初等数论(四)-几个著名的数论定理

初等数论（四）--几个著名的数论定理

一些常用概念

∙欧拉函数()n ϕ--介于1和n 之间与n 互质的自然数个数

∙缩系---在()n ϕ个剩余类中各取一个元素，它们形成一个模n 的缩系

问题：为什么要介绍缩系这个概念呢？这是因为当我们定一个缩系后，剩余类中的其它元素均可以由缩系生成。设(,)1a m =，则有,s t 使得

1as mt +=。

任取一个不是缩系中的元素b ，就有

b asb mtb =+

从而有

(mod )b asb m ≡。

即，b 可以表成(mod )ka m 的形式（即，由a 的若干倍生成），从而凡是与b 有关的数论问题（在模m 的意义下可以转化为a 的问题）。这就是群论中的生成元的问题。在高中里面的复数理论中也是如此。

下面这个结果表明了一种构造缩系的方法：

例1. 设(,)1m n =。如果1212{,,...,},{,,...,}t s a a a b b b 分别是模m 和模n 的缩系，那么

{1,1}i j S mb na i s j t =+≤≤≤≤

就是模mn 的缩系。

解答：第一步。先证明S 中每一个元素都与mn 互质。这是显然的。

第二步。证明S 任意两个数关于模mn 不同余。假定有某两个数i j mb na +与''

i j mb na +关于模mn 同余， ''

(mod )i j i j mb na mb na mn +≡+

则必有''

()()(mod )i i j j m b b n a a mn -≡-。从而有 ''()0(mod ),()0(mod )i i i i b b n a a m -≡-≡，

即有''

,i i j j b b a a ==，矛盾！

第三步。证明：如果一个数c 与mn 互质，那么必然与S 中某个元素关于模mn 同余。 由于(,)1,m n =方程(mod )mx c n ≡在模n 剩余类中有解；由于(,)1,c n =所以(,)1x n =。因此，x 与某个i b 在模n 的同一个剩余类中，即有

(mod );i mb c n ≡

同理有j a 使得

(mod )j na c m ≡

自然有

(mod );

(mod ).

i j i j mb na c n mb na c m +≡+≡

根据(,)1,m n = (mod )i j mb na c mn +≡

这就网完成了证明。

例2.在1,2,3,...,a p 中有多少个数与a p 互质？

解答:在1,2,3,...,a p 中不与a p 互质的数有形式1,1a kp k p -≤≤。所以

11()1a a a a p p p p p ϕ-⎛⎫

=-=- ⎪⎝⎭

。 如果自然数1212...,k k n p p p ααα=那么 12111()11...1k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ 关于()n ϕ还有其他表达方式：

1()1p n

p n n p ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

∏。 注意：大家可以尝试用容斥原理来证明这个公式。

下面介绍著名的费马小定理

例2.设m 是一个自然数，(,)=1a m 。证明：()1(mod )m a m ϕ≡。这就是著名的欧拉定理。如果取m p =为质数，那么就成为了费马小定理。

证明：设12,,...,(t=(m))t x x x ϕ是一个模m 的缩系。那么

12,,...,t ax ax ax

中任何两个都与m 互质，其中没有两个相同。从而它也是一个缩系，在模m 的意义下，12,,...,t ax ax ax 仅仅是12,,...,t x x x 的一个置换。从而有

1212......(mod )t t ax ax ax x x x m ≡。

证明完毕。

例3.证明：任意的21p -个整数中一定可以选出p 个数，它们的和可以被p 整除，这里p 是一个质数。

证明：反证法。如果1221,,...,p a a a -中任意p 个数12,,...,p

i i i a a a 的和都不是p 的倍数，那么由费马小定理有

121(...)1(mod )p p i i i a a a p -+++≡。

注意到形如上式的组合共有21p

p C -个，对所有这样可能的组合求和后得到; 12121(...)(mod )p p p i i i p a a a C p --+++≡∑

因为21211(mod )p p p C p p -⎡⎤-≡=⎢⎥⎣⎦

。 121(...)p p i i i a a a -+++展开后得到形如1212...(1)l l i i i a a a l p ααα≤-的项。在∑中含有

1212...(1)l l

i i i a a a l p ααα≤-的项有21p l p l C ---个（即，从12,,...,p i i i a a a 以外的书中取p l -个与它搭配成形如12,,...,p i i i a a a 的组合）。注意到21(21)(2)...(1)()!

p l p l p l p l p p C p l ------+=-被p 整除，因此上面和式左边0(mod )p ≡。矛盾表明结论成立！