发现用户需求服从正态分布
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报童问题（Newsboy problems）
一名报童以每份0.20元的价格从发行人 那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价 格出售。但是，他在订购第二天的报纸时 不能确定实际的需求量，而只是根据以前 的经验，知道需求量具有均值为50份、标 准偏差为12份的正态分布。那么他应当订 购多少份报纸呢？
14
8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
这一需求
量的概率
0.10 0.15 0.25 0.2后一件销
售出的概率
1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10
0
其中，最后一件销售出的概率 =1-（需求<n）的概率
=1- 需求n1量为i的概率
i 1
最优订货量应按下列不等式确定：
ri1
P(r)
v
ri
P(r)
r0
v u r0
需求≤ri的概率
6
例1：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利60
元。如果当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价
处理后全部售完，此时每一筐损失40元。根据历史销售
经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题(Date Problem)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他 家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘 车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期 会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所 用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化 您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚 到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您 应当什么时候从办公室出发呢
12
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力 (Production Capacity),资金(Capital)等方 面。
13
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈利 (Expected Profit)≥第n件的期望损失(Expected Lost)。且第n+1件的期望盈利<第n+1件的期望损失。
这个点称为边际平衡点(Point of Marginal Equivalent)，平衡点所对应的量则为总利润最高时的 订货量。
针对上表数据，解题过程如下：
解：每销售出一件，可得利润=100-70=30元 每销售不出一件，受到的亏损=70-30=40元
10
从上表可以看出，当订货37时，P刚大于0.57。
P≥MPMLML
40 30 40
0.57
也可以从下表作出决策：
11
期望盈利亏损表
需求
需求概 第n件销 率 售出的概率
假设：MP——若第n件被卖掉，此件所得利润Marginal
Profit
ML——若第n件卖不掉，此件所得损失Marginal Lost
4
在平衡点时，期望利润≥期望亏损 即 当需求是随机的时候，要用概率表示平衡点的条
件：
其中：P:第n件被卖掉的概率(意味着需求≥n) 1-P:第n件卖不掉的概率
解上式，可得 P MP (1 P)ML
量。
需求量 （筐）
≤5
6
7
8
9
≥10
概率
P(r)
0.05 0.15 0.25 0.35 0.15 0.05
累积概率 F(r)
0.05 0.2 0.45 0.8 0.95
1
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 u 60 0.6
u v 40 60
一般需比较进7筐和8筐的利润，或计算第8筐的边际利润 第8筐卖掉的概率为0.55，卖不掉的概率为0.45，则第8筐的期望收
35 0.10
1.0
36 0.15
0.9
37 0.25
0.75
38 0.25
0.5
39 0.15
0.25
40 0.10
0.10
41
0
0
期望 MP 期望 ML
(P MP) (ML (1 P))
30
0
27
4
22.5
10
15
20
7.5
30
3
36
纯盈利
30 23 12.5 -5.0 -22.5 -33.0 -40.0
而导致少销售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
Cv (Q) v (r Q) P(r)
总损失的期望值为 rQ
C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r) P(r) v (r Q) P(r)
r Q
r Q
3
边际分析法
报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损。 但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的 利润。
第五章 随机性需求
• 一次性订货(单周期） • 定量订货 • 定期订货
1
第一节 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需要 只发生一次订货的情况。用于短时期有需求而 在此后就失去价值或过时变质的物品。
这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy” problems）。
益为 E8 0.5560 0，.4所5以4，0最优5进货量为8筐。
7
例2：A产品每件销售价为100元/件，每 件成本70元。如不卖掉还剩残值30元。 在这一时期需求量在35—40件之间，即 35件以下可以全部卖掉，超过40件以上 部分则卖不掉。需求概率以及与此关联的 可销售出的概率见下表：
2
损失最小/利润最大
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销
损失和机会损失之和为最小。根据供求关系，存在 如下两种情况：
当供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因报纸 积压而导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
Cu (Q) u (Q r) P(r) r Q
当供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货
根据上式，来求订货量n。
P(需求≥n） ≥
ML MP ML
或
P(需求<n）≤
MP MP ML
5
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需 求量，每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每 件亏损u元。产品销售需求量的概率P(r) 可以根据历 史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因 过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少 而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会 损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？
一名报童以每份0.20元的价格从发行人 那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价 格出售。但是，他在订购第二天的报纸时 不能确定实际的需求量，而只是根据以前 的经验，知道需求量具有均值为50份、标 准偏差为12份的正态分布。那么他应当订 购多少份报纸呢？
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8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
这一需求
量的概率
0.10 0.15 0.25 0.2后一件销
售出的概率
1.0 0.9 0.75 0.5 0.25 0.10
0
其中，最后一件销售出的概率 =1-（需求<n）的概率
=1- 需求n1量为i的概率
i 1
最优订货量应按下列不等式确定：
ri1
P(r)
v
ri
P(r)
r0
v u r0
需求≤ri的概率
6
例1：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利60
元。如果当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价
处理后全部售完，此时每一筐损失40元。根据历史销售
经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
约会问题(Date Problem)
您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他 家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘 车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期 会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所 用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化 您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚 到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您 应当什么时候从办公室出发呢
12
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力 (Production Capacity),资金(Capital)等方 面。
13
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈利 (Expected Profit)≥第n件的期望损失(Expected Lost)。且第n+1件的期望盈利<第n+1件的期望损失。
这个点称为边际平衡点(Point of Marginal Equivalent)，平衡点所对应的量则为总利润最高时的 订货量。
针对上表数据，解题过程如下：
解：每销售出一件，可得利润=100-70=30元 每销售不出一件，受到的亏损=70-30=40元
10
从上表可以看出，当订货37时，P刚大于0.57。
P≥MPMLML
40 30 40
0.57
也可以从下表作出决策：
11
期望盈利亏损表
需求
需求概 第n件销 率 售出的概率
假设：MP——若第n件被卖掉，此件所得利润Marginal
Profit
ML——若第n件卖不掉，此件所得损失Marginal Lost
4
在平衡点时，期望利润≥期望亏损 即 当需求是随机的时候，要用概率表示平衡点的条
件：
其中：P:第n件被卖掉的概率(意味着需求≥n) 1-P:第n件卖不掉的概率
解上式，可得 P MP (1 P)ML
量。
需求量 （筐）
≤5
6
7
8
9
≥10
概率
P(r)
0.05 0.15 0.25 0.35 0.15 0.05
累积概率 F(r)
0.05 0.2 0.45 0.8 0.95
1
解：由已知条件可知u=60，v=40，临界值 u 60 0.6
u v 40 60
一般需比较进7筐和8筐的利润，或计算第8筐的边际利润 第8筐卖掉的概率为0.55，卖不掉的概率为0.45，则第8筐的期望收
35 0.10
1.0
36 0.15
0.9
37 0.25
0.75
38 0.25
0.5
39 0.15
0.25
40 0.10
0.10
41
0
0
期望 MP 期望 ML
(P MP) (ML (1 P))
30
0
27
4
22.5
10
15
20
7.5
30
3
36
纯盈利
30 23 12.5 -5.0 -22.5 -33.0 -40.0
而导致少销售机会失去量为r-Q，机会损失期望值为：
Cv (Q) v (r Q) P(r)
总损失的期望值为 rQ
C(Q) Cu (Q) Cv (Q) u (Q r) P(r) v (r Q) P(r)
r Q
r Q
3
边际分析法
报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损。 但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的 利润。
第五章 随机性需求
• 一次性订货(单周期） • 定量订货 • 定期订货
1
第一节 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需要 只发生一次订货的情况。用于短时期有需求而 在此后就失去价值或过时变质的物品。
这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy” problems）。
益为 E8 0.5560 0，.4所5以4，0最优5进货量为8筐。
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例2：A产品每件销售价为100元/件，每 件成本70元。如不卖掉还剩残值30元。 在这一时期需求量在35—40件之间，即 35件以下可以全部卖掉，超过40件以上 部分则卖不掉。需求概率以及与此关联的 可销售出的概率见下表：
2
损失最小/利润最大
理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销
损失和机会损失之和为最小。根据供求关系，存在 如下两种情况：
当供过于求时，即订货量Q大于需求量r，此时因报纸 积压而导致滞销的数量为Q-r，滞销损失期望值为：
Cu (Q) u (Q r) P(r) r Q
当供不应求时，即订货量Q小于需求量r，此时因缺货
根据上式，来求订货量n。
P(需求≥n） ≥
ML MP ML
或
P(需求<n）≤
MP MP ML
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假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需 求量，每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每 件亏损u元。产品销售需求量的概率P(r) 可以根据历 史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因 过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少 而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会 损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？