《信号检测与估计》第二章习题解答

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《信号检测与估计》习题解答
R(t, t +τ ) = E[X (t)X (t +τ )] = E[(A cos ω0t + B sin ω0t)(A cos ω0 (t +τ )+ B sin ω0 (t +τ ))]
[= E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ AB cos ω0t sin ω0 (t +τ ) ] + AB sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] = E A2 cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ E[AB]cos ω0t sin ω0 (t +τ ) [ ] + E[AB]sin ω0t cos ω0 (t +τ )+ E B 2 sin ω0t sin ω0 (t +τ )
−τ
))
f
(ω
)dω
=
1
sin
(2πωt
)sin(2πω(t
−τ
))dω
=
⎪ ⎨
2
−∞
0
⎪⎩0
因此 X (t)是平稳随机过程。
2.8 平稳随机过程 X (t)的自相关函数为
τ =0 τ ≠0
RX (τ ) = 2e−10τ + 2 cos(10τ ) +1
求 X (t)的均值、均方值和方差。
解： 对于周期随机过程 X (t)，则 RX (τ ) 也具有周期性，由于上述相关函数不具有周期性，因而有
= σ 2 (cos ω0t cos ω0 (t +τ )+ sin ω0t sin ω0 (t +τ ))
( ) = σ 2 cos 2 ω0t cos ω0τ − cos ω0t sin ω0t sin ω0τ + sin 2 ω0t cos ω0τ + sin ω0t cos ω0t sin ω0τ
概率密度函数。
[ ] 解：因为 X 是归一化高斯随机变量，所以 E[X ] = 0 ， E X 2 = 0 。
E[X (t)] = E[X cosω0t] = cosω0tE[X ] = 0
[ ] [ ] [ ] E X 2 (t) = E X 2 cos2 ω0t = cos2 ω0tE X 2 = cos2 ω0t
+
m
2 X
2
=3
[ ] E X 2 (t) = RX (0) = 5
σ
2 X
=
RX
(0)
-
m
2 X
=
5
-
m
2 X
=5-3= 2
2.9
若随机过程 X (t)的自相关函数为 RX (τ ) =
1 2
cos
ω0τ
，求 X (t)的功率谱密度。
解：由于自相关函数与功率谱密度函数互为傅立叶变换对，得
∫ ∫ PX (ω) =
= σ 2 cos ω0τ
2.5 随机过程 X (t)为
X (t) = a cos(ω0t + φ)
式中， a 、 ω0 是常数， φ 为 (0,2π )上均匀分布的随机变量。求 X (t)的均值和自相关函数。
解：根据题意可得
f
(φ
)
=
⎪⎧ ⎨
1 2π
⎪⎩0
0 ≤ φ ≤ 2π 其他
E[x] = aE[cos(ω0t +φ )] = aE[cos ω0t cosφ − sin ω0t sin φ] = a cos ω0tE[cosφ]− a sin ω0tE[sin φ]
解： E[X (t)] = 1 + 1 sin t + 1 cos t
33
3
RX (t1,t2 ) = E[X (t1 )⋅ X (t2 )]
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
sin
t1
sin
t2
+
1 9
cos t1
cos t2
+
1 9
sin
t1
cos 2(ω0t
+ φ)]−
a2 2
sin ω0τE[sin
2(ω0t
+
φ )]
=
a2 2
cos ω0τ
2.6 随机过程 X (t)为
X (t) = a cos(ω0t + φ ) 式中， a 、 ω0 是常数， φ 为 [0,2π ]上均匀分布的随机变量。求证 X (t)是广义平稳随机过程。
解：根据 2.5 计算结果可得
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 3
⎟⎟⎠⎞ −∞
−
1 2
arctan⎜⎜⎝⎛
ω 2
⎟⎟⎠⎞
−∞
=
2π 3
−
π 2
-4-
解：
E[X
(t
)]
=
E[sin(2πAt
)]
=
∫+∞ sin
(2πωt
−∞
)f
(ω
)dω
=
∫1sin(2πωt 0
)f
(ω
)dω
=
0
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《信号检测与估计》习题解答
RX (t,t −τ ) = E[X (t)X (t −τ )] = E[sin(2πAt)]
⎧1
∫ ∫ =
+∞
sin
(2πωt
)sin(2πω(t
+∞
−∞ RX
(τ
)e−
jωτ dτ
=
1 2
+∞
cos
−∞
ω0τ
e
−
jωτ
dτ
根据欧拉公式可得
( ) ∫ ∫ ( ) PX
ω
=1 2
+∞
cos
−∞
ω0τ
e
−
jωτ
dτ
=
1 2
+∞ e jω0τ + e− jω0τ e− jωτ dτ
−∞
∫ ( ) ( ) = 1 4
e +∞ − j(ω −ω0 )τ
+∞
Af
(
A)dA
=
t
1
AdA =
t
-∞
0
2
[ ] ∫ ∫ [ ] RX (t1,t2 ) = E X (t1 )⋅ X (t2 )
= E A2t1t2
= t1t2
( ) +∞ A2 f
-∞
A dA = t1t2
1 A2dA = t1t2
0
3
2.2 已知随机过程 X (t)为 X (t) = X cosω0t ， ω 0 是常数， X 是归一化高斯随机变量，求 X (t)的一维
−∞
+ e− j(ω +ω0 )τ dτ
=
πδ 2
ω −ω0
+
π 2
δ
ω
+ ω0
2.10 若平稳随机过程 X (t)的功率谱密度为 GX (ω) ，又有 Y (t) = aX (t)cosω0t
式中， a 为常数，求功率谱密度 GY (ω) 。
解： Y (t) = aX (t)cosω0t = aX (t) e jω0t
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2.1 若随机过程 X (t)为 X (t) = At − ∞ < t < ∞
式中， A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，求 E[X (t)]及 RX (t1, t2 )。
∫ ∫ 解： E[X (t)] = E[At] = E[A]t = t
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
+∞
+∞
∫ ∫ W =
( ) +∞
−∞ GX ω dω =
+∞⎜⎛ −∞ ⎝
ω
2 2+
3
−
ω
1 2+
2
⎟⎞dω ⎠
=
2 3
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
X (t)是线性叠加过程，因而也是一个高斯过程，所以 X (t)的一维概率密度函数为
f X (t) =
2π
1 cos ω0t
exp⎜⎜⎝⎛ −
X 2 (t)
2 cos2 ω0t
⎟⎟⎠⎞
2.3 随机过程由三条样本函数曲线组成： x1(t) = 1 ， x1(t) = sin t ， x1(t) = cos t 并以等概率出现，求 E[X (t)]和 RX (t1, t2 )。
∫ ∫ =
a 2π
cos ω0t
2π
cosφdφ
0
−
a 2π
sin ω0t
2π
sinφdφ
0
=0
R(t1, t2 ) = E[a cos(ω0t1 + φ )a cos(ω0t2 + φ )]
令 t1 = t ， t2 = t + τ ，得
R(t,t +τ ) = E[a cos(ω0t + φ )a cos(ω0t + ω0τ + φ )]
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
[ ] = E a2 cos(ω0t + φ )(cos(ω0t + φ )cosω0τ − sin(ω0t + φ )sin ω0τ ) [ ] = a2E cos2 (ω0t + φ )cosω0τ − cos(ω0t + φ )sin(ω0t + φ )sin ω0τ
=
a2 2
cosω0τE[1 +
6
求 X (t)的相关函数 RX (τ ) 及平均功率W 。
1
1
1
1
( )( ) 解： GX
(ω )
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
ω4
ω2 +1 + 5ω 2 +
6
=
ω2 +1 ω2 +3 ω2 +2
=2−1 = ω2 +3 ω2 +2
3 jω +
−3 3 jω −
+ 3
22 − 22 jω + 2 jω − 2
由傅里叶逆变换的性质可知
求 X (t)的均值和自相关函数。 解：解：由于 ω0 为常数，且 E[A] = E[B] = 0 ，得到
E[X (t)] = E[Acosω0t + B sin ω0t] = E[A]cosω0t + E[B]sin ω0t = 0
[ ] [ ] 由于 A 和 B 相互独立，且 E A2 = E B2 = σ 2 ，得到
( ) RX (τ ) = RX1 (τ ) + RX 2 (τ ) = 2 cos(10τ ) + 2e−10τ +1
由 RX1 (τ ) = 2 cos(10τ ) 可得对应的随机过程为
X1(t) = 2 cos(10t + φ)
所以
m2 X1
=0
m2 X2
= RX（2 ∞）= 3
m2 X1
=
m2 X1
+ e- jω0t 2
=
a 2
( ) X t e jω0t
+a 2
( ) X t e- jω0t
由移频性质可知
GY
(ω )
=
a 2
(GX
(ω
− ω0 )+ GX
(ω
+ ω0 ))
2.11 已知平稳随机过程 X (t)具有如下功率谱密度
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《信号检测与估计》习题解答
GX
(ω )
=
ω
4
ω +
2 +1 5ω 2 +