方程的根与函数的零点课后习题高中数学高考

方程的根与函数的零点

1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）

A 、12-+

B 、12--

C 、12

-± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.

A. (1, 2)

B. (2 , 3)

C. (3, 4)

D. (4, 5)

4. 求证方程231

x x x -=

+在(0,1)内必有一个实数根.

5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .

（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .

6. 已知关于x 的方程x 2

＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．

7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.

(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.

8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，

求证:b <0.

1.C

2.D

3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.

∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，

(3)ln366ln30f =+-=>.

∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.

4. 证明：设函数2()31

x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数.

而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022

f =-

=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x x

x -=+的实根个数.

5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点.

∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<， 解得12

a >

. （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，

∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23

m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式

6. 解：令

2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是

解得3514m -

<<-。 7. 因为函数f (x )=|x 2

-2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题.

解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它

们交点的个数，即函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数.

(1)若函数有两个零点，则a =0或a >4.

(2)若函数有三个零点，则a

=4.

(3)函数有四个零点,则0

8.证：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以d =0,a +b +c =0,4a +2b +c =0. 所以a =3b -,c =32-b .所以f (x )=3b -x (x 2-3x +2)=3

b -x (x -1)(x -2). 当x <0时，f (x )<0，所以b <0.

证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以f (x )=ax (x -1)(x -2).

当x >2时,f (x )>0,所以a >0.比较同次项系数，得b =-3a .所以b <0.