2020届全国大联考高三4月联考数学(文)试题(解析版)

2020届全国大联考高三4月联考数学（文）试题一、单选题 1．不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．1x > B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -≤≤或1x > 【答案】A【解析】求解不等式110x->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】 解110x->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞U ，其充分不必要条件即该解集的真子集， 结合四个选项A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2．复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）A B ．3C ．5D 【答案】C【解析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-，()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C 【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算. 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,m αβα⊂，则//m β.D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂. 【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C 【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式：13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭.若球的半径为1r =，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为( )A ．43π B ．916C ．94π D ．92【答案】D【解析】根据半径为1可得直径为2，代入公式，解方程即可得解. 【详解】球的半径为1r =，则直径为2，根据公式13169d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1316162,899V V ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以V =92. 故选：D 【点睛】此题以中国优秀传统文化为背景，实际考查球的体积公式辨析，根据题目所给条件，建立等量关系解方程.6．如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．3k >？B ．4k >？C ．5k >？D ．6k >？【答案】C 【解析】【详解】 执行循环得2,2;3,437;4,14418;5,36541;k S k S k S k S ====+===+===+=结束循环，输出41S =，所以判断框内应填入的条件是4?k >，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为22103331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33log log 31c π=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.8．下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的是（）A．（Ⅰ）和（Ⅳ）B．（Ⅰ）和（Ⅲ）C．（Ⅱ）和（Ⅲ）D．（Ⅱ）和（Ⅳ）【答案】B【解析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．【详解】（Ⅰ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅱ）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；（Ⅲ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（Ⅳ）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（Ⅰ）和（Ⅲ）故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．9．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．45【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率10221203 p-==-【考点】几何概型10．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =u u u v u u u v，122F F OB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】【详解】如图所示，连接2F B ，又由122F F OB =，且O 为12F F 的中点，所以01290F BF ∆=，因为112F B F A=u u u v u u u v，即112F B F A =u u u v u u u v ，所以A 为线段1F B 的中点， 又由于O 为12F F 的中点，所以2//OA F B ，所以1OA F B ⊥，所以1AOF AOB ∠=∠， 又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则12AOF BOF ∠=∠，所以0260BOF ∠=，则2tan 3bBOF a=∠=， 所以双曲线的离心率为21()2c be a a==+=，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到,a b 的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.11．已知直线x t =分别与函数()()2log 1f x x =+和()()22log 2g x x =+的图象交于,P Q 两点，则,P Q 两点间的最小距离为（ ）A ．4B ．1C 2D ．2【答案】D【解析】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭，通过换元，借助均值不等式求得最值. 【详解】根据题意得到PQ 两点间的距离即两点的纵坐标的差值，()()()2222t+22log 2log 1log t+1PQ t t ⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎝⎭设t+1=u,t=u-1>0,原式等于()22211log log 2uu u u +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭根据均值不等式得到21124,log 2 2.u u u u ⎛⎫++≥++≥ ⎪⎝⎭故当且仅当u=1，t=0是取得最值. 故答案为：D. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．1ln3,126e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x x m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150～号，并分组，第一组15～号，第二组610～号，⋯，第十组4650～号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______ 的学生． 【答案】37【解析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为5的等差数列，故可求第八组抽得的号码． 【详解】设第n 组的号码记为{}n a ，依据系统抽样，则有{}n a 是公差为5的等差数列． 又312a =，故8125537a =+⨯=，故填37． 【点睛】本题考察系统抽样，为基础题，注意系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）．14．某公司计划在2020年春季校园双选招聘会招收x 名女性，y 名男性，若,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为__________.【答案】13【解析】根据题意，作出可行域，转化为线性规划问题，求x+y 的最大值. 【详解】由题,x y 满足约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，该公司计划在本次校招所招收人数为z x y =+，作出可行域如图阴影部分，满足题意的点即可行域内横纵坐标均为整数的点.其中()()()3,1,6,4,6,7A B C ，y x z =-+，当直线经过C 点时取得最大， 即13z =，此时女生6名，男生7名. 故答案为：13 【点睛】此题考查线性规划问题的实际应用，关键在于准确作出可行域，根据目标函数平移直线求出最值取得的条件，注意考虑横纵坐标取整数.15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意 x ∈R 都有()()3f x f x +=且()14f -=，则()4f 的值为__________.【答案】4【解析】根据题意，结合周期性和奇偶性可得()()()4114f f f ==-=.【详解】由题()f x 是定义在R 上的偶函数，()()3f x f x +=， 所以()()()4114f f f ==-= 【点睛】此题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，根据奇偶性和周期性求函数的值，关键在于熟练掌握性质的应用.16．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若4,AFAF BF OF==__________. 【答案】54【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据4=AF BF ，所以4AF BF -=u u u r u u u r得214x x =-，设直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求解. 【详解】由题意得22x py =， 则0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2pOF = 设直线AB 的方程为2py kx =+， 设()()1122,,,A x y B x y 且12x x >因为4=AF BF ，所以4AF BF -=u u u r u u u r则214x x =-由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x pkx p --=所以212122,x x pk x x p +==- 解得34k =-， 即直线AB 的方程为342p y x =-+又23422p y x x py⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理得222320x px p +-=解得2x p =-或2p x =，故(),,2,228p p A B p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以根据抛物线的定义可知5828p p AF p =+=， 所以54AF OF=【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，涉及焦半径公式，根据抛物线的几何意义，结合韦达定理的应用求解长度关系.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c，且sin cos c A C =（1）求角C 的值（2）若6ABC S a b ∆=+=，求c 的值 【答案】（1）3C π=（2）c =【解析】（1）利用正弦定理原式化为sin sin cos C A A C =，即可得解； （2）根据面积公式得8ab =，结合余弦定理变形()2222cos c a b ab ab C =+--即可求解. 【详解】（1）在ABC ∆中，sin cos c A C =∴结合正弦定理得sin sin cos C A A C =0A π<<Q sin 0A ∴>又cos 0C ≠Q，tan 3C C π∴=∴=()23ABC S C π∆==Q1sin 2ab C ∴=8ab ∴=又6a b +=2222cos c a b ab C ∴=+-()222cos a b ab ab C =+--3616812.=--=23c ∴=【点睛】此题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积公式的应用，关键在于熟练掌握定理公式及其变形的应用.18．汽车尾气中含有一氧化碳（CO ），碳氢化合物（HC ）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废.某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： 不了解了解总计 女性 ab50 男性 153550 总计 pq100（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度%y 与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】(1) 有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2)0.07y t =$.4.2倍.【解析】（1）根据题意计算,,,a b p q 的值，再利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K ，对照临界值得出结论，（2）由公式计算出ˆa和ˆb ，从而得到y 关于t 的回归方程，把12t =，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度，从而可得答案。