性:设q1 , r1是满足(2)的另两个整数, 则
因而
a bq1 r1,0 r1 b, bq1 r1 bq r,
于是
bq q1 r1 r,
7
三、带余数除法
定理4 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r, 0 r b
(1)
定义2：（1）式通常写成
5解 : (1)无,(2)x 1, 2,2.
6证 : (1)3 n n 3m,所以7 3m ,又7 7m ,
7 7m 2 3m m,从而21 n.
(2)21 7n, 21 3n 21 7n 1 3n 2 n.
14
q为偶数，且b 0时，令s q , t a bs a q b
10
练习： 1.设a 2t 1,若a 2n,则a n. 2.设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x, y使 ax by 1,证明 : 若a n,且b n,则ab n.
3.设n 1,证明 : n 12 nk 1 n 1 k .
4.若x2 ax b 0有整数根x0 0,则x0 b . 一般地,若xn an1 xn1 a0 0有整数根x0 0, 则x0 a0 .
思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
9
eg5 已知： 782 + 8161能被57整除， 求证：783 +8163也能被57整除。
证明：783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )－7 × 8161 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 × 57 ∵782 + 8161和57都能被57整除 ∴原式得证。
(1) a 14,b 3
初等数论
第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
1.1素数的判别-北师大版选修4-6初等数论初步教案
1.1 素数的判别-北师大版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解素数的定义和特征。
2.掌握素数的判定方法。
二、教学重点1.素数的定义。
2.素数的判别方法。
三、教学难点素数的判别方法。
四、教学过程1.引入1.1 活动1出示一些数字，让学生判断哪些数是素数。
1.2 活动2出示不同位数的数字，让学生讨论有哪些方法可以判断一个数字是否为素数。
2.概念讲解1.什么是素数？2.素数的特征。
3.判断数字是否为素数需要满足哪些条件？3.素数的判别方法3.1 分解质因数法把一个数分解成质因数，如果质因数只有1和这个数本身，那么这个数就是素数。
3.2 暴力枚举法从2开始，分别用这个数去除待判断数，如果都无法整除，则为素数。
3.3 埃式筛法从2开始，把所有能整除2的数都筛掉，再把所有能整除3的数都筛掉，以此类推，直到剩余的数都是素数。
4.练习让学生分别用分解质因数法、暴力枚举法和埃式筛法判断一些数字是否为素数。
5.整合总结三种素数判别方法的优缺点。
五、教学反思本节课的难点在于素数的判别方法，需要通过具体的例子和练习来加深学生的理解和记忆。
本节课上可以通过活动的方式来引入，让学生积极思考和讨论，提高学生的参与度和学习效果。
在素数判别方法的讲解中，需要详细介绍每种方法的具体步骤，并带着学生进行实际操作，使学生能从这些实例中掌握方法的核心思想和应用技能。
最后，通过整合的方式对三种素数判别方法作出总结，让学生能够发现其中的规律和优缺点，对于以后的数学学习打下良好的基础。
初等数论-第一章
有可能是不唯一的。
例 当 a5, b2时 ， 可 有 5 （ 2） （ 3） （ 1） ， 即 q3,r1; 或 5 （ 2） （ 2） 1， 即 q2,r1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中qZ,
(i)m是任一正整数，则
(am,bm) (a,b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a,
b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1,a2, ,an是 任 意 n个 正 整 数 ， 令 (a1,a2)d2,(d2,a3)d3, ,(dn1,an)dn.
3、带余数除法
定 理 4 若 a,b是 两 个 整 数 ， 其 中 b0， 则 存 在 着 两 个 整 数 q及 r， 使 得 abqr， 0rb () 成 立 ， 而 且 q及 r是 唯 一 的 。 ()式 中 的 q及 r分 别 叫 a被 b除 所 得 的 不 完 全 商 和 余 数 。
证明分析：作整数序列 ，-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,
,b)
2
即当a与b是正整数时，只要使用被2除的除法运算和 减法运算就可以计算出(a,b)
例1、求（12345,678）
解： （12345,678）=（12345，339） =（12006,339）=（6003,339） =（5664,339） =（177,339） =（177,162） =（177，81） =（96,81） =（3,81）=3
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文1小学教育专业开设初等数论课程的必要性初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。
由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。
数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。
古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。
2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
初等数论第一章引言
4、 a 0 a, a Z .
5、任意的a , b Z，必有x Z , 使得 a b x .
5就是法的定： a b x.
0引言 自然数与整数
二、在整数集中可以作乘法运算（*)，但不
一定可作其逆运算除法运算，乘法运算满足
1、 合律： (a b) c a (b c ), a , b, c Z . 2、 交律： a b b a , a , b Z . 3、相消律： 若a 0, a b a c b c , a , b, c Z .
0引言 自然数与整数
以上列举了一些熟知的有关整数的知识.对 自然数来说它的最重要、最本质的性质是 归纳原理：设S是N的一个了集，满足条件:
i) 1 s. ii)如果n S n 1 S .
那么, S N .
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 际上两者是一回事. 定理1(数学归纳法) 设P(a)是关于自然数n的一
种性质或命题.如果
i) n 1, p(1)成立. ii)由p( n)成立 p( n 1)成立.
那么, p(n)所有的自然n成立.
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 际上两者是一回事. 定理1(数学归纳法) 设P(n)是关于自然数n的一
种性质或命题.如果
i) n 1, p(1)成立. ii)由p( n)成立 p( n 1)成立.
入这”个盒子中，一定有一个盒子中被放了
两个或两个以上的物体.
那么, p(n)所有的自然n成立.
S：p( n )成立的所有的自然n的集合 .
0引言 自然数与整数
由归纳原理还可推出两个在数学中，特别是 初等数论中常用的自然数的重要性质.
《初等数论》课程标准
《初等数论》课程标准1.课程说明《初等数论》课程标准课程编码〔14060051〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月12日〕审核〔专业指导委员会〕审核日期〔〕批准〔二级学院（部）院长〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是小学教育专业的核心课程，是专业选修课程。
（2）课程任务：本课程主要针对小学教育专业数学方向学生开设，主要任务是培养学生在小学数学教师，教育培训机构数学辅导员等岗位所必需的理性思维能力和创新实践能力，要求学生掌握熟练应用理论知识解决实际问题、课堂教学中动手操作等方面的基本技能。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《大学数学》，后续课程有《概率论》、《数学实践》。
2.学习目标通过对本课程的学习，提高的数学素养与数学能力。
通过引领的项目活动，使学生成为具备从事小学教育职业的高素质劳动者和小学教育专业的高级技术人才，同时培养学生敬业爱岗思想、团结协作精神。
在数论学习过程中，能熟练使用数论的基本概念、公式、定理、法则以及其它基础知识。
能熟练应用初等数论的数学方法与数学思想。
能熟练运用数论中的逻辑推理、演绎等方法。
同时要求有独立研究学习，查阅资料，重视交流等能力。
会熟练使用数论知识解决相关的初等数学问题。
3.课程设计按照“以能力为本位，以职业实践为主线，以项目课程为主体的模块化专业课程体系”的总体设计要求，以工作任务模块为中心构建的教学项目课程体系。
彻底打破学科课程的设计思路，紧紧围绕项目任务完成的需要来选择和组织课程内容，突出工作任务与知识的联系，让学生在职业实践活动的基础上掌握知识，增强课程内容与职业岗位能力要求的相关性，提高学生的就业能力。
项目一数的整除性参考学时26项目二同余参考学时14项目三数论函数参考学时8项目四不定方程参考学时64.教学设计项目一数的整除性学习目标能够熟练使用奇偶分析法，质因数分解定理。
会正确使用求最大公约数方法及裴蜀恒等式。
能用所学知识解决相关习题。
初等数论第一、二章
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
到 20016年为止已找到的最大梅森素数（第四十九个） 是274207281 – 1, 这个数有 超过两千两百万位．
（ f n,k)=2n
3k
4n 10
k
都不能分解成若干个连续的自然数之积。
例14 设r是正奇数，证明：对任意的 正整数n，有 n 2 1r 2r 3r nr
第二节 带余除法
第二节 带余除法
定理 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 a bq r， 0r b () q及r，使得
成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
可以看出：b整除a的充要条件是 r=0。
• 设a，b是两个整数，其中b>0.则存在唯 一的整数q，r使得a=bq+r，0≤r<b. 证明（存在性）考虑一个整数序列 …，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b，… 它们将实数轴分成长度为b的区间，而a必 定落在其中的一个区间中，因此存在一 个整数q使得 qb≤a<(q+1)b 我们令r=a-bq，则有a=bq+r，0≤r<b
(唯一性) 如果分别有整数q，r和q1，r1满足（2）， 则 a= bq+r， 0≤r<b， a= bq1+r1，0≤r1<b 两式相减，我们有 b(q-q1) =-(r-r1) 当q≠q1 左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值 小于b，这是不可能的.故q=q1，r=r1.
初等数论
• ⑷性质：定理1.3.3推论1(裴蜀恒等式)
• 如果两个数a，b的最大公约数是d，那么存在两
个整数x与y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推 广到n个数的情况) • 推论2：两个数a，b互质的必要且充分条件是存 在整数x与y,使ax＋by＝1成立。 推论1的推广 设 a1 ,a2 , …, an ∈N+ (n≥2) ，则一定存在整数 s1, s2, …, sn，使 a1s1＋a2s2 ＋ … ＋ ansn＝ (a1 ,a2 , …,an ) .
第一章 整数的整除性
主要内容
整除的定义、性质，奇数和偶数，带余除法 定理、余数，最大公因数、最小公倍数、辗转相 除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本 定理
1.1整除 1、整除的概念：
• 定义1.1 设 a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我们就说，a 能被b整除或b整除a ，记作b | a． • 如果整数 q 不存在( 即对任何整数 q，恒有 bq ≠a ),那么就说a不能被 b 整除 (或者说b 不能整除a)，记作 b ｜a。
σ( a )表示正整数 a 的所有正约数的和，如 σ(2) = 3, σ( 4 ) = 7，等等。 σ1( a)表示正整数 a 的所有正约数的乘积．如 σ1( 4 ) = 8 , σ1( 10 ) = 100，等等．
我喜欢数学
• 定理1. 26 如果自然数a的标准分解式为
a p1 p2
1
2
特别地，n 个偶数的积是 2n 的倍数（ n∈N+）.
性质2 (关于奇数)
(1) 双数个奇数的和是偶数；
(2) 单数个奇数的和是奇数；
(3) 任意个奇数的积还是奇数。
性质3 奇数与偶数的和是奇数. 性质4 任一奇数与任一偶数不相等.
小学教育专业“初等数论”课程的教学改革研究——以西安翻译学院为例
!"#!$%&$'(')*+&,-./&$01$21(3$&)%)()0%30小学教育专业 初等数论 课程的教学改革研究以西安翻译学院为例周婉娜4周根全西安翻译学院!陕西西安!C%$%$#摘4要 +初等数论,是小学教育专业的专业基础课#针对小学教育专业的特点和要求"本文首先讨论了小学教育专业学习+初等数论,课程的重要性"分析论证了学生在学习过程中存在的问题$其次"针对学生学习中存在的问题提出了相应的改革措施"包括提升学生积极性!优化教学内容及方式!课后跟踪!课外拓展等方面的内容"希望能够满足不同基础的学生愉快地学习"从而培养出合格的小学数学教师#关键词 初等数论$优化教学内容及方式$课后跟踪$课外拓展7A)4+*,4%b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小学教育是西安翻译学院新开设的专业"主要培养德%智%体全面发展的"具有较高教育理论素养和较强教育实际工作能力的'语%数%英(小学教师及教育科研%各级教育行政管理人员和其他教育工作者&毕业之前"学生通过教师资格证考试"必须拿到小学教师资格证书&小学教育专业的学生毕业之后"大都从事小学教育工作"为小学教育的教学与科研做出贡献&因此"小学教育专业的学生在校期间"对于语文%数学%英语各方面的知识都要进行系统的学习"而#初等数论$课程是小学教育的一门专业必修课程&目前"我校#初等数论$课程的教学处于初级阶段"教学大纲的制定和教学内容方面仍然处于不断探索和完善之中&参考文献)$*通过对例题和练习题进行分层设计"选择符合小学教育专业特点的题目和让学生自己收集%改编%自编"来满足不同基础的学生学习的需求+参考文献))*针对师范生的特点"对#初等数论$课程教学目的针对性和教学内容安排的合理性提出了作者自己的看法+参考文献)(*对教学内容和教学方法提出了针对性的改革措施+参考文献)3*结合教学实践"对数学师范生数学能力培养的内容和策略进行探究+参考文献)W*结合#初等数论$课程教学实践"论述了进行#初等数论$课程教学改革的必要性"进而探讨了我国#初等数论$课程教学改革的可能性途径&本文将从学生学习的重要性%存在的问题%改革的方向以及知识的扩充提出几点看法&一 小学教育专业学生学习 初等数论 的重要性#初等数论$是小学教育的专业基础课"是进一步提高学生知识水平和能力的重点课程&#初等数论$是一门集知识性%智力性%趣味性的综合理论课"学生学好#初等数论$"对于今后从事教育教学具有重要的理论指导意义&#初等数论$是数学领域高深莫测且独具风格的一门课程&例如"数论中关于整数问题的研究至今没有得到合理的证明"著名的#哥德巴赫猜想$集中反映了数论的奇妙关系"但又无法严格证明&#初等数论$是研究整数最基本的性质"包括进位制%四则运算%整除%分解质因数%最大公因数%最小公倍数%同余%分数与小数互化%同余方程等内容"与目前小学数学中的整除%最小公倍数%最大公约数以及余数问题密切相关&为了培养合格的小学教师"对小学教育专业开设#初等数论$课程是十分重要的&#初等数论$课程理论性强%比较抽象%论证严格"对学生的思维训练很有帮助"学习#初等数论$对学生的数学逻辑思维能力的提升也很重要&我国著名的教育家叶圣陶说过!#不上课就不是教师"不做科研的教师就不是好教师4$小学教育专业是培养小学教育的教学与科研人员"不但要教好书"还要搞好科研&%<%E科技风FGFH年I月创新教学Copyright©博看网. All Rights Reserved.#初等数论$具有严谨的思维%严格的论证%处理问题时超强的方法技巧性等"对教师科研能力的提升有很大的帮助"同时也为我们将来的教学与科研打下坚实的基础&因此"小学教育专业学习#初等数论$具有非常重要的意义&二 学生在学习过程中存在的问题学生知识结构不均衡&小学教育是我校)%$'年新开设的专业"该专业学生属于文理兼收"他们的知识结构%数学基础参差不齐"对学习数学普遍缺乏主动性及积极性"加之数论的一些内容比较抽象"解题方法灵活多样难以把握"以至于大多数学生道理听得懂%问题想不通%畏难厌学时有发生"学生在学习过程中会遇到各种各样的问题&学生在进入大学后的第五学期时"专业分为小学数学%小学语文%小学英语三个方向&#初等数论$在第四学期开设"也就是说"不论选择哪个方向"#初等数论$都是必学的专业基础课&由于开设课时仅为()学时"课时较少"内容较多且抽象"往往是概念定理容易理解"但其论证难懂"教材例题构思奇妙%方法奇特"课后习题学生往往找不到合适的方法&通过对)%$'级学生的学习情况跟踪调查表明"学生对#初等数论$的学习动机"仅仅是为了期末过关考试"没有真正认识到学好#初等数论$这门课程对提高他们的逻辑思维能力和分析问题能力的重要作用&学习#初等数论$"不仅是知识上的提高"更重要的是知识的应用"即要学会用知识去解决问题&学生学数论的积极性不高&由于#初等数论$课程内容'特别是文科生(大多数比较抽象"定义%定理%推论交替出现"缺乏例证&如费马大定理中的,j -`%整数解的问题"费马不经意间的奇妙想法"困惑了世间智者(WY 年的迷&由此可见#初等数论$中的问题有趣但不好论证"造成学生在学习中产生诸多的困惑&因此"学生的学习积极性普遍不高"刚开始学生还有一点兴趣"随着学习内容的不断深入"一部分学生出现了畏难情绪"一部分学生对课程的学习逐渐失去了兴趣"特别是对于第五学期分方向后"不选小学数学方向的学生增多&如何提升学生的学习兴趣无疑成为教学中面临的一个重要课题&课后作业动手能力偏差&练习题是检验学生学习效果和教师教学成果的一个重要手段"但#初等数论$的课后习题大部分属于中小学的奥林匹克竞赛题等"开放性较大"往往是学生对知识的更深层次的应用"学生对这部分内容的学习比较吃力"布置的作业完成起来较为困难"教师在课前需要花费一定的时间去讲解作业"导致课时严重不足&因此"对于练习题的选择也是教学中的一个重要的方面"课后作业既要具有典型性"又要切合学生的水平+既要适合小学教育专业的特点"又要能够提升学生的数学思维能力&三 初等数论 教学改革的方向 一 提升学生学习积极性 增强学习意识激发学生学习#初等数论$的兴趣%培养学生未来从事小学教育教学至关重要"#初等数论$中的很多理论直接或间接地与小学数学相关&作为小学数学教师"就必须对数论知识具备一定的素养"数论本身具备了所有数学课程抽象的特点"如何使学生在有限的时间内学好#初等数论$"教师首先必须调动学生学习的积极性"善于化难为易%循序渐进"引导学生不断发现学习中的快乐&#初等数论$的定理简单易懂"但拿起题目却无从下手"因此"教师在教学过程中要寻找简单易懂又切合实际的例子"提高学生对#初等数论$学习的积极性&同时也可以利用名人的例子"引导学生学习"比如!哥德巴赫猜想#任意大于)的偶数都可以写成两个质数之和$看似简单"但哥德巴赫是无法证明的"目前取得最好的证明结果的是我国数学家陈景润"学生通过收集数学家陈景润的资料去了解%学习"以提升学生的民族自豪感和学习自信心"从而激发学生的学习兴趣&在讲解整数的奇偶性性质的时候"可以引入生活中常见的且学生感兴趣的例子&例如!房间灯的开关问题"#房间有1盏灯"刚开始灯都是灭的"每次同时打开3盏为一次运动"问可否经过若干次运动使得灯全部变亮1$生活中常见的灯开关问题"学生也很容易上手"对于次数少的情况下"学生可以通过在练习本上用简单的图来展示"但是对于次数多的情况下"就束手无策了"学生一片茫然&此问题的本质就是整数奇偶性的性质"房间的灯开始是灭的"要使得灯变亮"每盏灯都必须打开奇数次"因此1盏灯都要变亮将有1个奇数"则1盏灯一共打开的次数将是这1个奇数相加"则由正奇数个奇数之和为奇数"得到总次数为奇数&相反"3次为一个运动"若干次运动后"灯打开的次数将是3的倍数次"显然是一个偶数&奇数与偶数产生矛盾"因此是不可能的&学生顿时豁然开朗"谜团解开"心情一下大好"对#初等数论$的学习充满期待&从数学家的故事入手"使学生了解名人的努力过程以及艰辛的奋斗历程%奋斗精神"从思想上敬畏他们"并付诸行动"认真学习&从生活中简单的例子入手"使学生在身边发现数学"认识到我们生活当中无时无刻都蕴含着丰富的数学问题"为了解决常见的问题"积极思考"深入钻研"从而提升学生学习的积极性&二 不断优化教学内容及教学方式当前我校学生的基础相对薄弱"小学教育专业属于文理兼收"并且文科学生占比较高"学生学习的主动性%积极性较为被动"许多学生认为自己在第五学期分方向又不选择小学数学"所以没有必要学好#初等数论$课程"只寻求期末考试过关就行&教学大纲是教学的方向"在小学教育专业培养目标的前提下"结合我校学生的特点"对教学内容也要做相应的调整&我校选用的教材是复旦大学出版社由李同贤编写的/初等数论0教材"由于课时的限制"只能讲解第一章和第二章的部分内容"教学内容适中"课后习题难易适中"习题中"<%创新教学科技风./.0年1月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.有些竞赛题学生很感兴趣"但是由于学习的不够深入透彻"因此做起来比较困难"一定程度上打击学生的积极性&根据小学教育专业人才培养方案的要求"毕业后应具备一定的教育教研能力和管理能力"能够实施素质教育"胜任小学全学科教学"兼具创新精神的高素质应用型专门人才&教学大纲中的教学目标与人才培养方案中的毕业要求支撑点对应起来"培养出具有针对性的社会需要型人才&未来的小学教师"必须熟悉小学课程的相关内容"因此我校的教学重点放在第一章的四则运算%整除%分解质因数%最大公因数%最小公倍数等"根据课程和学生的特点"对于证明难的定理"避开证明可以利用简单的具体实例进行分析&例如"定理!);$";)"-";2*`#2"则);$";)"-";2"; 2j$"-;)*`)#2";2j$"-";)*&定理的证明较复杂"可以用具体的数字进行讲解"在讲解的过程中举例))"3"Y*`Y"而))"3*`3")3"Y*`Y`))"3"Y*"简单易懂的例子"不但可以让学生掌握定理"而且可以学会定理的应用&同时"在教学的过程中"改变传统的教学方式"在网络发达的今天"利用线上线下相结合的教学方式"可以将现代化网络技术有效地利用到课堂"如可以利用学习通进行签到%抢答%讨论等&改变教师讲学生听的教学模式"将学生作为课堂的主人"使学生的被动学习变为主动学习&在课前学生对知识内容进行提前预习"教师课前在学习通上发布任务"学生课下完成任务"课堂上各小组进行讨论"讨论完成后每小组派一名学生对本小组讨论结果进行讲解"教师对讲解结果进行评价以及纠正其中存在的问题&这样可以调动学生学习的积极性"将学生的被动听课变为主动听课"对于小学教育专业的学生来说"对后期进入工作岗位奠定基础&'三(做好课后作业练习的跟踪辅导为了发挥学生的主体作用"调动学生的学习积极性"对课后习题进行分类"分为简单%适中和较难&对于简单的习题可以让学生自学"结合我校的管理制度'半封闭式学校"也就是说学生从周一到周五不允许出校门"并且周日至周四晚上都有晚自习("学生自学完成后"教师可利用晚自习时间组织学生在班上进行讲解"事先分配好"使得每位同学都有上台讲解的机会"从而锻炼了学生的能力+对于适中的题目"学生先思考"然后教师逐一讲解"达到学习的目的+较难的题目可以给学生提供思路"让有能力的学生去理解%思考"学生也可以利用空余时间和老师进行探讨&课本上的练习题数量有限"学生可以自己在网上寻找一些与课本知识相关的题作为扩充"有能力的学生也可以将相关知识的奥数题%竞赛题作为练习"许多奥数题和竞赛题具有挑战性"且是生活中常见的问题&例如!六个同学围桌而坐聊天"其中甲拿来六个杯子斟好茶准备分发"这时乙说!#由近到远传递"无论谁面前不止一杯时"方可一次同时发给左右邻各一杯&$问经过几次传递"每人可得一杯1这是我们生活中常见的问题"并且还可以提升学生的兴趣&此外"许多题目的解题方法并不是唯一的"学生可以尝试一题多解"从不同角度考虑问题"达到知识的全面掌握&四 课外知识的扩充#初等数论$的知识与中小学的教学内容关系密切"首先"可以给学生适当扩充一下小学的知识体系"让学生能够感受到#初等数论$在今后工作中的应用价值&其次"在课时允许的情况下"教师指导学生如何上好一节小学数学课"从课程的三维目标%重难点%教法学法等的设置对学生进行指导"让学生提前体会到作为一名教师的光荣"为了光荣的职业"从现在开始努力学习&最后"教师也可以利用学习通给学生上传一些#初等数论$的数论史以及数论在密码学中的应用"让学生对数论的历史有一个全面认识"同时也对密码学有一定的了解"为后续有的同学想深造考研"提供密码学的基础&作为未来的小学教师"知识结构%能力水平是一个教师必备的素养"#初等数论$知识使学生打开整数相关理论知识的一把钥匙&如何使学生很快理解%掌握#初等数论$这门课程"仍然是当前和今后我们教学中面临的重要课题"也是我们不断努力探索的方向&结语本文基于西安翻译学院小学教育专业学生的特点"对学习#初等数论$的必要性%学习过程中存在的问题以及改革的方向三个方面进行论述"希望对学生今后的学习奠定基础"对于学生今后走上工作岗位能够有一定的帮助&参考文献)$*李玉慧&关于小学教育专业初等数论课程例题和练习题的几点思考)d*&首都师范大学学报'自然科学版(")%$0"(1'((%$32$1&))*吴强&关于师范生初等数论课程教学的几点看法)d*&西南师范大学学报'自然科学版(")%$("(Y'0(%$1%2$1(&)(*黄学军&高师+初等数论,课程改革探索)d*&乐山师范学院学报")%$(")Y'$$(%1121'&)3*刘双"唐海军"蒲双艳&+初等数论,课程教学对师范生数学能力培养的研究)d*&四川文理学院学报")%)$"($')(%3'2W(&)W*晏燕雄"徐海静&我国初等数论课程教学改革的必要性及途径)d*&西南师范大学学报'自然科学版(")%$)"(1'3(%)$12))%&)0*李同贤&初等数论)Z*&上海%复旦大学出版社")%$Y&)1*闵嗣鹤"严士健&初等数论)Z*&北京%高等教育出版社")%%(&基金项目 西安翻译学院院级项目')%))]:%Yd k S S)$($陕西省教学科学+十三五,规划项目']S9)%g$W%)(作者简介 周婉娜'$'Y1&4("女"陕西临潼人"硕士"研究方向%应用数学!数学教学#;<%-科技风./.0年1月创新教学Copyright©博看网. 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小结：本节主要讲述进位制，重点掌握十进位制 与二进位制的互化，并能解决相应的实际问题。 作业：习题1.1第2题和第3题
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
一、十进位制及其计数法
设a0,a1,a2…,an在0,1,2,…,9这十个数字中任意取值, 我们把n+1个数字a0,a1,a2，…,an组成的十进制自然 数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为： an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10&#等数论》课件
制作：孙素慧
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。 自然数集：0，1，2，3，… ，n，…也叫非负整 数集，记作N。 正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。 正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
1.1 进位制与计数法
学习目标： 1.掌握常用进位制与计数法 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。 3.培养学生的学习兴趣 重点：二进位制与十进位制的互化 难点：二进位制与十进位制的互化的实际应 用 教学方法：讲授法 练习法 课时数：2 授课日期：2014.2.25
例1 已知 a3 a1 , b3 0, 且a3a2 a1 a1a2 a3 b3b2b1.
求证： b3b2b1 +b1b2b3 =1089.
例2一个六位数2abcde与3之积等于abcde9，求这
个六位数.
二、一般进位制
在计数制度中,除十进位制外,还有二进位制,十 二进位制,十六进位制,六十进位制等。 一般的,k(k>1)进位制的计数单位是k0,k1,k2,…如 二进位制的计数单位是20,21,22,…,八进位制的单位 是80,81,82,… k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式：
an an1
a1a0( k ) an k n an1k n1
a1k a0
例3 把110111(2)化为十进位制数 例4 把49化为二进位制数 例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一 个,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种 不同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配 上述砝码？