第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案

第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题

1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为

则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .

【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可. 解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======

111

{0}{0},224P X P Y ====⨯=g

3

{1}1{0}.4

P Z P Z ==-==

Z 的分布律为

Z

０

１

P

14 34

2．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为

6,01,

(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨

⎩其它.

则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()D

P

X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.

解: 如图10-5所示

图10-5

X

０ １

P

12 12

1120

1(1)664

x x

D

P x y xdxy dx dxdy -+≤===

⎰⎰⎰⎰

． 二、选择题

1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为

则下列式子正确的是（ ）．

A ．;X Y =

B ．{}0;P X Y ==

C ．{}12;P X Y ==

D ．{} 1.P X Y ==

【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.

解: 由X 和Y 相互独立知

{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+==

{1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==g g

11111

.22222

=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .

2.(1999年数学三)设随机变量1

01(1,2)1

114

24i X i -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎣⎦

:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．

A ．0；

B ．14；

C ．1

2

； D ．1.

【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.

解: 设随机变量

12,X X 的联合分布为

由 121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==

121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==

21231232221p p p p p =++++=

知 111331330,p p p p ====

从而有 2111311144p p p =

--=, 类似地 231232111

,,.444

p p p ===

进一步可知 2212321

0.2

p p p =--=

即 1122330.p p p ===

因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .

3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．

A ．是连续函数；

B ．至少有两个间断点；

C ．是阶梯函数；

D ．恰好有一个间断点.

【解题分析】从公式(){}{}{}{}

min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，

{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---

出发求解即可.

解: 由题设,0,

()0,

0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩:

令12,2,X ξξ==则

120,0,0,2,

()()1,0,1, 2.

x

x x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为

120,

0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪

=---=-<<⎨⎪≥⎩

可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .

4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则

A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；

B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；

C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；

D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．

解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则

max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的

分布函数.故选择B .

注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.

三、计算与证明题

1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式123

4

X X X X X =

的概率分布.

【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于