2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(B级).学生版
2018最新五年级奥数.计算综合.公式应用(B级).学生版
考试要求（1）灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（2）了解等比数列；（3）灵活运用等比数列求和公式进行计算。
知识结构【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】1、2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；2、()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++= ；3、()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++= ；4、等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ；（2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
5、平方差公式：()()22ab a b a b -=+-；6、完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．公式应用重难点（1）平方和、立方和公式的灵活运用；（2）等比数列公式的灵活运用。
例题精讲【例1】⑴()2314159263141592531415927-⨯=________；⑵221234876624688766++⨯=________．【巩固】2009200920082008⨯-⨯=【例2】有一串数1，4，9，16，25，36……它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991个数相差多少？欢迎关注：“奥数轻松学”【巩固】a b 、代表任意数字，若()()a b a b a a b b +⨯-=⨯-⨯，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．⑴98102⨯⑵6773⨯⑶6428 ⨯⑷229331⨯⨯⨯【例3】计算：()2314159263141592531415927-⨯=【巩固】221234876624688766++⨯=________．【例4】计算：2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯= 。
小学五年级奥数完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学五年级奥数 完全平方数(二)
本讲主线1. 完全平方数的约数个数2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数【例1】(★★)不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少个？【知识要点屋】1、约数个数:⑴分解质因数到指数形式.⑵约个等于指数＋1连乘.2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b)，. 【例2】(★★)10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少个？【例3】(★★★)一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关.开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后,, ,个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问：第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级)200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；, ___ .1【例4】(★★★)学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结1、A＝a2, 质因数成对出现.2、完全平方数, 约数个数一定奇数个.3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4.完全平方数除以3只能余0、1.完全平方数除以4只能余0、1.能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？【今日讲题】例2, 例3, 例5【讲题心得】_____________________________________________________________________________________.【家长评价】________________________________________________________________________________________________________________________________.2。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目
完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。
下面是一个关于完全平方数的奥数题目：
题目，求小于100的所有完全平方数。
解析：
要求小于100的所有完全平方数，可以通过遍历1到100的所有数，判断每个数是否是完全平方数。
判断一个数是否是完全平方数有多种方法，下面列举两种常用的方法：
方法一，利用数学性质。
对于一个正整数n，如果它是完全平方数，那么它的平方根一定是整数。
所以，我们可以遍历1到100的所有数，判断每个数的平方根是否为整数，如果是整数，则该数是完全平方数。
方法二，利用循环遍历。
我们可以从1开始，依次判断每个数的平方是否小于100，如
果小于等于100，则该数是完全平方数。
根据上述两种方法，我们可以得到小于100的所有完全平方数
如下：
1、4、9、16、25、36、49、64、81。
以上是关于小于100的所有完全平方数的解答。
希望能帮到你！。
2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版
完全平方数知识框架一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N则2|n p N．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点【例1】已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。
奥数数论：完全平方数要点及解题技巧
奥数数论：完全平方数要点及解题技巧一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n^2<k^2<(n+1)^2，则k一定不是整数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一：个位是0，1，4，5，6，9。
例：下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处，你发现了吗？
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
巩固、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
1、1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×50是不是一个完全平方数
2、 是由2000个“4”组成的多位数， 是不是某个自然数 的平方？如果是，写出 ；如果不是，请说明理由．
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
3、一个数减去14，加上17都是一个完全平方数，求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×81是的平方
小五奥数-完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又称平方数）是0、1、2x2=4、3x3=9,4x416,5x5=25,6x6=36,7x7=49,8x8=64,9x9=81共10个。
平方数有些特别的性质，可以解决一些有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，闪烁不停。
这200个灯泡按1~200编号，它们每过1秒变化一下自己的明暗状态。
开始时，灯泡全部是暗的；第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗。
第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗的变明，...,以此类推，第n秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时明亮的灯泡有多少？事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡将变暗，原来不亮的的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡变亮）起到200秒止，中间的平方数有4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
下面举例来讨论平方数的一些问题。
从1~1989的自然数中，完全平方数共有个。
试一试在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数。
46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？试一试203500乘一个自然数a，是一个平方数，求a最小是多少？下面是一个算式：11x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x6.这个算式的得数能否是某个数的平方？请找出符合下列性质的所有四位数：（1）它是一个平方数（2）开始两位数的数字要相同（3）最末两位数的数字要相同试一试自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，...,问第612个位置的数是几？下式中每个汉字表示1~9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
小学奥数25完全平方数
2.7完全平方数2.7.1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數． 性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
2018最新五年级奥数.数论.质数与合数(C级).学生版
知识框架一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.三、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.质数与合数（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号）所以12223=⨯⨯；四、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.部分特殊数的分解余老师薇芯：69039270111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.【例1】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
小学奥数 小学五年级奥数 秋季班 [第16讲] 完全平方数(一)
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完全平方数（一）一、完全平方数的定义：我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。
如02＝0，12＝1，22＝4，…，112＝121，122＝144，…其中0，1，4，…，121，144叫做完全平方数。
二、完全平方数表：
五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住32以内自然数的平方。
32以内自然数的平方如下：三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。
做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说：“5人一组分组还多2人。
”老师马上说：“你一定算错了。
”你知道老师这样说的根据吗？
性质2：完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。
请问这个三位数的最大值是多少？
2性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数；(反之也一样)
如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数；
如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；
如果一个完全平方数的个位是奇数，那么它的十位一定是偶数；
有没有各位数字完全相同的完全平方数？(至少两位)
性质4：完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数；
从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有多少个？
求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数。
小学奥数 数论问题 第七讲 提高篇之完全平方数
第七讲提高篇之完全平方数课后习题：基础篇：【闯关1】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：b2+100=a2+63，a2-b2=100-63=37，即：a2-b2=37=37×1考虑同奇偶性，可知a=19，b=18，这个数为a2+63=19×19+63=424；【闯关2】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？解析：第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：a2-b2=77=77×1=7×11所以a-b=1，a+b=77，可知a=39.b=38，完全平方数的和是2965a-b=7，a+b=11，可知a=9，b=2，完全平方数的和是89提高篇：【闯关3】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数解析：平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【闯关4】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？解析：（1）任何连续三个正整数必有一个能为3整除，所以任何“美妙数”必有因子3. （2）中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除，若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4.（3）完全平方数的个位只能是1,4,5,6,9,0，若个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其各位是1和6，则第一个必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除，所以，任何“美妙数”必有因子5（4）上述说明“美妙数”都有因子3,4,5，也就是有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60,60=3×4×5，美妙数的最大公约至多是60，所以只能是60.巅峰篇：【闯关5】设p,a,b,c 均为互不相等的质数，且满足3444-++=c b a p ,则满足条件的p 的和为多少？解析：显然a,b,c 中必有2，否则若a,b,c 都不等于2，则a,b,c 均为奇数，则p 为非零偶数。
小学奥数数论讲义 11-完全平方数强化篇
完全平方数一、完全平方数常用的三条性质1．完全平方数的末位数字必须是：0，1，4，5，6，9。
2．完全平方数分解质因数后每个质因子都必须有偶数个。
推论：完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3．完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
二、基本公式平方差公式:a2-b2=（a+b）（a-b）三、两个特殊的完全平方数7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；1444（后三位数字相同的数中最小的）。
【例 1】下面是一个算式：1+1⨯2+1⨯2⨯3+1⨯2⨯3⨯4+1⨯2⨯3⨯4⨯5+1⨯2⨯3⨯4⨯5⨯6。
这个算式的得数能否是某个数的平方。
【巩固】8，88，888，8888…中有完全平方数吗？【例 2】已知3528 a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【巩固】已知m，n都是自然数，且n2=126m，则n的最小值为。
【例 3】12+22+32+…+20012+20022除以4的余数是。
【巩固】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写2002个4出B；如果不是，请说明理由。
【例 4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【例 5】两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
【巩固】两数乘积为1080，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。
〖答案〗【例 1】 不能【巩固】 无【例 2】 2【巩固】 42【例 3】 1【巩固】 A =2002个44444=22⨯2002个11111，如果A 是完全平方数，需要2002个11111也是完全平方数，而2002个11111除以4余3；所以A 不是某个自然数的平方【例 4】 424【巩固】 不能【例 5】 24，52⨯7【巩固】 36，30。
2018五年级奥数.数论.完全平方数的性质和应用(A级).学生版
完全平方数的性质和应用数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝4225＝5236＝6249＝7264＝8281＝92其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如：100＝102121＝112144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：169＝132196＝142256＝16262＝5252含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝3222401＝4921369＝3721936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数⇔．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
（6）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
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完全平方数
知识框架
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．
性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．
性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质
-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N
则2|n p N．
性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
二、一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一
定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，
69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：22()()
a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点
【例1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
余老师薇芯：69039270
【巩固】123456787654321(12345678987654321)⨯++++++++++++++++
是的平方．
【例2】A 是由2002个“9”组成的多位数，即2002999999 个9
，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出
B ；如果不是，请说明理由．
【巩固】A 是由2008个“4”组成的多位数，即444 2008个4
，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．
【例3】在224⨯=，339⨯=，4416⨯=，5525⨯=，6636⨯=，……等这些算是中，4，9，16，25，
36，……叫做完全平方数。
那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。
重难点
例题精讲
【巩固】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【例4】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例5】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【巩固】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
【例6】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【例7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
【巩固】两个完全平方数的差为105，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
【例8】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四
位数共有________个．余老师薇芯：69039270
【巩固】由222222615134=+=++，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请
你判定490最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和．
【例9】由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是某个由偶数码组成的数的完全平方，求这个四位数.
【巩固】有一个四位数，千位数比百位数大1，百位数比十位数小2，个位数比十位数大1，且这个四位数恰好是某个整数的平方，求这个四位数.
【例10】求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
【巩固】用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
课堂检测
【随练1】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【随练2】有四个数①921438，②76186，③750235，④2660161，其中只有____是完全平方数.
【随练3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
家庭作业
【作业1】下面一个算式：112123123412345123456
+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【作业2】下面是一个算式：112123123412345123456
+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？欢迎关注：“奥数轻松学”
【作业3】如果△+△=a，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________.【作业4】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？【作业5】一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【作业6】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。