2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(B级).学生版

完全平方数

知识框架

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质

-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N

则2|n p N．

性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

二、一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一

定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，

69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

三、重点公式回顾：平方差公式：22()()

a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点

【例1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

余老师薇芯：69039270

【巩固】123456787654321(12345678987654321)⨯++++++++++++++++

是的平方．

【例2】A 是由2002个“9”组成的多位数，即2002999999 个9

，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出

B ；如果不是，请说明理由．

【巩固】A 是由2008个“4”组成的多位数，即444 2008个4

，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．

【例3】在224⨯=，339⨯=，4416⨯=，5525⨯=，6636⨯=，……等这些算是中，4，9，16，25，

36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

重难点

例题精讲

【巩固】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【例4】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例5】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

【巩固】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

【例6】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

【例7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

【巩固】两个完全平方数的差为105，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

【例8】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四

位数共有________个．余老师薇芯：69039270

【巩固】由222222615134=+=++，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请

你判定490最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和．

【例9】由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是某个由偶数码组成的数的完全平方，求这个四位数.

【巩固】有一个四位数，千位数比百位数大1，百位数比十位数小2，个位数比十位数大1，且这个四位数恰好是某个整数的平方，求这个四位数.

【例10】求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。

【巩固】用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

课堂检测

【随练1】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【随练2】有四个数①921438，②76186，③750235，④2660161，其中只有____是完全平方数.

【随练3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

家庭作业

【作业1】下面一个算式：112123123412345123456

+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？

【作业2】下面是一个算式：112123123412345123456

+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？欢迎关注：“奥数轻松学”

【作业3】如果△+△=a，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________.【作业4】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？【作业5】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？

【作业6】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。