《信号检测与估计》第二章习题解答
信号检测与估计试题——答案(不完整版)
一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
信号检测与估计第二章作业
信号检测与估计 第二章作业姓名： 学号：1. 设输入信号为三角波，即1001()201012t t s t tt ≤≤⎧=⎨-<≤⎩试确定相应的白噪声背景下的匹配滤波器(因果系统)的冲激响应、频域传递函数、输出最大信噪比，以及输出信号，并分别画出各自相应的波形图。
解：假设白噪声均值为0，平均功率为N 0/2，根据已知条件匹配滤波器为因果系统，取t 0为2，则0h(t)s*(t t)s*(2t)s(t)=-=-=波形图如下2-j t-j t2-10(1-e)H()s(t)edt ωωωω∞∞-==⎰在t 0时刻取得最大信噪比2220200E |s(t)|dt |s(t)|dt 3∞-∞===⎰⎰最大信噪比为00=2E /N 400/3N η=输出信号及波形图如下33232350t 0t 13200-50t 200t 200t 1t 23y s(t)*h(t)200-50(4t)+200(4t)-200(4t)+2t 3350(4t)3t 43⎧≤<⎪⎪⎪+-+≤<⎪==⎨⎪---≤<⎪⎪⎪-≤≤⎩2. 针对下列四种信号： (1) 1()()T s t AR t = (2) 20()()sin T s t AR t t ω= (3) 230()()sin(/2)T s t AR t t kt ω=+(4) 1400()()sin(),0N k k s t Ac R t k t t T ττω-==-≤≤∑其中{1,1}k c ∈-为伪随机序列（比如M 序列）；τ=T/N ，A 为常数，1,0()0,T t TR t ≤≤⎧=⎨⎩其它 要求：分别给出上述四种信号相应的物理可实现的匹配滤波器的 (1) 冲激响应(),k h t k=1,2,3,4 (2) 输出信号分量()ko s t 的波形， k=1,2,3,4(3) 改变信号的参数（0,,,,T k N ωτ）值，观察()ko s t ，k=1,2,3,4 的变化，并说明你的发现或有何启示。
信号检测与估计理论(复习题解)-精选文档
a ba 0 图 2. 1 (b)
ab y
2 b y x
2 2 y 4 x
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2 . 3 设连续随机信号 x ( t ) a cos( t ), 其振幅 a 和频率 已知 相位 在 [ , ) 范围内均匀分布。分析 该信号的广义平稳 并求其自 差函数 。 解 ： 分析该信号是否满足广 义平稳的条件。 信号的均值 ( t ) E a cos( t ) a cos( t ) p ( ) d x
2 1 ( y b ) / 2 1 x p ( y ) exp 2 2 2 2 2 x x 1 2
2 1 y ( 2 b ) x exp 2 2 8 8 x x 1 2
二. 离散随机信号矢量
1. 概率密度函数描述 。 2. 统计平均量：均值矢量 , 协方差, 协方差矩阵。 3. 各分量之间的互不相关 性和相互统计独立性及 关系。 4. 高斯离散随机信号矢量 的概率密度函数及特 点： x ~ N ( μ , C ), 互不相关等价于相互统 计独立 , 独立同分布 x x
E ( x b ) b
y
2 y
2 2 22 E ( y b ) E ( x b b ) E ( x 0 ) a / 6
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
当 a b 2 a 时, p ( y ) 的函数曲线如图 2 . 1 (b)所示 。 p ( x) p( y ) 1/ a 1/ a
第 1章
信号检测与估计概论
信号检测估计理论与识别技术习题参考答案
2-1 1[()]2E x t =，1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。
2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =，20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =，20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。
2-7 [()]0E X t =，10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++，2[()](0)5X E X t R ==，2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1）由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等，所以采用最大似然准则。
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
信号检测与估计知识点总结(3)
第二章 检测理论1．二元检测：① 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
② 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语✧ 先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或 成立的概率。
p(H 0),p(H 1)。
✧ 后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发生或成立的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
✧ 似然函数：在某假设H 0或H 1成立的条件下，观测样本y 出现的概率。
✧ 似然比：✧ 虚警概率 ：无判定为有；✧ 漏报概率 ：有判定为无；✧ （正确）检测概率 ：有判定为有。
✧ 平均风险： 4.1 最大后验概率准则（MAP ）在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或无信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ∙++∙+=如果 成立，判定为H 0成立；否则 成立，判定为H 1成立。
利用贝叶斯定理： 可以得到： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；定义似然比为： 得到判决准则： 如果 成立，判定为H 0成立； 如果 成立，判定为H 1成立；这就是最大后验准则。
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计简答题集
一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
第二章 信号检测理论与准则 作业评讲
4
0
小结(4/5)
3. 最大似然（ML）准则
P 在MAP准则中， H
0
P (H 1)
1 2
，则
0 1
4. 极大极小（minmax）准则
在Bayes风险（最小风险）中，改变P(Hi)，找出最大的 风险（极大）
C 10 P D1 H 0 C 01 P D 0 H 1
先验信息： 似然函数 代价因子Ci,j
C0,0=C1,1=0
2012-11-10
分 界 x0
0
p x0 H1 p x0 H 0
5
小结(5/5) • 纽曼-皮尔逊（N-P）准则
虚警概率 P
f
P D1 H 0
已知，
0
Pf
x0
p x H
d x
分 界 x0
0
漏报概率：
P ( D0 H 1 )
p ( x | H 1 ) d x (3 .9 1)
带入平均风险公式可得所求
查表
R (1 0.2) 2 erfc (4.41) 0.2 1 ( 3.91) 0.2
8
1.3只用一次观测x来对下面两个假设做选择，H0：样本x为零均 2 值、方差为 02 的高斯变量，H1：样本x为零均值、方差 1 的 2 2 1 0 高斯变量，且 （1）根据观测结果x，确定判决区域D0和D1 （2）画出似然比接收机框图。 H1为真而选择H0的概率如何？ 解（a）（根据观测结果x，确定判决区域和D0和D1 ） 由题可知两种假设下的条件概率密度函数：
时，可知临界点
（ 选取使 (0,1) 判决区域： D 0 : | x | 1, D1 :| x | 1or | x | （2）由纽曼-皮尔逊准则，应满足虚警概率的约束条件，即 由于(a)(b)两种情况判决区域与门限选取无关，则针对第三种情况
信号检测与估计
实际情况：带限白噪声：Rn (τ )为辛格函数
Rn (τ )
π − ω0
π ω0
2π ω0
S n (ω )
检测的步骤： 检测 ⇔ 求似然比 Λ(x) → 进一步化简似然比， 确定门限。
τ
N0 2
ω
−ω0
ω0
以Δt=
π 为间隔采样，x1 , x2 , ω0
p ( xn |H i ) p (x|H1 ) p (x|H 0 )
∴⇒
2
{[ xi − E ( xi ) ] } = cov( xi , xi )
∫
T 0
由 公 式 ( 3 − 6) and (3 − 7) ⇒ Var [ x i ] = f i ( t1 ) λ i f i ( t1 ) dt1 = λ i = Var [ x i H 1 ] = Var [ x i H 0 ]
0 T
∫ cov { x , x } = E {[ x
0 i j
E [ xk ] =
T
仅 当 f j ( t1 ) * R n ( t1 ) = 则 c o v {x i , x j } = 0 即 不 相 关 xi , x j
s (t ) f k * (t ) dt
i
=E
{∫
T
0
∫
T
0
fi
*
} (t ) f (t ) n (t ) n * (t ) dt dt }
, xn 不相关 ⇒ 独立，
p (x|H i )＝p ( x1|H i ) ⇒ 似然比Λ(x)=
求 似 然 比 ⇔ p ( X | H i ); 即 ： 求 N 个 数 据 点 的 联 合 pdf ；
1
信号检测与估计
先验概率:
P0 = P( H 0 )
P1 = P( H 1 ) = 1 − P0
2.2
二元假设检验及判决准则
R = [C00 P( H 0 / H 0 ) + C10 P( H1 / H 0 )]P0 + [C01 P( H 0 / H1 ) + C11 P( H1 / H1 )]P 1
PF = P( H1 / H 0 )
λ0 =
判决准则为
P0 =1 P1
2.2
二元假设检验及判决准则
• 2.2.4 最大后验概率准则 在已经得到观测矢量的前提下，比较假设 H 0 和 H1 出现的概率。
P ( H1 / x )
H1 H0
P( H 0 / x )
称为最大后验概率准则。 根据概率乘法公式
P ( x / H1 ) P ( H1 ) P ( H1 / x ) = P( x )
对于多次试验，代价的统计平均值(也称为风险函数)为 R = E (C ) = C00 P ( H 0 为真，判为H 0 ) + C10 P ( H 0 为真，判为H1 )
+C01 P ( H1为真，判为H 0 ) + C11 P ( H1为真，判为H1 )
P( H i为真，判为H j ) = P( H i为真) P(判为H j / H i为真) = P( H i ) P( H j / H i )
= C 00 P0 + C 01 P1 + (C10 − C 00 ) P ( H 1 / H 0 ) P0 − (C 01 − C11 ) P ( H 1 / H 1 ) P1
R = C00 P0 + C01 P + ∫ [(C10 − C00 ) ⋅ P0 ⋅ p ( x / H 0 ) − (C01 − C11 ) ⋅ P ⋅ p ( x / H1 )]dx 1 1
信号检测与估计第二章匹配滤波3
匹配滤波器的结构
H () c (1 e j ) j
例2 单个射频脉冲信号的匹配滤波器
矩形包络的射频脉冲, 脉冲宽度τ,射频角频率ω0
表示为
s(t) aG(t) cos0t
其中
1, 0 t G(t) 0, t 0,t
0 2 T0 2 m, m 1
单个射频脉冲信号的频谱
S()
• 对于实信号有
s(t0 t) s (t0 t)
即h(t)与s(t) 对于
h(t) cs(t0 t)
t t0 2
点呈偶对称关系。
匹配滤波器具有如下的一些重要性质和特点
1. 输出最大信噪比dm与信号s(t)的波形无关 2. t0时刻应当选在信号s(t)结束之后 3. 匹配滤波器对信号的幅度和时延具有适应性 4. 匹配滤波器对信号的频移不具有适应性 5. 匹配滤波器与相关接收和相关器有等效性
故对信号进行匹配滤波处理或者进行互相关处理， 其结果是等效的
相关器和匹配滤波器的输出
• 思考题：平方根升余弦滚降滤波器？
H（2 ） S2 ()e j(L1)T 1 e jT
1 e jT e j(L1)T
e j (L1)T e j (L1)T
则 H () H1()H2 ()
输出波形
匹配滤波器的结构
需要多根延迟较长、精度很高的延迟线 潜在抗干扰能力强，可采用近似方法如“梳齿滤波器”实现
匹配滤波器的近似：
当且仅当A(ω) = cB*(ω)，不等式取等号
令 A() H（） Gn ()e jt0
B() S() Gn ()
H（） Gn
()e
jt0
2
S() d Gn ()
H
()
2
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
信号检测与估计-习题讲解
T
0
Bx (t ) sin 2 t dt
1 T 1 2 x t A t dt 因 此 ， p (x H 1 ) F exp ( ) cos 1 0 2 N0 B 2T 2 2 T B x t t dt exp exp ( ) sin 2 d 0 0 2N0 N0 1 1 p (x H 0 ) F exp 2 N0
答：（1）其匹配滤波器的冲激相应为： ka h0 (t ) ks(T t ) 0 传输函数: 0t T 其他
sin T / 2 jT e T / 2 ka 2t 0t T 2 输出信号波形：so (t ) s(t )* h0 (t ) ka (2T t ) T t 2T 0 其他 H ( ) kS * ( )e jT kaT 输出峰值信噪比：SNR max Es 2a 2T Pn N0
cos t cos tdt cos t sin tdt 0
0 1 2 0 1 2
T
T
证明：最佳接收机可用 x(t)cos1tdt作为检验统计量并对此加以讨论。
0
T
答：最佳接收机的表达式为： p(x H1) H1 0。其中，x为向量， l x(t) p(x H0 ) H0 1 2 p(x H1) p(x H1 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) Acos1t B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0 1 2 p(x H0 ) p(x H0 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0
信号检测与估计 张明友 第一二三八章答案
时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30 地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。
请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。
1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。
信号存在的先验概率P ＝0.2。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。
解：根据式（1-15），可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln88.822βσ=+Λ=+= 根据式（1-21）可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而212(1)(|)]2x p x H σ-=-202(|)]2x p x H σ=-所以20112(1)(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ-==-⎰⎰22(1)]2x dx βσ-=-⎰＝17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理1121002(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ==-⎰⎰22)2x dx βσ∞=- 8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1．2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为的正态分布。
此时，两个假设为01:()():()1()H x t n t H x t n t ==+我们根据()x t 的两次独立测量值12,x x 作判断，则12,x x 是统计独立的，在假设1H 下其均值为1a =1，在假设0H 下均值为0a =0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为22/221()(|)(2)exp()2nn i k k i x a p x H πσσ-=-=-∑ (0,1;2)k n == 于是，似然比等于22011012210()(|)()exp[](|)2n ii a a n a a p x H x x p x H σσ=--Λ==-∑如果0()x Λ≥Λ，则选择假设1H ，否则选择假设0H 。
信号检测估计复习资料
第二章随机信号及其统计描述1.两个随机过程不相关一定独立。
（）2.严格的平稳随机过程不一定是宽平稳随机过程。
（）3.平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换。
（）4.白噪声是一种理想化模型，在实际中是不存在的。
（）5.功率谱密度是样本函数x在单位频带内在1欧姆电阻上的平均功率值。
（）6.加性噪声按功率谱密度分为（）噪声和（）噪声。
7.有色噪声的功率谱密度在频率范围内是均匀分布的。
（）8.对于白噪声下面哪个量是均匀分布的（）。
A.噪声电压B.噪声电流C.噪声功率D.噪声功率谱密度9.在信号检测与估计理论中，通信接收机中的噪声可以近似为平稳随机过程。
（）第三章经典检测理论1.什么是二元检测，其本质是什么？画出其理论模型。
2.二元检测中有两类错误的判决概率，两类正确判决概率。
( )3.下面哪种概率是虚警概率（）。
A．P（D0|H0）B．P（D1|H0）C.P（D1|H1）D. P（D0|H1）4.二元检测中有先验概率和后验概率，P（H0）是（）概率，P（H0|x）是（）概率。
5.下面哪个为后验概率密度函数（）。
A.f(x|H0)B.f(x|H1,a)C.f(a|x)D.f(a)6.经典检测理论中常用的4个检测准则分别为（）、（）、（）和（）。
7.最大后验概率准则和最小错误概率准则判决公式是不同的。
（）8.最大后验概率准则为何称为理想观测者准则？9.极大极小风险准则是在先验概率未知的情况下，使可能出现的最大风险达到极小的判别准则。
（）10.Neyman-Pearson准则规定，在给定( )概率情况下，使得（）概率尽可能大。
11.最大后验估计和最大似然估计的使用条件。
12.下面哪种判决准则是时平均风险最小的准则（）。
A.最大后验概率准则B.最小错误概率准则C.Bayes准则D.Neyman-Pearson准则13.当先验概率未知和代价函数均未知时，使用的判决准则是Neyman-Pearson准则。
信号检测与估计理论 (复习题解)
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
五. 线性时不变系统对平稳连续随机信号的响应
1. 输入平稳连续随机信号x(t),响应y(t)也是平稳的。
2. 响应y(t)均值 y H (0)x，自相关函数ry ( ) h( ) h( ) rx ( )， 功率谱密度Py () | H () |2 Px ()。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1. 一维雅可比变换,特别是简单线性函数时的变换。 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1. 任意tk时刻采样所得样本x(tk ) (xk；tk )(k 1,2, , N )的概率密度 函数描述。
2. 统计平均量：均值,均方值,方差,自相关函数,协方差函数及关系。
图2.1(a)
图2.1(b)
ab y
例2.2
设x ~
N(x
,
2 x
)。若y
2
x
b,
求p(
y)及
y和
2。
y
解：y
2x
b是线性变换,所以y
~
N(
y
,
2 y
)。
反函数 x ( y b) / 2, 雅可比 J d[(y b) / 2]/ dy 1/ 2。所以
p(
y)
1
2
2 x
1
2
exp
(
y
b) / 2
a x a 其他
(a 0)
如图2.1(a )所示。已知x的均值和方差分别为 x
0,
2 x
a2
/ 6。
设y x b,求p( y)及y的均值和方差；当a b 2a时,画出p( y)的函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
+∞
+∞
∫ ∫ W =
( ) +∞
−∞ GX ω dω =
+∞⎜⎛ −∞ ⎝
ω
2 2+
3
−
ω
1 2+
2
⎟⎞dω ⎠
=
2 3
6
求 X (t)的相关函数 RX (τ ) 及平均功率W 。
1
1
1
1
( )( ) 解： GX
(ω )
=
ω4
ω2 +1 + 5ω 2 +
6
=
ω2 +1 ω2 +3 ω2 +2
=2−1 = ω2 +3 ω2 +2
3 jω +
−3 3 jω −
+ 3
22 − 22 jω + 2 jω − 2
由傅里叶逆变换的性质可知
( ) RX (τ ) = RX1 (τ ) + RX 2 (τ ) = 2 cos(10τ ) + 2e−10τ +1
由 RX1 (τ ) = 2 cos(10τ ) 可得对应的随机过程为
X1(t) = 2 cos(10t + φ)
所以
m2 X1
=0
m2 X2
= RX（2 ∞）= 3
m2 X1
=
m2 X1
解：
E[X
(t
)]
=
E[sin(2πAt
)]
=
∫+∞ sin
(2πωt
−∞
)f
(ω
)dω
=
∫1sin(2πωt 0
)f
(ω
)dω
=
0
-2-
《信号检测与估计》习题解答
RX (t,t −τ ) = E[X (t)X (t −τ )] = E[sin(2πAt)]
⎧1
∫ ∫ =
+∞
sin
(2πωt
)sin(2πω(t
−∞
+ e− j(ω +ω0 )τ dτ
=
πδ 2
ω −ω0
+
π 2
δ
ω
+ ω0
2.10 若平稳随机过程 X (t)的功率谱密度为 GX (ω) ，又有 Y (t) = aX (t)cosω0t
式中， a 为常数，求功率谱密度 GY (ω) 。
解： Y (t) = aX (t)cosω0t = aX (t) e jω0t
求 X (t)的均值和自相关函数。 解：解：由于 ω0 为常数，且 E[A] = E[B] = 0 ，得到
E[X (t)] = E[Acosω0t + B sin ω0t] = E[A]cosω0t + E[B]sin ω0t = 0
[ ] [ ] 由于 A 和 B 相互独立，且 E A2 = E B2 = σ 2 ，得到
+∞
Af
(
A)dA
=
t
1
AdA =[ ] ∫ ∫ [ ] RX (t1,t2 ) = E X (t1 )⋅ X (t2 )
= E A2t1t2
= t1t2
( ) +∞ A2 f
-∞
A dA = t1t2
1 A2dA = t1t2
0
3
2.2 已知随机过程 X (t)为 X (t) = X cosω0t ， ω 0 是常数， X 是归一化高斯随机变量，求 X (t)的一维
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第二章习题解答
2.1 若随机过程 X (t)为 X (t) = At − ∞ < t < ∞
式中， A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，求 E[X (t)]及 RX (t1, t2 )。
∫ ∫ 解： E[X (t)] = E[At] = E[A]t = t
概率密度函数。
[ ] 解：因为 X 是归一化高斯随机变量，所以 E[X ] = 0 ， E X 2 = 0 。
E[X (t)] = E[X cosω0t] = cosω0tE[X ] = 0
[ ] [ ] [ ] E X 2 (t) = E X 2 cos2 ω0t = cos2 ω0tE X 2 = cos2 ω0t
∫ ∫ =
a 2π
cos ω0t
2π
cosφdφ
0
−
a 2π
sin ω0t
2π
sinφdφ
0
=0
R(t1, t2 ) = E[a cos(ω0t1 + φ )a cos(ω0t2 + φ )]
令 t1 = t ， t2 = t + τ ，得
R(t,t +τ ) = E[a cos(ω0t + φ )a cos(ω0t + ω0τ + φ )]
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 3
⎟⎟⎠⎞ −∞
−
1 2
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 2
⎟⎟⎠⎞
−∞
=
2π 3
−
π 2
-4-
= σ 2 (cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ sin ω0t sin ω0 (t +τ ))
( ) = σ 2 cos 2 ω0t cos ω0τ − cos ω0t sin ω0t sin ω0τ + sin 2 ω0t cos ω0τ + sin ω0t cos ω0t sin ω0τ
[ ] = E a2 cos(ω0t + φ )(cos(ω0t + φ )cosω0τ − sin(ω0t + φ )sin ω0τ ) [ ] = a2E cos2 (ω0t + φ )cosω0τ − cos(ω0t + φ )sin(ω0t + φ )sin ω0τ
=
a2 2
cosω0τE[1 +
-1-
《信号检测与估计》习题解答
R(t, t +τ ) = E[X (t)X (t +τ )] = E[(A cos ω0t + B sin ω0t)(A cos ω0 (t +τ )+ B sin ω0 (t +τ ))]
[= E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ AB cos ω0t sin ω0 (t +τ ) ] + AB sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] = E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ E[AB]cos ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] + E[AB]sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ E B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ )
X (t)是线性叠加过程，因而也是一个高斯过程，所以 X (t)的一维概率密度函数为
f X (t) =
2π
1 cos ω0t
exp⎜⎜⎝⎛ −
X 2 (t)
2 cos2 ω0t
⎟⎟⎠⎞
2.3 随机过程由三条样本函数曲线组成： x1(t) = 1 ， x1(t) = sin t ， x1(t) = cos t 并以等概率出现，求 E[X (t)]和 RX (t1, t2 )。
解： E[X (t)] = 1 + 1 sin t + 1 cos t
33
3
RX (t1,t2 ) = E[X (t1 )⋅ X (t2 )]
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+