《常微分方程》答案习题(4)

习题2.5

2．ydy x xdy ydx 2

=-

解：两边同除以2x ，得：

ydy x xdy

ydx =-2

c y x y

d +-=221

即c y x y =+22

1

4．

xy

x y

dx dy -=

解：两边同除以x ，得

x

y x y dx

dy -

=1

令u x y

= 则dx

du

x

u dx dy += 即

dx du

x

u dx dy +=u

u -=1 得到

()2ln 2

1

1y c u -=，

即2

ln 21⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=y c y x

另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx

xdx y

xdy

ydx -=-2

得到c x y x d +-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2

21

即

c x y x =+2

2

1 另外0=y 也是方程的解。

8.

32

x

y x y dx dy += 解：令

u x y

= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+=

即2

1u x dx du x =

得到22x dx

u du =

故c x

u +-=-1

1

即

21

1x

x c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 2

1⎪⎭

⎫

⎝⎛+=dx dy dx dy x

解：令

p dx

dy

= 即p

p x 2

1+=

而

p dx dy

=故两边积分得到 c p p y +-=ln 2

1

2

因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 2

1

2。

12.x

y

xe dx dy e

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-1 解：

y x xe dx

dy

+=+1

令 u y x =+

则 dx du

dx dy =

+1 11-=-=u xe dx du dx dy 即xdx e

du

u =

c x e u +=--22

1

故方程的解为 c x e y x =++2

2

1 14．

1++=y x dx

dy

解： 令u y x =++1

则dx du

dx dy =

+

1 那么u dx du

dx dy =-=1

dx u du

=+1

求得： ()c x u +=+1ln

故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为x

ce y x =++1 16．()

y e dx

dy

x -=++211 解：令u e y =- 则u y ln -= ()

1211-=+-u dx

du

u x ()dx x du u u 11

121+-=-

c x u u ++=-`

11

12 即方程的解为()c x y x e

y

+=+2

18．(

)

01243

2

2

=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得

1

243

22-=y x y x dx dy 2

2223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2

x 得：232

412y

y x dy dx x -=

令3x z = 则

24323y

y z dy dz -= 23

2

2

3cy y z +=

即原方程的解为23

2

3

2

3cy y x +=

19.X(

04)(2)2=+-x dx

dy

y dx dy 解：方程可化为2y(

)(24)(

,4)()2

2dx

dy x dx dy x y x dx

dy

x dx dy +=+= 令

[]

[]

c

e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dx

dy

c x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y y

y x dy

y y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y y

x y d y x d dy y x y

dx xy y e y xy x xy x

N

y M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x c

ye x c e y

x

y c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dz

y z dy dx yz x z y x dy y

x

e dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y c

x p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t t

t dx dy

dy y y x

y x

z

z

z z z z z z z z z z z y

x y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-

++±==++=+∂=+∂∂=+∂

∂=∂∂=

∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0

.25.2,0

)(.240),()11

1,1,)1(0

)1(.231

01,0)3(24282,6,20

)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,

)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1

)(1.20.

42,2424,,

0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22

2

2222

2

2222

2

23

223232422

3

44

224

2232

222222

2222222

222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则