高中数学：多项式理论资料
多项式的知识点
多项式的知识点多项式是数学中重要的概念之一，广泛应用于代数学、数值计算和工程学等领域。
了解多项式的基本概念和性质，可以帮助我们更好地理解和应用代数学中的各种问题。
本文将从多项式的定义开始，逐步介绍多项式的重要知识点。
1.多项式的定义多项式是由若干项相加（或相减）而成的代数表达式。
每一项由系数和次数的乘积构成，系数可以是实数或复数，次数为非负整数。
例如，下面是一个多项式的例子： P(x) = 2x^2 - 3x + 52.多项式的次数和系数多项式的次数指的是其中次数最高的项的次数。
例如上面的多项式的次数为2。
多项式的系数是每一项中的常数因子。
例如上面的多项式中，2、-3和5分别是各项的系数。
3.多项式的加法和减法多项式的加法和减法是通过对应项的系数相加（或相减）得到的。
例如，给定两个多项式： P(x) = 2x^2 - 3x + 5 Q(x) = x^2 + 2x - 1 它们的和为： P(x) + Q(x) = 3x^2 - x + 4 它们的差为： P(x) - Q(x) = x^2 - 5x + 64.多项式的乘法多项式的乘法是将每一项与另一个多项式的每一项相乘，并将同次数的项合并。
例如，给定两个多项式： P(x) = 2x - 3 Q(x) = x + 1 它们的乘积为： P(x) * Q(x) = 2x^2 - x - 35.多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表示为多个因子的乘积的过程。
例如，对于多项式： P(x) = x^2 - 4 它可以因式分解为： P(x) = (x - 2)(x + 2)6.多项式的根多项式的根是使得多项式等于零的变量值。
例如，对于多项式： P(x) = x^2 - 4 它的根为x = 2和x = -2。
7.多项式的图像多项式的图像是将多项式中的变量值代入后得到的点的集合。
通过绘制这些点，可以得到多项式的图像。
例如，对于多项式：P(x) = x^2 - 4 它的图像是一条开口向上的抛物线。
多项式相关的知识点总结
多项式相关的知识点总结一、多项式的基本概念1.1 多项式的定义在代数学中，多项式是由变量和常数以加法和乘法运算构成的表达式。
一般地，多项式可以写成如下形式：\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \]其中，\( x \)称为变量，\( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \)为常数系数，\( n \)为多项式的次数，\( a_n \)的系数称为首项系数，\( a_0 \)为常数项。
1.2 多项式的次数多项式中的次数是指各项中变量的指数的最高次数，常数项的次数为0。
例如，\( 3x^2 +5x - 2 \)的次数为2。
1.3 多项式的系数多项式中各项的常数因子称为系数。
在多项式\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots +a_1x + a_0 \)中，\( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \)即为多项式的系数。
1.4 多项式的系数与根的关系多项式的系数与多项式的根存在着密切的关系。
如果\( x = c \)是多项式\( P(x) \)的一个根，则多项式可以被\( (x-c) \)整除。
反之，如果多项式可以被\( (x-c) \)整除，则\( x=c \)是多项式的一个根。
1.5 多项式的常见类型在代数学中，有一些特殊的多项式类型，如一次多项式、二次多项式、三次多项式、齐次多项式、非齐次多项式等等。
这些多项式在数学中都有着重要的应用和研究价值。
二、多项式的运算2.1 多项式的加法和减法多项式的加法和减法即是将同类项相加或相减，它们的运算规则与实数的加法和减法非常类似。
例如，\( (3x^2 + 5x - 2) + (2x^2 - 3x + 4) = 5x^2 + 2x + 2 \)。
2.2 多项式的乘法多项式的乘法是通过分配律和乘法结合律进行计算的。
多项式函数与多项式方程详细解析与总结
多项式函数与多项式方程详细解析与总结多项式函数与多项式方程是高中数学中的重要内容，也是数学模型中常见的形式之一。
本文将详细解析多项式函数与多项式方程的概念、性质、求解方法等，并对其进行总结，以便读者能够全面了解和掌握这一知识点。
一、多项式函数的概念与性质多项式函数是指由常数项、各种系数和幂函数的乘积组成的函数。
其一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为变量。
多项式函数的性质包括：1. 定义域：多项式函数在实数范围内均有定义，其定义域为一切实数。
2. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由各项次数的奇偶性决定。
若所有项次数都为偶数，则函数为偶函数；若所有项次数都为奇数，则函数为奇函数。
3. 零点与因式分解：多项式函数的零点就是方程f(x) = 0的解。
根据因式定理，如果x-a是多项式函数的一个零点，那么(x-a)就是函数的一个因式。
二、多项式方程的概念与解法多项式方程是指将一个多项式函数与零相等的表达式。
其一般形式为：anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为未知数。
多项式方程的求解可以通过如下步骤进行：1. 化简与转化：将多项式方程进行化简、整理，使其成为标准形式，即将方程的各项按照幂次从高到低排列，并使最高次的系数为1。
2. 因式分解：尝试对多项式方程进行因式分解，找出其中的因式，从而得到方程的根。
根据因式定理和余式定理，可以简化求解过程。
3. 数值解法：对于无法通过因式分解得到解的多项式方程，可以利用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括二分法、牛顿法等。
三、多项式函数与多项式方程的应用多项式函数与多项式方程在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 数据拟合：多项式函数可以用来拟合实验数据或观测数据，通过确定合适的多项式函数来描述数据间的关系。
多项式理论及多项式除法
感谢您的观看
THANKS
切相关。
多项式方程
多项式插值是一种通过已知数据点构造多项 式函数的方法，使得该多项式函数能够精确 通过所有数据点。它在数值分析、计算机图 形学等领域有重要应用。
多项式拟合
多项式拟合是一种通过最小二乘法等优化方 法寻找最佳拟合多项式的过程。它在数据分 析、统计学等领域有广泛应用，如回归分析 中的多项式回归模型。
数值计算问题中应用举例
多项式求根
通过求解多项式方程找到其根，这在数学、物理和工程 等领域中是一个基本问题。例如，求解二次方程、三次 方程等。
多项式积分与微分
利用多项式的性质进行积分和微分运算，这在数学分析 、物理建模和工程计算等领域有广泛应用。
优化问题中应用举例
多项式优化
通过优化多项式函数的系数或结构， 实现对目标函数的优化。这种方法在 机器学习、模式识别和图像处理等领 域有广泛应用。
多项式函数
多项式函数是以多项式为解析式的函数，如 $f(x) = x^2 + 2x - 3$。多项式函数具有连 续、可导等良好性质，在数学分析等领域有
广泛应用。
多项式插值
多项式方程是形如 $f(x) = 0$ 的方程，其中 $f(x)$ 是多项式。求解多项式方程是数学研 究的重要课题之一，与代数、几何等领域密
一元多项式加减法
要点一
一元多项式加法
两个一元多项式相加，只需要将它们的对应项系数相加即 可。例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2+2x+3)=3x^2+5x+4$ 。
要点二
一元多项式减法
两个一元多项式相减，只需要将它们的对应项系数相减即 可。例如，$(2x^2+3x+1)-(x^2+2x+3)=x^2+x-2$。
高一数学必修一多项式函数的基本性质
高一数学必修一多项式函数的基本性质多项式函数是高中数学中的重要内容之一，掌握多项式函数的基本性质对于研究数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍多项式函数的一些基本性质。
一、多项式函数的定义多项式函数是指由常数和变量的乘积再进行有限次的加法运算所得到的函数。
它由若干项组成，每一项包含一个系数和变量的幂次。
多项式函数的一般形式可表示为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$$其中，$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ 是常数，$x$ 是变量，$n$ 是非负整数，称为多项式的次数。
二、多项式函数的性质1. 多项式函数的次数：多项式函数的次数等于其中最高次幂的指数，记作 $\deg f(x)$。
例如，$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ 的次数为 3。
2. 多项式函数的零次项和首项：多项式函数 $f(x)$ 中次数为$n$ 的项称为首项，系数为 $a_n$；次数为 0 的项称为常数项或零次项，系数为 $a_0$。
3. 多项式函数的导函数：多项式函数 $f(x)$ 的导函数是将每一项的幂次减 1，然后再乘以原来的系数。
例如，$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ 的导函数为 $f'(x) = 6x^2 + 10x - 3$。
4. 多项式函数的奇偶性：若多项式函数中的所有项都是偶次项或奇次项，则多项式函数为偶函数或奇函数。
若多项式函数中同时存在奇次项和偶次项，则多项式函数既不是偶函数也不是奇函数。
例如，$f(x) = x^4 - x^2$ 是偶函数，$g(x) = x^3 - x$ 是奇函数。
5. 多项式函数的图像特征：多项式函数的图像是连续的、光滑的曲线。
对于 $n$ 次多项式函数 $f(x)$，当 $n$ 是奇数时，图像的起始方向和终止方向相反；当 $n$ 是偶数时，图像的起始方向和终止方向相同。
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
多项式的知识点
多项式的知识点以下是 8 条关于多项式的知识点：1. 多项式就是由好几个单项式组合在一起的呀！就像搭积木一样，把不同的单项式堆在一起就成了多项式。
比如 3x^2 + 5x + 2 就是一个多项式呢！这就好像炒菜，各种食材组合在一起就成了一道美味的菜肴。
2. 多项式的项可重要啦！每一项都有它独特的作用。
比如说 4x^3 - 2x^2 + 7x 中的每一项都是不可或缺的呀，就像一个团队里的每个人，都为整体贡献着力量。
想想看，要是少了一项，那感觉是不是就不完整啦？3. 多项式的次数也很关键哦！它决定了这个多项式的复杂程度呢。
好比说一个游戏的难度级别，次数越高可就越有挑战性哟！比如 5x^4 + 3x 的次数就是 4，这就是它的一个重要特征呀。
4. 多项式也有加减法呢！不就是把同类项合并起来嘛。
就跟我们收拾东西一样，把相同种类的放一起。
像 2x^2 + 3x^2 不就变成 5x^2 了吗？这多有意思呀！5. 乘法对于多项式来说也是小意思啦！不就是一项一项乘起来嘛。
这就如同给每个单项式都穿上一件特别的衣服，让它们变得不一样呢。
哎呀，是不是很神奇？6. 多项式还能因式分解呢！就像是把一个大东西拆分成几个小部分。
比如 x^2 - 4 可以分解成 (x + 2)(x - 2)，哇，这就像拆礼物一样让人兴奋呢！7. 多项式在解决实际问题中也大有用处呀！假设有个长方形的长是 3x + 2，宽是 x - 1，那它的面积不就是用多项式来表示嘛。
是不是觉得多项式很厉害？8. 对于多项式，要认真去了解它的每一个方面哦，这样才能真正掌握它呢！就好像你去了解一个朋友，只有知道了他的各种特点，才能和他更好地相处呀！那我们可得好好对待多项式呀，说不定它会给我们带来很多惊喜呢！我的观点结论是：多项式虽然看起来有点复杂，但只要认真去学，就会发现它其实挺有趣也挺有用的呀！。
多项式函数理论及基本性质分析
多项式函数理论及基本性质分析多项式函数是数学中非常重要的一种函数形式，具有广泛的应用。
它是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
本文将分析多项式函数的理论基础及其基本性质，包括定义、一次多项式、二次多项式、多项式的运算法则、多项式函数图像的特点等方面。
1. 定义：多项式函数是由常数项、变量的幂次及其系数所组成的代数函数。
一般形式为P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0，其中an、an-1、...、a3、a2、a1、a0为实数或复数，n为非负整数，x为自变量。
2. 一次多项式：一次多项式是多项式函数中，最高次幂为1的情况。
一次多项式的一般形式为P(x) = ax + b，其中a和b为实数或复数，a不等于0。
一次多项式函数的图像为直线，具有常斜率。
3. 二次多项式：二次多项式是多项式函数中，最高次幂为2的情况。
二次多项式的一般形式为P(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数或复数，a不等于0。
二次多项式函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，顶点坐标为(-b/2a, P(-b/2a))。
4. 多项式的运算法则：多项式函数具有良好的运算性质，包括加法、减法、乘法和除法的法则：- 加法和减法法则：两个多项式函数相加或相减，只需对应幂次的系数相加或相减。
- 乘法法则：两个多项式函数相乘，应用分配律展开后，对应幂次的系数相乘并相加。
- 除法法则：多项式函数除以一次多项式，可应用带余除法进行求解。
5. 多项式函数图像的特点：多项式函数的图像可以通过分析函数的次数、系数和相关性质来确定：- 多项式函数的次数决定了图像的开口和拐点的数量。
- 主项系数决定了图像的斜率，即函数递增或递减的趋势。
- 常数项决定图像与y轴的截距。
6. 零点与因式分解：多项式函数的零点是使得函数值为零的自变量值。
通过多项式函数的零点，可以进行因式分解。
高代-多项式（PDF）
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
多项式理论与基本性质
多项式理论与基本性质多项式是数学中的重要概念之一，它在代数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的理论基础以及其基本性质。
一、多项式的定义和表示方法多项式由一系列有限项组成，每一项由系数和指数部分构成。
在最简单的情况下，一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0表示系数，x^n,x^{n-1}, ..., x^1, x^0表示指数，n表示多项式的次数。
二、多项式的运算法则1. 加法和减法：多项式的加法和减法运算都是对应项相加或相减。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的和为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)它们的差为：P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0)2. 乘法：多项式的乘法通过每一项相乘并按指数相加的方式进行。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_n * b_0)x^{n+m} + (a_n * b_1 + a_{n-1} *b_0)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_1)x^2 + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0其中，n和m分别为P(x)和Q(x)的次数。
3. 乘法的分配律：对于任意多项式P(x)、Q(x)和R(x)，满足以下分配律：P(x) * (Q(x) + R(x)) = P(x) * Q(x) + P(x) * R(x)三、多项式的因式分解和根的性质1. 因式分解：多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因子的乘积的过程。
多项式高考知识点
多项式高考知识点多项式是高中数学中一个重要的概念，也是高考中必考的内容之一。
它在代数学中具有重要的地位，不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
本文将从多项式的定义、运算、性质和应用等方面进行探讨，帮助高考考生全面理解和掌握多项式的知识。
一、多项式的定义与表示方式多项式是由一个或多个单项式相加（减）而得到的代数表达式，在高中数学中通常表示为P(x)。
一个多项式可以包含常数项、一次项、二次项、三次项，以及更高次的项。
例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 5就是一个三次多项式。
多项式的表示方式有两种：一种是标准形式，另一种是一般形式。
标准形式是指按照多项式的次数由高到低排列的形式，例如P(x) =3x^2 + 2x - 5就是标准形式。
一般形式则是指不按照次数由高到低排列的形式，例如P(x) = -5 + 2x + 3x^2就是一般形式。
二、多项式的运算多项式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 多项式的加法与减法：多项式的加法与减法是根据同类项相加（减）的原则进行的。
例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 5，Q(x) = x^2 + x + 1，那么P(x) + Q(x) = 4x^2 + 3x - 4，P(x) - Q(x) = 2x^2 + x - 6。
2. 多项式的乘法：多项式的乘法是根据分配律和乘法的结合律进行的。
例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 5，Q(x) = x + 1，那么P(x) × Q(x) = 3x^3+ 5x^2 - 3x - 5。
3. 多项式的除法：多项式的除法是根据长除法的步骤进行的。
例如，将多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1除以Q(x) = x + 1，可以得到商式和余式。
三、多项式的性质多项式具有以下重要的性质：1. 多项式的次数：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。
例如，P(x) = 3x^2 + 2x - 5的次数是2。
《高中数学必修二课件-多项式函数》
3. 多项式函数的特点
掌握多项式函数的性质，包括奇次多项式和偶次多项式的特点，以及零次多 项式的特殊性。
4. 多项式函数的图像与性质
通过绘制多项式函数的图像，了解它们的增减性、极大值和极小值，并学习如何用图像解决实际问题。
5. 一元n次多项式函数的表示
学习如何表示一元n次多项式函数，并掌握多项式函数的次数和系数之间的关 系。
研究多项式函数与初等函数（如指数函数、对数函数和三角函数）的关系，并应用它们解决实际问题。
13. 多项式函数在实际中的应用
探索多项式函数在科学、工程和社会等实际领域的应用，了解它们的重要性 和意义。
14. 多项式函数的题型分析与 解题技巧
分析多项式函数的常见题型，并提供解题技巧，让你能够灵活应用多项式函 数解决各种问题。
15. 模拟试题及练习
提供一些模拟试题和练习题，帮助你巩固对多项式函数的理解和应用。
16. 总结与复习建议
总结本课程的重点内容，并给出复习建议，帮助你更好地掌握多项式函数的知识。
6. 多项式函数的系数与根的关 系
研究多项式函数的系数和根之间的关系，并学习如何用根的性质解决问题。
7. 多项式函数的定理及其应用
掌握多项式函数的重要定理，如因式定理、根和系数的关系定理，并应用它们解决实际问题。
8. 多项式函数的求根公式
学习一元二次多项式函数的求根公式，并了解一点
复习一次和二次多项式函数的特点和性质，并掌握它们的图像和解题方法。
10. 一元多项式方程的解法
学习一元多项式方程的解法，包括配方法、综合除法和因式分解法。
11. 欧拉定理的应用及思考题
了解欧拉定理的定义和应用，以及一些相关的思考题。
12. 多项式函数与初等函数的关系
《高中数学必修一——多项式函数课件》
1
多项式函数相加
多项式函数相加是将相同的项合并求和，
多项式函数相减
2
保留不同的项。
多项式函数相减是将减数中的各项改变
符号，再与被减数相加。
3
多项式函数相乘
多项式函数相乘是根据乘法分配律，将 各项展开相乘，再将同类项合并。
一次函数、二次函数的特征及 图像
本节课件主要介绍一次函数、二次函数的特征和图像表示。包括基本概念、 特征、图像表示等相关内容。
应用实例
通过实际应用为多项式函数提供求解实例，并帮助 学生深入理解及应用多项式函数。
求解技巧
通过对某些特殊问题的求解，对学生学会和掌握多 项式函数的求解技巧具有良好的指导作用。
零点定理
一个 n 次多项式的零点个数不超过 n；一个 n 次非 零多项式至少有一个复数零点。
复数解
当我们无法通过有理数和整数的四则运算来求一个 代数式的零点时，我们希望能够引入一个新的“数”， 称为“虚数”或“复数”，使得每一个多项式都有根。
虚数
多项式函数的值域和单调性
本节课件主要介绍多项式函数的值域和单调性等相关内容。让学生了解函数并掌握如何分析函数的性质。
提公因子法
将待分解多项式中可提出的公因式提取出来。
配方法
多项式函数的乘式分配。
加减法
按照要求拆开因式，再根据公因式或公式进行加 减。
因式定理
将含有整系数和整数根的整式，向系数所组成的 区间进行分解的定理。
多项式函数的零点定理和复数解
本节课件主要介绍多项式函数的零点定理和复数解。以及如何使用虚数解求解多项式函数的零点的方法。
1
零点
零点即函数值为零的点，也就是函数与 x 轴的交点。
多项式课件
高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
多项式的性质与运算知识点总结
多项式的性质与运算知识点总结多项式是代数学中的重要概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
下面我们就来详细总结一下多项式的性质与运算相关的知识点。
一、多项式的定义多项式是由有限个单项式的代数和组成的代数式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如，多项式\（3x^2 2x ＋ 5\）中，有三项，分别是\（3x^2\）、＼（－2x\）、＼（5\），其中\（5\）是常数项，次数最高的项是\（3x^2\），次数为\（2\），所以这个多项式的次数是\（2\）。
二、多项式的项与系数多项式中的每一个单项式都有其系数。
系数是指单项式中的数字因数。
例如，在多项式\（4x^3 3x^2 ＋ 2x 1\）中，＼（4x^3\）的系数是\（4\），＼（－3x^2\）的系数是\（－3\），＼（2x\）的系数是\（2\），＼（－1\）是常数项。
三、多项式的次数多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数。
需要注意的是，单独一个非零数的次数是\（0\）。
例如，多项式\（x^5 ＋ 2x^3 3x^2 ＋ 1\）的次数是\（5\）。
四、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
例如，＼（5x^2y\）和\（3x^2y\）是同类项，＼（7\）和\（－3\）是同类项。
同类项可以合并，合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例如，＼（3x ＋ 2x ＝ 5x\），＼（4x^2 x^2 ＝ 3x^2\）。
五、多项式的加法与减法多项式的加减法，就是合并同类项的过程。
例如，计算\（（3x^2 ＋ 2x 1) ＋（2x^2 3x ＋ 5)＼），先去括号得到\（3x^2 ＋ 2x 1 ＋ 2x^2 3x ＋ 5\），然后合并同类项：＼＼begin{align}＆（3x^2 ＋ 2x^2) ＋（2x 3x) ＋（－1 ＋ 5)＼＼＝＆5x^2 x ＋ 4＼end{align}＼减法同理，先将减号后面的多项式变号，然后再合并同类项。
高一数学多项式知识点总结
高一数学多项式知识点总结多项式是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高一数学学习中，多项式是一个重点知识点。
本文将对高一数学中的多项式知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握。
一、多项式的定义与基本术语多项式是由有限个项按照特定方式相加减得到的代数表达式。
每一项由一个系数与一个幂指数的项式组成。
例如：3x^2 + 2x + 1就是一个多项式，其中3、2和1是系数，x^2、x和1是幂指数。
在多项式中，系数可以是实数或复数，幂指数可以是非负整数。
二、多项式的运算1.加法与减法多项式的加法与减法运算是按照相同幂指数把对应项的系数相加或相减。
例如：(3x^2 + 2x + 1) + (5x^2 - 3x + 2) = 8x^2 - x + 32.乘法多项式的乘法运算是将每一项的系数相乘，并将幂指数相加得到新的项。
例如：(3x^2 + 2x + 1) * (4x - 1) = 12x^3 + 5x^2 + 2x - 13.幂的运算多项式的幂指数可为非负整数，幂的运算即是将多项式连乘自身多次。
例如：(2x + 1)^2 = (2x + 1) * (2x + 1) = 4x^2 + 4x + 1三、多项式的因式分解与根的求解1.因式分解将多项式表示为不可再分解的乘积形式，即进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)2.根的求解多项式中的根是使多项式等于零的值。
可以使用因式分解、配方法、二次公式等方法求解。
例如：x^2 + 3x + 2 = 0，可因式分解为(x + 1)(x + 2) = 0，解得x = -1或x = -2。
四、多项式函数的性质1.奇偶性若多项式中所有项的幂指数都是偶数，则称该多项式为偶函数；若所有项的幂指数都是奇数，则称为奇函数。
例如：f(x) = x^2 + 2x + 1是一个偶函数，g(x) = x^3 + 2x是一个奇函数。
2.最值与曲线走势多项式函数的最值与曲线的走势与最高次项的系数有关。
第62讲__多项式
第2讲 多项式理论多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响，与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是数学竞赛中的热点问题．多项式的基本理论主要包括：余数定理与因式定理；多项式恒等条件；韦达定理；插值公式等．具体如下： 1．多项式恒等：(1) 多项式恒等条件：两个多项式相等当且仅当它们同次幂的系数相等．(2)带余除恒等式：多项式f (x )除以多项式g (x )，商式为q (x )，余式为r (x )，(则r (x )的次数小于g (x )的次数），则()()()()f x q x g x r x =+．特别是多项式f (x )除以x -a ，商式为g (x )，余数为r ，则f (x )=(x -a )g (x )+r ．(3)多项式恒等定理：若有n +1个不同的x 值使n 次多项式f (x )与g (x )的值相同，则()()f x g x ≡．在数学竞赛中，经常用到先猜想后证明的思想：比如先找出一个n 次多项式f (x )符合题意，再验证f (x )与g (x )在n +1个不同的x 值处，均有f (x )=g (x )，则()()f x g x ≡． 2．余数定理与因式定理：(1)余数定理：多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于f (a )． (2)因式定理：多项式f (x )有一个因式x -a 的充要条件是f (a )=0． (3)几个推论：①若f (x )为整系数多项式，则f (x )除以(x -a )所得的商也为整系数多项式，余数为整数．②若f (x )为整系数多项式，a 、b 为不同整数，则|()().a b f a f b -- ③f (x )除以(0)px q p -≠所的的余数为()q f p． 3．代数基本定理(1)代数基本定理：一个n 次多项式在复数范围内至少有一个根． (2)根的个数定理：一个n 次多项式在复数范围内有且仅有n 个根． 4．韦达定理与虚根成对定理(1)韦达定理：如果一元n 次多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++的根是12,,,n x x x ，那么有112,n n n a x x x a --+++=212131,n n n na x x x x x x a --+++=131231242,n n n x n na x x x x x x x x a ----+++= 012(1).nn n a x x x a =-简写成12121(1)r r rn rj j j j j j nna x x x a -≤≤≤≤=-∑． (2)复根成对定理：若实系数多项式f (x )有一个虚根(,,0),a bi a b R b α=+∈≠那么它的共轭复数a biα=-也是f (x )的根，并且a 和α有相同重数．运用时要注意必须是实系数方程．5．拉格朗日（L agrange ）插值公式设f (x )是一个次数不超过n 的多项式，数a 1，a 2，…，a n +1两两不等，则 2311121311()()()()()()()()n n x a x a x a f x f a a a a a a a ++---=+---1312212321()()()()()()()n n x a x a x a f a a a a a a a ++------12111121()()()()()()()n n n n n n x a x a x a f a a a a a a a ++++---+---．简写成f (x )=1111111111()()()()()()()()()n i i i n i i i i i i i n f a x a x a x a x a a a a a a a a a +-++=-++--------∑．A 类例题例1 将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a ．（2005年全国联赛一试）分析 先利用等比数列的求和公式求出f (x )的表达式，然后用变量代换转化为关于y 的多项式，最后对它赋值即可．解 由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取,1=y 有.615)1(2120210+==++++g a a a a说明 赋值法在解决多项式系数之和问题中经常被使用． 例2 在一次数学课上，老师让同学们解一个五次方程，明明因为上课睡觉，没有将方程抄下，到下课时，由于黑板被擦去了大半，明明仅抄到如下残缺的方程54151200x x--=，若该方程的五个根恰构成等差数列，且公差||1d ≤，试帮明明解出该方程．分析 题目已知一个五次方程的五次项系数、四次项系数和常数项，可由韦达定理确定出方程5个根的和与积，再利用其为等差数列的特点，解方程．解 设该方程的5个根为2,,,,2a d a d a a d a d --++，则由韦达定理可得2215,{(2)()()(2)120.a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=--++=由此得3,a =及22(94)(9)40.d d --= 令2d t =，得241445410,4t t t -+==或1．于是d =或1d =±．由条件||1d ≤，可知1d =±． 因此这5个根为1，2，3，4，5．说明 韦达定理给出了如果一元n 次多项式方程的n 个根与方程的系数的之间关系，在解决方程问题时，有着极其广泛的应用．运用韦达定理时，特别要注意符号不能搞反．例3 若422()f x x px qx a=+++可被21x -整除，求f (a )．分析 由于422()f x x px qx a =+++可被21x -整除，故可以用待定系数法设出f (x )因式分解后的形式，利用多项式恒等条件确定p ,q ,a 的关系，最后求出f (a )．解 设42222()(1)().f x x px qx a x x mx n =+++=-++ 展开得422432(1).x px qx a x mx n x mx n +++=++---比较两边系数得22011,q m p n p a n a =-=⎧⎪=-∴=--⎨⎪=-⎩故4224222()(1)0f a a pa qa a a a a a =+++=-++=． 说明 多项式恒等条件即两个多项式相等当且仅当它们同幂次得系数相等，往往是解决多项式分解及恒等问题的重要依据，常通过待定系数法实现转化．()f x x =(-1)=f (1)=0．因此得由①－4)a a pa =+情景再现1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求na a a 242+++ 的值为 （ ）(2005年浙江省数学竞赛) A ．n3B ．23-nC ．213-nD ．213+n2．设235293212x a bx x x x -=+-+--是关于变量x 的一个恒等式，则ab 的值为 ( )A ． -246B ． -210C ． 29D ． 210 3．四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，求实数k ．B 类例题例4 已知123,,x x x 是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个零点，试求一个以222123,,x x x 为零点的三次多项式g (x )．分析 由于原多项式和所求多项式的零点之间存在着平方关系，利用韦达定理就能构造出满足题意的多项式g (x )．解 设32()g x x mx nx p=+++，则由韦达定理知222123222222122323222123(), ,.m x x x n x x x x x x p x x x ⎧=-++⎪=++⎨⎪=-⎩故22123122323()2()2,m x x x x x x x x x b a =-+++++=-222222122323n x x x x x x =++22122323123123 ()2() 2,x x x x x x x x x x x x b ac =++-++=-22222123123()p x x x x x x c =-=--=-．因此32222()(2)(2)g x x b a x b ac x c=+-+--．说明利用韦达定理构造出满足题意的多项式g(x)是本题的关键．例5 设a，b，c，d是4个不同实数，p(x)是实系数多项式，已知①p(x)除以(x-a)的余数为a；②p(x)除以(x-b)的余数为b；③p(x)除以(x-c)的余数为c；④p(x)除以(x-d)的余数为d．求多项式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余数．（1990年意大利数学奥赛题)分析首先利用余数定理将条件转化，再通过构造一个新函数F(x)，使得它能被(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)整除，再确定出F(x)与p(x)的关系．解法一根据余数定理，p(x)除以(x-a)的余数为p(a)，故p(a)=a．同理，p(b)=b，p(c)=c，p(d)=d．考察多项式F(x)= p(x)-x，则有F(a )=0，F(b )=0，F(c )=0，F(d )=0．由因式定理可知，F(x )含有因式(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )，而p (x ) = F(x )＋x ，故多项式p (x ) 除以(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )的余数为x ．解法二 利用待定系数法 设p (x )= (x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )q (x )+r (x )，其中32().r x mx nx lx t =+++由题设得p (a )=a ，p (b )=b ，p (c )=c ，p (d )=d 知a ，b ，c ，d 是320mx nx lx t +++=的4个互不相同的根，但该方程是个三次方程，故m =n =l -1=t =0，即m =n =t =0，l =1．故所求余式为x ．说明 灵活运用因式定理和余数定理，并巧妙构造多项式函数是解决本题的关键，而这些都可以通过仔细观察题目条件的特点后能自然得出．本题还可以用待定系数法解决，一题多解，有利于拓宽视野，把问题看的更加透彻．()n x a -例6 设1210012100,,,;,,,a a a b b b 为互不相同的两组实数，将它们按如下法则填入100×100的方格表内，即在位于第i 行第j 列处的方格处填入.i j a b +现知任何一列数的乘积为1，求证：任一行数的积为-1．分析 注意到100×100的方格表内，位于第i 行第j 列处的方格处填入的数为(,1,2,,100)i j a b i j +=，且任何一列的乘积为1，故可以构造两个恒等的多项式解之．解 考察多项式12100()()()() 1.p x x a x a x a =+++-由于任何一列的乘积为1，故知12100,,,b b b 是p (x )的根， 故有12100()()()().p x x b x b x b =---由多项式恒等可知1210012100()()()1()()().x a x a x a x b x b x b +++-=---取i x a =-，代入上式可得：100121001(1)()()()(1,2,100).i i i a b a b a b i -=-+++=即12100()()() 1.i i i a b a b a b +++=-故知任何一行数的乘积为-1．说明 本题的关键是巧妙地构造两个恒等的多项式，是一利用多项式恒等定理解决问题的精妙之作．11)())(n n x a a a ++--12)())(n n x a a a ++--21)())(n n x a a a a +--11111111)()()()())()()()i i n i i i i i n x a x a x a x a a a a a a a a -++-++--------．存在性：令11111111()()()()().()()()()i i n i i i i i i i n x a x a x a x a l x a a a a a a a a -++-++----=----的特点，可知()1,()0().i i i j l a l a j i ==≠故()()().i i i i f a l a f a = 故该多项式满足题目条件．是一个满足题意的n 次多项式，则,1).n +故惟一性得证．拉格朗日插值公式在数学的许多领域都有着广泛的应用，拉格朗日插值多项式的构造是十分巧妙，值得好好领会和应用，以下一例就是拉格朗日插值公式的简单应用．例7 已知函数2()f x ax c =-满足4(1)1,1(2)5,f f -≤≤--≤≤则f (3)的取值范围是 ( ) A ．7(3)26f ≤≤ B ．4(3)15f -≤≤ C ．1(3)20f -≤≤D ．2825(3)33f -≤≤分析 由于所给函数为偶函数，故有(1)(1)f f -=，再运用拉格朗日插值公式将f (3)表示为关于f (-1)、f (1)和f (2)的关系式即可．解 选C ．由拉格朗日插值公式，得(1)(2)(1)(2)(1)(1)()(1)(1)(2).(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x f f f --+-+-=-++----+-+-2241(1)(1),()(1)(2).33x x f f f x f f ---=∴=+从而58(3)(1)(2).f f f =-+故1(3)20f -≤≤．例8 是否存在二元多项式(,)p x y ，满足条件 (1)对任意的,,(,)0;x y p x y >(2)对于任意的c >0，存在x ，y ，使得(,).p x y c =分析 本题是关于二元多项式问题，关键是消去一元转化成一元多项式问题．解 存在．取22(,)(1)21,p x y y x xy =+++将y 看成常数，则关于x 的二次三项式的判别式40,∆=-<∴对所有的x ，y 均有(,)0.p x y >又将p (x ，y )看成x 的函数(y 固定)，则p (x ，y )的值域为21[,).1y +∞+ 因为当21,01y y →∞→+时． 所以对于任意的c >0，存在0201,.1y c y >+使得 从而存在000,(,).x p x y c =使得情景再现4．若3x px q ++可被21x mx +-整除，则m ，p ，q 应符合的条件是( )A ．0,1q m p ===-B ．1,0m p q +=-=C ．2,1q m m p =+=-D ．,|m q p m =±5．求次数小于3的多项式f (x )，使f (1)=1，f (-1)=3，f (2)=3． 6．求所有的值a ，使多项式326x x ax a -++的根123,,x x x 满足333123(3)(3)(3)0.x x x -+-+-=（奥地利数学竞赛题）C 类例题例9 已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，01101()(1)(1)n n n n p x a C x a C x x -=-+-+2222(1)n n a C x x --+111(1)n n n n n n n a C x x a C x ---+-+是x 的一次多项式或零次多项式．（1986年全国联赛一试题）分析 由112i i i a a a -++=知{}n a 是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成da 和0的表达式，再化简即可．解 因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i ，所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i ，从而011222000()(1)()(1)(2)(1)n n n n n n P x a C x a d C x x a d C x x --=-++-++-0()n nn a nd C x+++011112220[(1)(1)][1(1)2(1)n n n n n n n n n n n a C x C x x C x d C x x C x x ---=-+-+++⋅-+-],n nn nC x ++由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n n n n n n n n n n x x x C x x C x x C x C 又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当0d ≠式，P (x )为x 的一次多项式，当d =0时，P (x )为零次多项式．例10 求一切实数p ，使得三次方程55171116632x p x p x p -++-+=()()的三个根均为自然数．(1995年全国联赛二试题)分析 容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，原方程可用综合除法降次为2556610.x px p -+-=① 当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为u ，v ，则由韦达定理得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩从而p 为正整数．因此本题相当于解不定方程,5661,u v p uv p +=⎧⎨=-⎩消去p 得66(u +v )=5uv +1，由该不定方程解出u ，v ，再求出p =u +v 即可．解 容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，由综合除法，原三次方程可降次为二次方程2556610.x px p -+-=①当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为,(0),u v u v <≤由韦达定理则得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩故p 为正整数．消去p 得66(u +v )=5uv +1②， 由②得v (5u -66)=66u -1>0，从而5v -66>0．对方程②两边乘5后，移项、分解得(5u -66)(5v -66)=19×229，其中19，229均为素数，于是56619,566229;u v -=⎧⎨-=⎩或5661,5664351;u v -=⎧⎨-=⎩（无解） 从而得到不定方程②的唯一自然数解，u =17，v =59，这样p =u +v =17+59=76．所以当且仅当p =76时方程①有三个自然数根1，17，59． 说明 由于我们对三次方程的求根公式（卡当公式）不很熟悉，因此在遇到此类问题时，我们一般先用观察法找到它的一个根，通常是整数根，再将原三次方程降次为二次方程，降次的一般用综合除法．然后再设法处理我们熟悉的二次函数问题．情景再现7．求证：2004log x 不能表示成()()f xg x 的形式，其中(),()f x g x 为实系数多项式，且(),()f x g x 互质．习题1．已知多项式2012n n a a x a x a x ++++是195819571959(2)x x ++的展开式，则5124032222a a a a a a --+--+等于( )A ．1B ．-1C ．0D ． 22．满足条件22()()(())f x f x f f x ==的二次函数f (x )有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无穷多个3．设一个二次三项式的完全平方展开式是43267,x x x ax b -+++那么这个二次三项式是________________________．4．已知实数,αβ均不为0，多项式32()f x x x x ααββ=-++的三个根为123,,x x x ，则123123111()()x x x x x x ++++= ． （德国高中数学竞赛题）5．若f (x )、g (x )为两个实系数多项式，并且33()()f x xg x +可被21x x ++整除，则(1)f =，(1)g =．6．当310a a --=时,2a 是某个整系数多项式的根，求满足上述条件的次数最低的首项系数为1的多项式．（1997年日本数学竞赛题）7．设432(),f x x ax bx cx d =++++若(1)10,(2)20,(3)30,f f f ===则(10)f +(6)f -的值为 ( ) A ．8014 B ．40 C ．160 D ．82708．以有理数a ，b ，c 为根的三次多项式32()f x x ax bx c =+++有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个9．多项式742()1f x x x x =+++在实数范围内有多少个零点?10．设(),(),()()p x q x r x s x 及都是多项式，且5525432()()()(1)(),p x xq x x r x x x x x s x ++=++++求证：x -1是(),(),(),()p x q x r x s x 的公因式．11．设p (x )是2n 次多项式,满足(0)(2)(2)0,p p p n ====(1)(3)(21)2,p p p n ===-=(21)30,().p n n p x +=-及求及12．任给实多项式：()2212111nn n f x x a x a x --=++++．其中n为正整数，系数1221,,,n a a a -用下面方法来确定：甲，乙两人，从甲开始，依次轮流给出一个系数的值，最后一个系数由甲给出后，如果所得的多项式()f x 没有实根，则甲胜；若所得的多项式()f x 有实根，则乙胜．试问不管甲如何选取系数，乙必胜吗？(2004年江苏省数学夏令营一级教练员测试题十)本节“情景再现”解答：1．C2．A 解 将该恒等式变形成多项式恒等，则有3529()(2),x a b x a b -=+-+比较两边系数得35,229a b a b +=+=． 解得6,41a b =-=．因此246ab =-．3．86 解 设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234,,,.x x x x 则由韦达定理，得 1234121314232434123124134234123418, ,200, 1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩ 设123432,62,x x x x =-=则故123462()32()200.x x x x +-+=-又121234344,18,14.x x x x x x x x +=⎧+++=∴⎨+=⎩ 故12341234()()86.k x x x x x x x x =++++=4．C 解3232(1)()()(1),x px q x mx x q x m q x qm x q ++=+--=+--++20,(1),, 1.m q p qm m q p m ∴-==-+=+=-即5．21x x -+ 解 由拉格朗日插值公式得2(1)(2)3(1)(2)3(1)(1)()1(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x x x +----+=++=-++------+． 6．－97．解 (反证法)假设有2004()log ,()f x xg x =且(),()f x g x 互质． 22200420042()2log log ()f x x x g x ==，又20042()2log ()f x x g x =， 22()()2()().f x g x f x g x ∴=又222((),())1,()|2().f x g x f x f x =∴但当f (x )的次数1≥时，恒有2()f x 的次数大于2()f x 的次数， ()f x ∴为常数．同理g (x )也为常数，故2004log x 为常数，矛盾．故原命题得证．本节“习题”解答：1．A 2．B 3．23 1.x x -- 4．－1 5．0， 0 6．6432()821310 1.f x x x x x x =--+--解 记x a =则a x =代入方程,得3((10,x x --=即3251)0.x x -+-=32511).x x x ∴+-=+两边平方，得624342*********(961).x x x x x x x +++--=++故所求的多项式为6432()821310 1.f x x x x x x =--+--7． A 解 设()()10g x f x x =-，则(1)0,(2)0,(3)0g g g ===，故()(1)(2)(3)(),g x x x x x r =----于是(10)(6)(10)(6)40987(10)789(6)40f f g g r r +-=+-+=⨯⨯⨯-+⨯⨯++78916408014.=⨯⨯⨯+=8． C 解 由韦达定理知,,a b c a ab bc ca b abc c ++=-++==-．如果a =0(或b =0)得c =0，b =0．如果0,0,0,1, 2.a b c a b ≠≠===-但得如果a ，b ，c 均不为零，得1,1a b c ===-．故满足题设的多项式为332,2,x x x x +-321x x x +--．9．1 解 显然，x =0不是f (x )=0的根．令1y x=，则 74277531()1()(1)0,f x x x x y y y y=+++=+++= 75310.y y y ∴+++=又753()1f y y y y =+++单调递增，且当y →-∞时，();,()f y y f y →-∞→+∞→+∞，因此，恰有一个根．10．解 设432() 1.f x x x x x =++++取1的5次虚单位根234,,,,()0(1,2,3,4).k f k εεεεε==则所以2()(1)(1)(1)0(1,2,3,4).k k r q p k εε++==即方程2(1)(1)(1)04(1,2,3,4).k x r xq p k ε++==有个不同根故(1)(1)(1)0.r q p ===再把x =1代入所设等式，得s (1)=0．命题得证．11．解 令1()()1,()(1),0,1,2,,2.k f x p x f k k n +=-=-=则又 201112001112()()()()()()(),()()()()()n k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x f x f k x x x x x x x x x x -+=-+-----=-----∑ 其中(0,1,2,,2).k x k k n == 将x =2n +1代入上式,得21221221210(21)(2)(22)(2)21(21)(1)(1)1(1)(2)[(2)](21)(2)(22) (1)! 12.n k k n n k n k n n k n n n k n k f n k k n k n n n k k C +=+=++=--+-⨯+=--⨯⨯-⨯---+-+=-=-=-∑∑∑ 21(21)30,(21)31,3112 2.n p n f n n ++=-+=--=-=由有故，解得 这表明p (x )是四次多项式, 由(0)(2)(4)0,(1)(3)2,p p p p p =====得432(2)(3)(4)(1)(2)(4)()221(1)(2)(3)321(1)2164032 .3333x x x x x x x x p x x x x x ------=+⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯-=-+-+12．解 乙有必胜策略．证明如下．在选取过程中，不管甲取了那个系数，接下去，乙必取余下的一个偶数次项的系数，如果已经没有偶数次项的系数，乙才取奇数次项的系数．因此当最后留下两个系数，必由乙先取．注意到乙的选系数方式以及偶项系数的总数，恰好比偶项系数的总数少一个，所以最后两个系数只能是两个奇数项系数或者一个奇数项系数，一个偶数项系数，它们可设为2121t t a x ++，s s a x ．这里21s t ≠+，s 可奇，也可偶．于是()()2121s t s t f x g x a x a x ++=++．其中()g x 是已经确定的多项式．接下来由乙来取s a ，我们希望不管最后甲取的21t a +的值是什么，都不影响()f x 必有实根，为此，我们给出如何选取sa 的值的方法，并证明最终所得的多项式()f x 有实根．任取2m <-，则()()2111s t f g a a +=++，()()2121s t s t f m g m a m a m ++=++．为了不管21t a +如何选取，这意味着从上两式中消去21t m +，于是有： ()()()()21212111t t t s s s m f f m m g a m g m a m +++-=+-- ()()()21211t t s s m g g m a m m ++=-+-．注意到等式右边和21t a +无关，所以()()211t m f f m +-和21t a +无关，又由2m <-，所以21t s m m +≠．令()()21211t s t s g m m g a m m++-=-，则有 ()()211t m f f m +=． 我们来证明()f x 必有实根．显然()0f ±∞>．如果()10f ≤，则在[)1,+∞必有实根．如果()10f >，由于2m <-，所以210t m +<，因此()0f m <，这证明了(),m +∞中必有实根．总之，()f x 必有实根．这证明了乙必胜．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、制造各种表格
2、对数研究的起源和发展：
1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通 算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质” 写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做 原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代 表人物）
17世纪最重要的数学方法
恩格斯在《自然辨证法》中高度评价 了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解 析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为 “17世纪最重要的数学方法”。
对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。
性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、 幂仍是轮换多项式。
（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）
轮换多项式因式分解的一般步骤：
1）确定要分解的多项式是轮换多项式； 2）利用因式定理确定出部分因式； 3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法） 4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。
第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
初等代数研究
2、指数式与对数式的关系
注明： 1、理解指数式与对数式相互转化的过程； 2、明确各字母的含义。
问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论 三、三角式理论
一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
பைடு நூலகம்
分解因式中的两个有用的结论：
对称、轮换多项式
主要内容： 1、对称多项式的定义； 2、对称多项式的形式； 3、基本对称函数与根与系数的关系； 4、轮换多项式的定义与因式分解； 5、用基本对称函数表示对称多项式。
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
（一）解析式的定义和恒等
1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。
说明： 1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他
们在什么范围内讨论。（公共定义域） 2、解析式的恒等变形，可能引起定义域
的变化。
（二）一元多项式理论
1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
定义分析： 1、一个置换实际上是指一个排列； 2、置换的总数共有n!种。
判断下列多项式是否是对称多项式
（2）基本对称函数（基本对称多项式）
广义韦达定理：
结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。
定义分析： 1、轮换：轮流替换； 2、轮换的总数共有 种。
用基本对称函数表示对称多项式
题记： 赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。
（5）用基本对称函数表示对称多项式
多元多项式的因式分解
分式与根式
分式与根式研究的主要内容： 1、分式的恒等 2、根式的定义与意义 3、复合根式的计算 4、根式的恒等变形和化简
一、有理分式的恒等
二、根式的定义和意义
三、复合根式的计算
四、根式的恒等变形的化简
类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
类型4 方程型无理根式
基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解
5、代数代换法
6、函数型根式——构造几何模型法
7、三角形代换法
（三）三角方法的应用
指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
——拉普拉斯
主要内容
1、对数的起源和发展； 2、指数式与对数式的相互关系； 3、指数式与对数式的恒等变形。
历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理