第二章 多晶衍射基本原理

二、倒易点阵(reciprocal lattice)
晶体点阵是晶体内部结构基元在三维空间周期 性排列这一客观实在的数学抽象，具有特定的物理 意义。倒易点阵是晶体点阵的倒易，并不是一个客 观实在，也没有特定的物理概念和意义，纯粹是一 种数学变换。X-射线在晶体中的衍射与光学衍射十 分相似，衍射过程中作为主体的光栅与作为客体的 衍射像之间存在着一个Fourier变换的关系。通常把 晶体的内部结构作为正空间而把晶体对X-射线的衍 射看成是倒易空间，因而，晶体点阵与其倒易点阵 之间也必然存在一个Fourier变换的关系。
3. 晶族、晶系及空间点阵型式
• 3大晶族 高级：立方晶系 中级：六方晶系、四方晶系和三方晶系 低级：正交晶系、单斜晶系和三斜晶系 • 7大晶系的划分：按特征对称元素 三方经常取六方R心复单位 • 14种布拉维(Bravier)点阵型式
a——anorthic
m——monoclinic o—— orthorhombic t——tetragonal h——hexagonal c——cubic
3. 宏观对称性和微观对称性的对映关系
(1) 滑移面在宏观中表现为反映面，各种螺旋轴 表现为同轴次的旋转轴； (2) 相对于点阵的坐标系，微观中的对称元素反 映到宏观后，它们的方向相同； (3) 在微观中平行排列的无数个对称元素在宏观 中表现为一个；若有不同轴次的对称轴平行 排列，则表现的是高次轴。 据此，230种空间群反映到宏观就剩下32种了。
（二） 晶体结构的对称性
1. 宏观对称性： （1）宏观对称元素：m，i，1，2，3，4，6， 4 （2）宏观对称元素的组合： 2，m 和 i 两两组合必产生第三者； 偶次轴与m垂直，交点必为i； 偶次轴上有i，过此i必有一m垂直于该轴； 一个m通过n次轴，必有n个m通过此轴，m间夹 角为360º /2n； 一个2与一个n次轴垂直，必有n个2与其在同一点 垂直相交，2间夹角为360º /2n
晶胞越大，其衍射花样中的点越密。
4. 晶带与倒易平面
若有某些平面点阵族，它们均与某一直线点阵[uvw]
平行，也即各平面点阵族的法线处于一个平面内，则 称这些平面点阵族构成一个晶带， [uvw]即为其带轴方 向，以此[uvw]命名此晶带。若某平面点阵族(hkl)属于 晶带[uvw]，则存在 uh+vk+wl=0，称为晶带定律。

空间群的表达：
41 2 O F 3 d m
7 h
简记为：Fd3m
空间群国际记号中三个位置代表的方向
1 立方晶系 a 六方晶系 c 四方晶系 c 三方晶系 a＋ b＋ c 三方晶系(取六方晶胞) c 正交晶系 a 单斜晶系 b 三斜晶系 － 晶 系 三个位置所代表的方向 2 a＋ b＋ c a a a－ b a b － － 3 a＋ b 2a＋ b a＋ b － － c － －
1 (h 2 k 2 l 2 ) sin 2 2(hk kl hl )(cos 2 cos ) 三方晶系： 2 d a 2 (1 3 cos 2 2 cos3 )
1 h2 k 2 l 2 正交晶系： 2 2 2 2 d a b c
1 1 h 2 k 2 sin 2 l 2 2hl cos 单斜晶系： 2 2 2 2 2 d sin a b c ac
＋2hlacb 2 (cos cos cos )
式中，V abc(1 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos 2 )1 2
对不同晶系可简化为：
1 h2 k 2 l 2 立方晶系： 2 2 d a 2 2 2 1 h k l 四方晶系： 2 2 2 d a c 1 4 h 2 hk k 2 l 2 六方晶系： 2 2 2 d 3 a c
正点阵中的一个晶带，在倒易点阵中为一个过原点 的倒易平面。反之，倒易点阵中的一个晶带在正点阵 中为一个过原点的平面点阵。
(三) 正、倒点阵晶胞对称性的关系
晶系 a* b* c* * * * 立方 a* = b* = c* = 1/a * = * = * = 90° 六方 a*=b*= 2 3a c*=1/c *= *=90° *=60 ° 四方 a* = b* = 1/a 三方 a* = b* = c* = c* =1/c * = * = * = 90° *=*=*= 2 a sin cos (cos 1)
a· a*=1， a· b*=0， a· c*=0 b· a*=0， b· b*=1， b· c*=0 c· a*=0， c· b*=0， c· c*=1 式中，等于1的3式决定了倒易点阵3 个基本矢量a*，b*，c*的长度，而另外6 式决定了a*，b*，c*的方向。因此， a*=Ka[b×c] b*=Kb[c×a] c*=Kc[a×b]
cos cos cos cos * sin sin cos cos cos cos * sin sin cos cos cos cos * sin sin
由倒易点阵参数求正点阵参数的公式按倒易关系 可得出相同的形式。
V
cos
1
sin 2

正交 a*=1/a b*=1/b c*=1/c * = * = * = 90° a*=1/(asin ) b*=1/b 单斜 *= *=90° *= - c*=1/(csin) 三斜 a* ≠ b* ≠ c*(见公式) *≠ *≠ * (见公式)
ca sin 1 b* V d 010
ab sin 1 c* V d 001
倒易点阵参数的单位是正点阵参数单位的－1次幂。
2. 从正点阵参数求*，*，*
b * c* b * c * cos * b * c * cos * b*c* 1 c a a b b * c * V V c a c b 1 2 V b*c* a a a b a 2bc cos cos a 2bc cos V 2b * c * a 2bc(cos cos cos ) 2 ca sin ab sin V V V
晶胞：按晶体内部结构的周期性，划分出大小、 形状完全相同的平行六面体，可代表晶体结构 的基本重复单位。晶胞参数a，b，c，，， 晶格：空间点阵按确定的平行六面体划分所得的 一套直线网格。 单晶：一整块固体基本为一个空间点阵所贯穿。 多晶：许多小单晶按不同取向聚集在一起。 微晶：只有几～几十个重复周期的特小晶体。
r ua vb wc
d、(hkl)和点阵参数（晶胞参数）间的关系：
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ h b c sin k a c sin l a b sin 2 2 d V
＋2hkabc2 (cos cos cos ) 2klbca2 (cos cos cos )
晶体学中倒易点阵应用很广，是研究
晶体衍射性质的重要概念和数学工具。衍
射几何学、衍射公式推导、现代衍射仪器 设计和应用、衍射数据处理、晶体结构测 定的许多环节，都离不开倒易点阵。
(一) 倒易点阵和正点阵互为倒易
由Bragg方程的倒数关系方程[1/dhkl=2sin/] 及相关几何关系，可用数学引出倒易点阵， 用来描述衍射空间，衍射点相当于倒易空间 的点阵点。倒易空间可以理解为晶格的数学 衍生空间，晶格点阵用向量a，b，c 表示，晶 胞体积用 V 表示，倒易点阵用向量a*，b*， c* 表示，倒易晶胞体积用V*表示，两者间具 有如下关系：
分别点乘a，b，c，如， a· a*= Ka[b×c] · a 由于a· a*=1， [b×c] · a=V， 则，Ka=1/V 同理，Kb=1/V，Kc=1/V a*= (1/V)[b×c] b*= (1/V)[c×a] c*= (1/V)[a×b] 倒易关系不仅存在于矢量之间，它们的晶胞体积也互 为倒易： V=1/V*
2. 微观对称性
(1) 微观对称元素：点阵、螺旋轴(21~65)、滑移面(a， b，c，n，d) 取晶胞的原则：a）晶胞的对称性应该反映点阵的 对称性；b）直角要多；c）体积尽量小。 (2) 微观对称元素的组合： 一个对称元素与平移平行，不会产生新的对称元素； 一个对称元素与平移垂直，会产生新的对称元素。详 细情况参见[2]. (3) 230种空间群：各种宏观和微观对称元素按组合原 理进行一切可能的组合，形成230种独立的空间群。
4. 点阵点、直线点阵和平面点阵的指标
（1）点阵点指标uvw：若用单位矢量表示从原点到某 点阵点的矢量，该点阵点的指标就是uvw： （2）晶棱指标[uvw]：与某矢量平行的一组直线点阵 （晶棱）的方向用[uvw] 表示，u,v,w为3个互质的整 数。 （3）平面点阵或晶面指标（hkl）——Miller指数： 将某平面点阵在3个坐标轴上的倒易截数之比化为 互质的整数之比，1/r:1/s:1/t=h:k:l，该平面点阵的 指标就是（hkl），代表一族相互平行的平面点阵。
(3) 32个晶体学点群 晶体中所有宏观对称元素按一切可能组合， 共有32个点群。
晶族 晶系 高级 立方 六方 中级 四方 三方 正交 低级 单斜 三斜 特征对称元素
4个3次轴 1个6次轴或反轴
1个4次轴或反轴
1个3次轴或反轴
不少于3个2次轴或m 不少于1个2次轴或m 只有1次轴或 i
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所属点群 T，O，Th，Td，Oh C3h,C6,C6h,D3h,C6v,D6,D6h C4,C4h,D2d,C4v,D4,D4h,S4 C3，C3i，C3v，D3，D3d C2v，D2，D2h Cs，C2，C2h C1，Ci
三方和六方晶系的4轴坐标系：
为使六个棱柱面的指数在形式上取得统一，采用4轴定向，a3 轴的方向为－(a1＋a2)，用此4轴得出的晶面指数为(hkil)，称为 Miller-Bravais指数。六个棱柱面的指数如下图i = - (h+k)。 这种由对称元素联系的等价的晶面族的总体可用｛10-10｝表示
V abc 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos
（二）倒易点阵参数和正点阵参数之间的关系
1. 从正点阵参数求a*, b*, c* |b×c|=bcsin，b· c=bccos 因此，
bc sin 1 a* V d100
第二章 X-射线多晶衍射基本原理
一、晶体结构的基本特点 （一）晶体结构的周期性 1. 结晶体具有周期性结构 结晶体中的原子、离子、或原子团在三 维空间按一定周期重复排列，长程有序。 非晶体中不存在长程有序。
2. 结构周期性的表达
• 点阵＋结构基元＝晶体结构 （1）点阵：把晶体内部每个重复单位抽象成一个 点，无数个在三维空间按一定周期重复的这种 点，构成一个点阵。 • 构成点阵的两个条件：①连接其中任意两点可 得一向量，将各个点按此向量平移能使其复原； ②点阵中每个点都有完全相同的周围环境。 （2）结构基元：每个点阵点所代表的具体内容。
sin * sin * sin * 正弦定理： sin sin sin
3. 倒易矢量G的方向与长度

若以无量纲的/dhkl为单位，则有 Ghkl=2sin
倒易点的位置可用倒易矢量 G=ha*+kb*+lc* 来表示，h,k,l为非质整数。则G垂直于(hkl)平 面点阵族，当然也垂直于面间距为 dhkl = d(hkl)/n 的一族假想的衍射面，其长度 为该族衍射面间距dhkl的倒数， Ghkl=1/ dhkl =2sin/