《常微分方程》答案习题(4)
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
考研数学二常微分方程-试卷4_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（常微分方程）-试卷4(总分52, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.方程y′sinχ＝ylny，满足条件y()＝e的特解是SSS_SINGLE_SELABe sinχ．CD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：这是变量分离的方程．因此选D．2.设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是SSS_SINGLE_SEL Ay＝C1χ 2＋C2χ＋C3．Bχ 2＋y 2＝C．Cy＝ln(C1χ)＋ln(C1sinχ)．Dy＝C1 sin 2χ＋C2cos 2χ．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2. 填空题1.下列微分方程中(填序号)_______是线性微分方程．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：②、③．2.已知(χ－1)y〞－χy′＋y＝0的一个解是y1＝χ，又知＝e χ－(χ 2＋χ＋1)，y *＝－χ 2－1均是(χ－1)y〞－χy′＋y＝(χ－1) 2的解，则此方程的通解是y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝C1χ＋C2e χ－χ 2－1，其中C1，C2为任意常数．3.已知方程＝0的两个解y1＝e χ，y2＝χ，则该方程满足初值y(0)＝1，y′(0)＝2的解y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝e χ＋χ．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.求下列方程的通解：(Ⅰ)(χ－2)dy＝[y＋2(χ－2) 3]dχ；(Ⅱ)y 2dχ＝(χ＋y 2)dy；(Ⅲ)(3y－7χ)dχ＋(7y－3χ)dy＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)原方程改写成＝2(χ－2) 2．(一阶线性方程) ，两边同乘μ＝＝2(χ－2)．积分得＝(χ－2) 2＋C．通解y＝(χ－2) 3＋C(χ－2)，其中C为任意常数．(Ⅱ)原方程改写成(以y为自变量，是一阶线性的) 两边同乘μ＝＝e y．积分得＝y y＋C 通解χ＝，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成分离变量得积分得通解为(χ－y) 2(χ＋y) 5＝C，其中C为任意常数．2.求下列方程的通解或特解：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ 2－4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y *＝aχ 2＋bχ＋c，代入方程得2a－4(aχ 2＋bχ＋c)＝4χ 2．－4a＝4，b＝0，2a－4c＝0 a＝－，c＝－．得y *＝－χ 2－．则通解为y＝C1 e 2χ＋C2e －2χ－χ 2－．由初值y(0)＝C1＋C2－，y′(0)＝2C1－2C2＝2，因此得特解y＝(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ 2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝－1，λ2＝－2．由于非齐次项是e －χcosχ；－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y *＝e －χ(acosχ＋bsinχ)．代入原方程比较等式两端e －χcosχ与e －χsinχ的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C1 e －χ＋C2e －2χ＋ e －χ(sinχ－cosχ)，其中C1，C2为任意常数．3.求方程y〞＋2my′＋n 2 y＝0的通解；又设y＝y(χ)是满足初始条件y(0)＝a，y′(0)＝b的特解，求∫＋∞y(χ)dχ，其中，m＞n＞0，a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：特征方程λ 2＋2mλ＋n 2＝0，特征根λ＝－m± ，通解为y＝注意：指数均为负的将方程两边积分4.设y＝y(χ)在[0，＋∞)内可导，且在χ＞0处的增量△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)满足△y(1＋△y)＝＋α，其中当△χ→0时α是△χ的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△χ→0即得＋1．从而y＝y(χ)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘μ＝，两边积分得＝C＋ln(4＋χ)y＝C(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)．令χ＝0，y＝2可确定常数C＝－2ln2，故 y＝(－2ln2)(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)＝(4＋χ)[－2ln2＋ln(4＋χ)]．5.设函数f(χ)连续，且∫0χ f(t)dt＝sin 2χ＋∫χtf(χ－1)dt．求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将代入原方程即得∫0χ f(t)dt＝sin2χ＋χ∫χ f(u)du－∫χ uf(u)du．① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得f(χ)＝2sinχcosχ＋∫0χ f(u)du＝sin2χ＋∫χf(u)du．② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)．故求y＝f(χ)等价于求解初值问题的特解．解之可得 y＝f(χ)＝(e χ＋2sin2χ－cos2χ) ．6.设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，试求：在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(χ)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：当χ＜1时，方程y′－2y＝2的两边同乘e -2χ得(ye -2χ)′＝2e -2χ，积分得通解y＝C1e 2χ－1；而当χ＞1时，方程y′－2y＝0的通解为y＝C2 e 2χ．为保持其在χ＝1处的连续性，应使C1e 2－1＝C2e2，即C2＝C1－e -2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为y＝7.设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝试求f(t)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得f(t)＝两边对t求导得f′(t)＝8πt ＋2π.f(1).2t.2，即f′(t)－8πtf(t)＝8πt ．① 在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．② 求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边同乘得＝8πt．积分得f(t)＝4πt 2＋C．由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt 2＋1) ．8.已知y1*＝χe χ＋e 2χ，y2*＝χe χ＋eχ －χ，y3*＝χe χ＋e 2χ－e －χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*＝e －χ，y2*－y3*＝2e －χ－e 2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e －χ，y2＝2(y1*－y3* )－(y2*－y3* )＝e 2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*－y1＝χe χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C1e －χ＋C2e 2χ＋χeχ，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ1＝－1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ－2)=0，即λ 2－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y4*＝χe χ代入得(χ＋2)e χ－(χ＋1)e χ－2χe χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e χ因此方程为y〞－y′－2y ＝(1－2χ)e χ．9.求解初值问题SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是可降价类型的(方程不显含χ)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得p 2＝y -2＋C1．由初值得C1＝－1，积分得最后得y＝(0≤χ≤2)．10.设P(χ)在(a，b)连续，∫p(χ)dχ表示p(χ)的某个原函数，C为任意常数，证明：y＝是方程y′＋P(χ)y＝0的所有解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：因为对任意常数C，y＝Ce ∫p(χ)dχ是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye ∫p(χ)dχ]′＝e ∫p(χ)dχ[y′＋p(χ)y]＝0 即存在常数C，使得ye ∫p(χ)dχ＝C，即y＝Ce －∫p(χ)dχ．11.设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ 3，求此凸弧的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(χ)]，故χ 3＝∫χ f(t)dt－[1＋f(χ)]．两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为χy′－y＝－6χ 2－1．其通解为y＝＝Cχ－6χ 2＋1．对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ 2＋1．12.在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫χy dt，∫0χπy 2 dt．按题意2π∫χ y(t) dt＝π∫χ y 2(t)dt，① y(0)＝2．② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ) ＝y 2 (χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④，⑤相加得y＝13.设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为∫tf 2(χ)dχ／∫0t f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫tf(χ)dχ．见图6．2．按题意即∫0t f 2(χ)dχ＝2[∫t f(χ)dχ]2＋∫t f(χ)dχ(χ≥0)．① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①f 2 (t)＝4f(t)∫t f(χ)dχ＋f(t) f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得方程(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e －∫4dte -4t得[f(t)e -4t]′＝0，并由初条件得f(t)＝e 4t，即f(χ)＝e 4χ．14.设曲线y＝y(χ)上点(χ，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y ＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y＝y(χ)在点(χ，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为，按题意＝－1．(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy＋χdχ＝0，即d(χ 2＋y 2 )＝0．于是通解为χ＋y＝C(C＞0为常数)．15.求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由曲率半径公式知．曲线y＝yf(χ)满足解方程积分得由②和③式得(χ＋C1 ) 2＋(y＋C2) 2＝a 2，即曲线是圆周．若y〞＝，则同样可证．16.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)弹性恢复力f＝ks，由条件知g＝k. k＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度a＝(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得3 v＝3g－24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，v(s)｜s＝0＝0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g－8gs)ds ＝gs－4gs 2＋c．由v(0)＝0＝gs－4gs 2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解 gs－4gs 2＝0得 s＝0，s＝．因此，s＝为所求．17.5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg．任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝5．由1＝＝ln5．因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1kg肥皂．18.求微分方程χ(y 2－1)dχ＋y(χ 2－1)dy＝0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y 2－1｜＝ln｜χ 2－1｜＋C′．即(χ 2－1)(y 2－1)＝C，其中C为任意常数．19.求解下列方程：(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy〞＝2(y ′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝．这样，原方程的通解即为y＝＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3．(Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，，原方程可化为yp＝2(p 2－p)．当p≠0时，可改写为y ＝2(p－1)或，解为p－1＝C1 y 2．再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程y′＝1＋y 2其通解为y＝tan(χ＋C2)．再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋)．1。
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
常微分方程部分习题答案
1．第1题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.02．第2题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv).A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.03．第3题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.04．第5题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.05．第7题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.06．第8题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.07．第10题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..您的答案：C题目分数：2此题得分：2.08．第12题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.09．第13题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.010．第14题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.011．第20题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012．第21题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.013．第22题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. 6;B.; C.; D. +.A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.014．第24题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D您的答案：B题目分数：2此题得分：2.015．第25题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.016．第15题求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.017．第16题设为方程（A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,D. 取, 可得到.E. .A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.018．第17题以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D),分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.019．第18题如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.020．第19题利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。
常微分方程王高雄著课后习题答案
常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案_0
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。
常微分方程第4章习题答案
习 题 4—11．求解下列微分方程1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =解 利用微分法得 0)1)(2(=++dx dp p x 当 10dp dx+=时.得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解22242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩或消参数P.得通解 )2(2122x cx c y -+= 当 20x p +=时.则消去P.得特解 2x y -=2）2()y pxlnx xp =+； ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭当0=+p dxdp x 时.得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：2()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时.消去p 得特解 21()4y lnx =- 3）()21p p x y ++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法.得x dx p p p -=+++2211 两边积分得 ()c x P P P =+++2211由此得原方程以P 为参数形式的通解：21(p p x y ++= .().11222c x p p p =+++或消去P 得通解222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程1）45222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为 221542=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5dy t dx = 由此可推出 1515(2sin )22cos 2cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25因此方程的通解为 52x t c =+ .2sin y t = 消去参数t.得通解22sin ()5y x C =- 对于方程除了上述通解.还有2±=y .0=dxdy .显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。
常微分方程第四章课后答案
常微分方程第四章课后答案大家好，我是你们的语文老师小七。
在高中阶段很多学生对于课本上的知识点都有一些基础认识，但是有些同学在理解了这个知识点之后就不知道该如何去理解了，所以今天我就来给大家讲解一下常微分方程第四章课后习题练习。
这一章节主要讲两个内容：①什么是常微分方程；②常微分方程解法。
第一个内容是常微分方程解法的定义，这是在课本中找不到的知识。
这一部分主要要学习基本的表达式以及一些解析式。
第二个内容是常微分方程中积分法，对于初学者来说这一部分更是需要好好学习了。
下面我们就来了解一下这些知识点吧。
首先要明确一下这章节讲的内容不能单独做练习题，而是需要把每一道例题都做完才行。
这节课除了常规的知识会做一些相关例题之外，还会讲解下几道解析式以及常见的几种情况了。
1.线性表达式的两个性质线性表达式中含有一个值为 y,由定义可知 x的值为 y=0,这种情况下表达式的两个性质分别为①线性表达式有无限长时，函数的阶数不变；②线性表达式随解变小而逐渐递减；③线性表达式对任意一阶值的变换都可以得到对应形式，比如用n× n来表示（如矩阵）。
这两个性质可以通过具体例子来说明这一点。
在函数 x>0时，由于有无穷多个解，每个解都有相应的矩阵，并且在这个矩阵中存在相同的化简问题。
那么解方程中所含有的多变量就是这两个性质。
其中 x 和 y分别表示对一个函数 x和 y取对应微分时变量之间的关系。
另外还有一种情况会用到近似解来证明：即满足 k、 z、?三大条件中有任意一种条件时，可以得到一个近似求解的常微分方程：所以两个函数均满足 k、 z、?三大条件中任意一项就可以得到这类线性表达式下面这个解法：若 y为二元函数，则 y=2 x+1 y^2 x+1 y^2 x^2 x=+1x?1=+1x-2-0 （如矩阵）。
2.等比数列在常微分方程解法方面，我们的解法就是将该解法和实际中计算的解做一个等值处理。
我们通常将等值数列分为等比数列(m= m)和等比数列(m=1)。
数学必修二：常微分方程习题答案
数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。
解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。
这是一个一阶线性常微分方程。
首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。
解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。
2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。
这是一个一阶线性齐次微分方程。
首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。
3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。
这是一个一阶非齐次线性微分方程。
首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。
常微分方程第四章答案
常微分方程第四章答案常微分方程第四章答案【篇一：常微分方程习题及评分标准答案】一、选择题（每题3分）第一章：1．微分方程y?xy2?y?0的直线积分曲线为（）（a）y?1和y?x?1 （b）y?0和y?x?1 （c）y?0和y?x?1 （d）y?1和y?x?1 第二章：2．下列是一阶线性方程的是（）（a）dydx?x2y （b）d2ydy3dx2?(dx)?xy?0（c）(dy2dydydx)?xdx?xy2?0（d）dxcosy 3．下列是二阶线性方程的是（）（a）d2ydydx2?xdx?x2?y （b）(dydx)3?(dydx)2?xy?0 （c）(x?1)dy2d2ydx?xy?0 （d）dx2?cosycosx4．下列方程是3阶方程的为（）（a）y?x2?y3 （b）(dydx)3xy?0 （c）(dydx)2?xd3ydydx3?y2?0（d）dx?cosy3 5．微分方程(dydx)4?x(dydx)3?dydx0的阶数为（）（a）1（b）2（c）3 （d）46．方程(dydx)3?xd2ydx2?2y4?0的阶数为（）（a）1 （b）2 （c）3（d）4 7．针对方程dydx?x?yx?y，下列说法错误的是（）．（a）方程为齐次方程1（b）通过变量变换u?yx可化为变量分离方程（c）方程有特解y?0（d）可以找到方程形如y?kx的特解y?(?1x 8．针对方程y??sin2(x?y?1)，下列说法错误的是（）．（a）为一阶线性方程2（d）方程的通解为tan(x?y?1)?x?c 9．伯努利方程dyp(x)y?q(x)yndx，它有积分因子为（）（a）e?(n?1)p(x)dx（b）e?np(x)dx （c）xe?(n?1)p(x)dx（d）xe?np(x)dx10．针对方程dydxy?y2(cosx?sinx)，下列说法错误的是（）．（a）方程为伯努利方程（b）通过变量变换z?y2可化为线性方程（c）方程有特解y?0 （d）方程的通解为y?1cex?sinx11．方程dydx?xf(yx2)经过变量变换（）可化为变量分离方程。
常微分方程题库(附答案)4.1线性微分方程的一般理论
【单选题】n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是________个．A 、n -1；B 、n ；C 、n +1；D 、n +2.答案：B【单选题】下了判断正确的是_______________.A 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差不是对应齐次微分方程组的解；B 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差是对应齐次微分方程组的解;C 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和还是该非齐次微分方程组的解；D 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和是对应齐次微分方程组的解.答案：B【计算题】解微分方程'''1211,,11t t x x x t x t x e t t+-=-==--. 答案：常数变易法令12()()t x c t t c t e =+是原方程的解，并代入原方程得''12''12()()0()()1t t c t t c t e c t c t e t ⎧+=⎨+=-⎩， 解得''12()1,()t c t c t te -=-=,所以1122(),()(1)t c t t c c t t e c -=-+=-++ 因此原方程的通解为2121t x c t c e t =+-- 其中21,c c 是任意常数. 【计算题】解微分方程2'''2312ln 4636,,t t x tx x x t x t t-+===. 答案：常数变易法 令2312()()x c t t c t t =+是原方程的解，并代入原方程得'2'312'2'123()()0ln 2()3()36c t t c t t t tc t t c t t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得334411229()412ln ,()9ln 4c t t t t c c t t t t c ----=++=--+ 因此原方程的通解为23111273ln 4x c t c t t t t --=+++ 其中21,c c 是任意常数 . 【计算题】已知方程220d x x dt-=有基本解组 ,t t e e -，试求此方程适合初值条件'(0)1,(0)0x x ==及'(0)0,(0)1x x ==的基本解组.答案：由题意知通解为12t t x c e c e -=+ ，则'12t t x c e c e -=-，分别把初值条件代入得121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.因此方程的标准基本解组为 121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.【证明题】证明n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dtdt---++++= 存在且最多存在1n +个线性无关的解. 答案：设齐次线性微分方程的n 个线性无关的解为12,,,n x x x ，设满足某初值条件的非齐次线性微分方程的解为x ，则显然12,,,,n x x x x x x x +++为非齐次微分方程的+1n 个解。
常微分方程-习题作业-第四章第一节作业及详细解答
1习题 4.11.求齐次线性方程的实通解：(1)d 2x dt 2+4x =0.(2)d 3x dt 3−d 2x dt 2+2dx dt −2x =0.(3)d 4x dt 4+4x =0.(4)d 4xdt 4−2d 3x dt 3+2dx dt −x =0.解:(1)该方程的特征多项式为λ2+4,因此特征根为±2i .故原方程有实基本解组cos 2t ,sin 2t .由此得实通解x (t )=C 1cos 2t +C 2sin 2t,其中C 1,C 2为任意常数.(2)该方程的特征多项式为λ3−λ2+2λ−2=(λ−1)(λ2+2),因此特征根为1,±√2i .故原方程有实基本解组e t ,cos √2t ,sin √2t .由此得实通解x (t )=C 1e t +C 2cos √2t +C 3sin √2t,其中C 1,C 2,C 3为任意常数.(3)该方程的特征多项式为λ4+4,因此特征根为1±i ,−1±i .故原方程有实基本解组e t cos t ,e t sin t ,e −t cos t ,e −t sin t .由此得实通解x (t )=e t (C 1cos t +C 2sin t )+e −t (C 3cos t +C 4sin t ),其中C 1,C 2,C 3,C 4为任意常数.(4)该方程的特征多项式为λ4−2λ3+2λ−1=(λ−1)3(λ+1),因此特征根为1(三重根),−1.故原方程有实基本解组e t ,te t ,t 2e t ,e −t .由此得实通解x (t )=e t (C 1+C 2t +C 3t 2)+C 4e −t ,其中C 1,C 2,C 3,C 4为任意常数.3∗.分析振动方程d 2x dt 2+2δdx dt+ω2x =0的特征根并给出通解.这里δ≥0,ω>0.解:从该振动方程的特征方程λ2+2δλ+ω2=0求得特征根为λ1,2=−δ± δ2−ω2.根据δ2−ω2的符号可分为如下三种情况:2(i)当δ>ω时,有二个相异实特征根−δ±√δ2−ω2,方程的实通解为x (t )=e−δt (C 1e √δ2−ω2t +C 2e −√δ2−ω2t ),其中C 1,C 2为任意常数.(ii)当δ=ω时,有一个实二重特征根−δ,方程的实通解为x (t )=e −δt (C 1+C 2t ),其中C 1,C 2为任意常数.(iii)当δ<ω时,有一对共轭复特征根−δ±√ω2−δ2i ,方程的实通解为x (t )=e −δt (C 1cos ω2−δ2t +C 2sin ω2−δ2t ),其中C 1,C 2为任意常数.。
常微分方程习题-4
常微分方程习题一、填空题1．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
2．x e y =''的通解是 。
3．x x y cos sin -=''的通解是 。
4．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
5．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
6．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。
7．方程0=+''y y 的通解为 。
8．微分方程032=-'-''y y y 的通解为 。
9．微分方程02=+'-''y y y 的通解为 。
10．微分方程0='-''y y 的通解为 。
11．微分方程04=-''y y 的通解为 。
★12．微分方程0134=+'+''y y y 的通解为 。
★13．微分方程054=+'+''y y y 的通解是 。
★14.通解为x x e C e C 221--+的二阶常系数齐次线性方程是_______________。
★15.用待定系数法求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解y*形式为_________________。
二、选择题1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。
A ．3 B ．4 C ．5 D ． 22．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。
A ．3B ．5C ．4D ． 23．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程第四章答案
常微分方程第四章答案【篇一：常微分方程习题及评分标准答案】一、选择题（每题3分）第一章：1．微分方程y?xy2?y?0的直线积分曲线为（）（a）y?1和y?x?1 （b）y?0和y?x?1 （c）y?0和y?x?1 （d）y?1和y?x?1 第二章：2．下列是一阶线性方程的是（）（a）dydx?x2?y （b）d2ydy3dx2?(dx)?xy?0（c）(dy2dydydx)?xdx?xy2?0（d）dx?cosy 3．下列是二阶线性方程的是（）（a）d2ydydx2?xdx?x2?y （b）(dydx)3?(dydx)2?xy?0 （c）(x?1)dy2d2ydx?xy?0 （d）dx2?cosycosx4．下列方程是3阶方程的为（）（a）y?x2?y3 （b）(dydx)3?xy?0 （c）(dydx)2?xd3ydydx3?y2?0（d）dx?cosy3 5．微分方程(dydx)4?x(dydx)3?dydx?0的阶数为（）（a）1（b）2（c）3 （d）46．方程(dydx)3?xd2ydx2?2y4?0的阶数为（）（a）1 （b）2 （c）3（d）4 7．针对方程dydx?x?yx?y，下列说法错误的是（）．（a）方程为齐次方程1（b）通过变量变换u?yx可化为变量分离方程（c）方程有特解y?0（d）可以找到方程形如y?kx的特解y?(?1x 8．针对方程y??sin2(x?y?1)，下列说法错误的是（）．（a）为一阶线性方程?2（d）方程的通解为tan(x?y?1)?x?c 9．伯努利方程dy?p(x)y?q(x)yndx，它有积分因子为（）（a）e?(n?1)p(x)dx（b）e?np(x)dx （c）xe?(n?1)p(x)dx（d）xe?np(x)dx10．针对方程dydx?y?y2(cosx?sinx)，下列说法错误的是（）．（a）方程为伯努利方程（b）通过变量变换z?y2可化为线性方程（c）方程有特解y?0 （d）方程的通解为y?1cex?sinx11．方程dydx?xf(yx2)经过变量变换（）可化为变量分离方程。
常微分方程-第四章习题解答
C1 ⎞ ⎟ C2 ⎟ . ⎟ M ⎟ Cn ⎟ ⎠
3. 常系数n阶线性齐次方程
y ( n ) + a1 y ( n−1) + a 2 y ( n− 2 ) + L + a n y = 0 其中a i ( i = 1,2, K , n)为常数 .
(a ). 如果 λ 是方程 (4.3)的特征方程
(4.3)
5. 拉普拉斯变换法求初值问题的解:
设 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ )上有定义 , 如果含参变量 s 的广义积分
∫
+∞
0
e − st f ( t )dt当 t ∈ I时收敛 , 则称 F ( s) =
∫
+∞
0
e − st f ( t )dt
为函数 f ( x )的拉普拉斯变换 .
6. 幂级数解法:
如果Y1 ( x ), Y2 ( x ),K , Yn ( x )是方程 (4.1)的n个线性无关解， u( x )是方程 (4.2)的一个特解 , 则(4.2)的通解具有形式 :
Y ( x ) = C1Y1 ( x ) + L + C nYn ( x ) + u( x ) 其中, C1 , C 2 , K , C n为任意常数 .
x −x
.
p( x ) = −1.
例 2 求方程 y ( 4 ) − 4 y ( 3 ) + 8 y"−8 y'+3 y = 0的通解 .
答案:
y = e x (C1 + C 2 x ) + e x (C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x ).
例 3 设 y = x 3 e − x 是一个常系数四阶齐次 线性 方程的特解 , 确定此方程及其通解 .
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习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+2214．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxduxu dx dy += 即dx duxu dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxxdx yxdyydx -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u x y= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+=即21u x dx du x =得到22x dxu du =故c xu +-=-11即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.xyxe dx dy e=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx dudx dy =+1 11-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u +=--221故方程的解为 c x e y x =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx dudx dy =+1 那么u dx dudx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y =- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x ey+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则cy e y x e y de y x e d e e y x x Ny M x x N y x x y M dy y x dx y y x xy ce t e t c dt e t y e t x ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dxdyx x x x x x t t tt t t tt dx dy=+=+=+∂∂-∂∂=∂∂++=∂∂=+++++-+=++=+=+-+=++==+====-+⎰⎰323222222232223031,2,20)()32.262)1(2)1(0.25所以方程的解为：得方程两边同乘所以方程有积分因子解：（，所以方程的解为：得由则解：令27.234465dy x y dx x y ++=++ 解： 令23u x y =+，4232325du dy u dx dx u +=+=++，则 72225du u dx u +=+，25722u du dx u +=+，9171=221427dx u -+， 两边积分得 2239ln 2314(3)72x y y x c ++=-+ 即为方程的通解。
另外，7220u +=，即222307x y ++=也是方程的解。
28. 2222()dyxy x y y x dx-=- 解： 两边同除以x ，方程可化为：222()dy yxy y x dx x=+- 令yu x=，则 22222()dux u u ux u x x dx+=+-即332()dux u u dx =-， 332du x dx u u=- 3111()22(1)2(1)du x dx u u u+-=+-两边积分得 4211x ce u-即 4222x x y cy e -= 为方程的解。
29.xy dy ye dx x+= 解： 令xye u =，则 ln uy x=， 2ln x duudy u dxdx x -=， 那么 221ln ln du u uu ux dx x x-+=即 2duxdx u=两边积分得 212xyx e c -+=即为方程的解。
30. 332252422363dy x xy x dx x y y y -+=-+ 解：方程可化为 332252(422)(363)0x xy x dx x y y y dy -+--+=42322363()()()0d x x y dx x dy d y y +-++-=两边积分得 426323x x y y x y c ++--= 即 4623(1)(1)x x c x y ++=+- 为方程的解。
31. 2()()0y xdx ydy x ydx xdy ++-=解： 方程可化为 2320y xdx y dy xydx x dy ++-= 两边同除以2y ，得 2()0x ydx xdy xdx ydx y -++=即221()02dx d x y x dy++= 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则cos 0d dctg ρρρθθ+=即2sin 0sin d d θρρθ-=两边积分得 1sin c ρθ=-+将1sin yρθ=代入得， c y ρρ=-+即 2222(1)y c y ρ+= 故 222222()(1)x y y c y ++=32.33101dy xy dx x y++=+ 解： 方程可化为 3311dy xy dx x y--=+ 两边同加上1，得 223()()1d x y xy x y dx x y+-=+ （*） 再由()d xy xdy ydx =+，可知223()()(1)1d xy dy x y x y x y dx dx x y--=+=+ （**） 将（*）/（**）得22()()()1d x y xy x y d xy x y ++=-即 21du uvdv v =- 整理得21du vdv u v =-两边积分得cu =即 ()c x y +=另外，0x y +=也是方程的解。
33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解： 设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在y 轴上的截距为：dy y xdx - 由题意得 dyy x x dx -=即 11dy y dx x=-也即 ydx xdy dx -+=-两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x -+=- 即 ()ln yd d x x=-即 ln y cx x x =+为方程的解。