高中数学：多项式理论资料
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第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
初等代数研究
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
4、多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
2、指数式与对数式的关系
注明： 1、理解指数式与对数式相互转化的过程； 2、明确各字母的含义。
问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）
1、对数的起源和发展； 2、指数式与对数式的相互关系； 3、指数式与对数式的恒等变形。
历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
分解因式中的两个有用的结论：
对称、轮换多项式
主要内容： 1、对称多项式的定义； 2、对称多项式的形式； 3、基本对称函数与根与系数的关系； 4、轮换多项式的定义与因式分解； 5、用基本对称函数表示对称多项式。
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论 三、三角式理论
一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
一、有理分式的恒等
二、根式的定义和意义
三、复合根式的计算
四、根式的恒等变形的化简
类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
类型4 方程型无理根式
基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解
5、代数代换法
6、函数型根式——构造几何模型法
7、三角形代换法
（三）三角方法的应用
指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
——拉普拉斯
主要内容
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理
用基本对称函数表示对称多项式
题记： 赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。
（5）用基本对称函数表示对称多项式
多元多项式的因式分解
分式与根式
分式与根式研究的主要内容： 1、分式的恒等 2、根式的定义与意义 3、复合根式的计算 4、根式的恒等变形和化简
1、制造各种表格
2、对数研究的起源和发展：
1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通 算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质” 写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做 原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代 表人物）
17世纪最重要的数学方法
恩格斯在《自然辨证法》中高度评价 了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解 析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为 “17世纪最重要的数学方法”。
（一）解析式的定义和恒等
1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。
说明： 1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他
们在什么范围内讨论。（公共定义域） 2、解析式的恒等变形，可能引起定义域
的变化。
（二）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。
性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、 幂仍是轮换多项式。
（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）
轮换多项式因式分解的一般步骤：
1）确定要分解的多项式是轮换多项式； 2）利用因式定理确定出部分因式； 3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法） 4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。
定义分析： 1、一个置换实际上是指一个排列； 2、置换的总数共有n!种。
判断下列多项式是否是对称多项式
（2）基本对称函数（基本对称多项式）
广义韦达定理：
结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。
定义分析： 1、轮换：轮流替换； 2、轮换的总数共有 种。
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
初等代数研究
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
4、多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
2、指数式与对数式的关系
注明： 1、理解指数式与对数式相互转化的过程； 2、明确各字母的含义。
问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）
1、对数的起源和发展； 2、指数式与对数式的相互关系； 3、指数式与对数式的恒等变形。
历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
分解因式中的两个有用的结论：
对称、轮换多项式
主要内容： 1、对称多项式的定义； 2、对称多项式的形式； 3、基本对称函数与根与系数的关系； 4、轮换多项式的定义与因式分解； 5、用基本对称函数表示对称多项式。
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论 三、三角式理论
一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
一、有理分式的恒等
二、根式的定义和意义
三、复合根式的计算
四、根式的恒等变形的化简
类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
类型4 方程型无理根式
基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解
5、代数代换法
6、函数型根式——构造几何模型法
7、三角形代换法
（三）三角方法的应用
指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
——拉普拉斯
主要内容
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理
用基本对称函数表示对称多项式
题记： 赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。
（5）用基本对称函数表示对称多项式
多元多项式的因式分解
分式与根式
分式与根式研究的主要内容： 1、分式的恒等 2、根式的定义与意义 3、复合根式的计算 4、根式的恒等变形和化简
1、制造各种表格
2、对数研究的起源和发展：
1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通 算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质” 写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做 原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代 表人物）
17世纪最重要的数学方法
恩格斯在《自然辨证法》中高度评价 了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解 析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为 “17世纪最重要的数学方法”。
（一）解析式的定义和恒等
1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。
说明： 1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他
们在什么范围内讨论。（公共定义域） 2、解析式的恒等变形，可能引起定义域
的变化。
（二）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。
性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、 幂仍是轮换多项式。
（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）
轮换多项式因式分解的一般步骤：
1）确定要分解的多项式是轮换多项式； 2）利用因式定理确定出部分因式； 3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法） 4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。
定义分析： 1、一个置换实际上是指一个排列； 2、置换的总数共有n!种。
判断下列多项式是否是对称多项式
（2）基本对称函数（基本对称多项式）
广义韦达定理：
结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。
定义分析： 1、轮换：轮流替换； 2、轮换的总数共有 种。