6.2 晶体结构学基础

6.2 晶体结构学基础

晶体结构学是研究晶体内部结构所有可能排布的各种规律和晶体结构的具体测定，以及实际晶体结构的不完善性等。结构是认识和研究物质的基础，从根本上阐明了固体的一系列现象和性质。晶体最本质的结构特性是晶体中原子按周期性排列，或称为晶体的平移对称性，它的存在大大简化了所要处理的问题。这一节我们将介绍如何描述晶体的周期性结构、它们的对称性以及晶体结构的测定等晶体结构学的一些基础知识。

6.2.1 晶格与平移对称性

晶体结构学关心的是晶体的几何周期性结构，为了形象地描述它，可将晶体中原子、离子或分子的重复单元数学抽象为几何点，所有几何点的集合所连成的空间周期性排列网格定义为晶格，也称布拉菲格子。选择任意一点O 作为原点，布拉菲格子中所有点都能由平移矢量

332211a n a n a n R n ++=（321,,n n n 为整数） (6.2.1)

表示，这一组不共面的基矢量 a 1、 a 2、 a 3称为布拉菲格子的基矢，n R 称为布喇菲格子的格矢，其端点称为格点。沿任意一格矢平移，布拉菲格子不变。注意基矢 a 1、 a 2、 a 3的选择不是唯一的，例如 a 1+ a 2、 a 2、 a 3也能产生与式（6.2.1）相同的布拉菲格子。图 6.2.1示意了

二维的斜格子中基矢的几种不同取法。由定义可看出布拉菲格子是一个无限延展的点阵，点阵上所有格点完全等价（几何位置上等价、周围环境都相同），它代表了晶体最本质的特性——平移对称性。

图 6.2.1 基矢与原胞

然而，固体是一个物理的结构，不是一套数学点的集合。对于一个实际的晶体结构，必须考虑每个布拉菲格点上所代表的具体物理内容，这就是基元，它可能是单个原子或离子，也可能是由多个原子或离子组成的原子（或离子）团。因此晶体结构可以概括描述为基元以相同的方式重复放置在点阵格点上所构成，即

晶体结构 ＝ 布拉菲格子 ＋ 基元

（数学抽象） （物理内容）

晶体结构的描述不仅需要知道布拉菲格子的基矢 a 1、 a 2、

a 3，还需要知道基元所包含的具体内容。根据基元所包含的内容，布拉菲格子有简单格子与复式格子之分。基元中仅包含一个原子的晶格称为简单格子，原子所构成的列阵与此晶体的布拉菲格子完全相同，选取合适的原点，布拉菲格点即可表示原子的平衡位置。基元中包含两个或两个以上原子的晶格称为复式格子，此时还需要引入一组合适的矢量v t t t ,...,,21描述v 个不同原子在基元中的相对位置，则每个不等价原子的平衡位置可由以下平移矢量决定： 332211)(3

322112)2(3322111)1(.......a n a n a n t R a n a n a n t R a n a n a n t R v v n n n +++=+++=+++= (6.2.2)

由此可见，基元中每个不同原子所构成的阵列都与此晶体的布拉菲格子相同。这些由基元中不同原子的平移矢量)(i n R 所构成的阵列常称为子格子，整个复式格子可视为v 个与晶体的布拉菲格子相同的子格子套构而成。因此，晶体结构的几何描述由布拉菲格子的基矢321,,a a a 和形成基元原子的位置矢量v t t t ,...,,21共同决定。图 6.2.2展示了一个基元由两

个不同原子组成的二维复式晶格，其中蓝色和红色小球表示基元中两个不同原子，黑点表示

布拉菲格子的格点。

图6.2.2 基元由两个不同原子组成的二维复式晶格

严格地说，完全理想的无限延伸的完美晶体是不存在的，在实际晶体材料中，必然存在以下几种不完美性破坏其周期性结构：

1） 实际晶体具有一定的尺寸大小，存在表面和边缘，不是无限延伸的。

2） 当温度T > 0时，原子在它们的平衡位置附近热振动导致晶格的畸变等。

3） 实际晶体总是包含一些缺陷和杂质。

6.2.2 基本重复单元：原胞和晶胞

原胞，又称固体物理学原胞，初基原胞，是将整个晶格划分为

只包含一个布拉菲格点的周期性重复单元。通过重复堆积原胞将精

确地填满整个空间，没有重叠也没有遗漏。原胞常取以基矢为棱边

的平行六面体（如图6.2.3），体积为

)(321a a a ×⋅=Ω 上述取法只是习惯的取法，原则上原胞可以有任意多种取法，只要满足晶体的最小重复单元

这个条件。无论如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞含有一个格点。另一种重要的取图6.2.3 原胞示意图

e r

法是维格纳-塞茨原胞，即以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域。这种取法不仅反映了晶体的平移对称性，并且反映了与相应的布拉菲格子完全相同的对称性，是一种对称性原胞，不依赖于基矢的选择。图6.2.4示意了二维斜格子维格纳-塞茨原胞的取法，即在二维中以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂线，这些中垂线所包含最小面积的区域。

图6.2.4二维斜格子的维格纳-塞茨原胞

有时，为了更加直观地反映出晶体的宏观对称性，取一个包含若干个原胞的平行六面体作为重复单元，该重复单元被称为结晶学原胞，简称晶胞或单胞，它是保持晶体宏观对称性的基本结构。晶胞一般为布拉菲格子中对称性最高、体积最小的某种平行六面体。设描述晶胞的矢量为a 、b 、c ，平移矢量能表示为

c p b m a l R n ++=

其中 l 、 m 、 p 为有理数（不一定是整数），a 、b 、c 为该布喇菲格子的轴矢。图6.2.5示

意了二维有心矩形格子的原胞和晶胞的取法。

图6.2.5 二维有心矩形格子的原胞和晶胞

给定一个原子排列结构，如何确定原胞和基矢？基本方法是根据原胞为最小重复单元进行分析和判断。首先分析原子的等价性，等价的原子或原子团作为基元，选定原胞的代表点——格点；确定布拉菲点阵；最后检验是否可通过选择某一基矢使格矢达到每个格点，没有遗漏也没有多余，每个原胞含有一个格点。

思考题：六角蜂房晶格：请选择基矢，画出原胞和布拉菲格子。

6.2.3 常见的立方布拉菲格子