数列的极限讲解ppt课件

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数学分析讲解---数列极限ppt课件

无穷小，无穷大和无界的关系
定理若xn
0,
则
lim
n
xn
lim
n
1 xn
0.
无穷大无界，反之不成立
例8 当n
时，xn
n2
cos
n 是（
）.
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
15
Stolz定理
设{yn}严格增加，且
lim
n
yn
.
若
12
定理5 若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B, 则有
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
n
xn
)
lim
xn
A
lim
n
xn
n yn
B
lim
n
yn
(B 0);
1 3
Ex. 求极限 lim1 2 L n
n
nn
2 3
五、数列收敛准则
1单调有界定理设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立
lim
n

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

《数列极限》课件

数列极限的求法和定理
夹逼定理
当数列中的部分项趋近于某值时，可以用夹逼定理计算数列极限。
单调有界性原理
针对单调有界数列极限计算，有效避免无关项的干扰。
等比数列求和公式
等比数列常用求和公式是根据数列的公比、项数和首项等参数来计算其总和。
数Байду номын сангаас极限的应用
1
概率论
数列极限可以用于计算连续抛硬币等随机事件的概率。
2
微积分
通过数列极限的积分运算，在空间形体的计算上取得模型化精确结果。
3
金融学
通过数列极限的公式及定理，对于计息的时间长度和贷款利率有精确的计算方法。
数列极限和函数极限的关系
概念解释
数列极限和函数极限都是极限概念，数列极限为数列中每一项趋向于某个常数值，函数极限为自变量无限接近某一值时因变量所趋向的极限值。
《数列极限》PPT课件
欢迎大家来学习本课程，我们将深入了解数列极限的概念及应用，同时带您领略数学的神奇之处。
数列极限概述
1 数列
数列就是按照一定次序排列的一列数。
2 收敛与发散
数列收敛是指数列的值无限地靠近某个数，发散表示数列的值趋于正无穷或负无穷。
3 应用
数列极限有诸如杨辉三角、黄金分割数等数学问题的解决方法。
针对实际问题，通过数列极限相应的公式和求值技巧得出定量结果。
数列的定义及分类
等差数列
其数列中每一项与前一项之差相等。
等比数列
其数列中每一项与前一项之比相等。
斐波那契数列
其数列中每一项都等于前两项之和。
数列极限的定义和性质
1 数列极限的定义
数列极限是指随着数列项数的增加，数列中的每一项趋近于某个确定的常数。

《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$，则数列${a_n}$也收敛于$L$。通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的推导过程
通过极限理论、实数完备性等数学工具，可以推导出微积分基本定理。
03
微积分基本定理的应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，可以用于解决面积、体积、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这样的$N$，可以证明数列的收敛

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固定比例的数列。数列极限的概念用于计算几何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用，如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包括将函数展开为幂级数，并利用幂级数的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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数列的极限课件_PPT课件

n
例题讲解
例3 计算：
2 （1）lim 7 n n 3n 4 （2） lim n n n12n1 （3） lim n 6n2
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
3n 4 l i m lim 3 2 n n 6 n n ①若分子最高次＝分母的最高次，那么极限值为
分子最高次项系数分母最高次项系数
n 1 2 n 1
2 2 n 3 n 11 l i m 2 n 6 3 n
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
2n3 3n 1 lim n 6n2
②若分子最高次>分母的最高次，那么极限值不存在
①“项”随n的增大而小 ②但都大于0
③当n无限增大时， n 可以“无限趋于”常数0
2
1
知识讲解
1 1 1 1 举例2： , 2 , 3 , , n , 1 01 0 1 0 1 0
1 lim n 0 n 10
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，1 0
n
可以“无限趋于”常数0
n 个
问题思考
思考：用什么体现这种无限接近的过程？
知识讲解
1 1 举例7： 1 , , , , , 2 3 n 1
n
lim
n
1
n
n
0
①“项”正负交错排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，
1
n
n
可以“无限趋于”常数0
知识讲解
举例7： a n
n
l i m a A , l i m b B n n

数列的极限ppt

恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
几何买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。

高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt

1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n}
1 {2n }
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子列的收敛性
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
有 xn 1 成立.
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列
xn的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
四、数列极限的性质
性质1 如果数列有极限，则极限是唯一的.

数列极限-PPT精选文档

2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求的值（2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q

高等数学《数列的极限》课件

则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
欲使
即
只要
因此 , 取
则当
时, 就有
故
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
的极限为0 .
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
第一章
二、收敛数列的性质
三、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
数列的极限
数学语言描述:
一、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
(刘徽割圆术)
他对数学的贡献主要集中
在微积分学,

02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
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结束
铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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《数列极限的性质》课件

不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。

数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

高等数学之数列的极限PPT课件

§2 数列的极限
一、概念的引入二、数列的概念三、数列极限的定义四、数列极限的性质
1
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R

正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
随着 n 的无限增大而无限趋于 0 .
4
二、数列的概念
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
（1）
称为实数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
则对一切 n,皆自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
推论无界数列必定发散.
13
例数x列 n(1)n1.
事实 ,{xn}是上有 ,但界却的 . 发散
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
14
3、保号性定理3 若 ln imxn a, 且a >0( 或a <0)，则存在
证设数 x n k 是列数 x n 的列任一子
ln i m xna,
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 . 取KN,
则k 当 K时 , n k n k n KN .
xnk a. k l i m xnk a.
证毕．
21
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 , 则原数列一定发散 . 例如，

数列极限ppt课件

lim
n
xn
A,
或
xn
A(n ),
此时也称{ xn }的极限存在.
否则称{ xn }的极限不存在,或称{ xn } 发散.
5
定义5 设{ xn }是一个数列, A是一个常数,若对任给的 0, 存在正整数 N,使得当 n N时,都有| xn A | ,则称 A是
数列{ xn }的极限,或称{ xn }收敛于A,记作
特别地,若 xn
0
(或 xn
0
),则lim
n
xn
0
(或 lim
n
xn
0).
9
注:在推论2中即使是xn
yn
,也只能推出lim
n
xn
lim
n
yn .
定理4(夹逼定理)设数列{ xn },{ yn },{zn}满足xn yn zn (当
n
N时),且 lim
n
xn
lim
n
z
a
,则 lim
n
yn
a.
例2
lim
n
yn ,则存在正整数
N,当n
N 时,有xn
yn .
推论1(保号性定理)设 {
xn
}的极限存在,且lim
n
xn
0
(或
lim
n
xn
0),则存在正整数N,当n
N
时,有xn
0(或
xn
0).
推论2 设{ xn },{ yn }的极限存在,若 xn yn (当n N 时),则
lim
n
xn
lim
n
yn .
lim
n
xn
A,

高三数学数列的极限精选课件PPT

0 .9 19 0 4 0 .3 0 1 50 0 .9 59 0 1 0 .5 0 1 20 2 0 .9 19 0 0 2 .2 0 1 0 40 4 0 .9 29 0 5 0 .1 0 1 0 80 8 由此猜想 lim 0.9n 90
n
一般地，如果 |ห้องสมุดไป่ตู้a | 1，那么 nl im an0.
周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
定量分析
圆的半径 R 1 2
2.3 数列的极限
项号边数内接多边形周长
1 3 2.598076211353 2 6 3.0 3 12 3.1 4 24 3.1
5 48 3.7
2.3 数列的极限
2.3 数列的极限
战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：
一尺之棰日取其半万世不竭.
……
定量分析
2.3 数列的极限
项号项
1
1
2
1
2
4
1
3
8
4
1 16
1
5
32
6
1 64
1
7
128
1
8
256
……
这一项与0的差的绝对值
| 1 0|0.5 2
| 10|0.25 4
| 10|0.125 8
（2）
1， 2， 3，， n， 234 n1
（3） 1 ，２ 1， 1 3，， ( n 1 )n，
共同特性是：不论这些变化趋势如何，随着项数n 的无限增大，数列的项 a n无限地趋近于常数a（即 ana 无限地接近于0）．