理论力学第12章-动量矩定理

LO
1 3
m1
l
2
m2
l2
2l
r
3r2 2
例12-4 如示系统中，物块 A 、B 的 质量分别为m 1 、m 2 ，均质圆轮( 视为圆盘) 的半径为r，质量为 m 。绳与轮间无相对滑
r O
动，不计绳的质量。图示瞬时已知 A 块的 速度为 v ，试求系统对转轴 O 的动量矩。
A vA
B vB
M z mv m
x vy y vx
（12-6）
质点对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投
影，等于质点对该轴的动量矩。即：
MO mv l MO mv | l Ml mv （12-7）
l 为任意轴上的单位矢量。
12.2.2 质点系的动量矩
质点系对点 O 的动量矩 (Moment of momentum of system of particles)
lz mi vi ri mi ri2
刚体对 z 轴的动量矩
L z l z mi ri2 mi ri2
z
Mi mivi ri
所以
L z J z
（12-11）
定轴转动刚体对其转轴的动量矩，等于刚体对其转轴的
转动惯量与角速度之乘积。L z 正负号与正负号相同。
l
例12-3 一复摆以角速度绕 O 轴转动。
M
e O
MO F e
d
dt
MO mv
MO F e MOe
dLO
dt
MO
Fe
M
e O
（12-16）
直角坐标轴投影式：
dLx
dt
Mx
Fe
M
e x
dLy
dt
My
Fe
M
e y
dLz
dt
Mz
Fe
M
e z
（12-17）
结论：质点系对某定点（或某定轴）的动量矩对
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
z
Jz , M
Jz
M
2 z
（12-3）
注意：回转半径是在计算物体转动惯量时，假想
地把物体全部质量集中到距轴为回转半径的某一质点 上，且其转动惯量与物体的转动惯量相等。
12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量
y
（1）均质细直杆：
dm mdx l
O x dx l
Ax
O A杆对 z 轴、y 轴的转动惯量为 ：
例12-5 高炉运送矿石用的卷场机如图所示，已知
鼓轮的半径为 R ，质量为m 1 ，轮 绕 O 轴转动。小车和矿石总质量
为m 2 ，作用在鼓轮上的力偶矩为 M ，鼓轮对转轴的转动惯量为 J O ，
FN
v
轨道的倾角为q。设绳的质量和各 G
处摩擦均忽略不计，求小车的加
Gn θ G2
Foy M
O
Fox
G1
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
（12-15）
12.3.3 质点系的动量矩定理
对于质点系内各质点，对同一固定点应用动量矩定
理，写出每个质点的动量矩方程，并把作用于质点的力
分解成外力F e 和内力F i ，有：
d
dt
MO
mv
MO
Fe
MO
Fi
全部相加得：
d dt
MO
mv
MO
F
e
MO
F
i
因为
MO F i = 0
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
Lx
Ly
Mx My
mv mv
m m
y vz
z vx
z vy x vz
Lz
M z mv
m x vy y vx
（12-9）
质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的 投影
LO l L O|l L l
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
M m2 g R sinq a 0
小车的加速度沿斜坡向上。
例12-6 在小球 A ，B 以细绳相连，质量均为 m ，
其余构件质量不计，忽略摩擦 。系统绕 z 轴自由转动，
初始时系统的角速度为0，当细绳拉断后，求各杆与铅 垂线成q角时系统的角速度。
解：系统对于转轴的
z aa
动量矩守恒。
当q= 0时，动量矩为： A
dt
因为 v mv 0
d mv F
dt
d dt
MO
mv
r
F
MO
F
（12-12）
投影到固定直角坐标轴上
d dt
M
x
mv
M
x
F
d dt
M
y
mv
M
y
F
d dt
M
z
mv
M
z
F
（12-13）
即：质点对某一定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作 用力对于同一轴的矩。
12.3.2 质点动量矩守恒定理
mi yi 0
J z J zC M d 2
例12-1 复摆由一均质细杆及一均质圆球刚连而成。 均质细杆质量为 m1，均质圆球质量为 m 2 ，半径为 r 。 试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴的转动惯量。
解：以 J z 1 和 J z 2 分别表示杆与球 对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转 动惯量为两者之和，即：
G n 与FN 相抵消，且：G G2 sinq m2 g sinq
则系统外力对 O 轴的矩为： M e M m2 g sin q R
由质点系对 O 轴的动量矩定理有：
d dt
JO
m2vR
M
m2 g
sinq
R
因为 v , dv a
R dt
a MR m2gR2 sinq
JO m2R2
dr Or
J z = JO
R 2 r3dr 1 R4
0
2
R
圆盘质量： m R 2
Jz
JO
1 mR2 2
12.1.3 平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于 通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质 量与两轴间距离平方的乘积。
J z' J zC M d 2
（12-4）
J z
Jy
m l
l x2dx 1 ml2
0
3
y
h y dy
（2）均质矩形薄板：
d
J
x=
y2
m h
d
y
x O
b
均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量为：
Jx
h 2
h 2
m y2dy 1 m h2
h
12
同理
Jy
1 mb2 12
（3）均质等厚圆盘：
2rdrr2 2 r3dr
圆盘对z轴的转动惯量为：
已知均质杆 OA 长为 l ，质量为 m 1，均质圆盘 O
C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，试求复摆对 O 轴 的动量矩。
C1
解： J O 的计算：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2
m2
r
2
m2
l
r
2
A C2 r
1 3
m1
l
2
m
2
l2
2l r
3r2 2
复摆对 O 轴的动量矩：
解：物块 A 、B 与轮组成一质点系，质点系对转 轴O的动量矩等于系内各物体对转轴动量矩的代数和。
运动学分析： vA vB v, v r
动量矩计算： O :
L3
JO
1 2r
m
r2
v
1 2
mv
r
A : L1 MO mv A m1 v r B : L2 MO mv B m2 v r
12 动量矩定理
12.1 转动惯量、平行轴定理 12.1.1 转动惯量
转动惯量(Moment of inertia)：描述质点系质量分 布的另一个特征量。
刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量
m i 与它到该轴的垂直距离 rzi 的平方的乘积之和，记作 J z。
J z mr 2
（12-1）
系统对转轴 O 的动量矩 ：
LO
L1
L2
L3
m1 v r
m2
vr
1 mvr 2
m1
m2
m 2
v
r
12.3 动量矩定理
12.3.1 质点的动量矩定理
动量矩定义：
MO mv r mv
对时间求导数得：
d dt
MO
mv
d dt
r
mv
dr mv r d mv
dt
dt
v mv r d mv
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
1 r2 dm 4
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
R4 h4
h
z
4
R2 h2
h
z
2
z
2
d
z
R2
3
h
3 R2 20
h2 10
M 20
3R 2 2h 2
若刚体的质量是连续分布，则式（12-1）可用积 分表示为：
J z M r 2 d m
（12-2）
转动惯量恒为正值，由刚体的质量，质量分布以 及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状 态无关。
单位：千克·米2 ( k g ·m 2 )。
回转半径( Radius of gyration )：刚体对某轴 z 的 转动惯量 J z 与其质量 M 的比值的平方根
l q
BA
l q
B
l
Lz1 2ma0a 2ma20
l
当θ 0时，动量矩为： 因为 L z 1 = L z 2 ，最后得：
Lz2 2ma l sin q 2
a20
a l sin q 2
12.4 刚体绕定轴的转动微分方程
设刚体在主动力 F1 ，F2 ，…，Fn 作用下绕定轴 AB 转动 ，轴承 A，B的反力为 FA x ，FA y 和FB x ，FB y ， FB z。
12.2 质点和质点系的动量矩
动量矩 (Moment of momentum)：描述质点和质点 系的转动特征。是度量物体机械运动的一种物理量。
12.2.1 质点的动量矩
设质点某瞬时的动量 m v ，对 固定点 O 的矢径为 r 。质点的动量 对固定点O的矩为一矢量，定义为 质点对固定点O 的动量矩 (Moment of momentum of a particle) ，记为 ：
如果质点所受力对某一定点 O 的矩恒为零，则 由式(12-12)知，质点对该点的动量矩保持不变。
因为
MO F 0
MO mv 常矢量
（12-14）
如果作用于质点的力对于某一固定轴 l 的矩恒为 零，则由式 (12-13) 知，质点对该轴的动量矩保持不 变。
因为
Ml F 0
Ml mv 常量
时间的导数，等于作用于质点系的全部外力对同一点 ( 或同一轴 )主矩的矢量和( 代数和 ) 。
12.3.4 质点系动量矩守恒定理 由质点系动量矩定理可知：质点系的内力不改变 质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质 点系的动量矩发生变化。
当外力对于某定点 ( 或某定轴 ) 的主矩 ( 或力矩的 代数和 ) 等于零时，质点系对于该点 ( 或该轴 ) 的动量 矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定理 ( Theorems of conservation of moment of momentum of system of particles )。
MO mv
z
mv MO (mv)
O
rMwk.baidu.com
y
zx
x
y
即：
MO mv r mv
（12-5）
定义：动量 m v 对各直角坐标轴之矩为：
M x = MO mv i
M y = MO mv j
M z = MO mv k
M
M
x y
mv mv
m m
y vz z vx
z x
vy
vz
证明：设有一刚体，质量为 M ，z 轴通过质心 C ，
z 轴与 z 轴平行且相距为 d ，取 x 、y 轴如图所示。
刚体内任一点 M i 的质量 m i ， 它到 z 轴和 z轴的距离分别为
r i 和 ri 。由转动惯量的定义
知，刚体对于 z轴的转动惯量 可表示为：
z
z
d
ri
ri
C
Mi
O
O
zi
xi
y ( y )
J z J z1 J z2
O
y
l
z A r
均质细杆对于 均质圆球对于
z z
轴转动惯量为：J 轴转动惯量为：
z1
1 3
m1l
2
x
Jz2
JC
m2d 2
2 5
m2 r 2
m2
1
r 2
Jz
1 3
m1l
2
2 5
m2
r
2
m2 1
r 2
例12-2 计算均质正圆锥体 对其底
圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为