根的判别式

一元二次方程根的判别式
用公式法求下列方程的根:
用公式法解 一元二次方程 的一般步骤:
1)2 x 2 x 2 0
1 2 2) x x 1 0 4
1)把方程化为一般形式
确定a , b , c 的值
2)计算 b 2 4ac的值
b 2 4ac 0
3)3x2 2 3x 1 0
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
当 b 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
b 2 4ac
反过来，对于方程 ax bx c 0 a 0 ，
4) x x 1 0
2
3)带入求根公式 b x 计算方程的根
b 2 4ac 2a
温故而知新
2
2 ax bx c 0( a 0 b 一元二次方程 , 4ac 0 )
的求根公式是
b b 4ac x 2a
2
如何把一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 写 成 x h 2 k 的形式？
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。
反之，同样成立！
练一练
练习：按要求完成下列表格：
方程
2 y2 2 4 y
Δ的值
2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
0 0
有两个相等 的实数根
的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
练习：不解方程，判别关于 x 的方程
x 2 2kx k 0的根的情况.
2 2
分析：a
1 b 22 2k c k 2 解： 2 2k 4 1 k
2


系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
2 2
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
根的情况
让我们一起学习例题
例: 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1)5 x 3 x 2 0
2
( 2) 25 y 4 20 y
2
(3) 2 x
2
3x 1 0
一 般 步 骤 ：
1、化为一般式，确定 2、计算
a、b、c 的值.
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0 b 4ac 当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
2
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2Fra Baidu bibliotek
配方 法
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
2
∵ k2
0,4k 0，即 0,
2
方程有两个实数根.
a x ax 1 0 a 0 的根的情况.
2 2
不解方程，判别关于 x的方程
解： (a) 2 4a 2 (1) 5a 2 , 且a 0
5a 2 0,即 0 所以，原方程有两个不相等的实数根。
2
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b
2 2
4ac 0;
如果方程有两个相等的实数根，那么
如果方程没有实数根，那么
2
b 4ac 0;
b 4ac 0.
我们把 b 4ac叫做一元二次方程
2
ax2 bx c 0(a 0)
的根的判别式，用符号“ ”来表示.
2 ax 即一元二次方程 bx c 0 a 0 ，
今天的收获：
我 体 会 到 了 …… 我 掌 握 了 …… 我 学 会 了 ……