2018高考跳出题海我有36计之高中数学破题之道(word版含答案) (2)

跳出题海，我有36计

第11计 耗子开门

【计名释义】

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

【典例示范】

【例1】如图，在直四棱柱1111A B C D A B C D -中，底面A B C D 为菱形， A C = 12A A B D ==, E 为1B D 中点.

（Ⅰ）证明： 1//B B 面A E C ； （Ⅱ）求二面角E D C A --的余弦值.

【答案】 (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)7

.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设AC BD O ⋂=，连E O ，由中位线的性质可得11////O E D D B B ，结合线面平行的判断定理可得

1//B B 面A E C .

（Ⅱ）过O 作O F C D ⊥，垂足为F ，连O F ，则E F O ∠是二面角E O C A --的平面角.

由题意可得2

O F =

， 2

E F =

， 7

c o s E F O ∠=

.即二面角E D C A --的余弦值为

7

.

【例2】已知，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

，当且仅当时取等号

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

【强化训练】

1．如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足若

,

，

则

的值为（ ）

A . 2

B .

C . ﹣2

D .

【答案】B 【解析】由题意

，

，故选B ．

2．已知

141(,0)x y x

y

+

=>，则4x y x y ++的最小值为（ ）

A . 24

B . 28

C . 32

D . 36

【答案】C

【解析】由题意可知： 401,4y y

<

∴，

由

141x

y

+

=可得： 4

y x y =

-，则：

()

2

444

4

16

24842832.y

y x y x y y

y y y y ++=

+

+--⎡⎤=-++⎢⎥

-⎣⎦⎡

⎤

≥⨯=⎢⎥⎣

⎦

当且仅当8y =时等号成立，

综上可得： 4x y x y ++的最小值为32. 本题选择C 选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

3．当 2a ≥ 时，求证：<

【答案】见解析

【解析】试题分析：利用分析法证明，移项、平方；再移项、再平方，从而化简可得20-<，而 20-< 显

然成立，所以<

成立

试题解析： 要证<

只需证<

只需证 2

2

<

，

只需证 121a a a a ++-+<+-+，

只需证<

只需证 ()()()121a a a a +-<-， 即证 20-<，而 20-< 显然成立，

所以<

成立．

4．a 、b 、c 、d ∈R +

,求证: ≥

【答案】见解析

【解析】试题分析：运用分析法证明，要证原不等式成立，可考虑两边平方，化简整理，再由柯西不等式（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2

，即可得证． 解析：

≥

,

只需证2

≥(a +c )2

+(b +d )2

成立.

即a 2+b 2+c 2+d 2a 2+b 2+c 2+d 2

+2ac +2bd .

ac+bd成立.

∵a、b、c、d∈R+,只需证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

即a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2.即证a2d2+b2c2≥2abcd成立.

∵a、b、c、d∈R+,∴a2d2+b2c2≥2abcd成立.

≥

点睛：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，以及不等式的性质的运用，考查推理能力，属于中档题．对于不等式的证明，常用方法有分析法，从结果入手，反证法用于不太好证的题或者显而易见的证明题。

5．选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为．

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若，求证：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明

点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.