方程的根与函数的零点课后习题高中数学高考
方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)
方程的根与函数的零点练习题及答案解析(必修1)新课标第一网不用注册，免费下载！1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.2x( )A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)x解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0(1,2)C.x2＋2x－3，x≤03．(2022年高考福建卷)函数f(x)＝)－2＋lnx，x＞0A．0 B．1 C．2 D．32解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为C.2________．x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，g(x)＝bx2－ax的零点是( )( ) )C．(3,4) D．(e,3)2解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln30，3∴f(2)f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是( )1A．y＝x－B．y2x－x－1x新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！x＋1 x≤0C．y＝x－1 x＞0x＋1 x≥0D．y＝x－1 x＜01解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；2只有D中函数无零点．5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．1－6．设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )2A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)1－解析：选B.设f(x)＝x3－()x2，21－1－1则f(0)＝0－(20；f(1)＝1－10；f(2)＝23－00.(1,2)上．22227．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1________．解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，2a由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，a故x＝－3，即另一个零点为－3.则a的取值范围是________．所以有f(－1)f(1)≤0，－1.0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有②错，应有三个零点．新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．a＞0，a＜0，或1－a＜0，1－a＞0，∴a ＜0或a＞1.111．判断方程log2x＋x2＝0在区间内有没有实数根？为什么？22解：设f(x)＝log2x＋x，__∵f(＝log2＋()2＝－1＋＜0，__1f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴ff(1)＜0，函数f(x)＝log2上是连续21的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2 212．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(1)方程有一正一负两根；2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)f 1 ＞0f 1 ＜0，不等式组无解．所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，x1－1 x2－1 ＞0即x1－1 ＋x2－1 ＞0x1x2－x1＋x2 ＋1＞0 . x1＋x2＞2新课标第一网系列资料新课标第一网不用注册，免费下载！12 a＋1 1＞0 a－aa所以2 a＋1a＞2a＜0 ，不等式组无解．a＞0即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，a＞0 a＜0 所以必须满足或，解得a＞0. f 1 ＜0 f 1 ＞0。
2022年高中数学3-1-1方程的根与函数的零点习题含解析新人教A版必修
方程的根与函数的零点班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在区间上有零点的一个函数为A. B.C. D.2．方程的解所在的区间为A. B. C. D.3．函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.4．函数有两个零点、,且,则A.,B.C.,D.,5．若函数的零点为2,那么函数的零点是 . 6．根据下表，能够判断有实数解的区间是 .-10123-0.677 3.011 5.432 5.9807.651-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 (1)(-1,0) (2)(0,1)(3)(1,2) (4)(2，3)7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.8．已知函数恒有零点.(1)求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.【能力提升】判断函数f(x)=x-3+ln x的零点的个数.答案【基础过关】1．C【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C.2．C【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.3．C【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.4．C【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.5．0，【解析】∵函数有一个零点是2，∴，∴，∵，∴函数的零点是0，.6．(2)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)•F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).7．设，有两种情况.第一种情况，如图，解得.第二种情况，如图，此不等式组无解.综上，m的取值范围是.8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.综上，.(2)设，是函数的两个零点，则有，，∵，即，∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.【能力提升】方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ln x,y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.又f(x)=x-3+ln x在(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)只有一个零点.。
高一数学方程的根与函数的零点同步练习及答案
高一数学方程的根与函数的零点同步练习及答案1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A．2；2 B．(2,0)；2C．－2；－2 D．(－2,0)；－22．函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a<4 B．a>4C．a≤4 D．a≥43．函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是()A．0 B．1C．2 D．32．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是()A．－1 B．1C．－2 D．23．设函数f(x)＝x3－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)4．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx－12二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为________．6．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f(x)＝3x－x2，求方程f(x)＝0在区间[－1,0]上实根的个数．8．判断函数f(x)＝lnx－1x在区间(1,3)内是否存在零点．9．(10分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f(log19x)≥0的x的取值集合．。
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案
高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案一、选择题1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一的实根[答案] D2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个[答案] B3．(2013～2014山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上()A．一定有零点 B．可能有两个零点C．一定有没有零点 D．至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的'图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[答案] D[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式0，此方程无实数根，f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.在同一坐标系中画出y＝x3，x[1,2]与y＝5x＋5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．f(x)＝0在[1,2]上无零点．C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．D：∵f(1)＝e＋31－6＝e－30，f(2)＝e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点．5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和16 B．1和－16C．12和13 D．－12和－13[答案] B[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，a＝5，b＝6.g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－16.6．(2010福建理，4)函数f(x)＝x2＋2x－3，x0－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析] 令x2＋2x－3＝0，x＝－3或1；∵x0，x＝－3；令－2＋lnx＝0，lnx＝2，x＝e20，故函数f(x)有两个零点．二、填空题7．已知函数f(x)＝x＋m的零点是2，则2m＝________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)＝0.2＋m＝0，解得m＝－2.2m＝2－2＝14.8．函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0的零点的个数为________．[答案] 2[解析] 当x0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－12(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝2x2－x－1，x0，3x－4，x＞0有2个零点．9．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－，＋)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．11．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x2＋4x－12x－2；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－18或x＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为＝12－412＝－70，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝x2＋4x－12x－2＝x＋6x－2x－2，令x＋6x－2x－2＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log373，所以函数的零点为log373.(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.12．(2013～2014北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，m＋2＞0，f1＜0，解得－2＜m＜－12.第二种情况，m＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－12.。
方程的根与函数零点练习与答案-数学高一必修1第三章函数与方程3.1函数与方程3.1.3人教A版
第三章函数与方程3.1.1 方程的根与函数零点测试题知识点一：函数零点的判断1.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1或1B.0或-1C.1或0D.2或12.(2015·大连高一检测)设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是()A.1B.±C.1,-D.1,3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()A.1,2B.-1,-2C.1,D.-1,-4．函数y＝(x－2)(x－3)－12的零点为________．5．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是______．6.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.知识点2 函数零点个数的判定7.函数f(x)=x2+x+3的零点的个数是()A.0B.1C.2D.38．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个9.(2015·日照高一检测)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,ac<0,则函数的零点个数是()A.1B.2C.0D.无法确定10.偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个11.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为x1,x2(x1<x2),函数f(x)的最小值为y0,且y0∈[x1,x2),则函数y=f(f(x))的零点个数是()A.3B.4C.3或4D.2或3知识点3 函数零点的应用12．函数y＝x2－bx＋1有二重零点，则b的值为()A．2B．－2C．±2D．不存在13．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于()A．0B．3C．6D．不确定14.若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a的取值范围是.15.(2015·郑州高一检测)已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集为.16.(2015·东营高一检测)已知函数f(x)=则满足方程f(a)=1的所有的a的值为.17.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的方程f(x)=c(c∈R)有两个实根m,m+6,则实数c的值为.18.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.【参考答案】1.【解析】选 C.因为x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b.所以g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.2.【解析】选C.当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,令g(x)=0,得x=±(正值舍去),所以x=-,所以g(x)的零点为1,-.3.【解析】选C.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则所以=-3,=2,于是f(x)=cx2+bx+a=a=a(2x2-3x+1)=a(x-1)(2x-1),所以该函数的零点是1,.4.【解析】y＝x2－5x－6＝(x＋1)(x－6)，令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得x1＝－1，x2＝6，所以函数的零点为－1,6.【答案】－1,65.【解析】∵f(4x)＝，∴＝x，解得x＝，∴零点为.【答案】6.【解析】由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x==-.答案：0或-7.【解析】选A.令x2+x+3=0,Δ=1-12=-11<0,所以方程无实数根,故函数f(x)=x2+x+3无零点.8.【解析】∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴至少有3个零点，分别在[2,3]，(3,4]，(4,5]上，故选B.【答案】 B9.【解析】选B.因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以该函数一定有两个零点.10.【解析】选B.由函数的单调性可知：函数在区间[0,a]上有且只有一个零点,设零点为x,因为函数是偶函数,所以f(-x)=f(x)=0,故其在对称区间[-a,0]上也有唯一零点,11.【解析】选D.由f(f(x))=0,可得f(x)=x1或f(x)=x2.因为函数f(x)的最小值y0∈[x1,x2),且x1<x2,故当y0>x1时,方程f(x)=x1无解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x))有两个零点.当y0=x1时,方程f(x)=x1有一解,f(x)=x2有两解,故此时函数y=f(f(x))有三个零点.12.【解析】∵y＝x2－bx＋1有二重零点，∴Δ＝b2－4＝0，即b＝±2，故选C.【答案】 C13.【解析】由题意，二次函数y＝f(x)的对称轴为x＝3，由二次函数的对称性知：x1＋x2＝6，故选C.【答案】 C14.【解析】①当a=0时,f(x)=-x-1是一次函数,显然仅有一个零点.②当a≠0时,Δ=1+4a=0,所以a=-.综上知：a=0或a=-.答案：a=0或a=-15.【解析】因为f(x)=x2+2x+a,所以f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2.则有即所以f(2x-3)=(2x-3)2+2(2x-3)+2=4x2-8x+5=0.因为Δ=64-80<0,所以方程f(ax+b)=0无实根.答案：?16.【解析】当a>0时,有log3a=1,解得a=3>0,符合题意;当a≤0时,有=1,解得a=0,符合题意,综上所述,a=0或a=3.答案：0或317.【解析】f(x)=x2+ax+b=+b-,因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以b-=0,所以f(x)=.又因为关于x的方程f(x)=c有两个实根m,m+6,所以f(m)=c,f(m+6)=c,所以f(m)=f(m+6),所以=,所以=+12+36,所以m+=-3.又因为c=f(m)=,所以c=9.答案：918.【解析】设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.因为f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,所以即所以<k<.。
2020高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A版必修1
3.1.1方程的根与函数的零点课后练习【基础过关】1．在区间上有零点的一个函数为A. B.C. D.2．方程的解所在的区间为A. B. C. D.3．函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.4．函数有两个零点、,且,则A.,B.C.,D.,5．若函数的零点为2,那么函数的零点是. 6．根据下表，能够判断有实数解的区间是.(1)(-1,0) (2)(0,1)(3)(1,2) (4)(2，3)7．已知二次函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围.8．已知函数恒有零点.(1)求的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为-4，求的值.答案【基础过关】1．C【解析】本题考查二分法判断零点的基本方法.由题知对A有恒成立，故没有零点；对B，，故在上没有零点；对C，，故在上存在零点，故选C. 2．C【解析】本题主要考查判断函数零点的方法，关键是构造函数，转化为确定函数的零点位于的区间.3．C【解析】∵，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1＜0，，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3＞0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.4．C【解析】数形结合，f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位，逆向思维为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象.由图易得出结论.5．0，【解析】∵函数有一个零点是2，∴，∴，∵，∴函数的零点是0，.6．(2)【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147＜0，F(0)＝－0.44＜0，F(1)＝0.542＞0，F(2)＝0.739＞0，F(3)＝0.759＞0，所以F(0)•F(1)＜0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).7．设，有两种情况.第一种情况，如图，解得.第二种情况，如图，此不等式组无解.综上，m的取值范围是.8．(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，当m＋6≠0时，由，得，∴且m≠6时，二次函数有零点.综上，.(2)设，是函数的两个零点，则有，，∵，即，∴，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，△＞0符合题意，∴m＝－3.。
方程的根与函数的零点经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)下列图象表示的函数有零点的是( )解析 观察图象可知A 选项中图象对应的函数没有零点．答案 BCD2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 解法一 令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0ln x ＝2， ∴x ＝－3或x ＝e 2，应选C.解法二 画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点． 答案 C3．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 设函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线．f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4>0，所以f (2)·f (3)<0，所以x 0∈(2,3)．答案 C4．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析 令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案 25．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (1)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 答案 (－1,0)6．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有没有实数根？为什么？解析 设f (x )＝log 2x ＋x 2，先设该方程有实数根，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＋⎝⎛⎭⎫122＝－1＋14＝－34＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0. ∵函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是连续的，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有实根．[能力提升]7．已知f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定解析 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0.答案 A8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，若函数y ＝f (x )－k 有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[1,2]D ．[1,2)解析 函数y ＝f (x )－k 有三个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有三个交点，f (x )的图象如上，由图象可得－2<k ≤－1.故选A ．答案 A9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案 (1，＋∞)10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ (－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a >0，a >1，解得2≤a <52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0，f (1)＝5－2a <0，f (6)＝40－12a <0，f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174. [探索创新]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. 答案 C。
新人教A版高中数学【必修1】 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业练习含答案解析
第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，－12 B ．0，12 C ．0,2 D ．2，－12 4．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x>0零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________．三、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac>0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根； 对于选项B ，必存在但不一定唯一； 选项D 显然不成立．] 3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0， ∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.] 4．C [∵f(x)＝e x ＋x －2， f(0)＝e 0－2＝－1<0， f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x>0时，f(x)＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2<0，f(e 3)＝1>0，∵f(1)f(e 3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 总之，f(x)在R 上有2个零点．]6．A [设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.]7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0 ∴12<k <23.。
高一数学方程的根与函数的零点练习题(附答案)
高一数学方程的根与函数的零点练习题（附答案）数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。
以下是查字典数学网为大家整理的高一数学方程的根与函数的零点练习题，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、选择题1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a，b]上()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根[答案] D2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个[答案] B3.(2019～2019山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则f(x)在(a，b)上()A.一定有零点B.可能有两个零点C.一定有没有零点D.至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4.下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案] D[解析] A：3x2-4x+5=0的判别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3，x[1,2]与y=5x+5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点.f(x)=0在[1,2]上无零点.C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.D：∵f(1)=e+31-6=e-30，f(2)=e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和-13[答案] B[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.6.(2019福建理，4)函数f(x)=x2+2x-3，x0-2+lnx，x0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析] 令x2+2x-3=0，x=-3或1;∵x0，x=-3;令-2+lnx=0，lnx=2，x=e20，故函数f(x)有两个零点.二、填空题7.已知函数f(x)=x+m的零点是2，则2m=________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)=0.2+m=0，解得m=-2.2m=2-2=14.8.函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0的零点的个数为________. [答案] 2[解析] 当x0时，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);当x0时，令3x-4=0，解得x=log34，所以函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0有2个零点.9.对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：①在(-2，-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-，+)内没有实数根.其中正确的有________.(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，f(-1)=10，f(0)=-10，f(1)=-10，f(2)=70，则f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确. 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
2021年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点同步练习题 新人教A版必修1
实用文档2021年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点同步练习题 新人教A 版必修1一、选择题1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( )x －1 0 1 2 3e x0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋212345A.(－1,0)C ．(1,2)D ．(2,3)3．(xx 年高考福建卷)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，－12C ．0，12D ．2，125．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1D ．a ≥16．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)7．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎨⎧x ＋1x ≤0x －1x ＞0D ．y ＝⎩⎨⎧x ＋1x ≥0x －1x ＜08．函数y＝log a(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定9．设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)10、函数f(x)的零点与g(x)=的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A．f(x)=4x-1 B．f(x)=(x-1)2C．f(x)=e x-1 D．f(x)=ln(x-)二、填空题：11．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．12．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．13．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．14．下列说法正确的有________：①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．三、解答题：15．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．16．判断方程log2x＋x2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？17．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，实用文档(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.24413 5F5D 彝FQMcQ}37362 91F2 釲28516 6F64 潤l $33343 823F 舿KU实用文档。
课时作业(二十) 方程的根与函数的零点(经典例题及答案详解)
课时作业(二十)方程的根与函数的零点[学业水平层次]一、选择题1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是()A．0B．1C．2D．3【解析】令log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2，故选C.【答案】 C2．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】注意到f(－1)×f(0)＝12×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3，故选D.【答案】 D3．函数f(x)＝ln x＋2x－8的零点所在区间为()A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)【解析】∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.又f(x)在(3，4)上连续，∴f(x)在区间(3，4)内有零点．【答案】 C4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上的零点()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx ＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故选C.【答案】 C二、填空题5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．【解析】由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.【答案】(－∞，1)6．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．【解析】由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1 2.【答案】0或－1 27．(2014·温州高一检测)根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.【解析】f(1)＝ln1－1＋2＝1f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0，f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0，f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0，f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，所以f(3)·f(4)＜0.所以函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(3，4)内有一个零点，所以k＝3.【答案】 3三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x.(2)f(x)＝x2＋2x＋4.(3)f(x)＝2x－3.(4)f(x)＝1－log3x.【解】(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 9．(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点．(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2.即函数f(x)的零点为－1与2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－1 8.所以a的取值范围是a≥－1 8.[能力提升层次]1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是() A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0【解析】根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．【答案】 C2．(2013·重庆高考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【解析】∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．【答案】 A3．(2014·杭州高一检测)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.【答案】a＜b＜c4．(2014·渭南高一检测)方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求实数k的取值范围．【解】因为方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，所以设f(x)＝x2－(k＋2)x ＋1－3k，画出函数的大致图象如图．据图象有f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15.所以实数k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪0<k <15.。
方程的根与函数的零点高一数学总结练习含答案解析D
2.4.1 方程的根与函数的零点一、实系数一元二次方程的根给定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c∈R),它的根的判别式是Δ=b2-4ac.(1)当①时,方程无实数根;(2)当②时,方程有两个相等实根;(3)当③时,方程有两个不等实根.二、函数的零点对于函数y=f(x),我们把④又叫作函数y=f(x)的零点.一、判断零点所在区间的方法1.(2013重庆,6,5分,★★★)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内2.(2011课标全国,10,★★☆)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( )A.(-14,0) B.(0,14) C.(14,12) D.(12,34)3.(2010上海文,17,5分,★★☆)若x0是方程lg x+x=2的解,则x属于区间( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)4.(2014江西万年期末,★★☆)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a2.(1)求证:函数f(x)有两个不同的零点;(2)设x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,求|x1-x2|的取值范围;(3)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.二、函数零点个数的判断方法5.(2013天津,7,5分,★★☆)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4思路点拨函数f(x)的零点个数等价于方程f(x)=0的实根的个数,也等价于函数图象与x轴的交点个数,解题时要注意三者之间的相互转化.6.(2012北京,5,5分★☆☆)函数f(x)=x 12-(12)x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3思路点拨结合函数的单调性,利用f(a)·f(b)<0可判断零点的个数.7.(2012天津,4,5分★☆☆)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3思路点拨作出函数y=2x-2与y=-x3的图象,根据图象交点的个数判断.8.(2010福建,7,5分,★★☆)函数f(x)={x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3思路点拨求分段函数的零点应分区间讨论.三、数形结合在函数的零点问题中的应用9.(2014重庆,10,5分,★★★)已知函数f(x)={1x+1-3,x∈(-1,0],x,x∈(0,1],且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A.(-94,-2]∪(0,12] B.(-114,-2]∪(0,12]C.(-94,-2]∪(0,23] D.(-114,-2]∪(0,23]10.(2014重庆名校联盟三诊,★★☆)已知函数f(x)={-x2+2x+1,x≥0,-x+1,x<0,则函数g(x)=f(x)-e-x的零点的个数为( )A.4B.3C.2D.1思路点拨在同一坐标系中,作出分段函数与指数函数的图象,利用图象的交点个数求解. 11.(2014辽宁沈阳月考,★★☆)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知,则函数h(x)=f(x)-g(x)在x∈(0,4)时的零点个数是( )f(x)=x-[x],g(x)=1xA.1B.2C.3D.4一、选择题(x-1)的零点是( )1.函数f(x)=log5A.0B.1C.2D.32.函数f(x)=x2-2x在R上的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3x-8+2x的零点一定位于区间( )3.函数f(x)=log3A.(5,6)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)4.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0, f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有5.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=06.函数f(x)=-|x-5|+2x-1的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)二、填空题7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 .8.已知方程mx 2-x-1=0在(0,1)上恰有一解,则实数m 的取值范围是 . 9.对于方程x 3+x 2-2x-1=0,有下列判断:(1)在(-2,-1)内有实数根;(2)在(-1,0)内有实数根;(3)在(1,2)内没有实数根;(4)在(-∞,+∞)内没有实数根.其中正确的序号是 .三、解答题10.关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围.11.已知函数f(x)=-x 2+2ex+m-1,g(x)=x+e 2x (x>0). (1)若g(x)=m 有零点,求m 的取值范围;(2)试确定m 的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.一、选择题1.(2015浙江平阳二中期末,★☆☆)函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(18,14)B.(12,1)C.(14,12)D.(1,2)2.(2015四川遂宁安居育才中学期末,★☆☆)已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:x123456f(x) 12.04 13.89 -7.67 10.89 -34.76 -44.67则一定存在f(x)的零点的区间有( ) A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]3.(2015安徽涡阳第四中学期末,★★★)定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1,已知函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],记区间[a,b]的最大长度为m,最小长度为n.则函数g(x)=m x -(x+2n)的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.34.(2014云南玉溪一中期末,★☆☆)方程log 4x-3x =0的根所在区间为( ) A.(2,52)B.(52,3)C.(3,4)D.(4,5)5.(2014山东日照期末,★☆☆)函数f(x)=x 13-12x 的零点所在区间是( ) A.(0,14) B.(14,13) C.(13,12)D.(12,1)6.(2014重庆西南大学附中月考,★★☆)函数f(x)=2x+1-x 2的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.47.(2014重庆八中期末,★★☆)已知y=f(x)是定义域为R 的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x +x 3-4,若存在x 0∈I,使得f(x 0)=0,则区间I 不可能是( ) A.(-2,-1) B.(-1,1) C.(1,2)D.(-1,0)8.(2013广东珠海期末,★☆☆)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x, f(x)的对应值表:x 1 2 3 4 5 6f(x) 15 10 -7 6 -4 -5则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.(2013山东济南期中,★☆☆)函数f(x)=x3-3x+2的零点为( )A.1,2B.±1,-2C.1,-2D.±1,210.(2013山东临沂期中,★★☆)函数f(x)=x-2-x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),且k∈Z,则11.(2013江苏江浦中学期末,★★☆)若方程log3k= .12.(2013江苏连云港期末,★★☆)若函数f(x)=m·3x-x+3(m<0)在区间(1,2)上有零点,则m的取值范围为.三、解答题13.(2015安徽合肥一六八中学期末,★★☆)已知函数f(x)=-x2+2ax-2a+b,且f(1)=0.(1)若f(x)在区间(2,3)上有零点,求实数a的取值范围;(2)若f(x)在[0,3]上的最大值是2,求实数a的值.14.(2014重庆西南大学附中期末,★★☆)已知关于x的方程x2+(1-2m)x+m2-1=0(m是与x无关的实数)2的两个实根在区间[0,2]内,求m的取值范围.知识清单①Δ<0 ②Δ=0 ③Δ>0 ④方程f(x)=0的实数根链接高考1.A 易知f(a)=(a-b)(a-c), f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0, f(c)>0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,选A.2.C 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f (14)=e 14-2<0, f (12)=e 12-1>0,所以f (14)·f (12)<0, 故函数f(x)在区间(14,12)上存在零点, 又f(x)是单调增函数,故函数f(x)=e x +4x-3的零点所在的区间为(14,12). 3.D 令f(x)=lg x+x-2,则f(2)=lg 2>0, ∵(74)4=49×49256<50×50256=2 500256<10,∴lg (74)4<lg 10,即4lg 74<1,lg 74<14=0.25.∴f(1.75)=lg 74-14<0,∴f(x)在(1.75,2)上有零点,∴方程lg x+x=2的解x 0∈(1.75,2),故选D. 4.解析 (1)证明:∵f(1)=a+b+c=-a2, ∴c=-32a-b,∴f(x)=ax 2+bx-32a-b. 对于方程f(x)=0,判别式Δ=b 2-4a (-32a -b)=b 2+6a 2+4ab=(2a+b)2+2a 2, 又∵a>0,∴Δ>0恒成立. 故函数f(x)有两个不同的零点.(2)由x 1,x 2是函数f(x)的两个不同的零点, 得x 1,x 2是方程f(x)=0的两个根. ∴x 1+x 2=-ba ,x 1x 2=-b a -32. ∴|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a )2-4(-b a -32) =√(ba +2)2+2≥√2.故|x 1-x 2|的取值范围是[√2,+∞). (3)证明:由题意得f(0)=c,f(2)=4a+2b+c, 由(1)知:3a+2b+2c=0,∴f(2)=a -c. (i)当c>0时,有f(0)>0, 又∵a>0,∴f(1)=-a2<0,∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. (ii)当c≤0时,f(2)=a-c>0,f(1)<0, ∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综上所述,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.5.B 易知函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数⇔方程|log 0.5x|=12x =(12)x的根的个数⇔函数y 1=|log 0.5x|与y 2=(12)x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.6.B 因为y=x 12在[0,+∞)上单调递增,y=(12)x在R 上单调递减,所以f(x)=x 12-(12)x在[0,+∞)上单调递增,又f(0)=-1<0, f(1)=12>0,所以f(x)=x 12-(12)x在定义域内有唯一零点,选B.7.B 令f(x)=0,即2x +x 3-2=0,则2x -2=-x 3.在同一坐标系中分别画出y=2x -2和y=-x 3的图象,由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点,∴函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,1)内有一个零点,故选B.8.C 当x≤0时,令x 2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e 2.所以函数f(x)={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0有2个零点.9.A 等价于方程f(x)=mx+m 有四个根,即y=f(x)和y=mx+m 的图象有四个交点,分别画出函数y=f(x)和y=mx+m 的图象分析可知选择A.10.C 先作出分段函数f(x)的图象,容易发现f(x)过(0,1)点,且当x≥1时,f(x)的值由2递减到-∞,再在同一坐标系下,作出y=e -x 的图象,由于y=e -x 的图象也过(0,1)点,且当x∈(0,+∞)时,e -x >0,则g(x)的零点个数为2个.11.C ∵f(x)={x , x ∈(0,1),x -1,x ∈[1,2),x -2,x ∈[2,3),x -3,x ∈[3,4),∴f(x)的图象大致如图.结合图象知,f(x)与g(x)的图象有三个交点,令h(x)=0得f(x)-g(x)=0,∴f(x)=g(x),∴h(x)的零点个数为f(x)与g(x)图象交点的个数,故选C.基础过关一、选择题1.C 令log 5(x-1)=0,解得x=2,∴函数f(x)=log 5(x-1)的零点是2,故选C.2.D 注意到f(-1)×f(0)=12×(-1)<0,因此函数f(x)在(-1,0)上必有零点,又f(2)=f(4)=0,因此函数f(x)的零点个数是3,故选D.3.B f(3)=log 33-8+2×3=-1<0, f(4)=log 34-8+2×4=log 34>0.又f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其零点一定位于区间(3,4).4.C 若a=0,则f(x)=bx+c 是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax 2+bx+c 为二次函数,若f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故选C.5.C 若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使f(c)=0,但c 的个数不确定,故B 、D 错.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x 2-1, f(-2)·f(2)>0,但f(x)=x 2-1在(-2,2)内有两个零点,故A 错,C 正确.6.C 依题意得f(0)·f(1)>0, f(1)·f(2)>0, f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)>0,故f(x)的零点所在区间是(2,3),故选C.二、填空题 7.答案 2解析 设y 1=lnx,y 2=x-2,在同一坐标系下作出两函数图象(图略)可知,两函数图象有两个交点,∴函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为2. 8.答案 (2,+∞)解析 设f(x)=mx 2-x-1,∵方程mx 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,且当m=0时,方程-x-1=0在(0,1)内无解,∴m≠0,显然f(0)≠0,当f(1)=0时,f(x)在(0,1)内无零点.由f(0)f(1)<0,即-1×(m -1-1)<0,解得m>2.9.答案 (1)(2)解析 设f(x)=x 3+x 2-2x-1, 则f(-2)=-1<0, f(-1)=1>0, f(0)=-1<0, f(1)=-1<0, f(2)=7>0,则f(x)=0在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有实数根,即(1)(2)正确. 三、解答题10.解析 令f(x)=mx 2+2(m+3)x+2m+14. 依题意得{m >0,f (4)<0或{m <0,f (4)>0,即{m >0,26m +38<0或{m <0,26m +38>0, 解得-1913<m<0.11.解析 (1)作出g(x)=x+e 2x (x>0)的图象如下图:可知若使g(x)=m 有零点,则只需m≥2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,则g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.作出g(x)=x+e 2x (x>0)和f(x)的图象如下图.∵ f(x)=-x 2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e 2,其图象对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e 2,故当m-1+e 2>2e,即m>-e 2+2e+1时,g(x)与f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,∴m 的取值范围是m>-e 2+2e+1.三年模拟一、选择题1.B f (18)=-154,f (14)=-52,f (12)=-1,f(1)=1,f(2)=4,∵f(x)在定义域内单调递增,∴f(x)有唯一零点,∴零点必落在区间(12,1)内.2.C 由题表可知f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0且f(x)图象连续不间断,则一定存在f(x)的零点的区间有[2,3]、[3,4]和[4,5].3.C 由y=2|x|值域为[1,2]可知|x|∈[0,1],画出图象得m=2,n=1.则g(x)=2x -x-2,在同一坐标系中作出y=2x 与y=x+2的图象,观察可得有两个交点.则g(x)=m x -(x+2n)的零点个数为2.4.C 令f(x)=log 4x-3x ,则f(3)=log 43-1<0, f(4)=1-34>0,故选C.5.C 令f(x)=x 13-12x =0,则x 13=12x ,得x=(18)x ,令g(x)=x-(18)x ,可得g (13)=13-12<0,g (12)=12-√24>0,因此f(x)的零点所在区间是(13,12).6.A 此题转化为y=2x+1与y=x 2的图象交点个数,画出图象可知只有一个交点.7.D 当x>0时,f(x)=2x +x 3-4,函数单调递增.当x→0时,f(x)→-3,f(1)=2+1-4=-1<0,∴函数f(x)在区间(0,1)上不存在零点,又f(x)是R 上的奇函数,根据对称性可知在区间(-1,0)上无零点.即区间不可能为(-1,0).8.B 由表中数据可判断f(x)在[1,6]上至少有3个零点.9.C 由f(x)=x 3-3x+2=0得x 3-x-(2x-2)=0,即(x-1)2(x+2)=0,解得x=1或x=-2,选C.10.B 由f(x)=x-2-x =0得x=(12)x ,在同一坐标系中作出函数y=x,y=(12)x的图象,两函数图象有1个交点,即函数f(x)=x-2-x 的零点个数为1,选B.二、填空题11.答案 2解析 由log 3x+x=3,得log 3x=3-x.作出y=log 3x 与y=3-x 的图象,如下图,令f(x)=log 3x+x-3,则f(2)=log 32-1<0,f(3)=1>0,∴f(2)·f(3)<0,∴零点所在区间为(2,3),∴k=2.12.答案 (-23,-19)解析 ∵函数f(x)在(1,2)上有零点,且易知f(x)在(1,2)上为减函数,∴f(1)·f(2)<0,即(3m+2)(9m+1)<0,∴-23<m<-19.三、解答题13.解析 (1)由f(1)=0,得b=1.又f(x)在区间(2,3)上有零点,且f(x)的一个零点是1,所以{f (2)>0,f (3)<0⇒{2a -3>0,4a -8<0⇒32<a<2.(2)f(x)=-x 2+2ax-2a+1,对称轴为x=a.①当a≤0时,f(x)max =f(0)=-2a+1=2,则a=-12;②当0<a<3时,f(x)max =f(a)=a 2-2a+1=2,则a=1+√2,或a=1-√2(舍去);③当a≥3时,f(x)max =f(3)=4a-8=2,则a=52(舍去);综上,a=-12或a=1+√2.14.解析 设函数f(x)=x 2+(12-2m)x+m 2-1,由图知,方程的两根都在区间[0,2]内的充要条件为{(1-2m)2-4(m 2-1)≥0,0≤2m -12≤2,f (0)=m 2-1≥0,f (2)=4+2(1-2m)+m 2-1≥0,即{ m ≤178,14≤m ≤94,m ≤-1或m ≥1,(m -2)2≥0,所以1≤m≤178,故m 的取值范围是[1,178].。
高考高中数学A必修1同步训练：3.11方程的根与函数的零点附答案 试题
第三章函数的应用3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点1．某函数f(x)的图象如下图，那么函数f(x)有零点的区间大致是…()A．(0,0.5)B．(0.5,1)C．(1,1.5)D．(1.5,2)2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4]3．f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么以下命题错误的选项是( ) A．函数f(x)在(1,2)或者[2,3)内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4．y＝x2＋ax＋3有一个零点为2，那么a的值是__________．课堂稳固1．假设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，那么以下说法正确的选项是( )A ．假设f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B ．假设f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C ．假设f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D ．假设f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，ac<0，那么函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定3．假设函数f(x)＝ax ＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－124．方程(12)x ＝x 13有解x 0，那么x 0在以下哪个区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5．(2021毕业班质检，理11)函数f(x)＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( ) A ．(18，14) B ．(14，12) C ．(12，1) D ．(1,2)6．y ＝x(x －1)(x ＋1)的图象如下图．令f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＋0.01，那么对于f(x)＝0的解表达正确的序号为__________．①有三个实根 ②当x>1时恰有一实根 ③当0<x<1时恰有一实根 ④当－1<x<0时恰有一实根⑤当x<－1时恰有一实根7．观察下面的四个函数图象，指出在区间(－∞，0)内，方程f i (x)＝0(i ＝1,2,3,4)哪个有解？请说明理由．8．函数f(x)＝3x－x 2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？1．假设函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，那么增加以下哪个条件可确定f(x)有唯一零点．( )A ．f(3)<0B ．f(－1)>0C ．函数在定义域内为增函数D ．函数在定义域内为减函数2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x≤0，2， x>0，假设f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，那么方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log 2 006x ，那么在R 上方程f(x)＝0的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．2 0065．(2021高考，理12)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，那么满足f(x)＝f(x ＋3x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．86．函数f(x)＝lnx －x ＋2的零点个数为__________．7．(2021高考，理13)函数f(x)＝x 2＋2x ＋a ，f(bx)＝9x 2－6x ＋2，其中x∈R ，a ，b 为常数，那么方程f(ax ＋b)＝0的解集为__________．8．判断方程1x ＋1＝0在[－12，12]内是否有实数解，并说明理由．9．证明方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．10．断定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.11．函数y ＝2x 2＋bx ＋c 在(－∞，－32)上是减函数，在(－32，＋∞)上是增函数，且两个零点x 1、x 2满足|x 1－x 2|＝2，求这个二次函数的解析式．答案与解析第三章 函数的应用3．1 函数与方程3．1.1 方程的根与函数的零点课前预习1．B2．B 因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0， 所以存在一个零点x∈[1,2]． 3．C4．－72 由题意可知x ＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的一个根，代入可得a ＝－72.课堂稳固1．C 对于选项A ，可能存在偶数个根；对于选项B ，必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立．2．B ∵ac<0，∴a≠0，于是判别式Δ＝b 2－4ac>0，即二次函数图象与x 轴相交，有2个零点．3．A ∵a≠0,2a＋b ＝0， ∴b≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0，x ＝a b ＝－12.4．B 令f(x)＝(12)x －x 13.∵f(－1)＝2＋1>0，f(0)＝1－0>0，f(1)＝12－1<0，∴该函数在(0,1)内有解． 5．C 该函数是单调增函数，∵f(12)＝－1＋1－1＝－1<0，f(1)＝0＋2－1＝1>0，∴其零点必落在(12，1)内．6.①⑤ 将原函数图象向上平移0.01个单位就可得到f(x)的图象．由f(x)的图象知f(x)＝0的解有三个．一个小于－1，另外两个都在(0,1)内．所以正确序号为①⑤.7．解：方程f 1(x)＝0，f 2(x)＝0有解．理由是观察f i (x)的图象在(－∞，0)内只有f 1(x)、f 2(x)与x 轴有交点，所以f 1(x)＝0，f 2(x)＝0在(－∞，0)内有解．点评：对于任意函数y ＝f(x)，假如它的图象是连续不连续的，那么它通过零点(不是二重零点)时的函数值必然变号．函数的零点分为变号零点和不变号零点两类．函数图象在变号零点处与x 轴相交，在不变号零点处与x 轴相切．8．解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0，f(0)＝30－(0)2＝1>0，函数f(x)＝3x－x 2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．课后检测1．D 根据f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，可画出函数f(x)的图象草图，由图可知f(x)在区间(1,2)上必有一零点，而题中要求f(x)只有唯一零点，因此函数在定义域内可以单调递减．2．B 令g(x)＝x 3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，易知x 0∈(1,2)．3．C 由条件求出f(x)的解析式，再解方程确定根的情况．由⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x≤0，2， x>0.当x≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x＝－1或者x ＝－2； 当x>0时，方程为x ＝2， ∴方程f(x)＝x 有3个解．4．C ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.∵x>0时f(x)是增函数，且x 趋于0时f(x)<0， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．又∵其图象关于原点对称， ∴在(－∞，0)上也有1个零点．5．C 因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知假设f(x)＝f(x ＋3x ＋4)，只有两种情况：①x＝x ＋3x ＋4；②x＋x ＋3x ＋4＝0.由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3. 由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5. 因此满足条件的所有x 之和为－8.6．2 该函数零点的个数就是函数y ＝lnx 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝lnx 与y ＝x －2的图象如以下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx －x ＋2有2个零点． 7．∅ ∵f(x)＝x 2＋2x ＋a ，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2. 那么有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝2.∴f(2x－3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5＝0. ∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax ＋b)＝0无实根．8．解：设函数f(x)＝1x ＋1是定义在非零实数集上的函数，且在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内也是减函数．而f(－12)＝－1<0，所以方程1x ＋1＝0在区间(－12，0)内没有实数解；又f(12)＝3>0，所以方程1x ＋1＝0在区间(0，12)内也没有实数解．9．证明：设f(x)＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0，f(0)＝－2<0， 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 10．解：设函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1， 有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 点评：对于一元二次方程根的判断，通常借助于判别式、对称轴和区间端点值的符号来判断．11．解：由题意x ＝－b 2×2＝－32，∴b＝6.故y ＝2x 21＋x 2＝－3，x 1x 2＝c 2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9－2c ＝2. ∴c＝52.经检验Δ＝62－4×2×52>0，符合题意．∴所求二次函数为y ＝2x 2＋6x ＋52.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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方程的根与函数的零点
1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）
A 、12-+
B 、12--
C 、12
-± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2)
B. (2 , 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5)
4. 求证方程231
x x x -=
+在(0,1)内必有一个实数根.
5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .
6. 已知关于x 的方程x 2
＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．
7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.
(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.
8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，
求证:b <0.
1.C
2.D
3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.
∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，
(3)ln366ln30f =+-=>.
∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.
4. 证明：设函数2()31
x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数.
而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022
f =-
=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x x
x -=+的实根个数.
5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点.
∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<， 解得12
a >
. （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，
∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23
m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式
6. 解：令
2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是
解得3514m -
<<-。
7. 因为函数f (x )=|x 2
-2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题.
解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它
们交点的个数，即函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数.
(1)若函数有两个零点，则a =0或a >4.
(2)若函数有三个零点，则a
=4.
(3)函数有四个零点,则0<a <4.
8.证：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以d =0,a +b +c =0,4a +2b +c =0. 所以a =3b -,c =32-b .所以f (x )=3b -x (x 2-3x +2)=3
b -x (x -1)(x -2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.
证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以f (x )=ax (x -1)(x -2).
当x >2时,f (x )>0,所以a >0.比较同次项系数，得b =-3a .所以b <0.。