勾股定理拓展提高题

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初中数学勾股定理提升训练1含答案

勾股定理提升训练1一．选择题（共16小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．9，7，12B．2，3，4C．1，2，D．5，11，12 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90度，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是8和3，则△ABC'的面积是（）A．33B．43C．53D．53．如图，在直角三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD＝（）A．3B．4C．5D．64．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1，，2B．7，24，25C．D．1，，5．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2D．S2＝（S1+S3）6．已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）A．20B．10C．10D．287．在△ABC中，AB＝BC＝2，O是线段AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△P AB为直角三角形时，AP的长为（）A．1，，7B．1，，C．1，D．1，3，8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB ＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则S Rt△ADC+S Rt△BCE为（）A．16B．32C．160D．12810．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（）A．3B．C．D．11．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形12．如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定13．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③．其中正确的是（）A．①B．①②③C．①②D．①③14．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，则CD的长为（）A．4B．12﹣4C．12﹣6D．615．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米16．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝16，AD⊥BC，垂足为D，∠ACB 的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．4C．D．6二．填空题（共3小题）17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C 的面积和是9，则正方形D的边长______．18．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为______．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为______．三．解答题（共7小题）20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度的．（1）当t＝2时，求CD的长；（2）求当t为何值时，线段BD最短？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．22．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．（写出勾股定理的内容并证明）（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．23．如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，BC＝12，CD＝x，x＞0，AB⊥AD．（1）求BD的长；（2）当x为何值时△BDC为直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．24．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．25．如图所示，每个小正方形的边长为1cm（1）求四边形ABCD的面积；（2）四边形ABCD中有直角吗？若有，请说明理由．26．小颖用四块完全一样的长方形方砖，恰好拼成如图1所示图案，如图2，连接对角线后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去证明勾股定理．设AE＝a，DE＝b，AD＝c，请你找到其中一种方案证明：a2+b2＝c2．勾股定理提升训练1参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：A、∵72+92≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项不符合题意；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项符合题意；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：C．2．解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1+S2＝S3，∵S3＝8，S2＝3，∴S1＝S3﹣S2＝8﹣3＝5，故选：D．3．解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC于E，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠DCB＝∠B，∴CD＝BD，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CD＝AB＝5，故选：C．4．解：A、∵12+（）2＝22，∴以1、、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵72+242＝252，∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵（）2+（）2≠（）2，∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵12+（）2＝2，∴以1、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．6．解：如图，∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2＝AD2，∴52﹣BD2＝72﹣（8﹣BD）2，解得：BD＝，∴AD＝＝，∴△ABC的面积＝10，故选：C．7．解：如图1，当∠APB＝90°时，∵AO＝BO，∴PO＝BO，∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝2，∴AP＝AB•sin60°＝2×＝；如图2，当∠ABP＝90°时，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝＝＝，在直角三角形ABP中，AP＝＝；如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝1，故选：C．8．解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC的距离为，∴AP＝CP＝，∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC的距离为，∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为，∴这样的点P有3个，故选：D．9．解：∵∠ACB＝90°，AB＝16，∴AC2+BC2＝256，∵∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，∴AD＝AC，BC＝CE，∴S Rt△ADC+S Rt△BCE＝256×＝128．故选：D．10．解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，∴则AC边上的高＝＝；故选：C．11．解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．12．解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，设c为斜边，∴a2+b2＝c2，又∵（2a）2+（2b）2＝4（a2+b2），（2c）2＝4c2，∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2，即2a，2b，2c为边长的三角形是直角三角形，故选：A．13．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，①正确；这个直角三角形的面积＝ab＝ch，∴ab＝ch，②正确；∴a2b2＝c2h2，∴＝＝＝＝，③正确．故选：B．14．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12．∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝12×＝12CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝4，∴CD＝CM﹣MD＝12﹣4．故选：B．15．解：则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．这块草坪的面积＝S Rt△ABC+S Rt△ACD＝AB•BC+AC•DC＝（3×4+5×12）＝36米2．故选：B．16．解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝16，∠B＝45°，∴BA＝DA＝8，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，AD＝8，∴CD＝，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝30°，∴DE＝CD•tan30°＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣＝，故选：C．二．填空题（共3小题）17．解：根据勾股定理的几何意义得：S D＝S A+S B+S C＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．18．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．19．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题）20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，当t＝2时，AD＝2，∴CD＝8；（2）当BD⊥AC时，BD最短，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠ABC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADB，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴t＝，∴当t为时，线段BD最短．21．解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．22．（1）证明：∵S五边形面积＝S梯形面积1+S梯形面积2＝S正方形面积+2S直角三角形面积，即：（b+a+b）b+（a+a+b）a＝c2+2×ab，即ab+a2+b2ab＝c2+ab，即：a2+b2＝c2；（2）解：根据二次根式的意义，得，解得x+y＝8，∴+＝0，根据非负数的意义，得解得x＝3，y＝5，z＝4，∵32+42＝52，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．23．解：（1）如图，∵AB＝4，AD＝3，AB⊥AD．∴BD＝＝＝5，即BD的长度是5；（2）在直角△BCD中，BD＝5，BC＝12．①当CD为斜边时，由勾股定理知：CD＝＝＝13．②当CD、BD为直角边时，由勾股定理知：BC＝，即12＝，则CD＝．综上所述，CD的长度是13或．即x为13或时△BDC为直角三角形；（3）①当CD为斜边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•BC＝+×5×12＝36．②当CD、BD为直角边时，S四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BD•CD＝+×5×＝6+．综上所述，四边形ABCD的面积是36或6+．24．解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD＝，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．25．解：（1）如图，∵四边形ABCD的面积＝S矩形AEFH﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CGD﹣S梯形AHGD＝5×5﹣×1×5﹣×2×4﹣×1×2﹣×（1+5）×1＝14；（2）四边形ABCD中有直角．理由：连结BD，BC＝2，CD＝，CD＝5，∵CD2＝BC2+CD2，∴∠C＝90°，∴四边形ABCD中有直角．26．解：∵AE＝a，DE＝b，AD＝c，∴S正方形EFGH＝EH2＝（a+b）2，S正方形EFGH＝4S△AED+S正方形ABCD＝4×+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．。

勾股定理能力提高训练题

勾股定理能力提高训练题一.勾股定理中方程思想的运用例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）二.勾股定理中分类讨论思想的运用例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

三.勾股定理中类比思想的运用例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明四.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．五.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m 高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m 的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？练习题1、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C ，的对边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L. （1）（2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么S/L= （用含m 的式子表示）（3）、请说明你写的猜想的推理过程。

2、在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=3.在Rt △ABC 外部拼接一个合适的三角形，使得拼成的图形刚好是一个等腰三角形。

要求画出图形并计算出边长。

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习(含答案)

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习试卷简介:本测试卷共有13道题，其中5道填空题，5道解答题，3道证明题，分四个板块，板块一为回顾练习，回顾暑期学到的关于勾股定理的主要知识，相关题目为教材1、2、3题；板块二为直角三角形六大性质，勾股定理只是直角三角形六大性质之一，将直角三角形的性质一网打尽，相关题目为教材4、5、6、8题；板块三为折叠专题，此类题为中考常考题，需熟练掌握，相关题目为教材9、10、12题；板块四为勾股定理实际应用，有典型的拱桥问题，台风问题，趣味性强，相关题目为教材14、16题。

学习建议:1.题目中有关于直角三角形边的关系，就要想到用勾股定理。

2.折叠专题要注意解题套路，第一步：找准折痕；第二步：找准相等线段，相等角度；第三步：找直角三角形。

3.勾股定理实际应用要能根据题意和生活经验抽象出数学模型，然后用勾股定理相关知识解答。

一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.答案：第一种情况：当高AD在三角形内部时，如图所示，利用勾股定理求出：BD=9，CD=5，BC=14，所以周长为13+14+15=42第二种情况：当高AD在三角形外部时，如图所示，同样由勾股定理求出周长为32所以，答案为42或32解题思路：此题没有给出图形，需要自己画图，所以要分类讨论：高在内部，高在外部。

易错点：只想到第一种情况，忽略了高在外部的情况，导致少一种情况。

试题难度：三颗星知识点：三角形2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．答案：解：由于△ABC≌△CDE，所以BC=DE∵S1是以AB为边长的正方形的面积，S2是以DE为边长的正方形的面积∴S1+S2=AB2+DE2=AB2+BC2=AC2=1，同理：S3＋S4＝3，故S1＋S2＋S3＋S4＝4．解题思路：要能从图形中看出那两个三角形是全等的，利用全等后对应边相等来运用勾股定理易错点：看不出哪两个三角形是全等的关系试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.答案：解：一边上的中线等于他的一半，则他一定是一个直角三角形。

勾股定理能力提升训练(整理4)

《勾股定理》能力提升训练一、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A ．32，42，52B ．34,5，C ．2,3,5，， D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形3、若直角三角形的三边长别离为2，4，x ，则x 的可能值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间五、如图，小亮将升旗的绳索拉到旗杆底端，绳索结尾恰好接触到地面，然后将绳索结尾拉到距离旗杆8m 处，发觉现在绳索结尾距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部份忽略不计）为（） A ．12m B ．13m C ．16mD ．17m六、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条抵达底部的直吸管在罐内部份a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤137、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能组成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF八、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无裂缝无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，若是以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以那个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C.a1+b1=h1D.21a+21b=21h11.已知，如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，ACPE⊥于E，BDPF⊥于F，若是AB=3，AD=4，那么（）A.512=+PFPE； B.512＜PFPE+＜513；C. 5=+PFPE D. 3＜PFPE+＜412.已知直角三角形两边x、y的长知足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.13、如图，每一个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的极点，则∠ABC的度数为；14、如图，在△ABC中，∠B=45°，AB= 2，BC= 3+1，则边AC的长为；15、如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为；16、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为；17、数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为18、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积别离是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ；A DPE F第6题B A6cm 3cm 1cm19、如图，长方体的底面边长别离为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①若是用一根细线从点A 开始通过4个侧面缠绕一圈抵达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②若是从点A 开始通过4个侧面缠绕3圈抵达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ．20、一直角三角形斜边的长是2，周长是2+7，则该三角形的面积是；解答题：21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃水池边A 处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，若是两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高．21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD所在直线翻折，使点C 落在点F 上，若是BF 交AD 于E ，求AE 的长．22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为s ，周长的一半为e ．（1）填写表：（2）观看表，令m=e-a ，n=e-b ，探讨m 、n 与s 之间的关系，并对你的结论给予证明．23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方式所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵依照以上规律写出n a 的表达式．24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 别离为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。

勾股定理拓展提高

勾股定理拓展提高一、知识提要1.直角三角形六大性质：①直角三角形两锐角________.②直角三角形任一直角边长度小于_______长度.③勾股定理及其逆定理.④直角三角形斜边中线等于斜边________.⑤直角三角形30°所对的直角边等于______的一半.⑥等积变换2.折叠专题二、专项训练1.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_________.2、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_______．3.矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长_____.4.矩形ABCD中，AB=6，CB=8，若将矩形折叠使B与D重合，则折痕EF的长为_____.5.如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．E6. 如图，已知P 是矩形ABCD 内任一点，求证：P A 2+PC 2=PB 2+PD 27.（1）如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？（2）拓展：如果该隧道为双向车道，该卡车还能通过吗？8、如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.AABPCB9.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？10.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，求PB +PE 的最小值.11 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由. （3）当AM ＋BM ＋CM1时，求正方形的边长.12如图：正方形ABCD 中有一点P ,且PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数．13如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB =BC=2AD ，PA =1，PB =2，PC =3，求梯形ABCD 的面积．小河BAD B CDCABEF M N 图①14如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并说明理由.15、如图：P 是等边△ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.16、如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：EF 2=BE 2+CF 2.17已知Rt △ABC 中，∠ACB ，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．BPBCACABE MN 图②。

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。

勾股定理提高题(含答案)

勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。

如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。

勾股定理提高训练

CB AB 第7题F ED C B A 第9题 BA6cm3cm 1cm第10题图勾股定理提高训练（一）1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在 4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（）A.2B.4C.6D.85、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米）7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是_____________.8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 A 点重合，则EB 的长是（）． A ．3B ．4 CD ．510、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ．勾股定理提高训练（二）1、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶34、已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对5、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A B C D6、△ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为三角形.8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形 9、在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为 AD= cm .10、下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.11．如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.第11题图12、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .13、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°,AD ＝1，B C ＝4，求DC 的长．11、在数轴上作出表示10的点．12、如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．BACD . 第12题图B C A DA D EBC13．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？14、如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.第14题图。

勾股定理提升题

一. 勾股定理的构造（添加辅助线：即构造基本图形）1. 如图，已知：，，于P . 求证：.2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积.二. 用勾股定理求最短问题1. 如图，一圆柱体的底面周长为16cm ，高ＡＢ为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．2. 如图，铁路上A ，B 两点相距40km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=20km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，为了降低建设成本, 要使得C ，D 两村到E 站的路程之和最小，这个最小和的路程之和是多少?A B CD3. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？二. 折叠类问题1. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

2. 已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△ABE 的面积.(提示:通过勾股定理列方程求解)3. 如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。

C 'F EO D C B A4. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

勾股定理提升训练

勾股定理提升训练一、方法总结：用面积证明勾股定理二、典型例题：例1、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结 DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE= ．例2、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( )A ．13B ．19C ．25D ．169例3、如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°， ∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数．例4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）222111h b a =+；(2) h c b a +<+ ；(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．三、课堂练习：1. 如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 .2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 .3.如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB∶CE＝_________．4. 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．5. 直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）A 、22d S d ++B 、2d S d --C 、222d S d ++D 、22d S d ++6. 在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.7.如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.8. 如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值.9. 如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练题-附答案

中考数学复习《勾股定理》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、单选题1．以下列长度为边，能构成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．如图，四边形是长方形，BC=1，则点表示的数是（）A．B．C．D．3．如图，有一根电线杆垂直立在地面处，在电线杆的点处引拉线固定电线杆，拉线，且和地面成，则电线杆引线处离地面的高度（即的长）是（）A．B．C．D．4．中，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（）A．3 B．C．D．不能确定5．如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（）A．B．C．D．6．在中，a，b，c分别是，和的对边，若，则这个三角形一定是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7．如图，在中，和，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则的长为（）A．B．C．D．8．如图，在长方体盒子中，和，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD 内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．B．3cm C．D．5cm二、填空题9．在中，则的长是．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，和，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .12．如图，在中，点、是边上的点，点在边上，连结、EF，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若AB=2，AC=3，则的长是．13．如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边AB上，连接．若，则的长度为．三、解答题14．如图，∠AOB=90°，OA=40m，OB=15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？15．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B 到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．16．如图，在涪江笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中，因C到A 的路不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．17．如图，已知为的中线，延长，分别过点，作， CF ⊥AD .（1）求证： .（2）若， AF=12 ， DC=13 ，求的长.18．如图，D为内一点，连接并延长至点E，使得．延长至点F，使得，连接．（1）求证：；（2）若，试探究线段之间满足的数量关系．参考答案：1．A2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．A9．10．2.711．12．13．14．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则OC=（40﹣x）m在Rt△BOC中∵∴解得．∴机器人行走的路程BC为m．15．解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．∵AB=A′B′∴A′O2+OB′2=40．∴OB′= = ．∴BB′=6﹣16．（1）解：是直角三角形理由是：在中是直角三角形且；（2）解：设千米，则千米在Rt中，由已知得由勾股定理得：解得答：原来的路线的长为千米．17．（1）证明：∵AD是△ABC的中线∴BD=CD∵∴∠CFD=∠BED=90°∵∠FDC=∠EDB∴（AAS）；（2）解：由（1）可得：，∠AFC=90°∴ED=FD∵∴△AFC是等腰直角三角形∴AF=FC∵∴在Rt△DFC中∴EF=2DF=10.18．（1）证明：在与中∵∴∴∴；（2）解：，证明如下：延长交于点H，连接由（1）得∵∴∴∵∴∴。

第一章勾股定理分类提升训练(含答案) 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理分类提升训练 2024--2025学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（）A．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知米，米，只为少走米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是．14．如图，矩形ABCD 中，，，CB 在数轴上，点C 表示的数是，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。

勾股定理的题类分类和提高拓展题

勾股定理的复习考点一：利用勾股定理求面积1．求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图1-1，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.图1-1 图1-2 图1-3 3.如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么这个半圆的面积为（） A.π4 B.π6 C.π12 D.π244. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．4.已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高1.如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．2.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题1. 如图4-1，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（）A.13B.12C.8D.52.如图4-1，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为米。

考点五、利用列方程求线段的长（折叠问题）1.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和EC .2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。

勾股定理经典提高题

勾股定理经典提升题1.勾股定理有着悠长的历史，它曾惹起好多人的兴趣，如下图， AB 为四边形ABGM， APQC， BCDE 均为正方形，四边形 RFHN 是长方形，若图中空白部分的面积是 ________ ．Rt△ABC 的斜边，BC=3 ， AC=4 ，则勾股定理有着悠长的历史，它曾惹起好多人的兴趣．1955 年希腊刊行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形组成（图 1 ：△ ABC 中，∠BAC=90 °）．请解答：（1 ）如图 2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、 S3之间的数目关系是______ ．（2 ）如图 3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、 S2、S3之间的数目关系是 ______ ，请说明原因．3 学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组到达操场上丈量旗杆AB 的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳索比旗杆长1m（如图 1 ），小明拉着绳索的下端今后退，当他将绳索拉直时，小凡测得此时小明拉绳索的手到地面的距离CD 为 1m ，到旗杆的距离CE 为 8m ，（如图 2 ）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．4.研究学习：研究勾股定理时，我们发现“用不一样的方式表示同一图形的面积”能够解决线段和（或差）的相关问题，这类方法称为面积法．请你运用面积法求解以下问题：在等腰三角形 ABC 中， AB=AC ，BD 为腰 AC 上的高（如图1）．（1）若等腰△ ABC 的面积为 24 cm 2，腰的长为 8 cm ，则腰 AC 上的高 BD 的长为 ______cm ；（2）若 BD=h ，M 是直线 BC 上的随意一点， M 到 AB、 AC 的距离分别为 h 1、h 2．①若 M 在线段 BC 上，请你联合图 2 证明： h 1+h 2=h ；②当点 M 在 BC 延伸线上时， h1、h 2、h 之间的关系为 ______ ．（直接写出结论，不用证明）5. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启示人们发现了勾股定理的一种新的考证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到 AB′ C′D′的地点，连结 CC′，设 AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC′D′的面积考证勾股定理：a2+b2=c2．6.在直线 l 上挨次摆放着七个正方形（如下图）．已知斜搁置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正搁置的四个正方形的面积挨次是 S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于A.4B.5C.6D.147.如图，已知AB： BC： CD： DA=2 ： 2： 3： 1，且∠ ABC=90 °，求∠ DAB 的度数8 如下图，有高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，那么地毯起码需要多少米？9 如下图，折叠长方形（四个角都是直角）的一边 AD使点 D落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=DC=8cm， AD=BC=10cm，求 EC 的长．10.如图，长方体的长 BE=20cm，宽 AB=10cm，高 AD=15cm，点 M 在 CH 上，且 CM=5cm，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M，需要爬行的最短距离是多少？11.柱子是圆柱体 ,它的周长是 1.6 米 ,高 4.8 米 ,如图是柱子的一个侧面 ,左上是彩带的起点 ,左下彩带的终点 , 彩带绕圆柱四圈 , 这根柱子最少需要多少米的彩带 ?...12. 如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为 2 米、0.3 米 0.2 米，A 处有一只蚂蚁，它想吃到B 处食品，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短的线路长。

勾股定理拓展练习及答案

勾股定理拓展练习1、已知：AD是△ABC的高，S△ABC=56cm２,AD=8cm,∠B=45°，求AC的长。

解：∵△ABD为等腰直角三角形∴AD=BD=8cm∵S△ABC=BC*AD*1/2=56∴BC=14cm∴CD=BC-BD=6cm∵AC2=AD2+DC2=82+62=100∴AC=10cm1、已知：△ABC中，AB=AC，BD⊥AC,垂足为D ,若CD=1，CD+2BD=2AC,求AB的长。

解：∵CD+2BD=2AC∴BD=AC-1/2 (1)∵AD=AC-DC∴AD=AC-1 (2)由勾股定理：AD2+BD2=AB2=AC2把（1）（2）代入上式（AC-1）2+（AC-1/2）2=AC2整理得：4AC2-12AC+5=0(2AC-5)(2AC-1)=0∴AC=AB=5/2 或者 AC=AB=1/22、已知：△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长。

解：过D作DE垂直AB，垂足为E∵∠1=∠2，∠C=∠AED＝90°，AD＝AD∴△ACD≌△AED（AAS）∴AC＝AE，CD＝DE＝1.5∵BD＝2.5∴在RT△BDE中∵BE2=BD2-DE2∴BE＝2设AC＝AE＝X则在RT△ABC中：AB2=AC2+BC2∴X2+42=(X+2) 2解得：X＝3∴AC=33、已知：在RT△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a+b=23，c=2，求△ABC的面积。

解：∵∠C=90°∴a2+b2=c2=22=4∵a+b=23∴（a+b）2=（23）2 ∴a2+2ab+b2=12∴4+2ab=12 ∴ab=4S=ab÷2=4÷2=2△ABC4、已知：△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求S△ABC.解：过点C作CD⊥AB于点D∴∠ADC=∠BDC=90°∵AB=15，AC=13,BC=14 , 设AD=X，则BD=15-X由勾股定理得：CD²=AC²-AD²CD²=BC²-BD²∴AC²-AD² =BC²-BD²∴13²-X²=14²-﹙15-X﹚²∴30X=198∴X=6.6∴CD=√﹙13²-6.6²﹚=11.2∴S△ABC=AB▪CD／2=15×11.2／2=84解法（2）过A做AD⊥BC交BC与D设BD=X ,CD=14-X在RT△ABD和RT△ACD中AD2=AC2-BD2 AD2=AB2-DC2∴152-x2=132-（14-x）2解得：x=8∴BD=8 CD=6∵AD2=AC2-DB2∴AD=12S△ABC=BC*AD÷2=14*12÷2=845、已知：△BCA和△EBD都是等腰直角三角形，CD=8cm，BE=3cm，求AC和AD的长。

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理) 拔高练习(含答案)

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练
习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级线下班第一讲的测试卷，在看卢老师的课程之前，先用这套试卷来检验一下自己，共一道题，为常考题型：拱桥问题，这里的易错点有两个，一是拱桥半径找错；二是不知如何比较
学习建议:先回顾一下教材中勾股定理这一章节的知识
一、解答题(共1道，每道100分)
1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽
2.8米，这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
答案：能通过
解题思路：解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大
∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m
在直角△OEG中
∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96
∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道
易错点：一、半径找错；二、比较完，下结论的时候出错试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。