第七讲 矩形波导

2
五、TE10波的参数
(3)相速υp
p
C 1 2a
2
＞C
(12-25)
(4)群速υg
g c 1 ＜C 2a p c
2 2
g p C 2
五、TE10波 的参数
(5)波型阻抗
Ey g Et 0 Ht Hx
注意到Ez和Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
二、矩形波导的横向解
在矩形波导中存在 TE 和 TM 两类波，请注意矩形波 导中不可能存在 TEM 波 ( 推而广之，任何空心管中都不 可能存在TEM波)。 这里以 TE 波为例作出讨论，即 Ez=0，对于纵向分
2 2 2 2 x y
a m cos l x x dx 0 m l 0 sin a sin a b sin n y cos p y dy 0 m p 0 b sin b
二、矩形波导的横向解
根据横向分量可以用纵向分量表示，有
Ex j H z j z H k cos( k x )sin( k y ) e 0 y x x y y 2 2 y kc kc
j H z j Ey 2 H 0 2 k x sin( k x x x )cos( k y y y )e z k c x kc
六、矩形波导中的简正波
简正模(或简正波)理论包含三个方面： 1. 完备性 矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它 们里边存在的是 TEmn和 TMmn模式，而且，它们也只 能存在 TEmn和 TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是 各种模式的比例与组合。
六、矩形波导中Байду номын сангаас简正波
2. 正交性
简正模中各个模式是相互正交的，也就是说， 它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立， 在Fourier分析中表明
(14-1)
这就保证了每一模的独立性。
六、矩形波导中的简正波
3. 传输模和雕落模
由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模 或雕落模。
2 m n 截止波数 kc k k a b
2 x 2 y 2 2
截止波长
c
2 m n a b
三、矩形波导的解
这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量 方向与大小均 z 不相同，但是 (x,y,z) 建立x，y，z r 坐标系之后， 任一(三维)矢 0 y 量即归结为三 个系数 x
yj zk r xi
图 12-3 Vector Analysis
四、TE10波
其它分量用 E z , H , 表示 Ex Ey Hx H y f1 E z , H
f 2 Ez , H
f 4 Ez , H
f 3 Ez , H
图 7-1
波导一般解流图
一、矩形波导的求解思路
1. 纵向分量方程
2 2 E k Ez 0 z 2 2 H k Hz 0 z

四、TE10波
场结构的画法上要注意： • 场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以 力线密度表示的 • 同一点不能有两根以上力线 • 磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直 • 电力线和磁力线相互正交
四、TE10波
y b a
x
y
x
x
0 Ey
0
z
0
z
Hx
x
a
0
0
z H
0
z
图 12-4 TE10波场结构

1 1 2a
2
(12-29)
注记：在TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。
六、矩形波导中的简正波
Maxwell 方程通解
矩形波导 TE mn 波 TM mn 波
传输波 雕落波
六、矩形波导中的简正波
矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明： 在 z 方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波 的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的 TEmn波(Ez=0)和 TMmn波( Hz=0)。在物理上称之为离 散谱。有限边界构成离散谱。 m—x方向变化的半周期数； n—y方向变化的半周期数。 矩形波导中 TE 波和 TM 波的全部集体构成简正波 。
七、TE10波单模存在条件
可得 y 0 可得k y a n
n整数
三、矩形波导的解
最后得到TE波的解
m n z H H cos cos e 0 z a b n m n z H 0 cos x sin y e E x j 2 a b kc b m m n z H 0 sin x cos y e E y j 2 a b kc a E 0 z m m n z H H sin x cos y e 0 x k2 a a b c n m n z H H cos x sin y e y 0 2 a b kc b
图 12-2
矩形波导坐标系
二、矩形波导的横向解
再令H(x，y)可分离变量，即H(x，y)=X(x)Y(y)
1 2 X 1 2Y 2 k c X x 2 Y y 2
还令每项都是常数(Constant)，可得
1 X 1 Y
2X 2 k x x 2 2Y 2 k y y 2
一、矩形波导的求解思路
并有
Ex E 0 1 y H x kc2 0 H j y 0 j 0 0 j 0 Ex x j Ex y 0 0 H x x H x y
三、矩形波导的解
关于简正波的讨论： 以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入 射波加反射波 ( 即还是广义传输线 ) ，但是由于横向 边界条件它们由 TEmn 和 TMmn 波组成并且它们只能由 TEmn 和 TMmn 波组成 ( 后者，我们称之为完备性 ) ，矩形 波导中这些波的完备集合——即简正波。 任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具 体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上， 这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的 系数。
2 2
六、矩形波导中的简正波
传输模
e jz 2 1 c
2
E z 0
＜cmn
雕落模
e z
＞cmn

2
c
1 c
2
六、矩形波导中的简正波
注意到雕落模 ( 也称截止模 ) ，它是一种快速衰 减的振荡模式。也就是说，在不同的z处，有同一相 位。 当然，雕落模式没有功率和能量传播。 当模式不同，但却有相同的kc，我们称为简并模 式。最后显示的是TEmn和TMmn是简并(Degeneration) 的。
0
Hz
五、TE10波的参数
(1) TE10波的截止特性 截止波数
2 2 2
m n k k k a b a
2 c 2 x 2 y
截止波长
2 c 2a kc
fc kc 2

截止频率
2
第七讲
矩形波导
波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示， 上式也称Helmholtz方程
出发点 无源区中 Maxwell 方程
支配方程 2 2 Ek E 0 2 2 Hk H 0
纵向分量方程 2 Ez k 2 Ez 0 2 H z k 2 H z 0
二、矩形波导的横向解
边界条件
x=0， x=a， Ey=0 y=0， y=b， Ex=0
x 0, x a, E y 0, E y 0, 可得 x 0 可得k x a m
m kx , a
n ky , a
m整数
y 0, y a,
E x 0, E x 0,
(12-18)
2 2 2 kx ky kc
二、矩形波导的横向解
一般可写出：
X A cos(k x x x )
Y B cos( k y y y )
总的可写出
H z H0 cos(k x x x )cos(k y y y )ez
(12-19)
下面的主要任务是利用边界条件确定kx，ky，和kc。 请注意：H0与激励强度有关。
(12-3)
假定Ez(或Hz)可分离变量，也即
E z E ( x , y )Z ( z ) H z H ( x, y )W ( z )
(12-4)
(12-5)
且
2 2 t2 2 Z
一、矩形波导的求解思路
代入可知
t2 E ( x, y) 1 2 Z ( z) 2 k 0 2 E ( x, y ) Z (z) z
矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输 主模式即TE10波，m=1，n=0，若传播常数无耗γ=jβ。
H z H 0 cos x e jz a E y j 2 H 0 sin x e jz a kc a j H x 2 H 0 sin a kc a x e jz
(12-20)
通过对偶可得到 TM 波的解：
三、矩形波导的解
其中，
m n k k k a b
2 c 2 x 2 y 2 2
(12-21)
上面称为TEmn波 m——表示x方向变化的半周期数 (即小→大→小) n——表示y方向变化的半周期数。
H z H 0 cos x cos(t z ) a Ey


H sin x sin(t z ) 0 2 a a k
H x 2 H 0 sin x sin(t z ) a kc a
由于其独立性，上式各项均为常数
2
(12-6)
2 2 2 1 Z ( z) 2 k k c Z ( z) z 2 (12-7) z 2 E E ( x , y ) e z E ( x , y ) 2 t z kc 0 H H ( x , y ) e z E ( x , y )
2 t
量只须讨论Hz，计及
t2 H ( x, y ) k c2 0 H ( x, y )
二、矩形波导的横向解
则矩形波导的横向解是
2 H ( x, y ) 2 H ( x, y ) 2 k c H ( x, y ) 2 2 x y
y
(12-17)
z b x em a 0
a

1 2a

c c 2a
五、TE10波的参数
(2)波导波长λ
g
g

1 c

2
2
=

1 2a
2
＞
(12-24)
设传播常数
g
2 2
2 2 2 c g