《直线的参数方程(第1课时)》教学设计

第二讲参数方程2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．（二）学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．（三）学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．（四）学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0<t _____，则0M M 的方向向下； 若___0=t ___，则M 与M 0重合．2．预习自测 （1）直线)(60sin 360cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+-=的倾斜角α等于( ) A ．30° B ．60° C ．－45°D ．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B ．（2）直线)0,(sin 2cos 1πααα<≤⎩⎨⎧+-=+=为参数t t y t x 必过点( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(2，－1)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为)1(tan 2-=+x y α，所以恒过定点 (1，－2)．【思路点拨】消去参数化为普通方程 【答案】A ．（3）．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的标准参数方程的是( )A.)(223221为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= B.)(5525551为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-= C.)(552155为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+== D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C 【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式 【答案】C ．（4）已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212(t 为参数)与曲线C ：y 2＝8x . 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系 【数学思想】【解题过程】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t .代入y 2＝8x ，并整理得3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝323.【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义 【答案】323.(二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式： )(tan 00x x y y -=-α ,其中α为直线的倾斜角，定点),(00y x M ；2.斜截式：b kx y += ， 其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距 ；3.两点式：010010x x x x y y y y --=-- ，其中直线经过两点的坐标为),(),,(112001y x P y x P4.截距式：1=+bya x ， 其中b a ,分别为直线在x 轴、y 轴上的截距 5.一般式：0=++C By Ax ，其中B A ,不同时为0【设计意图】简要回顾直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫． ●活动② 利用旧知、推导新概念 已知直线l 的倾斜角)2(παα≠和定点),(000y x M ，如何建立直线l 的参数方程？在直线l 上任取一点),(y x M ，则M M 0),(),(),(0000y y x x y x y x --=-=取直线l 的一个单位向量[)),0(),sin ,(cos πααα∈=e由e∥M M 0,根据向量共线基本定理，存在实数R t ∈,Oyx0MMeα使e t M M =0，即)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =-- 于是 ,cos 0αt x x =- αsin 0t y y =- 整理得 ,cos 0αt x x += αsin 0t y y +=当倾斜角2πα=时，即直线l 的方程：0x x =时，也满足上式．因此，经过点),(000y x M ，倾斜角为)2(παα≠的直线l 直线的标准参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力． 探究二 探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数t 是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为)sin ,(cos αα=e 1，而e t M M =0t 的几何意义为：t 等于直线上动点M 到定点0M 【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数t 几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动② 升华认识、理解提升当πα<<0时，0sin >α，所以直线l 的单位向量e 的方向是向上的，于是的可得： 若0>t ，则0M M 的方向向上；若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合．【设计意图 加深对参数t 的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三 理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动① 巩固基础，检查反馈例1 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】 【解题过程】由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ，消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解． 【答案】x －y －1＝0．同类训练 求直线2x －y ＋1＝0的参数方程的标准形式， 【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的ααcos ,sin 的值．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程． 例2 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．【思路点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t . 【答案】（1）α＝π6；（2）|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)同类训练 已知直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213(t 为参数) （1）求直线l 的普通方程，并求倾斜角； （2）若点)33,33(-M 在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213消去参数t ，得 直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3. （2）令33231=+t ，解得3326-=t ，所以M 对应的参数03326>-=t几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M 在直线l 上点M 0的右上方)．【思路点拨】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）倾斜角为π3；（2）几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M在直线l 上点M 0的右上方)． 【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ,两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到两点B A ,的距离之积． 【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线l 定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)(222221为参数t t y tx 代入抛物线的方程，得0222=-+t t设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=•-=+122121t t t t ． 所以，由t 的几何意义得 104)(2122121=-+=-=t t t t t t AB 22121==•=•t t t t MB MA 【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义． 【答案】（1）10=AB ；（2）2=•MB MA ．同类训练 直线l 1过点P (4,3)且倾斜角的正切值为23， (1)求l 1的参数方程；(2)若l 1和直线l 2：x ＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |.【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】【解题过程】(1)l 1的倾斜角为α，满足tan α＝23.∴sin α＝213，cos α＝313. ∴l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)．(2)将上式代入x ＋y －2＝0，得4＋313 t ＋3＋213t －2＝0， ∴t ＝－13. ∴|PQ |＝|t |＝13.【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)；（2）|PQ |=13.【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．2. 课堂总结知识梳理（1）过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．（2）参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若0>t ，则0M M 的方向向上； 若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合． 重难点归纳（1）在直线的参数方程中，00,,y x α都是常数，其中α为直线的倾斜角，00,y x 是直线上一定点0M 的坐标),(00y x ，t 为参数．（2）利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线)6(sin 2cos 3πααα=⎩⎨⎧+=+-=为参数，t t y t x 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线⎩⎨⎧+=+-=ααsin 2tan 3t y t x 经过点(-3,2),倾斜角α=6π,所以不经过第四象限.【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是【知识点】直线的参数方程中参数的几何意义．【数学思想】【解题过程】由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．【思路点拨】理解参数t 的几何意义．【答案】C ．3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0，∴直线l 的斜率k ＝－1.【思路点拨】转化为直线的普通方程求解．【答案】B ．4．一条直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)，另一条直线的方程是x －y －23＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )A ．2 3B ．32C ．4 3D ．34【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由题意可知，点(1，－5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)上．将参数方程代入x －y －23＝0，得6＋)2321(-t ＝23，所以t ＝23－612－32＝43，根据t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是43． 【思路点拨】直线参数方程中参数几何意义的应用． 【答案】C ．5．经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为_______________． 【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)6．过点P ()－3，0且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 长为________．【知识点】参数方程中参数的几何意义． 【数学思想】【解题过程】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A ，B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10，|AB |＝|s 1－s 2|＝212214)(s s s s -+＝217. 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解． 【答案】217．能力型 师生共研7．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π6或5π6【知识点】参数方程、直线与圆的关系． 【数学思想】【解题过程】直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4，∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 【思路点拨】将直线和圆化为普通方程后求解． 【答案】D ．8．已知直线l 过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l 的参数方程,并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】分类讨论的思想【解题过程】直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=135sin 3135cos 2t y t x (t 为参数) 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数) ① 设直线上与点A 距离为32的点为B,且点B 对应的参数为t,则|AB|=|t|=32. 所以t=±32.把t=±32代入①,得当t=32时,点B 在点A 的上方,点B 的坐标为(-5,6); 当t=-32时,点B 在点A 的下方,点B 的坐标为(1,0).【思路点拨】直接根据直线的参数方程公式求解．【答案】 直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数)；B 点的坐标(-5,6)或(1,0)．探究型 多维突破9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程． 【数学思想】【解题过程】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得22)22()223(+-t ＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.【思路点拨】运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 【答案】（1）x 2＋(y －5)2＝5；（2）3 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin )4(πθ-＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.【知识点】参数方程、直线与椭圆的位置关系． 【数学思想】【解题过程】(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin )4(πθ-＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0， 所以21212121211111t t t t t t t t t t PB PA +=+=+=+=322. 【思路点拨】把握直线参数方程中参数的几何意义．【答案】（1）C 的普通方程为x 29＋y 2＝1，l 的倾斜角为π4；（2）PB PA 11+=322． 自助餐1．直线)(222221:为参数t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=与圆)(sin 21cos 22为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心【知识点】参数方程、直线与圆的位置关系．【数学思想】【解题过程】直线l 化为普通方程为01=+-y x ，圆C 化为普通方程为4)1()2(22=-+-y x ，圆心为)1,2(，半径为2，圆心到直线的距离r d <=+-=22112，但圆心不在直线上，故选D【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．若直线的参数方程为)(131332131321为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=，则直线的斜率为（ ）A ．32B ．32-C ．23-D ．23 【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】将直线消去参数化为普通方程为0723=-+y x ，所以斜率为23-．【思路点拨】直线消去参数化为普通方程求解．【答案】C ．3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，则它的斜截式方程为______________．【知识点】直线的参数方程与普通方程互化．【数学思想】【解题过程】将t x 212+=整理得42-=x t 代入t y 233+=中消去t ，整理可得．【思路点拨】将直线的参数方程中参数t 消去． 【答案】y ＝3x ＋3－23．4．在直角坐标系xOy 中，直线l(t 为参数).在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ． 【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程．【数学思想】【解题过程】直线的普通方程为043=++a y x ，圆的方程为1)1(22=+-y x ，依题意，直线经过圆心)0,1(代入直线得3-=a ． 【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】-3．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【知识点】参数方程、弦长公式． 【数学思想】【解题过程】椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得14)23()211(22=++t t ，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】AB ＝167．6．过点)0,1(-P 作倾斜角为α的直线与曲线12322=+y x 相交于M,N 两点.(1)写出直线MN 的参数方程. (2)求PN PM •的最小值. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)因为直线MN 过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN 的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数). (2)将直线MN 的参数方程代入曲线12322=+y x ,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6, 整理得(3-cos 2α)·t 2-4cosα·t -4=0, 设M,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则|PM|·|PN|=|t 1·t 2|=α2cos 34-,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为34． 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】（1）⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数)；（2）34．。