磁场的镜像法
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
5-恒定磁场-4镜像法
r a1n
r
H1
µ1
r
µ2
H2
如果没有自由表面电流：r r r r an × H1 = an × H2
… 时，分界面切向分量连续— — H1τ = H2τ
矢量磁位… 连续— —
磁 场 中 “镜像法 ”
因为“唯一性”定理：… … 在不改变 恒定磁场区域内电流分布和边界条件的情况下， 用场域外的等效源 (电流 )代替边界对场的影响，来简化 场的计算。
电导线平行于分界面，距离为 a 求：单位长度磁介质同导线之间的作用力
I
a
µ
磁介质的边界条件－1
1. 磁感应强度
µ1
r B1
r a2 n
“扁盒子”
rr
∫ B•dS = 0
µ2
S
分界面法向分量连续— —
r a1n
r B2
r B1
•
r an
=
r B2
•
r an
r ∇•B = 0
矢量磁位连续— —
rr A1 = A2
磁介质的边界条件－2
2. 磁场强度
r a2n
“闭合回路”
r rr r an × ( H1 − H 2) = J sFree
h
I ' = µ2 − µ1 ⋅ I µ2 + µ1
I' ' = 2 ⋅µ1 ⋅ I µ2 + µ1
对比： “线电荷 ”镜像
ε1
ρ
h
ε2
对比： “线电荷 ”镜像
1. 上半区域：
ε1
ρ'
ρ'= − ε2 − ε1 ⋅ ρ ε2 + ε1
2. 下半区域：
ρ"
静磁场中的镜像法
◆ 二维问题的分离变量过程： 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标 系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位 函数，设 (x, y) ，电位函数满足
2 2 2 0 2 x y
（4-1） （4-2）
待求的电位函数用二个函数的乘积表示为
f (x)g (y)
4.2 惟一性定理
惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉 普拉斯方程的解唯一
1 2
【反证法】 假如存在两个满足相同边界条件的不同 解 和 令
U 1 2
在场域 内，u满足拉普拉斯方程 U 在边界上，要么 U 0 （第一类边值问题），要么 n 0 （第二类边值问题）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 U ，即
( x, y) [ Ae
ky x
Be
ky x
][C sin(k y y) D cos(k y y)]
（4-11b）
综上所述： a：当 k 0 时，偏微分方程（4-1）的通解 为
2 x
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 x D0 )
[ An sin(k xn x) Bn cos(k xn x)][Cn sinh(k xn y ) Dn cosh(k xn y )]
gn ( ) An sin(n ) Bn cos(n )
（4-29）
（4-28）式变为
r d df (r ) 2 r n f (r ) 0 dr dr
（4-30）
（4-31）
即
d 2 f (r ) df (r ) 2 r r n f (r ) 0 dr 2 dr
电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
r
球面
0
设镜像电荷 q '如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
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第 一 章
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
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第 一 章
静 电 场
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 2 0
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 返 回 1 2
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第 一 章
静 电 场
思考
1 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
球面电位
q ＝ 4 π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
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第 一 章
静 电 场
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
磁场的镜像法
磁场的镜像法嘿，你知道磁场的镜像法吗？这可是个超有趣的物理概念呢！就好像我们在镜子前看到自己的镜像一样，磁场的镜像法也是一种巧妙的“镜像” 操作哦。
在物理学中，当我们面对一个带有电荷或者电流的物体，它会在周围产生磁场。
而有时候，为了更方便地求解这个磁场的分布情况，我们就会用到镜像法。
比如说，一个点电荷在无限大的导体平面附近，这个导体平面就会对电荷产生影响，使得空间中的磁场分布变得复杂起来。
这时候，我们就可以想象在导体平面的另一侧有一个“镜像电荷”，这个镜像电荷和原来的电荷大小相等，但符号相反。
通过这样的设定，我们就可以把复杂的问题简化啦。
你看，这就好比在一个热闹的派对上，有一个人在舞台中央表演（就像那个点电荷），而舞台的背景幕布（导体平面）会对他的表演效果产生反射和影响。
我们通过想象在幕布后面有一个和他相反的“镜像表演者”，就能更好地理解整个派对现场（空间磁场）的氛围和情况啦。
再比如说，一个电流元在一个磁介质的边界附近，我们也可以用镜像法来处理。
想象一下，电流元就像是一条在河流中游动的小鱼（电流元），而磁介质的边界就像是河流中的一块大石头（边界）。
小鱼的游动会引起水流（磁场）的变化，而大石头会对水流产生阻挡和反射作用。
这时候，我们通过在大石头的另一侧设置一个“镜像小鱼”（镜像电流元），就能更清楚地知道整个河流中水流（磁场）的走向和分布啦。
磁场的镜像法在很多实际问题中都有着重要的应用呢。
比如在电磁屏蔽方面，我们就可以利用镜像法的原理来设计屏蔽结构，让不需要的磁场像被镜子反射一样，被引导到我们希望的方向去，从而减少对其他设备的干扰。
这就好像给我们的电子设备穿上了一件“隐形披风”，让它们免受外界磁场的“骚扰”，是不是很神奇呢？而且，在电机设计、电磁感应等领域，磁场的镜像法也能帮助工程师们更好地分析和设计设备。
通过巧妙地运用镜像法，他们可以更准确地计算磁场的强度和分布，从而优化设备的性能，提高效率。
总之，磁场的镜像法就像是一把神奇的钥匙，能够打开很多复杂磁场问题的大门，让我们更深入地了解和掌握磁场的奥秘。
电磁场 镜像法PPT课件
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
镜像法计算通电导体磁场强度
1、电磁学的镜像法有平面镜像法和球面镜镜像法。
2、镜像法的核心思想和核心方法是将感应电荷与原电场（原电荷）的作用等效为镜像电荷与原电场（原电荷）的作用。
3、使用镜像法的难点在于确定镜像电荷的电量多少、电荷位置等。
对于平面镜来说，确定起来较为简单，好似平面镜成像。
4、镜像法的使用条件是“镜”电势为零。
如果不为零，就要通过添加或减少电荷使得“镜”电势为零再使用。
详细的情况可以查看普通物理《电磁学》中文名称：镜像法英文名称：method of image 定义：用物体或基本流动(如旋涡、偶极子等)的镜像来代替固体边界或射流边界影响的一种处理方法。
一种计算静电场或稳定电磁场的方法。
W.汤姆孙(即开尔文)于1848年提出,最先用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场，叫做电像法；后来发展到可以计算某些稳定电磁场，现在称做镜像法。
在电荷的附近出现导体面（或介质分界面）时，这些面对电场有影响。
镜像法就是利用已经熟悉的静电学知识，通过在这些面的另一侧适当位置，设置适当量的假想电荷（称为电荷的像或像电荷），等效地代替实际导体上的感应电荷或电介质界面上的极化电荷，以保证场的边界条件得到满足。
根据静电唯一性定理，在求解区域中，源电荷与像电荷产生的电场就是实际存在的电场。
镜像法常常很简便地得到场的解析解，但只有边界面几何形状很简单的情形才可能成功地设置电像，故不是普遍适用的方法。
目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。
现用简单的例子阐明镜像法。
如图1a所示,大地上方h米处有点电荷q,因为地表感应的面电荷密度N未知，所以不能用积分方法求解电场的V和E。
但是，由于已经知道,图1b为相距2h的正负点电荷在无限空间产生的静电场，场中通过电荷联线中点且与联线垂直的无穷平面为一零等势面，对比图1a与图1b,它们上部静电场的边界条件、点电荷q的位置及媒质的介电常数ε都相同，根据唯一性定理,图1 b静电场的上半部即图1c，就是所求大地上方的静电场。
第三章 恒定磁场(4)-new
若已知磁场分布， 若已知磁场分布，求电流分布 由
r r B = ∇× A
r v ∇× H = J
求解
1.两种导磁媒质中的镜像 两种导磁媒质中的镜像
I
r 2 ∇ A1 = 0 ( I处除外）
µ1
h
µ2
求解域
I
µ1 µ1
h h
µ2 µ2
I''
h
r 2 求解域 0 ∇ A2 =
I'
I
h µ1
µ1 h
ρ θ
µ1 I = = µ1 + 1 2πρ πρ µ2
I
2 µ1
（2） ）
µ2 = µ0 µ1 → ∞
解： 镜像电流
I
µ1 →∞ = µ1 →∞
-I
I
+
µ2 = µ0 µ2 = µ0
µ 2 − µ1 I′ = I = −I µ1 + µ 2 2 µ1 I ′′ = I = 2I µ1 + µ 2
2I
磁场分布特点： 磁场分布特点： 对空气侧而言， • 对空气侧而言，铁磁表 面仍然是一个等磁位面。空 面仍然是一个等磁位面。 气中的 B 线与铁磁表面相垂 折射定理可以证明）。 直（折射定理可以证明）。 • 空气中 ( µ 2 = µ 0 )的磁场为场域无铁磁物质情 况下的二倍。 况下的二倍。
求解域
I''
ρr r I ' H1I H1I ' 衔接条件： 衔接条件： H 1t = H 2 t
I
µ2 h µ2
ρ θ
r H2
求解域
I′ I ′′ sinθ − sinθ = sinθ → I − I ′ = I ′′ 2πρ 2πρ 2πρ I I′ I′ µ1 cos + µ1 θ cos = µ2 θ cos →µ1(I + I′) = µ2I′ θ 2πρ 2πρ 2πρ
电磁场镜像法
§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。
该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。
2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。
3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。
二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。
解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。
由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。
解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。
解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。
电磁场 磁位、磁矢位与恒定磁场的边值问题、恒定磁场的镜像法(完美解析)
当 L2 时 0,
Φm 0 ,
A dl 0 ,
l
与
有
E dl 0 ,
l
E1t E2t 对比，
图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件
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A1t A 2t (1)
第 三 章
恒定磁场
A1t A 2t (1)
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
由 H1t H 2t K 有
1 1 ( A1 )t ( A2 )t K 1 2
对于平行平面场，
A Az e z Ae z
A1 A2
1 A1 1 A2 K 1 n 2 n
如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。
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第 三 章
第 三 章
恒定磁场
3.4 磁位及其边值问题
Magnetic Potential and Boundary Value Problem
3.4.1 磁位 m (Definition Magnetic Potential m) 无电流区 H 0
H m
m H dl
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第 三 章
3.5 磁矢位及其边值问题
恒定磁场
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
3.5.1 磁矢位 A 的引出
（Definition Magnetic Vector Potential A)
由
B 0 A 0 B A
0
m 0
2
（仅适用于无电流区域）
2 2 2 m 2 m m 在直角坐标系中 m 2 2 2 0 x y z 2. 分界面上的衔接条件 m1 m 2 H1t H 2t 由 m1 m 2 1 2 B1n B2n n n
第四章-镜像法
r10
d
q’ r20 b A B
q' q q r20 |d a| r10 q 4 0 r10 q' 4 0 r20 0
20
2015年8月1日星期六
球面镜像法
若导体球不接地，可用镜像法和叠加原理求球外 的电位。
• 球面是等位面， • 导体球上的总感应电荷为零 q d a
• 以上定理表明，只要给定了介质分布和电荷 分布以及边界上电位满足的边界条件，则场被 唯一确定，不会有两组不同的解满足同样的场 方程和边界条件。
6
2015年8月1日星期六
镜像法
镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法，主要用来求解 分布在导体附近的电荷产生的场。
对于架设在地面上的双线传输的电场分布可以采用镜像法 来分析，此时，地面可作为无穷大导体平面。
2015年8月1日星期六
y
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
ρl a (b,0) m>1
2d
x
29
柱面镜像法
镜像法参数的确定：
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
b m b
b2 a 2 ,m 1 a b2 a 2 ,m 1 a
28
2015年8月1日星期六
柱面镜像法
由圆柱面镜像法等位面的公式知：
x x0 y y0
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้R0
2
2md R0 2 m 1
m2 1 x0 2 d m 1
2md a 2 1 m m2 1 d b 2 m 1
a -ρ l (-b,0) m<1
电磁场与电磁波课件之镜像法
2
x 2 + ( z − h)2
( z ≥ 0)
ε ε
h h′
ρl ρ l′
x
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
y A
d1
q
d2 B
−q
d1
d1
q
d2
d2
x
o
d2
q
d2 d1
d1
−q
可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀， 可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由４个点电荷所引起的。 个点电荷所引起的。
当 z < 1 时， z 轴上的电场强度 代入， 将 z 1 = 1 . 67 m 代入，得
r r 10 −6 1 1 E ( 0, 0 , z ) = − e z [ ] + 2 2 4πε 0 ( z − 1) ( z + 1)
代入， 将 z 2 = 0 . 45 m 代入，得
r r r 10 −6 1 1 E ( 0, 0 , z 2 ) = − e z [ + ] = − e z 3.14 × 10 4 V / m 4πε 0 (0.45 − 1) 2 (0.45 + 1) 2
条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变， 条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的 大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像 大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像 镜像位置 电荷，而这种方法称为镜像法。 电荷，而这种方法称为镜像法。 镜像法 局限性： 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确 定其镜像电荷。 定其镜像电荷。 关 确定镜像电荷的大小及其位置。 键：确定镜像电荷的大小及其位置。 原 则：①所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间; 所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间; 镜像电荷的个数、 ②镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界 面上的边界条件来确定。 面上的边界条件来确定。
电磁场 镜像法ppt课件
Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
(b)
.
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ λ λ
(a)
(b)
(c)
导体上的感应电荷密度为：
n （1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。
（2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应
电荷
Q dS
S
n .
电偶极子的镜像
p
p
(a)
(b)
p
(c)
p
op
o p
(d)
(e)
(f)
注意：镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量 及界面性质无关。
.
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。
解：根据唯一性定理左半空间 0
r′
r
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0
z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
.
Q dS Qa 2rdr Q Q
电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
域。叠加时，要注意场的适用区域。
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镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
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第 一 章
静 电 场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 解： 边值问题 （除q点外的空间) 2 0
S const
思路
D dS 0
S
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
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第 一 章
静 电 场
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
边值问题
0 (导线以外的空间)
2
导体A
const
S
D dS , 电荷分布不均匀
d 2 2 b ( ) a 2
设电轴线电荷 ，任一点电位 2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
静 电 场
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
电磁场理论第25讲-镜像法
I ′ = µ 2 − µ1 I , I ′′ = 2 µ1 I
µ2 + µ1
µ2 + µ1
与静电场镜像法 类比,原因何在？
q′ = q′′ =
ε1 − ε2 ε1 + ε2
2ε 2
q q
ε1 + ε 2
µ
1
→
µ
2
→1 ε1 1 ε2 Nhomakorabea例例空空气气与与铁铁磁磁媒媒质质的的分分界界面面如如图图所所示示，，线线电电流流II位位于于 空空气气中中，，试试求求磁磁场场分分布布。。
解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔
接条件确定I’与I”
H1t = H2t B1n = B2n
I 2πr
sinα
−
I′ 2πr
sinα
=
I′ 2πr
sinα
µ1
I 2πr
cosα
+
µ1
I′ 2πr
cosα
=
µ2
I ′′ 2πr
cosα
I − I′ = I′′ µ1(I + I ′) = µ2 I ′′
I ′′ = 2µ1 I = 2I µ1 + µ2
由由图图可可见见，，此此时时磁磁场场分分布布有有特特点点：： 对对空空气气侧侧而而言言，，铁铁磁磁表表面面仍仍然然是是一一个个等等磁磁位位面面。。空空气气中中
的的BB线线与与铁铁磁磁表表面面相相垂垂直直（（提提示示：：折折射射定定理理证证明明）） 空空气气中中的的磁磁场场为为场场域域无无铁铁磁磁物物质质情情况况下下的的二二倍倍
=
+
线电流I位于无限大铁板上方的镜像
电磁场 镜像法及电轴法
思考：导体表面的电荷分布 密度 ? I I 0 0
n
z 0
z P( x, y, z )
(0,0, d ) q
z
z 0
qd 2 2 2 3/2 2( x y d )
2018/11/12 电工基础教研室金钊 5
一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。 球外(r >a)：
P( x, y, z )
I 0 除点 (0,0, d ) 外 I r a 0
2
I r 0
球内(r <a)：
a o
q
(0,0, d )
z
II 0
2
II r a 0
II r 0
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一、镜像法
例2. 自由空间，接地导体球与点电荷。
z
I r a 0
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b a2 / d q ( a / d ) q
电工基础教研室金钊 7
一、镜像法
例3. 点电荷对无限大介质分界面。 区域I ( z 0) ：
1 2
o
q (0,0, d )
1 0 除点 (0,0, d ) 外
2
1 r 0
电工基础教研室金钊
1 2 q q 1 2 2 2 q q 1 2
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二、电轴法
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电工基础教研室金钊
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二、电轴法
1. 两传输线的电场
y
P( x, y, z )
2
(b, 0, 0)
1
o
(b, 0, 0)
电磁场镜像法知识分享
电磁场镜像法知识分享电磁场镜像法§1-8 镜像法⼀、镜像法1. 定义：是解静电场问题的⼀种间接⽅法，它巧妙地应⽤唯⼀性定理，使某些看来棘⼿的问题很容易地得到解决。
该⽅法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域⽤闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进⾏计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满⾜的泊松⽅程，⽽是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，⽤假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体⾯域（电介质分界⾯）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从⽽使问题的求解过程⼤为简化。
2. 应⽤镜像法应主意的问题应主意适⽤的区域，不要弄错。
在所求电场区域内：①不能引⼊镜像电荷；②不能改变它的边界条件；③不能改变电介质的分布情况；④在研究区域外引⼊镜像电荷，与原给定的电荷⼀起产⽣的电荷满⾜所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应⽤于电场E 和电位?的求解；也可应⽤于计算静电⼒F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
⼆、镜像法应⽤解决的问题⼀般是边界为平⾯和球⾯的情况1. 设与⼀个⽆限⼤导电平板（置于地⾯）相距h 远处有⼀点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑⽆限⼤导电平板上的感应电荷的作⽤，但其分布不知（σ未知），因此⽆法直接求解。
⽤镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20??= 以⽆限远处为参考点()0θ?= 在边界上有：044q qrrπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯⼀性定理有11444q q q r r r r ?πεπεπε+-+-??=-=-对于⼤场E 不存在()0E =推⼴到线电荷τ的情况，对于⽆限长线电荷也适合上述⽅法求解。
例1-15. P54求空⽓中⼀个点电荷q 在地⾯上引起的感应电荷分布情况。
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B2 1 I磁压之定义，此时整个 铁磁体将为一个等磁位体，因而μ1媒质中所有穿过界 面的磁力线，均将与铁磁媒质平面垂直。
8
若导线埋设在铁磁媒质中，可设μ1→∞，则
I ' I
（4-85）
I '' 2I
（4-86）
可按图4-39及图4-40分别求解上半场域及下半场域之 磁场。
在求解上半场域，将下 半场域媒质，换以磁导 率为μ1的媒质，这样， 对被研究的上半场域来 说，场域内部条件未变 化。且在边界外导线I的 镜像位置处，放置一位 置长直导线I’，以代替边 界面上分散的磁化电流。
图4-34 用集中的镜象电流代替媒质交界面 上分散的磁化电流
而在求下半场域时， 将上半场域的媒介 换以磁导率为μ2的 媒质，这样对研究 的下半场域来说， 场域内部条件并未 变化。另外在边界 外导线I处，加置一 位置镜像直导线I’’， 以代替媒质交界面 上分散的磁化电流 和原导线的电流。
2 1 I I 2 1
''
图4-38 用镜象法处理后的 磁场
7
I '' ' 由安培环路定理 H 2 2R 21I 2 1I 1 B2 2 H 2 2R 2 1 R (1 1 / 2 )
（4-83）
在上式中令μ2→∞，即得铁中之磁感应强度为
• 设有磁导率为μ1及μ2的导磁媒质，其交接处 为无限大平面，今有一线形载电流I的导体 与平面平行，求两媒质中磁场。
本问题与静电场中无限长电轴对无限大媒质 平面的镜象相对应。因而在求解磁导率为μ1的 媒质中的磁场时，可按图4-34进行求解，而在 求解磁导率为μ2的媒质中的磁场时，可按图435进行。
上半空间为磁导率为μ1的媒质， 下半空间充满铁磁媒质μ2 ，μ2 》 μ1 ，故令μ2→∞得
I I
I 0
（4-81）
（4-82）
图4-37 邻近铁磁物质平面
上半域中的磁场可按图4-38求解。下半域中，由于I″=0，故 H2=0。
6
由于铁的磁导率为无穷 大，则有B2=μ2H2为一不定式。 为了确定铁中之磁感应强度 B2，只需重新引用式（4-80）
图4-35 用集中的电流代替媒质交界面上分 散的磁化电流和原导线的电流
电流I′就是虚拟（集中量）电流，等效于 边界上实际出现的分散量（分子束缚电流）。 电流I″为原电流I与镜象电流I′两者的合成。
图4-36中分别绘出两 媒质交界面处，每一媒 质中具有代表意义的分 子电流。
图4-36 两不同媒质交界面上由邻近
图4-39 铁磁物质内，磁场求解示意图
图4-40 非铁磁物质内，磁场求解示 意图
9