中考数学基本平面图形

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七年级上册数学第四章几何图形初步知识框架

七年级上册数学第四章几何图形初步知识框架、知识点及中考真题一、知识框架二、具体知识点（一）、几何图形1．平面图形：三角形、四边形、圆等.立体图形，棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.2. 立体图形的平面展开图：三视图3. 点、线、面、体：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体. 点动成线，线动成面，面动成体.（二）、直线、射线、线段1、三者的基本区别直线：无端点，表示为直线a或者直线AB 等，不能延长；射线：一个端点，表示为射线AB，能反向延长AB；线段：两个端点，表示为线段AB，能延长线段AB或反向延长线段BA. 2、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简称：两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段（1）度量法（2）用尺规作图法4、线段的大小比较方法（1）度量法（2）叠合法5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.6、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.7、两点的距离：连接两点的线段长度叫做两点的距离.8、点与直线的位置关系：（1）点在直线上（2）点在直线外.（三）角1、角的定义：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的度量单位及换算：度、分、秒.'601=o "'601=3、角的表示法：常表示成',,,1AOB ∠∠∠∠βα等.4、角的分类锐角、直角、钝角、平角、周角5、角的比较方法：（1）度量法（2）叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值.7、画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.8、角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.9、互余、互补（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.10、方向角（1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向（3）东（西）北（南）方向三、中考真题（2017广东）已知o A 70=∠，则A ∠的补角为（）A ．o 110 B. o 70 C. o 30 D. o 20。

第四章-基本平面图形(含解析)

2019备战中考数学基础必练（北师大版）-第四章-基本平面图形（含解析）一、单选题1.如图所示，A、B、C、D在同一条直线上，则图中共有线段的条数为（）A.3B.4C.5D.62.下列说法错误的是（）A. 角的大小与角的边的长短无关B. 角的大小和它们的度数大小是一致的C. 角的平分线是一条直线D. 如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积为( ).A. πB. 3πC. 6πD. 9π4.如图所示的四条射线中，表示南偏东65°的是（）A. 射线OAB. 射线OBC. 射线OC D. 射线OD5.已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四个同学的计算（α+β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，则得到正确结果的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.下面表示∠ABC的图是（）A.B.C.D.7.如图，点B、C在线段AD上，且AB=CD，则AC与BD的大小关系是（）A. AC＞BD B. AC=BDC. AC＜BD D. 不能确定8.点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（）A. 3B. 4C. 5D. 79.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A. 10B. 9C. 8D. 7二、填空题10.线段AB=10cm，BC=5cm，A、B、C三点在同一条直线上，则AC=________11.如图，∠AOB=90°，OD平分∠BOC，∠DOE=45°，则∠AOE________ ∠COE（填“＜”“＞”或“=”号）12.某乡在重修通往县城的公路时，把原来弯曲的路改直，其中蕴含的数学道理是________．13.已知点C是线段AB上的一点，如果线段AC=8cm，线段BC=4cm，则线段AC和BC的中点间的距离为________．14.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西43°的方向，同时轮船B在东北的方向，那么∠AOB 的大小为________°.15.甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为________．16.102°43′32″+77°16′28″=________；98°12′25″÷5=________．17.正六边形的边长为a，面积为S，那么S关于a的函数关系式是________ ．18.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为________三、解答题19.如图，已知，，，求的长．20.车轮为什么都做成圆形的？四、综合题21.如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD 中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．22.如图，已知同一平面内，∠AOB=90゜，∠AOC=60゜．（1）填空：∠COB=________；（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为________；（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60゜改成∠AOC=2α（α＜45゜），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．23.已知：如图，线段AB=10，C是AB的中点．（1）求线段BC的长；（2）若点D在直线AB上，DB=2.5，求线段CD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】直线、射线、线段【解析】【解答】解：如图，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD共6条．故选D．【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数．2.【答案】C【考点】角平分线的定义，角的计算【解析】【解答】解：A、角的大小与角的边的长短无关，正确，故本选项错误；B、角的大小和它们的度数大小是一致的，正确，故本选项错误；C、角的平分线是从角的顶点出发的一条射线，错误，故本选项正确；D、如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部，正确，故本选项错误；故选C．【分析】根据角的有关内容（角的大小和角的两边的长短无关，只和角的度数有关，角的平分线是从角的顶点出发的一条射线）判断即可．3.【答案】D【考点】圆的认识【解析】【解答】圆环的面积=AB2-BC2=（AB2-BC2）在Rt ABC中，根据勾股定理得：AC2=AB2-BC2，∴圆环的面积=AC2=9.故答案为：D.【分析】本题主要考查圆环面积的计算及勾股定理的运用，根据题意用代数式表示圆环的面积，再根据勾股定理等量代换即可求得面积.4.【答案】B【考点】钟面角、方位角【解析】【解答】解：如图所示：表示南偏东65°的是射线OB．故答案为：B．【分析】根据方位角的意义判断即可.5.【答案】B【考点】角的概念，角的计算【解析】【解答】甲、乙、丙、丁四个同学的计算（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，那么这四个同学计算α+β的结果依次为168°、288°、360°、528°，又因为两个钝角的和应大于180°且小于360°，所以只有乙同学的计算正确．故答案选：B 【分析】钝角是大于90°且小于180°的角，那么两个钝角的和应大于180°且小于360°．6.【答案】C【考点】角的概念【解析】【解答】解：A、有四个小于平角的角，没有∠ABC，故错误； B、用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间，应为∠BCA，故错误；C、用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间，应为∠ABC，故正确；D、用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间，应为∠BAC，故错误．故选：C．【分析】根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．7.【答案】B【考点】比较线段的长短【解析】【解答】解；AB=CD，两边都加BC，得AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故选：B．【分析】根据等式的性质，可得答案．8.【答案】C【考点】两点间的距离【解析】【解答】解：设原点为O（0，0），根据两点间的距离公式，∴MO===5，故选C．【分析】根据两点间的距离公式即可直接求解．9.【答案】D【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．二、填空题10.【答案】5cm或者15cm【考点】两点间的距离【解析】【解答】解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10﹣5=5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=10cm，BC=5cm，∴AC=10+5=15cm．故线段AC=15cm或5cm．故答案为：15cm或5cm．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．11.【答案】=【考点】角的计算【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，∠DOE=∠DOC+∠COE=45°，∴∠BOD+∠AOE=45°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD，∴∠AOE=∠COE，故答案为：=【分析】根据角的和差得出∠BOD+∠AOE=45°，再利用角平分线的定义得出∠BOD=∠COD，即可得到答案．12.【答案】两点之间，线段最短【考点】线段的性质：两点之间线段最短【解析】【解答】解：某乡在重修通往县城的公路时，把原来弯曲的路改直，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【分析】根据线段的性质进行解答即可．13.【答案】6cm【考点】两点间的距离【解析】【解答】解：根据题意，点C在线段AB上，如图，∵AB=8cm，BC=4cm，点E、F分别是线段AC、BC的中点，∴CE= AC，CF=BCAC和BC的中点间的距离为：EC+CF=AC+BC=（AC+BC）=×（8+4）=6cm故答案为：6cm．【分析】根据题意画出图形，找出线段之间的关系，列出关系式，代入具体数据计算即可．14.【答案】88【考点】钟面角、方位角【解析】【解答】解：∠AOB=43°+45°=88°.故答案为：88.【分析】根据方向角的定义，然后利用角的和差计算即可求解.15.【答案】南偏西50°【考点】钟面角、方位角【解析】【解答】解：甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为南偏西50°．故答案为：南偏西50°．【分析】根据方向角的表示方法，可得答案．16.【答案】180；19°38′29″【考点】度分秒的换算【解析】【解答】解：102°43′32″+77°16′28″ =（102+77）°+（43+16）′+（32+28）″=179°59′60″=180°；98°12′25″÷5=19°+38′+29″=19°38′29″．故答案为：180；19°38′29″．【分析】（1）利用度分秒分别相加，再把满60的向前一个单位进位即可；（2）首先利用98°除以5，再把余数乘以60化成分，加到12′上再除以，再把余数乘以60加到25″上，再除以5即可．17.【答案】【考点】正多边形和圆【解析】【解答】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C；连接OA，则在直角△OAC中，∠O=30°，OC是边心距，OA即半径．再根据三角函数即可求解．边长为a的正六边形的面积=6×边长为a的等边三角形的面积s=6××a×（a×sin60°）=．故答案为：S＝．【分析】过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C；连接OA，即可得出答案。

中考数学几何初步及平行线、相交线复习

第四单元第 20 课时几何初步及平行线、订交线知识点回顾知识点 1：立体图形与平面图形1.常有的立体图形：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱锥、棱柱等。

平面图形：长方形、正方形、三角形、圆等。

2.主视图、俯视图与左视图 :（1）从物体的 _____观察，看到物体的正面的图形称为主视图．（2）从物体的 ______向下观察，看到物体的顶面的图形称为俯视图．（3）从物体的 _______观察，看到物体的左面的图形称为左视图．物体的主视图、俯视图与左视图合成为物体的三视图．（4）常有几何体的三视图：几何体主视图俯视图左视图3．几种常有几何体的张开图：1．圆柱张开图：上、下底面为________，侧面是 ________ ，长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。

2．圆锥张开图：底面是_______，侧面是 ________，扇形的弧长是底面圆的周长。

3．棱柱张开图：上、下底面是_____________ ，侧面都是 _________。

4．棱锥张开图：底面是__________，侧面都是 ________，这些三角形的公共极点就是棱锥的极点。

4.正方体的表面张开图 :把正方体的表面张开成平面图形后，有很多种形状，若是将经过平移、旋转等变化后可以重合的两个图形看作是同一图形，那么正方体的表面张开图共有11 种不同样的情况。

我们可以将则11 种图形分类：（ 1）“一·四·一”型，中间一行 4 个作侧面，两边各 1 个分别作上下底面，?共有 6种．如图（ 1）——（ 6）．（ 2）“二·三·一” （或一·三·二）型，中间 3 个作侧面，上（或下）边2?个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共 3 种．如图（ 7）——（ 9）．（ 3）“二·二·二”型，成阶梯状．如图（10）．（ 4）“三·三”型，两行只能有 1 个正方形相连．如图（11）．（1）（ 2）（ 3）（ 5）（ 4）（ 6）（7）（8）（9）（10）（11）例 1、（ 2009 年内蒙古包头）将一个正方体沿某些棱张开后，可以获取的平面图形是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】本题观察图形的张开与折叠中，正方体的常有的十余种张开图有关内容，可将这四个图折叠后，看能否组成正方形，显然只有 C 吻合要求。

北师大版七年级数学上册复习课件第四章基本的平面图形 (共39张ppt)

数学·课标版（BS）
第四章复习
方法技巧通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动，解答有关探索规律的问题，探索规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，需要逐步确定所求的结论和条件．
数学·课标版（BS）
第四章复习
试卷讲练
考
平面图形是七年级数学的重要组成部分，在各类考
(4)分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫做_直__角__；大于 0°角小于直角的角叫做_锐__角__；大于直角而小于平角的角叫做__钝__角__.
数学·课标版（BS）__点__引出的一条射线，把这个角分成两个__相__等___的角，这条射线叫做这个角的平分线．
上 ” ，那么小亮可以对小明说： “ 你在我的 ________ 方向
上．”( A )
A．南偏西 30°
B．北偏东 30°
C．北偏东 60°
D．南偏西 60°
2．在一次航海中，在一艘货轮的北偏东 54°的方向上有一艘渔船，那么货轮在渔船的_南__偏__西__5_4_°_方向上．
[解析] 钟表被分成 12 格，每格的度数是 30°， 30°×2.5＝75°.
数学·课标版（BS）
第四章复习
方法技巧计算钟面上时针与分针的夹角，关键是确定时针
与分针相隔几个格．
数学·课标版（BS）
第四章复习
►考点三规律探索性问题
如图 4－2，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE， OF，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1,2,3,4,5,6,7，…. 则“17”在射线__O__E__上；“2013”在射线__O__C__上．

中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD “AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=∠α，BPC ∴∠ADP ∴∽△△，△AD ⋅BC）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =，4DF ∴=，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC ∴5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴= 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5=，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ．设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<，036<<，△3DE =+或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒在DCB和△3）解：过△四边形ACEF是矩形，△90ACE∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM∠+∠=∠+∠=︒，顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB ＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，OE ME MONF OF33ON33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．20由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）直角三角形ABC中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO ，AB=5m，）可证得CDB∆当D在AB的下方时，过D作DE△y轴于E，交BC于F,，在ABC中，MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝（用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI 之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM △四边形AGFC是矩形，△△GAC=90°又AH△BC△△AHC=90° △△5+△CAH=△4+△CAH=90°△△5=△4△△BDE=△AHB=90°△△2+△BAH=△1+△BAH=90°△△2=△1又GM∥AE△△3=△2△△3=△1△△ABC△△GMA【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角，ABC 是等腰直角三角形，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，由（1）可知：BCN CAM△≌△，△2CM BN==，1CN AM==，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，BCN BFH∽△，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．5即可证明∽AMF BGM ，即可求出△AB DC ∥，AB BC ⊥△90B C ∠=∠=︒ △90AOD ∠=︒△90AOB DOC +=︒∠∠在AOB 和△Rt AOB 中，Rt AOD △中，12AD OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠△∽AMF BGM △AM BG 45︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =本题考查了全等三角形的判定和性质、x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ， ∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=， 180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．415NF OF NO△△ADC=90°，△△ADC+△PDC=180°，△A 、D 、P 共线，90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN△DM，垂足为M，交△CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则△FMN和△NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知△MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若△OBA+△OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF△ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。

人教版中考数学专题课件：平面图形及相交线、平行线

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平面图形及相交线、平行线
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探究一线与角的概念和基本性质命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算； 2．角的有关性质及计算．
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平面图形及相交线、平行线
例 1 [2012· 北京] 如图 14－1，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM 等于 ( C )
解析
由余角的概念，得∠A 的余角＝90°－67°＝23°.
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求一个角的余角(或补角)，只要用 90°(或 180°)减去这个角即可．
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探究三直线的位置关系
命题角度： 1．直线平行与垂直的判定及简单应用； 2．平行线的性质和判定的综合应用； 3．角度的有关计算．
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定理：角平分线上的点到这个角两边的距离角平分 ________. 相等线的性相等的点在这个逆定理：到角的两边距离________ 质角的平分线上.
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考点3
互为余角互为补角
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例 3 [2013· 安徽] 如图 14－2，AB∥CD，∠A＋∠E＝75°，则∠C 为 ( C )

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解15 图形的初步认识(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

中考数学之平面几何最全总结+经典习题

平面几何知识要点（一)【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线.2.两点之间线段最短。

3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。

垂直平分线，简称“中垂线”。

定义:经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。

中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。

垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。

角1.同角或等角的余角相等。

2.同角或等角的补角相等.3.对顶角相等。

角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.三角形各内角平分线的交点,该点叫内心，它到三角形三边距离相等。

【平行线】平行线性质1:两直线平行，同位角相等。

平行线性质2：两直线平行，内错角相等。

平行线性质3:两直线平行，同旁内角互补。

平行线判定1:同位角相等,两直线平行。

平行线判定2：内错角相等，两直线平行。

平行线判定3：同旁内角互补,两直线平行。

平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行.平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

平面几何知识要点（二)【三角形】面积公式：1．已知三角形底a ，高h ，12S ah =2．正三角形面积 S=24(a 为边长正三角形）3．已知三角形三边a ，b,c ，则S =（海伦公式) 其中:()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =. 5．设三角形三边分别为a 、b 、c,内切圆半径为r ，则()2a b c r S ++= 6．设三角形三边分别为a 、b 、c,外接圆半径为R ，则4abc S R =记住★:已知正三角形边长为a ,其外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有：R = ,r = ， 2R r = 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 :直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等.其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高,对应中线，对角平分线.全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

2023年初中数学中考重点大纲

2023年初中数学中考重点大纲
一、整数运算
1. 整数的加法和减法运算
2. 整数的乘法运算
3. 整数的除法运算
4. 整数的混合运算
二、分数与小数
1. 分数与小数的互化
2. 分数的加减运算
3. 分数的乘除运算
4. 分数的简化与扩展
三、百分数与比例
1. 百分数与小数的互化
2. 百分数的加减运算
3. 百分数的乘除运算
4. 比例的概念与运算
四、代数式与方程
1. 代数式的计算
2. 一元一次方程的解法
3. 一元一次方程的实际应用
4. 一元二次方程的解法
五、平面图形
1. 线段、角和三角形的性质
2. 四边形的性质与分类
3. 平行线与平行四边形
4. 相似三角形与比例
六、空间几何
1. 空间图形的基本概念
2. 空间图形的计算
3. 体积的计算
4. 圆柱、圆锥与球的性质
七、统计与概率
1. 图表的读取与分析
2. 平均数的计算
3. 事件的概率与样本空间
4. 排列与组合的计算
总结：
2023年初中数学中考重点大纲包括整数运算、分数与小数、百分数与比例、代数式与方程、平面图形、空间几何、统计与概率等内容。

同学们在备考中需重点理解各个知识点的概念与运算方法，并进行大量的练习和应用，提高自己的数学解题能力和思维能力。

祝同学们取得优异的成绩！。

2020届中考数学热点冲刺5 三角形四边形问题(江苏版)(含解析)

2020届中考数学热点冲刺5 三角形四边形问题考向1 三角形的性质1. (2019 江苏省淮安市)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（） A ．2cm ，3cm ，4cm B ．1cm ，2cm ，3cm C ．3cm ，4cm，5cmD ．4cm ，5cm ，6cm【解析】解：A 、2+3＞4，能构成三角形，不合题意； B 、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意； C 、4+3＞5，能构成三角形，不合题意； D 、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．2. (2019 江苏省泰州市)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【解析】根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，△点D是△ABC重心．故选：A．3. (2019 江苏省徐州市)下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A．2，2，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10【解析】224+=Q，2∴，2，4不能组成三角形，故选项A错误，Q，55612+<∴，6，12不能组成三角形，故选项B错误，Q，5+=527∴，7，2不能组成三角形，故选项C错误，Q，66810+>∴，8，10能组成三角形，故选项D正确，故选：D．4. (2019 江苏省盐城市)如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2B．C．3D．【解析】△点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，△DE是△ABC的中位线，△DE＝AC＝1.5．故选：D．5. (2019 江苏省南京市)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分△ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．【解析】△BC的垂直平分线MN交AB于点D，△CD＝BD＝3，△△B＝△DCB，AB＝AD+BD＝5，△CD平分△ACB，△△ACD＝△DCB＝△B，△△A＝△A，△△ACD△△ABC，△＝，△AC2＝AD×AB＝2×5＝10，△AC＝．故答案为：．考向2等腰三角形的性质与判定1. (2019 江苏省徐州市)函数1=+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴y x上．若ABC∆为等腰三角形，则满足条件的点C共有个．【解析】以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；作AB的中垂线与x轴的交点即为C；故答案为3；2. (2019 江苏省镇江市)如图，直线a△b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，△A＝20°，则△1＝°．【解析】△△BCD是等边三角形，△△BDC＝60°，△a△b，△△2＝△BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，△1＝△2﹣△A＝40°，故答案为：40．3. (2019 江苏省连云港市)如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【解析】（1）证明：△AB＝AC，△△B＝△ACB，△△ABC平移得到△DEF，△AB△DE，△△B＝△DEC，△△ACB＝△DEC，△OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：△AB＝AC，E为BC的中点，△AE△BC，BE＝EC，△△ABC平移得到△DEF，△BE△AD，BE＝AD，△AD△EC，AD＝EC，△四边形AECD是平行四边形，△AE△BC，△四边形AECD是矩形．考向3全等三角形的性质与判定1. (2019 江苏省南京市)如图，D是△ABC的边AB的中点，DE△BC，CE△AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF△△CEF．【解析】证明：△DE△BC，CE△AB，△四边形DBCE是平行四边形，△BD＝CE，△D是AB的中点，△AD＝BD，△AD＝EC，△CE△AD，△△A＝△ECF，△ADF＝△E，△△ADF△△CEF（ASA）．2. (2019 江苏省泰州市)如图，线段AB＝8，射线BG△AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使△EAP＝△BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP△△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．【解析】（1）证明：△四边形APCD正方形，△DP平分△APC，PC＝P A，△△APD＝△CPD＝45°，△△AEP△△CEP（AAS）；（2）CF△AB，理由如下：△△AEP△△CEP，△△EAP＝△ECP，△△EAP＝△BAP，△△BAP＝△FCP，△△FCP+△CMP＝90°，△AMF＝△CMP，△△AMF+△P AB＝90°，△△AFM＝90°，△CF△AB；（3）过点C作CN△PB．△CF△AB，BG△AB，△FC△BN，△△CPN＝△PCF＝△EAP＝△P AB，又AP＝CP，△△PCN△△APB（AAS），△CN＝PB＝BF，PN＝AB，△△AEP△△CEP，△AE＝CE，△AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16．3. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC∆中，AB AC=，=，点D、E分别在AB、AC上，BD CE BE、CD相交于点O．（1）求证：DBC ECB∆≅∆；（2）求证：OB OC=．【解析】（1）证明：△AB=AC，△△ECB=△DBC在中与ECB DBC ∆∆，△ECB CB BC DBC CE BD ∠⎪⎩⎪⎨⎧==∠=△ ECB DBC ∆≅∆（2）证明：由（1）知ECB DBC ∆≅∆ △△DCB=△EBC △OB=OC4. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形ABCD 中，AD △BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE ＝CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：△AGE △△CHF ；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【解析】（1）证明：△AG △EF ，CH △EF ， △△G ＝△H ＝90°，AG △CH ， △AD △BC ， △△DEF ＝△BFE ，△△AEG ＝△DEF ，△CFH ＝△BFE ， △△AEG ＝△CFH ，在△AGE 和△CHF 中，，△△AGE△△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE△△CHF，△AG＝CH，△AG△CH，△四边形AHCG是平行四边形，△线段GH与AC互相平分．考向4平行四边形的性质与判定1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【解析】（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′△BD，故答案为：AC′△BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，△CBD＝△C'BD，△AD△BC，△△ADB＝△CBD，△△EDB＝△EBD，△BE＝DE．2. (2019 江苏省淮安市)已知：如图，在△ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．【解析】证明：△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，AD＝BC，△点E、F分别是△ABCD边AD、BC的中点，△DE＝AD，BF＝BC，△DE＝BF，△四边形BFDE是平行四边形，△BE＝DF．3. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）ECB FCG∠=∠；（2）EBC FGC∆≅∆．【解析】证明：（1）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，A BCD由折叠可得，A ECG∠=∠，∴∠=∠，BCD ECG∴∠-∠=∠-∠，BCD ECF ECG ECF∴∠=∠；ECB FCG（2）Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠=∠，AD BCD B=，由折叠可得，D G=，∠=∠，AD CG=，B G∴∠=∠，BC CG又ECB FCGQ，∠=∠∴∆≅∆．()EBC FGC ASA4. (2019 江苏省扬州市)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分△DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：△BEC＝90°；（2）求cos△DAE．【解析】（1）证明：△四边形ABCD是平行四边形，△DC＝AB＝，AD＝BC，DC△AB，△△DEA＝△EAB，△AE平分△DAB，△△DAE＝△EAB，△△DAE＝△DEA△AD＝DE＝10，△BC＝10，AB＝CD＝DE+CE＝16，△CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，△△BCE是直角三角形，△BEC＝90°；（2）解：△AB△CD，△△ABE＝△BEC＝90°，△AE＝＝＝8，△cos△DAE＝cos△EAB＝＝＝．考向5矩形的性质与判定1. (2019 江苏省徐州市)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点．若4MN=，则AC的长为．【解析】MQ、N分别为BC、OC的中点，∴==．28BO MNQ四边形ABCD是矩形，AC BD BO∴===．216故答案为16．2. (2019 江苏省宿迁市)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．【解析】（1）证明：△在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，△CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD△AB，△D＝△B＝90°，△BE＝DF＝，△CF＝AE＝4﹣＝，△AF＝CE＝＝，△AF＝CF＝CE＝AE＝，△四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH△AB于H，则四边形AHFD是矩形，△AH＝DF＝，FH＝AD＝2，△EH＝﹣＝1，△EF＝＝＝．考向6菱形的性质与判定1. (2019 江苏省苏州市)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO V 沿点A 到点C 的方向平移，得到A B C '''V ，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】由菱形的性质得28AO OC CO BO OD B O '''======，90AOB AO B ''∠=∠=o ，AO B ''∴V 为直角三角形10AB '∴= 故选C2. (2019 江苏省无锡市)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A ．内角和为360︒ B ．对角线互相平分 C ．对角线相等D ．对角线互相垂直【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，显然对角线相等是矩形有而菱形不一定有的．故选C考向7 正方形的性质与判定1. (2019 江苏省扬州市)如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN ．若AB ＝7，BE ＝5，则MN ＝．DB【解析】连接CF，△正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，△GF＝GB＝5，BC＝7，△GC＝GB+BC＝5+7＝12，△＝13．△M、N分别是DC、DF的中点，△MN＝＝．故答案为：．2．(2019 山东省东营市)如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O 作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且△EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：△△COE△△DOF；△△OGE△△FGC；△四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；△DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．△△△△B．△△△C．△△△D．△△【解析】△△四边形ABCD是正方形，△OC＝OD，AC△BD，△ODF＝△OCE＝45°，△△MON＝90°，△△COM＝△DOF，△△COE△△DOF（ASA），故△正确；△△△EOF＝△ECF＝90°，△点O、E、C、F四点共圆，△△EOG＝△CFG，△OEG＝△FCG，△OGE△△FGC，故△正确；△△△COE△△DOF，△S△COE＝S△DOF，△，故△正确；△）△△COE△△DOF，△OE＝OF，又△△EOF＝90°，△△EOF是等腰直角三角形，△△OEG＝△OCE＝45°，△△EOG＝△COE，△△OEG△△OCE，△OE：OC＝OG：OE，△OG•OC＝OE2，△OC＝AC，OE＝EF，△OG•AC＝EF2，△CE＝DF，BC＝CD，△BE＝CF，又△Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，△BE2+DF2＝EF2，△OG•AC＝BE2+DF2，故△错误，故选：B．。

中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

考点26基本作图三视图与展开图(原卷版)

考点26 基本作图、三视图与展开图中考数学中，基本作图的考察方式正在发生着变化，不会再考基本作图的操作，而是考察其写法，放在题干上用以确定角平分线和中垂线，之后再用其性质求解后续问题。

三视图与展开图的考察难度则比较简单，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用。

一、基本作图二、三视图三、直棱柱的展开与折叠考向一：基本作图一．基本尺规作图（1）作一条线段等于已知线段，如图1；（2）作一个角等于已知角，如图2（3）作已知角的平分线，如图3；（4）作已知线段的垂直平分线，如图4 ；（5）过一点作已知直线的垂线，如图5；图1 图2 图3 图4 图5二．利用尺规作图作三角形（1）已知三边作三角形，如图1（2）已知两边及其夹角作三角形，如图2；（3）已知两角及其夹边作三角形，如图3，图1 图2 图3三．尺规作图的考察方法分析1.通常是在选择填空题中以尺规作图的语言描述来确定角平分线或者中垂线，之后再结合其他知识点完成后续问题。

2.在解答题中，尺规作图的另一类考法是放在网格图中和相似等知识点结合，考察固定长度的线段或者角度构造。

1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．三角形三个内角的平分线交于同一个点D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则sin∠DCA＝（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为（）A．2B．40C．4D．8考向二：三视图三视图主视图：从物体正面看到的图左视图：从物体左面看到的图俯视图：从物体上面看到的图易错在画几何体时：①长对正、高平齐、宽相等题型②图中看不到的棱用虚线画出来1．如图几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，若改变一个小正方体的位置后，它的俯视图和左视图都不变，那么变化后的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的形状，其中小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的形状是（）A ．B ．C ．D ．4．已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．10πcm2考向三：直棱柱的展开与折叠几何体展开图底面形状侧面形状三角形矩形四边形矩形正方形正方形多边形矩形1．下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．2．由如图的正方体平面展开图可知，此正方体的“绿”字所在面的对面汉字是（）A．低B．碳C．发D．展3．如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和五边形，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（）A．B．C．D．4．如图，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开_____条棱．（）A．3B．4C．5D．不确定1．（2022•贵港）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同2．（2022•宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（2022•江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．（2022•菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．6．（2022•济南）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱7．（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．8．（2022•鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C．D．9．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC 的长是（）A．B．4C．6D．10．（2022•巴中）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（）A．∠BCD＝120°B．若AB＝3，则BE＝4C．CE＝BC D．S△ADE＝S△ABE11．（2022•内蒙古）如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（）A．8B．2+2C．2+6D．2+212．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数°．13．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．14．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CF A中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①．∵EF∥BC，∴②．又∵③，∴△ADC≌△CF A（AAS）．同理可得：④．S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．15．（2022•江西）课本再现（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求P A的长．1．（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．2．（2022•安徽）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（2022•绵阳）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（）A．B．C．D．4．（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．5．（2022•攀枝花）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．（2022•永州）我市江华县有“神州瑶都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（）A．B．C．D．7．（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．108．（2022•湖北）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱9．（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（）A．强B．富C．美D．高10．（2022•德州）在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（）A．B．C．D．11．（2022•威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A．B．C．D．12．（2022•恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．则四边形MBND的周长为（）A．B．5C．10D．2013．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD＝3，则BD 的长为（）A．4B．5C．6D．714．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于；（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．15．（2022•烟台）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．1．（2022•宁波模拟）如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（）A．B．C．D．2．（2023•红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．3．（2023•南山区模拟）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+4x+3B．x2+3x+2C．x2+2x+1D．2x2+4x4．（2022•孟村县校级模拟）如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（）A．B．C．D．5．（2022•宽城区校级一模）下列四个选项中，不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．6．（2022•东兴区校级二模）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A．B．C．D．7．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．8．（2022•玉环市一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°9．（2022•连山区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（）A．B．C．D．110．（2023•定远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5B．6C．8D．1211．（2022•柳东新区模拟）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝6，BC＝8，则△ABE的周长为（）A．13B．14C．15D．1612．（2023•乌鲁木齐一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP ＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．（2022•东胜区一模）尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．如图是四位同学的作图痕迹．其中作图错误的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁14．（2022•大名县校级四模）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．只有乙、丙才是B．只有甲，丙才是C．只有甲，乙才是D．甲、乙、丙都是15．（2023•仙桃校级一模）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形，连接BD．（1）在图1中，用无刻度的直尺作出△BOD的中线BP；（2）在图2中，用无刻度的直尺作出△BCD的中线DP．。

七年级上册数学第四章基本平面图形

O C A D B OC A E DB 第四章基本平面图形3【知识点】【知识点】角的平分线: 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

14、多边形: 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n 边形分割成（n-2）个三角形。

n 边形内角和等于（n-2）×1800，正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×1800 / n 过n 边形一个顶点有（n-3）条对角线，n 边形共（n-3）×n / 2条对角线. 圆、弧、扇形圆、弧、扇形圆：平面上一条线段绕着固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。

固定的端点称为圆心固定的端点称为圆心弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

4.4 角的比较※课时达标 1.1.若若OC 是∠是∠AOB AOB 的平分线的平分线,,则∠则∠AOC=_____;AOC=_____;AOC=_____;∠∠AOC=12______; ______; ∠∠AOB=2_______. 2.12平角平角=_____=_____=_____直角直角直角, , 14周角周角=______=______=______平角平角平角=_____=_____=_____直角直角直角,135,135,135°角°角°角=______=______=______平角平角平角. . 3.3.如图如图如图,(1),(1),(1)∠∠AOC=_____ +_____ = ____ -____ ;(2) (2)∠∠AOB=______-______ =______-_____.第第3题图题图第第4题图题图4.4.如图如图如图,O ,O 是直线AB 上一点上一点,,∠AOC=90AOC=90°°,∠DOE=90DOE=90°°,则图中相等的角有则图中相等的角有_________对对( ( 小于直角的角小于直角的角小于直角的角))分别是______.5.5.下列说法正确的是下列说法正确的是下列说法正确的是( ). ( ).A. A.两条相交直线组成的图形叫做角两条相交直线组成的图形叫做角两条相交直线组成的图形叫做角B. B.有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角C. C.一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角D. D.角是从同一点引出的两条射线角是从同一点引出的两条射线角是从同一点引出的两条射线★基础巩固1.1.已知已知O 是直线AB 上一点上一点,OC ,OC 是一条射线是一条射线, ,则∠则∠则∠AOC AOC 与∠与∠BOC BOC 的关系是的关系是( ). ( ).A. A.∠∠AOC 一定大于∠一定大于∠BOCB.BOC B.BOC B.∠∠AOC 一定小于∠一定小于∠BOC BOCC. C.∠∠AOC 一定等于∠一定等于∠BOCD.BOC D.BOC D.∠∠AOC 可能大于可能大于,,等于或小于∠等于或小于∠BOC BOC2.2.已知∠已知∠已知∠AOB=3AOB=3AOB=3∠∠BOC,BOC,若∠若∠若∠BOC=30BOC=30BOC=30°°,则∠则∠AOC AOC 等于等于( ) ( )A.120 A.120°°B.120 B.120°或°或6060°°C.30 C.30°°D.30 D.30°或°或9090°°3.3. a Ð和b Ð的顶点和一边都重合的顶点和一边都重合,,另一边都在公共边的同侧另一边都在公共边的同侧,,且a b Ð>Ð,那么a Ð的另一半落在另一半落在b Ð的( ).A. A.另一边上另一边上另一边上B. B. B.内部内部内部;C.; C.; C.外部外部外部D. D. D.以上结论都不对以上结论都不对以上结论都不对4.2704.270°°=_______=_______直角直角直角_____________________平角平角平角________________________周角周角周角. .5.5.已知一条射线已知一条射线OA,OA,如果从点如果从点O 再引两条射线OB 和OC,OC,使∠使∠使∠AOB=60AOB=60AOB=60°°, , ∠∠BOC=20BOC=20°°,求∠求∠求∠AOC AOC 的度数的度数. .6.6.如图如图如图,,如果∠如果∠1=651=651=65°°1515′′,∠2=782=78°°3030′′,求∠求∠33是多少度是多少度? ?312☆能力提高7.7.如图（如图（如图（11）,OD,OE 分别是∠分别是∠AOC AOC 和∠和∠BOC BOC 的平分线的平分线,,∠AOD=40AOD=40°°,∠BOE=25BOE=25°°,求∠求∠AOB AOB 的度数的度数. . 解解:∵OD 平分∠平分∠AOC,OE•AOC,OE•AOC,OE•平分∠平分∠平分∠BOC(•BOC(•BOC(•已知已知已知)•,• )•,•∴∠∴∠∴∠AOC=•2•AOC=•2•AOC=•2•∠∠AOD,•∠∠BOC=•2•BOC=•2•∠∠_____( ),∵∠∵∠AOD=40AOD=40AOD=40°°,∠_______=25_______=25°°(已知已知), ),∴∠∴∠AOC=2AOC=2AOC=2××4040°°=80=80°°(•(•等量代换等量代换等量代换). ).∠BOC=2BOC=2××( )( )°°=( ),∴∠∴∠∴∠AOB=________. AOB=________.8.8.如图（如图（如图（22）,若∠若∠AOC=AOC=AOC=∠∠DOB,DOB,则∠则∠则∠AOB= AOB= AOB= ∠∠COD;•COD;•若∠若∠若∠AOB=•AOB=•AOB=•∠∠COD,•COD,•则∠则∠则∠AOC___AOC___AOC___∠∠DOB.9.9.已知∠已知∠已知∠AOB AOB 和∠和∠BOC BOC 之和为180180°°,这两个角的平分线所成的角是这两个角的平分线所成的角是_______. _______.10.10.如图（如图（如图（33）,∠AOB 是直角是直角,,∠AOC=38AOC=38°°,∠COD=COD=∠∠COB=1:2,COB=1:2,则∠则∠则∠BOD=( ). BOD=( ).A.38 A.38°°B.52 B.52°°C.26 C.26°°D.64 D.64°° E C B B A D OCB A DO (1) (2)CB AD OE C BA DO(3) (4)11.11.如图（如图（如图（44）所示）所示,OE ,OE 平分∠平分∠BOC,OD BOC,OD 平分∠平分∠AOC,AOC,AOC,∠∠BOE=20BOE=20°°,∠AOD=40•AOD=40•°°,•,•求∠求∠求∠DOE DOE 的度数的度数. .●中考在线12.12.用一副三角尺用一副三角尺用一副三角尺,,可以拼出小于180180°的角有°的角有n 个,则n 等于等于( ). A.4 B.6 C.11 D.13 ( ). A.4 B.6 C.11 D.13 13.13.已知已知α、β都是钝角都是钝角,,甲、乙、丙、丁四人计算16(α+β)的结果依次是5050°°,26,26°°,72•,72•°°,90,90°°,那么结果正确的可能是果正确的可能是( ). A.( ). A.( ). A.甲甲 B. B.乙乙 C. C.丙丙 D. D.丁丁14.14.点点P 在∠在∠MAN MAN 内部内部,,现在四个等式现在四个等式::①∠①∠PAM=PAM=PAM=∠∠MAP;MAP;②∠②∠②∠PAN=PAN=12∠A;•A;•③∠③∠③∠MAP=MAP=12∠MAN,MAN,④∠④∠④∠MAN=2MAN=2MAN=2∠∠MAP,其中能表示AP 是角平分线的等式有是角平分线的等式有( ). A.1( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.15.如图如图如图,,∠AOD=AOD=∠∠BOC=90BOC=90°°,∠COD=42COD=42°°,求∠求∠AOC AOC AOC、∠、∠、∠AOB AOB 的度数的度数. .O C ADB16.16.如图如图如图,OA ,OA ,OA⊥⊥OB OB、、OC OC⊥⊥OD,OE 是OD 的反向延长线的反向延长线. .(1) (1)试说明∠试说明∠试说明∠AOC=AOC=AOC=∠∠BOD.(2) (2)若∠若∠若∠BOD=50BOD=50BOD=50°°,求∠求∠AOE. AOE.O CAE DB17.17.如图如图如图,AO ,AO ,AO⊥⊥CO,BO CO,BO⊥⊥DO,DO,∠∠BOC=30BOC=30°°,求∠求∠AOD AOD 的度数的度数..O CADB18.18.如图所示如图所示如图所示,OE ,OE 平分∠平分∠BOC,OD BOC,OD 平分∠平分∠AOC,AOC,AOC,∠∠BOE=20BOE=20°°,∠AOD=40•AOD=40•°°,•,•求∠求∠求∠DOE DOE 的度数的度数..E CB ADO19.19.如图如图如图,AO ,AO ,AO⊥⊥CO,BO CO,BO⊥⊥DO,DO,∠∠BOC=30BOC=30°°,求∠求∠AOD AOD 的度数的度数..OCA DB4.5 多边形和圆的初步认识※课时达标1.________1.________，，__________________，，__________________，，__________________等都是多边形等都是多边形等都是多边形. .2.2.各边相等，各角也相等的多边形叫做各边相等，各角也相等的多边形叫做各边相等，各角也相等的多边形叫做____________. ____________.3.3.下列说法中正确的是下列说法中正确的是下列说法中正确的是( ( ).A.A.圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧B. B. B.圆上任意两点间的线段叫做弧圆上任意两点间的线段叫做弧圆上任意两点间的线段叫做弧C. C.圆上任意两点间的线段长度叫做弧圆上任意两点间的线段长度叫做弧圆上任意两点间的线段长度叫做弧D. D. D.任意两点间的部分叫做弧任意两点间的部分叫做弧任意两点间的部分叫做弧4.4.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1：2：3，则这三个扇形的圆心，则这三个扇形的圆心角的度数分别是角的度数分别是角的度数分别是( ( ).A.30 A.30°，°，°，606060°，°，°，909090°°B.60 B.60°，°，°，120120120°，°，°，180180180°°C.40 C.40°，°，°，808080°，°，°，120120120°°D.50 D.50°，°，°，100100100°，°，°，150150150°°5.5.如图如图如图,,从四边形ABCD 的顶点A 出发，可以画出出发，可以画出__________________对角线对角线对角线,,是线段是线段____. ____.6.6.将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是将一个圆分成三个大小相同扇形，则它们的圆心角是__________________°。

第四章基本平面图形

第四章基本平面图形 4.1 线段、射线、直线基础题知识点1 线段、射线、直线的概念及表示方法 1.手电筒发射出去的光可看作是一条（B ）A.线段B.射线C.直线D.折线 2.下列表示线段的方法中，正确的是（B ）A.线段AB.线段ABC.线段abD.线段Ab 3.如图所示，A ，B ，C 是同一直线上的三点，下面说法正确的是（C ）A.射线AB 与射线BA 是同一条射线B.射线AB 与射线BC 是同一条射线C.射线AB 与射线AC 是同一条射线D.射线BA 与射线BC 是同一条射线4.（柳州中考）如图，点A ，B ，C 是直线l 上的三个点，图中共有线段的条数是（C ）A.1B.2C.3D.4 5.延长线段AB 到C ，则下列说法正确的是（B ） A.点C 在线段AB 上 B.点C 在直线AB 上 C.点C 不在直线AB 上D.点C 在直线BA 的延长线上6.如图，图中的直线可以表示为直线AB 或直线l.7.如图，图中有1条直线，6条射线，6条线段.知识点2 线段、射线、直线的画法8.下列关于作图的语句中，正确的是（D ） A.画直线AB ＝10厘米B.延长线段AB 到C ，使AC ＝12ABC.画射线OB ＝10厘米D.过A ，B 两点画一条直线9.（教材P108习题T2变式）如图，已知平面上四个点A ，B ，C ，D. （1）画直线AB ；（2）画射线BC ；（3）画线段CD ；（4）连接AD.解：如图所示.知识点3两点确定一条直线10.开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为两点确定一条直线.11.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以画无数条直线；用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明两点确定一条直线.易错点未分类讨论而导致漏解12.平面内有三个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可以画出直线的条数为（C）A.1条B.2条C.1条或3条D.无法确定中档题13.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是（B）A B C D14.如图，MN是过点A的直线，则图中有一个端点是点A的线段有4条，分别是线段AB，AD，AE，AC；图中的射线有2条，分别是射线AM，AN；图中有1条直线，即直线MN.15.如图，已知平面上四点A，B，C，D.（1）画直线AB，射线CD；（2）画射线AD，连接BC；（3）直线AB与射线CD相交于点E；（4）连接AC、BD相交于点F.解：如图所示.16.如图，数轴上点O表示原点，点A表示－2，点B表示1，点C表示2.（1）数轴可以看做是什么图形？（2）数轴上原点及原点右边的部分是什么图形？这个图形怎样表示？（3）射线OB与射线OC是同一条射线吗？端点表示什么数？（4）射线AB与射线BA是同一条射线吗？为什么？（5）数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么图形？这个图形怎样表示？解：（1）数轴可以看做规定了原点、正方向、单位长度的直线.（2）数轴上原点及原点右边的部分是射线，这个图形表示成射线OB.（3）射线OB与射线OC是同一条射线，端点表示的数为0.（4）射线AB和射线BA不是同一条射线.理由：它们的端点不同，射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B.（5）数轴上表示绝对值不大于2的部分是从表示－2的点A到表示＋2的点C的一条线段，可以表示为线段AC.17.李明乘车回奶奶家，发现这条汽车线路上共有6个站（包括始发站和终点站），学习本节知识后，善于思考的小明已猜到这条线路上有多少种不同的票价，还要准备多少种不同的车票，聪明的你想到了吗？解：有15种不同票价，有30种不同车票.综合题 18.如图.（1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线；（2）探索归纳：如果平面上有n （n ≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画n （n －1）2条直线；（用含n 的式子表示）（3）解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握990次手.4.2 比较线段的长短基础题知识点1 线段基本事实及两点间的距离 1.下列说法正确的是（D ） A.两点之间直线最短B.画出A ，B 两点间的距离C.连接点A 与点B 的线段，叫A ，B 两点间的距离D.两点之间的距离是一个数，不是指线段本身2.（西安碑林区期末）把弯曲的道路改直，就能缩短路程，其中蕴含的数学原理是（C ） A.过一点有无数条直线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.线段是直线的一部分3.如果线段AB ＝5 cm ，BC ＝4 cm ，且A ，B ，C 在同一条直线上，那么A ，C 两点间的距离是（C ） A.1 cm B.9 cmC.1 cm 或9 cmD.以上答案都不正确4.（德州中考）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象.请你用数学知识解释出现这一现象的原因：两点之间，线段最短.知识点2 比较两条线段的长短5.如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB 的长短，其中正确的是（A ）A.A′B′＞ABB.A′B′＝ABC.A′B′＜ABD.不能确定 6.如图，AB ＝CD ，则AC 与BD 的大小关系是（C ）A.AC>BDB.AC<BDC.AC ＝BDD.不能确定 7.下面给出的四条线段中，用尺规比较最长的是（D ）A.线段aB.线段bC.线段cD.线段d知识点3 线段的中点8.点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（B ） A.AC ＝BC B.AC ＋BC ＝AB C.AB ＝2AC D.BC ＝12AB9.如图，C 是线段AB 上的一点，M 是线段AC 的中点.若AB ＝8 cm ，BC ＝2 cm ，则MC 的长是（B ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm10.已知点O 为线段AB 的中点，点C 为OA 的中点，并且AB ＝40 cm ，求AC 的长. 解：因为点O 为线段AB 的中点，AB ＝40 cm ，所以OA ＝12AB ＝20 cm.因为点C 为OA 的中点，所以AC ＝12OA ＝10 cm.易错点当题目中没有给出图形时，考虑问题不全面而丢解11.已知线段AB ＝10 cm ，直线AB 上有一点C ，BC ＝6 cm ，M 为线段AB 的中点，N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.解：①如图1，当点C 在线段AB 上时，因为M 为AB 的中点，所以MB ＝MA ＝5 cm. 因为N 为BC 的中点，所以NB ＝NC ＝3 cm. 所以MN ＝MB －NB ＝2 cm ；②如图2，当点C 在线段AB 的延长线上时，因为M 为AB 的中点，所以MB ＝AM ＝5 cm. 因为N 为BC 的中点，所以NB ＝NC ＝3 cm. 所以MN ＝MB ＋BN ＝8 cm.综上所述，线段MN 的长是2 cm 或8 cm.中档题12.如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（B ）A.两点之间直线最短B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.经过一点有无数条直线13.如图，C 为AB 的中点，D 是BC 的中点，则下列说法错误的是（C ）A.CD ＝AC －BDB.CD ＝12AB －BDC.CD ＝23BC D.AD ＝BC ＋CD14.线段AB ＝2 cm ，延长AB 到C ，使BC ＝AB ，再延长BA 到D ，使BD ＝2AB ，则线段DC 的长为（C ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.2 cm 15.（教材P113习题T2变式）已知线段a 、b （a ＞b ），用尺规作图法作一条线段，使其等于2a －b （不写作法，保留作图痕迹）.解：如图所示，线段OC 即为所求.16.如图，已知线段AB ，按下列要求完成作图和计算：（1）延长线段AB 到点C ，使BC ＝2AB ，取AC 的中点D ；（2）在（1）的条件下，如果AB ＝4，求线段BD 的长度.解：（1）如图所示.（2）因为BC ＝2AB ，且AB ＝4，所以BC ＝8. 所以AC ＝AB ＋BC ＝4＋8＝12. 因为D 为AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝6.所以BD ＝AD －AB ＝6－4＝2.综合题17.如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. （1）若AB ＝20，BC ＝8，求MN 的长；（2）若AB ＝a ，BC ＝8，求MN 的长；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？解：（1）因为AB ＝20，BC ＝8，所以AC ＝AB ＋BC ＝28.因为点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以MC ＝12AC ＝14，NC ＝12BC ＝4.所以MN ＝MC －NC ＝14－4＝10.（2）根据（1），得MN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12a.（3）根据（1），得MN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12a.（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段MN 始终等于线段AB 的一半，与点C 的位置无关.小专题（八）线段的计算类型1 中点问题【例】如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点.（1）若AC ＝9 cm ，CB ＝6 cm ，则MN ＝7.5cm ；（2）若AC ＝a cm ，CB ＝b cm ，则MN ＝（12a ＋12b ）cm ；（3）若AB ＝m cm ，求线段MN 的长；（4）若C 为线段AB 上任一点，且AB ＝n cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.解：（3）因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝12m cm.（4）猜想：MN ＝12AB ＝12n cm.结论：当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在MN ＝12AB.【变式1】若MN ＝k cm ，求线段AB 的长. 解：因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12AB.所以AB ＝2MN ＝2k cm.【变式2】若C 在线段AB 的延长线上，且满足AB ＝p cm ，M ，N 分别为AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由.解：猜想：MN ＝12AB.当点C 在线段AB 的延长线时，如图.因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝12AC.因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝12BC.所以MN ＝CM －CN ＝12（AC －BC ）＝12AB ＝12p cm.如图，点C 在线段AB 所在的直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN ＝12AB.1.如图，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.若AB ＝8 cm ，AC ＝3.2 cm ，则MN ＝2.4cm.2.如图，已知点C ，D 为线段AB 上顺次两点，M ，N 分别是AC ，BD 的中点. （1）若AB ＝24，CD ＝10，求MN 的长；（2）若AB ＝a ，CD ＝b ，请用含有a ，b 的式子表示出MN 的长.解：（1）因为AB ＝24，CD ＝10，所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝14 cm. 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点，所以MC ＋DN ＝12（AC ＋DB ）＝7 cm.所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝17 cm. （2）因为AB ＝a ，CD ＝b ，所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝a －b.因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点，所以MC ＋DN ＝12（AC ＋DB ）＝12（a －b ）.所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝12（a －b ）＋b ＝12（a ＋b ）.类型2 直接计算线段的长度3.如图，点C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上. （1）图中共有6条线段；（2）图中AD ＝AC ＋CD ，BC ＝AB －AC ，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式；（3）若AB ＝8，DB ＝1.5，求线段CD 的长.解：（2）答案不唯一，如：①BC ＝CD ＋DB ；②AD ＝AB －DB. （3）因为C 为线段AB 的中点，AB ＝8，所以CB ＝12AB ＝4.所以CD ＝CB －DB ＝2.5.4.如图，AD ＝12 cm ，AC ＝BD ＝8 cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，求EF ＋2FB 的长.解：因为AD ＝12 cm ，AC ＝BD ＝8 cm ，所以BC ＝AC ＋BD －AD ＝4 cm.所以AB ＝AC －BC ＝4 cm ，CD ＝BD －BC ＝4 cm. 所以EF ＝BC ＋ 12（AB ＋CD ）＝4＋12×8＝8（cm ）.所以CF ＝ 12CD ＝2 cm.所以FB ＝BC ＋CF ＝6 cm.所以EF ＋2FB ＝8＋2×6＝20（cm ）. 即EF ＋2FB 的长为20 cm.类型3 运用分类讨论思想求线段的长度5.已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且线段AB ＝15 cm ，BC ＝5 cm ，则线段AC ＝20或10cm.6.已知线段AB ＝60 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝20 cm ，点D 是AC 的中点，求CD 的长度. 解：当点C 在线段AB 上时，如图1.图1CD ＝12AC ＝12（AB －BC ）＝12×（60－20）＝12×40＝20（cm ）.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2.图2CD ＝12AC ＝12（AB ＋BC ）＝12×（60＋20）＝12×80＝40（cm ）.所以CD 的长度为20 cm 或40 cm.类型4 动态问题7.如图，数轴上A ，B 两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒.（1）当0＜t ＜5时，用含t 的式子填空： BP ＝5－t ，AQ ＝10－2t ；（2）当t ＝2时，求PQ 的值；（3）当PQ ＝12AB 时，求t 的值.解：（2）当t ＝2时，AP ＜5，点P 在线段AB 上，OQ ＜10，点Q 在线段OA 上，如图1.图1此时PQ ＝OP －OQ ＝（OA ＋AP ）－OQ ＝（10＋t ）－2t ＝10－t ＝8. （3）①当点P 在点Q 右边时，如图2.图2此时，AP ＝t ，OQ ＝2t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OA ＋AP －OQ ＝10＋t －2t ＝10－t. 当PQ ＝12AB 时，即10－t ＝2.5，解得t ＝7.5.②当点P 在点Q 左边时，如图3.图3此时，OQ ＝2t ，AP ＝t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OQ －OA －AP ＝2t －10－t ＝t －10. 当PQ ＝12AB 时，即t －10＝2.5，解得t ＝12.5.综上所述，当PQ ＝12AB 时，t ＝7.5或12.5.4.3 角基础题知识点1 角的概念及表示方法 1.下列说法正确的是（D ） A.一条直线可以看成一个平角 B.周角是一条射线C.角是由一条射线旋转而成的D.角是由公共端点的两条射线组成的图形2.下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是（B ）3.如图，∠AOB 的顶点是点O ，两边分别是OA 、OB.4.如图，点O 是直线AB 上一点，图中共有5个小于平角的角.知识点2 角的度量及换算 5.计算：（1）15°30′＝15.5°；（2）25.35°＝25°21′；（3）57.27°＝57°16′12″；（4）36°48′36″＝36.81°.知识点3 方位角6.（太原师院附属中学阶段考试）A ，B 两地的位置如图所示，则A 在B 的（C ）A.南偏东30°B.东偏南60°C.北偏西60°D.西偏北60°易错点度、分、秒转换时，误按十近制进行换算 7.计算：3.76°＝3°45′36″；22°32′24″＝22.54°.中档题8.赵师傅透过放大5倍的放大镜从正上方看30°的角，则通过放大镜他看到的角等于（A ） A.30° B.90° C.150° D.180°9.（教材P117习题T3变式）下列时刻中，时针与分针之间的夹角为30°的是（B ） A.早晨6点 B.下午1点 C.中午12点 D.上午9点10.（焦作期末）已知岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（D ）11.计算：（1）85°33′－29°48′；（2）44°35′÷3.解：原式＝55°45′. 解：原式＝14°51′40″.综合题12.如图，在锐角∠AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画n 条不同射线，可得12（n ＋1）（n ＋2）个锐角.…4.4 角的比较基础题知识点1 角的测量及大小比较1.在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（A ） A.∠AOB ＞∠AOC B.∠AOC ＝∠BOC C.∠BOC ＞∠AOC D.∠AOC ＞∠BOC2.如图，若∠AOC ＝∠BOD ，则∠AOD 与∠BOC 的大小关系是（C ）A.∠AOD ＞∠BOCB.∠AOD ＜∠BOCC.∠AOD ＝∠BOCD.无法确定3.比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）：（1）用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；（2）构造图形，若一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC 与∠DEF ，用以上两种方法分别比较它们的大小.解：（1）略.（2）如图所示.故∠DEF 大.知识点2 角的平分线及角的运算4.（百色中考）如图，AM 为∠BAC 的平分线，则下列等式错误的是（C ）A.12∠BAC ＝∠BAM B.∠BAM ＝∠CAMC.∠BAM ＝2∠CAMD.2∠CAM ＝∠BAC5.一副三角板如图所示放置，则∠AOB 等于（C ）A.120°B.90°C.105°D.60° 6.如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB.若∠DOC ＝35°，则∠AOD 等于（C ）A.35°B.70°C.110°D.145° 7.如图，下列条件中不能确定OC 平分∠AOB 的是（D ）A.∠AOC ＝∠BOCB.∠AOC ＝12∠AOBC.∠AOB ＝2∠BOCD.∠AOC ＋∠BOC ＝∠AOB8.（平顶山期末）如图，若OB 平分∠AOC ，OC 平分∠BOD ，且∠AOB ＝25°，则∠AOD 等于（C ）A.25°B.50°C.75°D.90° 9.如图，OB 是∠AOC 的平分线，∠BOC ＝30°，∠COD ＝40°，求∠AOD 的度数.解：因为OB 是∠AOC 的平分线，∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝2∠BOC ＝60°.因为∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ，∠COD ＝40°，所以∠AOD ＝60°＋40°＝100°.易错点对角的位置关系没有进行分类讨论，导致漏解10.OC 是从∠AOB 的顶点O 引出的一条射线，若∠AOB ＝90°，∠AOB ＝2∠BOC ，则∠AOC 的度数是45°或135°.中档题11.如图，∠AOC 和∠DOB 都是直角，如果∠AOB ＝150°，那么∠DOC ＝（A ）A.30°B.40°C.50°D.60°12.如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝14∠DOC ，∠BOD ＝10°，则∠AOD 的度数为（C ）A.50°B.60°C.70°D.80° 13.用一副三角板拼角，能拼出的最小角（非0°）的大小是15°，能拼出的最大角（非平角）的大小是150°.14.（太原师院附属中学阶段考试）如图，拿一张长方形纸片，按图中的方法折叠一角，得到折痕EF.如果∠DFE ＝35°，那么∠D′FA ＝110°.15.如图，点O 是直线AB 上的一点，∠AOC ＝130°，OB 平分∠COD ，OE 平分∠AOD ，求∠AOE 的度数.解：因为点O 在直线AB 上，所以∠AOC ＋∠BOC ＝180°. 因为∠AOC ＝130°，所以∠BOC ＝50°.因为OB 平分∠COD ，所以∠COD ＝2∠COB ＝100°. 所以∠AOD ＝360°－∠AOC －∠COD ＝360°－130°－100°＝130°. 因为OE 平分∠AOD ，所以∠AOE ＝12∠AOD ＝65°.综合题16.如图所示，OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC. （1）如果∠AOB ＝90°，∠BOC ＝38°，求∠DOE 的度数；（2）如果∠AOB ＝α，∠BOC ＝β（α，β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠DOE 的度数；（3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律，请写出来.解：（1）因为∠AOB ＝90°，∠BOC ＝38°，所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋38°＝128°. 又因为OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠COE ＝12∠AOC ＝12×128°＝64°，∠COD ＝12∠BOC ＝12×38°＝19°.所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝64°－19°＝45°.（2）因为∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，所以∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝α＋β.又因为OE ，OD 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠COE ＝12∠AOC ＝12（α＋β），∠COD ＝12∠BOC ＝12β.所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝12（α＋β）－12β＝12α＋12β－12β＝12α.（3）∠DOE 的大小与∠BOC 的大小无关，∠DOE ＝12∠AOB.小专题（九）角度的计算类型1 角平分线问题【例】如图，已知∠AOB 内部有三条射线OE ，OC ，OF ，且OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC. （1）若∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠EOF ＝45°；（2）若∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则∠EOF ＝α＋β2；（3）若∠AOB ＝θ，你能猜想出∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系吗？请说明理由.解：∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系是∠EOF ＝12∠AOB ＝12θ.理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12（∠BOC ＋∠AOC ）＝12∠AOB ＝12θ.【变式1】若∠EOF ＝γ，求∠AOB.解：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12（∠BOC ＋∠AOC ）＝12∠AOB.因为∠EOF ＝γ，所以∠AOB ＝2γ.【变式2】若射线OC 在∠AOB 的外部，且∠AOB ＝θ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则上述（3）中的结论还成立吗？请画出图形，并说明理由.解：∠EOF ＝12θ成立，如图所示.理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝12∠AOC.所以∠EOF ＝∠COF －∠EOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12（∠AOC －∠BOC ）＝12∠AOB ＝12θ.如图，当射线OC 在∠AOB 的内部或外部（0°＜∠AOC ≤180°），OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC 时，总有∠EOF ＝12∠AOB.1.如图，点A ，O ，B 在一条直线上，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则∠EOF ＝90°.2.如图，已知∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD. （1）若∠AOB ＝160°，∠COD ＝40°，则∠EOF 的度数为100°；（2）若∠AOB ＝α，∠COD ＝β，求∠EOF 的度数；（3）从（1）（2）的结果中，你能看出什么规律吗？解：（2）因为∠EOF ＝∠COE ＋∠COD ＋∠FOD ＝12∠AOC ＋∠COD ＋12∠BOD ＝12（∠AOC ＋∠BOD ）＋∠COD ＝12（∠AOB －∠COD ）＋∠COD ＝12∠AOB ＋12∠COD ，∠AOB ＝α，∠COD ＝β，所以∠EOF ＝12α＋12β＝12（α＋β）.（3）若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，则∠EOF ＝12（∠AOB ＋∠COD ）.类型2 直接计算角的度数3.如图，点A ，O ，E 在同一直线上，∠AOB ＝40°，∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数.解：因为∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ，所以∠COE ＝2∠EOD ＝2×28°46′＝57°32′. 因为∠AOB ＝40°，所以∠COB ＝180°－∠AOB －∠COE ＝180°－40°－57°32′＝82°28′.类型3 运用分类讨论思想求角的度数 4.如图，OC 是∠AOB 的平分线. （1）当∠AOB ＝60°时，求∠AOC 的度数；（2）在（1）的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；（3）当∠AOB ＝α，∠EOC ＝90°时，直接写出∠AOE 的度数.（用含α的式子表示）解：（1）因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝60°，所以∠AOC ＝30°.（2）如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°.如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°. 所以∠AOE 的度数为120°或60°. （3）90°＋α2或90°－α2.类型4 运用角中的旋转求角的度数5.已知点O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC. （1）如图1.①若∠AOC ＝60°，则∠DOE 的度数为30°； ②若∠AOC ＝α，则∠DOE 的度数为12α（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠DOC 绕点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.解：∠DOE ＝12∠AOC.理由如下：因为∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COE ＝12∠BOC ＝12（180°－∠AOC ）＝90°－12∠AOC.所以∠DOE ＝90°－∠COE ＝90°－（90°－12∠AOC ）＝12∠AOC.4.5 多边形和圆的初步认识基础题知识点1 认识多边形1.下列图形中，不是多边形的是（D ）A B C D 2.从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为（C ）A.3B.4C.6D.93.若某一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则这个多边形是（D ） A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形4.n 边形有n 个顶点，n 条边，n 个内角，过n 边形的每一个顶点有（n －3）条对角线.知识点2 认识正多边形 5.下列说法不正确的是（A ）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形的各边都相等C.正三角形就是等边三角形D.各内角都相等的多边形不一定是正多边形6.一个正六边形的周长是18 cm ，则这个正六边形的边长是3cm.知识点3 认识圆7.下面的平面图形中，为扇形的是（D ）A B C D8.如图所示的圆可记作圆O ，半径有3条，分别是OA 、OB 、OC ，请写出任意三条弧：答案不唯一，如：AC ︵、BC ︵、MB ︵.9.将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是90度.中档题10.下列属于正n 边形的特征的有（A ）①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引（n －2）条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n 边形分成面积相等的（n －2）个三角形.A.2个B.3个C.4个D.5个11.从十边形的一个顶点出发，可以引m 条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n 个三角形，则m ＋n ＝15Ｗ. 12.（教材P124例变式）把一个半径为2的圆分成三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为1∶3∶5. （1）求这三个扇形的圆心角的度数；（2）求这三个扇形的面积（π取3.14）. 解：（1）1＋3＋5＝9， 360°×19＝40°，360°×39＝120°，360°×59＝200°.答：这三个扇形的圆心角的度数分别是40°，120°，200°. （2）3.14×22＝12.56， 12.56×40360＝314225，12.56×120360＝31475，12.56×200360＝31445.答：这三个扇形的面积分别是314225，31475，31445.综合题13.观察探究及应用. （1）观察图形并填空：一个四边形有2条对角线；一个五边形有5条对角线；一个六边形有9对角线；一个七边形有14对角线；（2）分析探究：由凸n 边形的一个顶点出发，可作（n －3）条对角线，多边形有n 个顶点，若允许重复计数，共可作n （n －3）条对角线；（3）结论：一个凸n 边形有n （n －3）2条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有54条对角线.章末复习（四）基本平面图形分点突破知识点1 线段、射线、直线1.如图，下列说法不正确的是（C ）A.点O 不在直线AC 上B.图中共有5条线段C.射线AB 与射线BC 是指同一条射线D.直线AB 与直线CA 是指同一条直线 2.按要求作图：如图，在同一平面内有四个点A ，B ，C ，D.①画射线CD ；②画直线AD ；③连接AB ；④直线BD 与直线AC 相交于点O.解：如图所示.知识点2 线段的有关计算3.下列关系中，与图示不符合的式子是（C ）A.AD －CD ＝AB ＋BCB.AC －BC ＝AD －DBC.AC －BC ＝AC ＋BDD.AD －AC ＝BD －BC4.如图，若AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，C 是BD 的中点，则BD ＝10cm ，AD ＝12cm.5.如图，线段AB ＝10 cm ，延长AB 到点C ，使BC ＝6 cm ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，求线段BM ，MN 的长.解：因为AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，所以AC ＝16 cm.又因为M 为AC 的中点，所以MC ＝AM ＝8 cm. 因为N 为BC 的中点，所以BN ＝NC ＝3 cm ，BM ＝AB －AM ＝10－8＝2（cm ）， MN ＝BM ＋BN ＝2＋3＝5（cm ）.知识点3 角的有关计算6.下列各式计算正确的是（C ）A.（12）°＝118″ B.38°15′＝38.15°C.24.8°×2＝49.6°D.90°－85°45′＝4°55′ 7.（北京中考）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于（C ）A.38°B.104°C.142°D.144° 8.如图所示，已知∠AOC ＝∠BOD ＝80°，∠BOC ＝30°，则∠AOD 的度数为（C ）A.160°B.110°C.130°D.140° 9.如图，OB 为∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线. （1）如果∠AOB ＝40°，∠DOE ＝30°，那么∠BOD 为多少度？（2）如果∠AOE ＝140°，∠COD ＝30°，那么∠AOB 为多少度？解：（1）因为OB 为∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，所以∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ＝∠DOC.所以∠BOD ＝∠BOC ＋∠DOC ＝∠AOB ＋∠DOE ＝40°＋30°＝70°. （2）因为OD 是∠COE 的平分线，∠COD ＝30°，所以∠EOC ＝2∠COD ＝60°. 因为∠AOE ＝140°，所以∠AOC ＝∠AOE －∠EOC ＝80°. 又因为OB 为∠AOC 的平分线，所以∠AOB ＝12∠AOC ＝40°.知识点4 多边形和圆的初步认识10.一个正六边形的边长为6，则它的周长为36.11.将一个圆分成六个完全相同的小扇形，则这些小扇形的圆心角为60度.常考题型演练12.如图，图中小于平角的角有（B ）A.10个B.9个C.8个D.4个13.（宝鸡期末）当时刻为下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是（C）A.60°B.70°C.75°D.85°14.如图，已知A，B，C，D，E五点在同一直线上，D点是线段AB的中点，点E是线段BC的中点.若线段AC＝12，则线段DE等于（C）A.10B.8C.6D.415.从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为10.16.（焦作期末）已知∠AOB＝45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是15°或30°.17.如图，已知点C为AB上一点，AC＝12 cm，CB＝23AC，D，E分别为AC，AB的中点.求DE的长.解：因为AC＝12 cm，CB＝23AC，所以CB＝8 cm.所以AB＝20 cm.因为D，E分别为AC，AB的中点，所以AD＝6 cm，AE＝10 cm.所以DE＝4 cm.18.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线. （1）射线OC的方向是北偏东70°；（2）求∠COD的度数；（3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数.解：（2）因为∠AOB＝40°＋15°＝55°，∠AOB＝∠AOC，所以∠BOC＝110°.又因为OD是OB的反向延长线，所以∠COD＝180°－110°＝70°.（3）因为∠COD＝70°，OE平分∠COD，所以∠COE＝35°.又因为∠AOC＝55°，所以∠AOE＝55°＋35°＝90°.19.（郑州5中月考）将平面内一副三角板按三种方式摆放，分别求出对应的度数. （1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，则∠EBC＝150°；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，则∠α＝15°；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，若∠EBC＝115°，求∠α的度数.解：因为∠EBC＝115°，∠EBD＝90°，所以∠DBC＝∠EBC－∠EBD＝25°.因为∠ABC＝60°，所以∠α＝∠ABC－∠DBC＝35°.。

中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第20课时平面几何与图形基础-人教版初中九年级全册数

第5章图形的性质【精学】考点一、直线、射线和线段1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

这个点叫做射线的端点。

5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。

这两个点叫做线段的端点。

6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示。

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。

（2）直线和射线无长度，线段有长度。

（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。

（4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。

它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。

也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

初中数学必背几何知识点总结

初中数学必背几何知识点总结对每个初三学生来说，他们都期望自己能够在中考中获得好成绩，从而考上好高中，想要在中考中获得好成绩，自然是要认真学习。

下面是作者为大家整理的关于初中数学必背几何知识点，期望对您有所帮助!初中数学几何的知识点三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6. 高线、中线、角平分线的意义和做法7. 三角形的稳固性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳固性。

8. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;三角形的内角和是外角和的一半9. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

10. 三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360°。

四边形(含多边形)知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。

2. 性质：(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等，邻角互补(3)平行四边形的对角线相互平分3. 判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

2021年中考数学必考知识点：平面几何图形分类考点解析

2021年中考数学必考知识点：平面几何图形分类考点解析
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在____中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了____中考数学必考知识点：平面几何图形分类。

.圆形
b.多边形：三角形(分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等边三角形)、四边形(分为不规则四边形，体形，平行四边形，平行四边形又分：矩形，菱形，正方形)、五边形、六……
注：正方形既是矩形也是菱形
3.一元一次方程解法的一般步骤：
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：
(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;
(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)
(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号
(4)合并同类项：把方程化成a_=b(a≠0)的形式;
(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解_=b/a.
4.同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

5.方程的同解原理：
(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

福建省中考数学试题分类解析汇编专题8：平面几何基础

专题8：平面几何基础一、选择题1.（福建福州4分）下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是A、B、C、D、【答案】D。

【考点】补角。

【分析】根据互补的性质，与70°角互补的角等于180°﹣70°=110°，是个钝角，而选项D是钝角。

故选D。

2.（福建漳州3分）下列命题中，假命题是A．经过两点有且只有一条直线B．平行四边形的对角线相等C．两腰相等的梯形叫做等腰梯形D．圆的切线垂直于经过切点的半径【答案】B。

【考点】命题与定理，直线的性质：两点确定一条直线，平行四边形的性质，等腰梯形的定义，切线的性质。

【分析】解：A、经过两点有且只有一条直线，故本选项正确；B、平行四边形的对角线不一定相等，故本选项错误；C、两腰相等的梯形叫做等腰梯形，故本选项正确；D、圆的切线垂直于经过切点的半径，故本选项正确。

故选B。

3.（福建龙岩4分）如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是A．25°B．30° C．35° D．40°【答案】C。

【考点】平行线的判定和性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质。

【分析】利用方位得到平行，再利用三角形外角定理及等腰三角形等边对等角的性质即可求解：如图，由方位和平行线同位角相等的性质，得∠2＝∠1＝70°。

由乙到丙、丁的距离相同，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠3＝∠α。

由三角形外角定理，∠2＝∠3＋∠α，∴∠α＝12∠2＝35°。

故选C。

4.（福建莆田4分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定【答案】A。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立，∴腰长为6。

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