保守力、保守力场、保守量

基准面量起，如下图于是 若弹簧自 s1移至较低位置 s2，使用 U1-2 = V1 - V2 ，可见 W 与 Fs 所作之功为
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沿路径之位移为有限微量时，即自点 (x, y, z) 移至 (x+dx, y+dy, z+dz)，U1-2 = V1 - V2 变成 dU = V(x, y, z) - V(x+dx, y+dy, z+dz) = -dV(x, y, z) 假设力与位移皆使用直角坐标系统，功则可表示 dU = F×dr = (Fxi + Fyj + Fzk)×(dxi + dyj + dzk) = Fxdx + Fydy + Fzdz 将此结果代入，并将微分 dV(x, y, z)表成部份微分式
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保守力与位能
保守力有一种力，当此种力作用于质点上时，只和质点的位置有关，和质点的速度与加
速度无关。更进一步，若此力作用于质点上，使质点自一点移至另一点，此力所作之功和质
点运动的路径无关，此种力称为保守力(conservative force)。在力学中，质点重量与弹簧
力，是两个常见的保守力之例子。
一般而言，若向上为正，质点重量 W 的重力位能为 Vg = Wy
弹性位能 若弹簧自未受力状态，伸拉或压缩一距离 s 弹簧所呈现之弹簧能 Vg，可写成
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在此，Ve 始终为正值，因为在变形的范围内，当弹簧欲返回未受力位置，弹簧力始终其有对 质点作正功的能力。
位能函数 一般情况而言，若质点受重力与弹簧力影响，质点的位能可用位能函数(potential function)表达，其为一代数和
保守力
名词简介
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功， 不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里， 所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。 做功
保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当 然也与保守力场的性质有关。
由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一 周，则保守力对物体所做的功恒为0 .因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作 用在物体上的情况下可以定义势能(位能[1]).势能大小仅由保守力的大小(F)和具有保守力作 用的二物体间的相互位置(距离 s)决定。换句话说，势能仅与保守力场的位置有关。例如： 重力势能的大小仅由重力的大小和重物与地球的相对位置即重物与地球构距离决定。换句话 说，势能的大小仅与重力势场中的位置，即重物距地球表面的高度有关。弹性势 能、引力势 能和静电势能等都有与重力势能同样的性质。 两个概念
保守力
如果力 的矢量场是保守的，则这个力称为保守力。
最明显的例子是万有引力。根据牛顿万有引力定律，两个质点 和 之间的引力 等 于：
其中 是引力常数， 是单位矢量，从 指向 ， 其中
。万有引力是保守的，这是因为
是引力势。
对于保守力，路径无关可以解释为从点 到点 所做的功是与路径无关的，沿着闭合路 径所做的功是零：
重量 质点重量所作之功，和路径无关；然而却仅和质点垂直位移有关。若此位移为 Dy (向
上为正)，由 U1-2 = WDy
U = -W(Dy)
弹簧 作用于质点之弹簧力所作之功，和质点路径无关，仅和弹簧伸长或压缩量 s 有关。若
弹簧自位置 s1，被伸拉或压缩至位置 s2，由
摩擦 和保守力相反，考虑由固定面作用于运动物上之摩擦力。摩擦力所作之功，和路径有 关，路径越长，作功越多。因此，摩擦力为非保守力(nonconservative)。此功经由物体扩散 成热。 位能 能量可定义成：可用以作功之容量。当能量来自质点运动，即动能；当能量来自质点位 置，此位置是从一个基准面量起，则称位能(potentialenergy)。所以，从一已知位置移动至 基准面，位能是保守力作功的一个量测准则。力学中，因重力 (重量) 与弹簧力所涉及的位 能问题，是一重要课题。 重力位能 若质点在选定基准面上，高度距离 y 之位置，如下图，质点重量 W 具有正值之重 力位能，Vg，因为当质点返回基准面时，W 具作正功之能力。同样地，若质点在基准面下之位 置 y，Vg 为负，因为当质点向上返回基准面时，重量作负功。恰在基准面时 Vg = 0。
V = Vg+Ve
根据 Vg = Wy 及
所选定的基准面，决定质点位置以量测 V。
若质点在空间中任一位置 (x, y, z)，则其位能函数 V = V(x, y, z)。质点自(x1, y1, z1)
移动至(x2, y2, z2)，保守力所做之功，可以其函数差量测，即
U1-2 = V1 - V2
例如，重 W 之质点，悬挂于弹簧上，其位能函数可用位置 s 表达，此位置是从弹簧未受力之
零，或第一个上同调群为零。第一个德拉姆上同调群 是恰当的。
是零，当且仅当所有闭合1-形式都
无旋流动
流体的流速 是矢量场，它的涡度 通常由以下公式定义：
如果是无旋的，那么这个流动就称为无旋流动。无旋流动的涡度是零。
对于二维流动，涡度是流体元素的局部旋转的一种衡量。注意涡度并不能说明流体的整 体表现。做直线运动而具有涡度的流体是有可能的，做圆周运动而是无旋的流体也是有可能 的。关于更多信息，请参见旋涡。
矢量分析基本定理表明，任何一个矢量场都可以表示为一个保守矢量场和一个螺线矢量 场的和。

路径无关
保守矢量场的一个重要性质是它沿着一条路径的积分只与起点和终点有关，与路径无关。
假设
是三维空间内的一个区域， 是 内的一个可求长路径，其起点为 ，终点为 。
如果
是保守矢量场，那么：
这是复合函数求导法则和微积分基本定理的结果。 一个等价的表述是，对于 内的所有闭合路径，都有： 以上的逆命题也是成立的，只要 是连通区域。也就是说，如果 沿着 内的所有闭合路 径的环量都是零，那么 就是保守矢量场。 无旋矢量场 矢量场 是无旋的，如果它的旋度是零，也就是说： 由于这个原因，这种矢量场有时称为无旋矢量场。
对于任何标量场 ，都有：
因此保守矢量场都是无旋矢量场。
只要 是单连通区域，它的逆命题也是成立的：每一个无旋矢量场也都是保守矢量场。 如果 不是单连通的，则逆命题不成立。设 为去掉 轴的三维空间，也就是
。现在，我们定义以下的矢量场：
则 存在，且在 内的每一个点旋度都是零；因此 是无旋的。但是，沿着 平面内的 单位圆的环量等于 。因此 不具有路径无关的性质，所以不是保守的。
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保守矢量场
如果一个矢量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守矢量场。有两个密切相关的概念： 路径无关和无旋矢量场。任何一个保守矢量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无
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关的性质。 定义 一个矢量场 称为保守的，如果存在一个标量场 ，使得：
在这里， 表示 的梯度。当以上的等式成立时， 就称为 的一个标量势。
引入势能以后为我们处理有关的物理问题带来了很多方便，这是我们将物体间的相互作 用分为保守力和非保守力的一个重要的原因。
由于在保守力作用的情况下可以定义势能，而势能的大小与具有保守力相互作用的二物 体间的相互位置有关。因此，我们可以定义势能 U 是二物体间距离 x 的函数，从而得到势能 函数 U(x)，并画出势能曲线 U～x。而保守力的大小可由下式给出：
因为 x,y 及 z 之变量，彼此间毫无关联，上方程序满足假设
因此
或 F = -V
其中 (del) 表示向量操作 =
。
上式表达了力 F 与位能函数之关系，因此提供了保守力 F 之数学准据。例如，位于基准面以 上 y 距离之质点，其重力位能函数为 Vg = Wy ，如 Vg = Wy。为证明 W 为保守力，必须验证
是否合乎上式 (或
)，在此情況
号表示 W 作用向下，和 y 方向相反，y 方向是以向上为正。
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保守力场
定义 力对物体所做的功与物体运动路径无关，只与起点和终点的位置有关。这样的力叫做保守力， 其力场叫保守力场。例如重力场、静电场等就是保守力场。 保守力场与功 由式(5.4-24)与(5.4-25)可得势函数的全微分为
即势能函数 U(x)对 x 的微商的负值为保守力的大小。例如：重力势能，保守力(重力) 。 保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔEp = －W 保） 可以证明，遵从 F∝1/s^n（n 是整数）关系的力都是保守力。 判断方法
充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称为无旋场，例如静电场就是无旋场，因此是 保守场。
在单连通空间内，无旋矢量场具有路径无关的性质。这是因为无旋矢量场是保守的，而
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保守矢量场又是路径无关的。这个结果也可以从斯托克斯定理直接推出。在连通区域内，任 何一个路径无关的矢量场都一定是无旋的。
更加抽象地，保守矢量场是恰当1-形式。也就是说，它是一个1-形式，等于某个0-形式
（标量场） 的外导数。一个无旋矢量场是闭合1-形式。由于 d2 = 0，任何正合形式都是闭 合的，因此任何保守矢量场都是无旋的。定义域是单连通的，当且仅当它的第一个同调群为
1、对于一维运动，凡是位置 X 单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力 f=f(X)=-k(X-X0)是 X 的单值函数，故它是保守力。
2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力 G=mg，是保守力。 3、若在空间中存在某个中心 O，物体（质点）P 在任何位置上所受的力 f 都与“向量 OP” 方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离 r=标量 OP 的单值函数，则这种力叫 做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力
(5.4-27) 当一质点在势力场中沿路径 l 运动，考虑到上式，由式(5.4-7)，力场对其所作的功可表为
(5.4-28) 其中 U0与 U 和 V0与 V 分别为路径 l 的起点与终点的势函数和势能值。由此式表明，质点在势 力场中运动势力的功仅与路径的起始与终点的位置有关而与路径无关。考虑到势力场的功为 两位置势函数(或势能)值的差，因此势力场的绝对大小已不太重要。如果在力场中的某点 r0 定义其势函数(或势能)值为零，即令
图5-14 等势面 则由式(5.4-28)，有
(5.4-29) 此式表明，质点在势力场某位置的势能为质点由零势能位置移动到该位置势力所作的功的负 值。 在势力场中，势函数(或势能)为常值 c 的点构成了一曲面(见图5-14)，即
这些曲面称为等势面。c 为零的曲面称为零势面。根据势力与势函数的关系式(5.4-25)可见， 势力的方向沿等势面的法向。质点在等势面上移动，势力不作功。