电路的暂态分析_一阶线性电路的响应
电路的暂态分析
电路的暂态分析电路的暂态分析是对电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态时中间经受的过渡状态的分析。
电路中产生暂态过程的缘由是由于电路的接通、断开、短路、电路参数转变等——即换路时，储能元件的能量不能跃变而产生的。
(1)换路定则与电压、电流初始值的确定换路定则用来确定暂态过程中电压、电流的初始值，其理论依据是能量不能跃变。
在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变否则将使功率达到无穷大设t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。
则换路定则用公式表示为：电压与电流初始值的确定* 作出t=0–的等效电路，在此电路中，求出和。
* 由换路定则得到和。
* 作出t=0+的等效电路换路前，若储能元件没有储能，则在t=0+的等效电路中，可将电容短路，而将电感元件开路；若储能元件储有能量，则在t=0+的等效电路中，电容可用电压为的抱负电压源代替，电感元件则可用电流为的抱负电流源代替。
*在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值。
(2)RC电路的响应在t=0时将开关S合到1的位置依据KVL，t≥0 时电路的微分方程为设换路前电容元件已有储能，即，解上述微分方程，得t=RC单位是秒，所以称它为RC电路的时间常数。
这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应，称为RC 电路的全响应。
若换路前电容元件没有储能，即，则初始储能为零，由外加电源产生的响应，称为RC电路的零状态响应。
uC随时间变化曲线时间常数t=RC，当t=t时，uC= 63.2%UuC由初始值零按指数规律向稳态值增长，电路中其他各量要详细分析才能确定。
若在t=0 时将开关S由1合到2的位置，如下图。
这时电路中外加激励为零，电路的响应由电容的初始储能引起的，故常称为RC 电路的零输入响应。
电容两端的电压uC由初始值U0向稳态值零衰减，这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为在零输入响应电路中各电量均由初始值按指数规律向稳态值零衰减。
第三章 -暂态电路
3.1.2
1. 换路定律
换路定律
uC、iL 在换路瞬间不能突变。
设t=0时进行换路，换路前的终了时刻用 t=0- 表示，换 路后的初始时刻用 t=0+ 表示。t=0- 和 t=0+ 在数值 上都 等于0。 用数学公式来表示： 说明： 换路定律仅适用于换路瞬 间（即t=0- ~t=0+)用以确定 暂态过程的初始值。
返回
4、电路产生暂态的原因
储能元件 C、L 储存与释放能量需要一定的 时间(一个过程--过渡过程）： 电容C存储电场能量: 1 WC = CuC2 2
WC 不能突变
电感L储存磁场能量: WL 不能突变
uC 不能突变!
1 WL= 2 LiL2
iL
不能突变!
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5.分析暂态的意义
暂态分析就是分析在激励或者在内部储能的作用下电路中各部 分产生的电压和电流随时间的变化规律，故暂态分析也称为时域分 析。 电路中的暂态过程虽然十分短暂，但它对电路产生的影响却十 分重要，一方面要充分利用电路的暂态规律来实现震荡信号的产生、 信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等；另一方面又要 防止电路在暂态过程中产生的过电流或者过电压现象。过电压可能 会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安全运行；过电流可能 会产生过大的机械力或引起电气设备和元件的局部过热，从而使其 遭受机械损坏或热损坏，甚至造成人身安全事故。 所以，进行暂态分析就是要充分利用电路的暂态特性来满足技术 上对电气装置性能的要求，同时又要尽量避免暂态过程中的过电压 或过电流现象对电气设备或人身所产生的危害。
US 稳态
0
t
S t=0 US
R
iL
+
– iL=0
当 开 + 关 L uL S – 闭 合 时 暂态 iL
一阶线性电路暂态分析的三要素法课件
状态变量 iL、uC
独立初始值 iL(0+)、uC(0+) 6
第一章 电路及其分析方法
【例3.1】设: 开关S闭合前L元件和C元件均未储能。 试: 确定S闭合后电路中各电流与电压的初始值。
解: 由t=0-的电路得:
S R1 i
R3
uC(0-)=0 iL(0-) =0
+ Ut =0
— ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV
由换路定则得:独立初始值
后, 在 储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电 阻。类似于应用戴维宁定理解题时, 等效电阻的方法
29
t=0 S R1
R1
+
U
R2
R3 除去电源和
-
C 除储能元件
R2
R3
R0
R0
+
- U0
C
R 0(R 1//R2)R3
R0C
R0的计算: 从储能元件两端看进去
的等效电阻。
30
[例] 在下图中, 已知U1=3V, U2=+6V, R1=1k , R2=2k , C= 3 F , t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t ≥ 0 时 的 uC(t),并画出变化曲线。
0.368U
0
uC t
uC 从初始值按指数规律衰减
快慢由 = R C 决定。
17
同理可推导: iL零输入响应表达式: iLiL(0)et t0
零输入响应曲线 i I0
时间常数 =L/R
0.368I0
i
0
当t= 时, iL=36.8%I0 。
t
电路中 uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流
关系确定。
动
《电工电子技术基础》第5章 一阶电路暂态分析
教学目标
1. 掌握换路定则及暂态过程初始值的确定方法。 2. 理解一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应分析方法。 3. 明确一阶电路的暂态响应与时间常数关系。
4. 熟练掌握RC一阶电路的响应。 5. 熟练掌握RL一阶电路的响应。
6. 熟练掌握三要素法求解一阶电路的方法。
时间常数 等于电压 uC 衰减到初始值U的36.8% 所需的时间。
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第5章 一阶电路暂态分析——RC电路的响应
时间常数 的物理意义
t
Байду номын сангаас
t
uC Ue RC Ue
uC
U0
0.368U
O
1 2 3
1 2 3 t
越大，曲线变化越慢， uC达到稳态所需要的时间越长。
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由初始值确定积分常数A
根据换路定律
uC (0 ) uC (0 ) 0V uC (0) U Ae0
则 A U
uC (t)
t
U (1 e )
(t ≥ 0)
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第5章 一阶电路暂态分析——RC电路的响应
3)电容电压uC的变化规律
t
t
uC (t) U (1 e ) uC ()(1 e )
uC
U
(1
e
t RC
)
uR
U
e
t RC
4.时间常数的物理意义
U
uC
U
R
uR i
t
0
当t= 时，uC ( ) U (1 e1) 63.2%U
表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%时所需时间
43 一阶电路的暂态响应
4.3 一阶电路的暂态响应
4.3.1 三要素法 只含有一个储能元件(或可等效为一个储能元件) 的线性电路，它的微分方程都是一阶常系数线性微 分方程。这种电路称为一阶线性电路。 对于一阶线性电路，我们可以利用经典法 —— 列写电路的微分方程并求解，来分析电路的暂态响 应。根据分析过程中的特点，总结出用于分析一阶 电路而不必求解微分方程的方法——三要素法。
时间常数： ROC RC RO是换路后电容两端的戴 维南等效电阻
4。电流
u R U S t i (t ) e R R
1
同样可用三要素法求解
5。电压电流的波形
u(t ) US i(t )
uC (t )
0.632U S
0.368U R (0)
US R
0.368i (0)
uR (t ) i(t )
时间常数越大，电路的暂态过程越长 时间常数的意义：
时间常数越大，电路的暂态过程越长
2
R
1
i
C
+ US
uR uC
如果电阻一定，则时间常数越大，电容值就越大， 相同电压下所储存的电荷越多，完成充放电的时 间也越长，暂态过程越长； 如果电容值一定，则时间常数越大，电阻值就越 大，电路阻碍电流流动的作用越强，要完成充放 电的时间也越长，暂态过程越长。
uC () 稳态值（终值） uC (0) 初始值 时间常数
1 t
通过求解一阶电路的三要素而获得微分方 程的解，称为三要素法。
3。电阻的电压
US 由KVL得： 1 t uR (t ) U S uC (t ) U S e 由三要素法，电阻上电压的表达式为：
0
2 3
一阶线性电路的暂态
iL
电容C：
C d uC wC pC dt uCiC dt uC C dt C uC d uC dt 0 0 0 0 t t t
1 2 C uC 2
由于能量不能跃变，即在 也就是电容元件两端 换路的瞬间，电容元件和 的电压和电感元件中 电感元件所储存的能量不 的电流不能跃变 能跃变。 设uC（0 －)、 iL（0－)为换路前终了时电容元件两 端的电压和电感元件中的电流， uC（0＋) 、 iL（0＋) 为换路后开始时电容元件两端的电压和电感元件中的 电流，则换路定律可表示为
u L (0 ) U 6 V
(2)稳态值 换路后电路达到稳定状态，电感元件相当于短路，电 容元件相当于开路 i
S
其等效电路如图4-1-3所示， U 由此图得 6V
i1
R1 1Ω
R2 2Ω L
i2
R3 3Ω
i3
uL C
uC
图4-1-3
t 时的电路
U 6 i1 () 6A R1 1 u L ( ) 0
如图4-2-1所示电路，若电容元 件原已储能 ，设Uo，则由换路 定律可知 u (0 ) u (0 ) U
C C O
t=0 S E
R
uR
C
iC
uC
当开关S闭合后（t≥0)，根据基尔 霍夫电压定律（KVL），可列图42-1电路的电压方程，即
uR uC E
图4-2-1 RC串联电路
U 6 i1 (0 ) 6A R1 1
i1
R1 1Ω
R2 2Ω L
i2
R3 3Ω
i3 uC
uL C
图4-1-2
t 0 时的电路
第4章 一阶线性电路的暂态分析
通过分析可得全响应的表达式为
US U 0 US 式中 L iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e （ ）e R R R R L （3）时间常数 （秒），或 （秒） RC R 时间常数 影响动态电路的变化过程，反映电路暂态过程
iR(0+)=0
uC (0 ) iC (0 ) 8 mA 8mA R2 1
则有
uL (0 ) iL (0 ) R3 4mA 2k 8V
iX (0 ) IS iR (0 ) iC (0 ) iL (0 ) [12 0 (8) 4] 16mA
4.1 换路定律及初始值的确定
4.1.1 换路定律 电路中的暂态过程是由电路的接通、断开电源或电路中的 参数突然改变等原因引起的，把电路状态的改变统称为换路。 电路状态的改变是产生暂态过程的外在原因，而电路中含有储 能元件（电容或电感）是产生暂态过程的内因。
4(3)
t 0 假设t=0时进行换路， t 0 表示换路前的终了瞬间，
解得
i1 (0 ) 8 A 3
i (0 ) 4 A 3
4(11)
4.2 一阶线性动态电路的分析
4.2.1 动态电路的响应
1．一阶动态电路的全响应
一阶动态电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为 零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
（1）直流电源激励的RC电路
图示电路，开关 S原处于 a端且已 稳定。在t=0时发生换路，开关S从a 端切换到b端。 由换路定律，有初始值
（2）t=0+时开关S打开，图 (b)，由换路定律得
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
电路的暂态分析_一阶线性电路暂态分析的三要素法
在直流电源作用下， C 开路； L 短路。
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.求时间常数
RC电路： ＝RoC
RL电路：
L
Ro
等效电阻Ro的求解方法 ：
换路后将电路除源，从储能元件两端看进去的等效电阻。
t
f () e
三要素法
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
一阶线性电路指只含有一个储能元件或者可以等效为一
个储能元件的电路。
一阶线性电路在恒定输入激励作用下，全响应的一般
表达式为：
f (t)
f () f (0 )
t
f () e
L uL 1H −
R1
R3
Is R2
iL(0-)
R1
R3
iL(0+)
+
Is
R2
−uL(0+)
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
（2）求uL()
画t =时等效电路 ，uL() =0V
（3）求
3A Is
Ro R1 // R2 R3 2
L 1 0.5 s
Ro 2
Is
（4）求uL(t)
t
uL uL () [uL (0 ) uL ()] e
4e2t V (t 0)
R1 2
R2 2
R3
1 L
1H
+ −uL
R1
R3
+
R2
第06章电路的暂态分析
t
i
U0 R –U0
uR
变化曲线
uR = – uC = –U0e –t /RC U0 –t / RC i = – –— e
R
在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由 初始值按同一指数规律衰减到零。
时间常数 = RC 称为RC电路的时间常数
S F 单位
时间常数 等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所 需的时间。
iL(0+) uL(0+) – L +
uL(0+)=– iL(0+)(R2+R3)
=– 54V 可见 uL(0+) uL(0–)
R2
15
t=0+的电路
换路瞬间仅iL不能跃变,
电感两端的电压uL是可 以跃变的，所以不必求 uL(0-)。
6.2 RC、RL电路的响应
6.2.1 一阶电路的零输入响应 RC电路的零输入响应
u"C
的解。
t RC
du C 通解即： RC uC 0 dt
其形式为指数。设：
u"C Ae
其中:
A为积分常数
u"C 随时间变化，故通常称为自由分量或
暂态分量。
a S
2 t=0 + 10V 4
i1
8 i3 b C + 4 uC 10µ F
-
i2
-
解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V, R0=(4//4+8)=10
U0=4V
uC = U0 e–t / =4e
= R0 C=10 10 10–6=10–4 s
换路定则 : 从 t=0–到 t=0+瞬间，电感元件中的电流iL和电容元 件上的电压uC不能跃变。用公式表示为
一阶电路暂态分析的三要素法
－t/RC
iC＝ －uC(t)／R
e t/ ＝－(US／R) － RC
ri = US / r
返回
例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,
u 1 2 1 在t=0时闭合S ,在T=0.1秒时闭合S ,试求S2闭合后的 C(t),并画出曲线,设S 闭合前 uC=0.
S1
解:S1闭合后:
u u C(0+)= C(0-)=0 uC(∞)= U = 20V
t = 6+(12－6)e－114 V t τ= [(R=16//+R62)e+－R131]4 ·CV=8.8×10－3s
返回
例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。
ir iC
r
u u 解：
( )= ( ) C 0+
C 0－ = US
iK
uC(∞)= 0
+C
uC
－US
R
τ = RC uC(t)=USe
因此将初始值、稳态值、时间常数τ 称为一阶电路的三要素。
返回
二、求解一阶电路的三要素法
全响应= 稳态分量+暂态分量
用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初始值，τ
为时间常数。
f (t)=f (∞)+Ae－t／τ
e f (t)=f (∞) +[ f (0+) －f (∞)] －t／τ
R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ ，E=10V，换路前处于
稳态，在t 线。
=
0时将S由1打向2uC，(V试) 求uC(t)，画出曲
1 S R1
解:
第六章一阶电路暂态分析
第六章一阶电路暂态分析一、教学基本要求1、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义。
2、会计算和分析一阶动态电路，包括三种方法：⑴全响应＝零状态响应＋零输入响应；⑵全响应＝暂态响应＋稳态响应；⑶“三要素”法。
二、教学重点与难点1. 教学重点：(1). 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；(2). 一阶电路时间常数的概念；(3). 一阶电路的零输入响应和零状态响应；(4). 求解一阶电路的三要素方法；(5). 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念；2．教学难点: (1). 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。
(2).电路初始条件的概念和确定方法。
三、本章与其它章节的联系：本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。
第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
四、学时安排总学时：6五、教学内容§6.1 动态电路的方程及其初始条件1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
由于动态元件是储能元件，其VCR 是对时间变量t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。
这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
1）电阻电路图6.1 （a）（b）图6.1（a）所示的电阻电路在t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。
电流i 随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0 后的稳定状态。
说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。
2）电容电路图6.2 （a）（b）图6.2 （c）图6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电容电压满足：i=0，u C=0。
电子电工技术第四章 电路的暂态过程分析
设一阶线性电路中所求变量为 f (t) ，变量的初始值为 f (0 ) ，变量在过渡过程结束后的稳态值为 f () ，时间常
数为 ，则我们可直接写出全响应的表达式为
f (t)
f ' (t)
f "(t)
f () [ f (0 )
t
f ()]e
式中，f '(t) 和 f "(t) 分别表示全响应中对应齐次方程的解和对 应非齐次方程的特解。
uC
t
E(1 e
)
3(1
t
e 2106
)
3(1
e5105 t
)
三、RC电路的全响应
由电容元件的初始储能和外接激励共同作用所产生的电路
响应，称为RC电路的全响应。
在图示电路中，电容元件
已具有初始储能 uC (0 ) U0 ＜U S
当开关S在 t 0 时刻合向电路 ，根据KVL，列出t ≥ 0 的电路
0
从理论上讲电容二端的电压经过无限长时间才能衰减至零
，但在工程上一般认为换路后，经过4 ~ 5 时间过渡过程即结
束。如图所示曲线分别为 uC 、i 、uR 随时间变化的曲线。
uC,uR
i
U
uC
t
t
uR
-U
US R
例 4-3 在图中，开关S长期合在位置1上，当t 0 时把它
合在位置2上，求换路后电容元件上电压uC和放电电流 i 。
第一节 储能元件和换路定则
由于电路结构（例如电路的接通、断开、短路等）或参
数的变化而引起电路从一种状态转变到另一种状态称之为换路
。
当初始时刻无储能，电容、电感中储存的能量与任一时刻
电压与电流的关系为
第5章 一阶电路的暂态分析
开关闭合后电路中的电压和电流微分方程为
RC
求解该微分方程得
u C (t ) U S (1 e
t
d uC uC U S dt
t≥ 0
R S t=0
)
US
流经电容电流
du U iC C C S e t dt R
C
uc
24
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R
3. uC 、i C 变化曲线 t u U ( 1 e RC )
C
t
为什么在 t = 0 时电流最大？
iC uC
U
uC
4. 时间常数 的物理意义 当t=时
1
U R
iC
t
uC ( ) U (1 e ) 63.2%U
R1
US
UC(0+)
在 t = 0- 时刻的电路如图（b） 所示，电容可用电压源 uc(0+) = 6V代替。可得
（b）
u R 1 (0 ) U S U C (0 ) 10 6 4 V
u R 2 (0 ) 0
10
第5章 一阶电路的暂态分析
[例2] 确定图（a）所示电路中iL、uL的初始值，其中 US = 10V，R1 = 1.6k Ω ，R2 = 6 kΩ ， R3 = 4 k Ω , L = 0.2H，设开关断开前电路处于稳态。
1 2 ∵ C 储能：WC CuC 2
uc 发生突变，
\ uC 不能突变
1 2 ∵ L储能： W L LiL \ i L不能 突变 2
第5章 一阶电路的暂态分析
一阶线性电路暂态响应典型例题
i L (∞ ) 2 =
R3 −Ui 2 −3 = − 1 .2 A = × × R2 + R3 R1 + R2 // R3 1 + 2 1 + 1 // 2
i L (t ) 2 = −1.2 + [0.8 − (−1.2)]e
则
−
(t − 2)
τ
= -1.2 + 2 ⋅ e
-
(t - 2) 1.8
在+3V 电源作用下，电路到达稳态时：
i L (∞ ) =
R3 Ui 2 3 × = × = 1 .2 A R2 + R3 R1 + R2 // R3 1 + 2 1 + 1 // 2
据三要素公式，得第一个暂态过程中电感电流的变化规律为：
i L (t )1 = i L (∞) + [i L (0 + ) − i L (∞)]e
u C (0 − ) =
6V 6V × R2 = × 5 K = 1V R2 + R3 5 K + 25 K
换路后的初始瞬间 t=0+时刻，据换路定则有：
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 1V
根据换路后的电路，即在开关 S 断开瞬间，求出 B 点和 A 点的电位 VB (0 + )、V A (0 + )
由以上的计算可以看出：电感电流不能跃变，但电压可以跃变；电容电压不能跃变，但电 流可以跃变；电阻中电流、电压均可能发生跃变。(注：各元件电压、电流正方向选择相同)
例 3.2
在例 3.2 图所示电路中，已知 E=100V,R1=60Ω,R2=40Ω, R3 =40Ω,C=625µF,
第3章 电路的暂态分析
第3章电路的暂态分析3.1 电阻元件、电感元件、电容元件3.2 储能元件和换路定则3.3 RC电路的响应3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法3.5 微分电路和积分电路3.6 RL电路的响应1. 了解电阻元件、电感元件与电容元件的特征;2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响 应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义;3. 掌握换路定则及初始值的求法;4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第3章 电路的暂态分析：本章要求第3章电路的暂态分析稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
研究暂态过程的实际意义1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
2. 控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。
3.1.1 电阻元件描述消耗电能的性质 iRu =根据欧姆定律: 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系 线性电阻 S l R ρ= 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的电性能有关，表达式为： 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0d d 00≥==⎰⎰t Ri t ui W t 2t 电阻的能量 3.1 电阻元件、电感元件与电容元件电阻元件+Ri u _描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。
1. 物理意义i N Φi ψL ==电感: ( H) 线性电感: L 为常数; 非线性电感: L 不为常数3.1.2 电感元件电流通过N 匝线圈产生 (磁链)N Φψ=电流通过一匝线圈产生(磁通) Φ2. 自感电动势： ti L t ψe L d d d d -=-=电感元件 i u Φ+-+--i uLL e +3. 电感元件储能 221Li W =ti Le u L d d =-=根据基尔霍夫定律可得： 将上式两边同乘上 i ，并积分，则得： 20021d d Li i Li t ui t i==⎰⎰ 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时, 磁场能增大, 电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。
电路的暂态分析_一阶线性电路的响应
电路的暂态分析_一阶线性电路的响应一阶线性电路是指由一个电感或一个电容元件和一个电阻元件组成的电路。
它是最简单的电路之一，能够在时间域上进行暂态分析，研究电路在输入信号变化时的响应情况。
暂态分析是研究电路在初始条件改变或外部输入信号有突变时的过程。
对于一阶线性电路来说，它的时间响应可以通过求解微分方程或使用拉普拉斯变换进行分析。
首先我们来看一阶线性电路的微分方程。
假设电路由一个电感元件、一个电阻元件和一个电压源组成，电感元件的电压为v(t)，电阻元件的电压为Ri(t)，电压源的电压为Vs(t)，根据基尔霍夫电压定律，可以得到微分方程：L di(t)/dt + Ri(t) = Vs(t)其中L是电感的感应系数。
我们可以通过对该微分方程进行求解，得到电流i(t)对时间t的函数关系。
这样我们就可以通过已知的输入信号Vs(t)和初始条件来计算电流i(t)在暂态过程中的变化。
对于电压源来说，输入信号可以是一个脉冲、斜坡、正弦波等等。
具体的分析方法则会有所不同。
对于脉冲输入信号，我们可以将输入信号表示为一个单位阶跃函数u(t)与输入信号幅值的乘积，即Vs(t)=A*u(t)。
这样我们可以将微分方程改写为：L di(t)/dt + Ri(t) = A*u(t)对该微分方程进行求解，可以得到电流i(t)的函数表达式。
对于斜坡输入信号，我们假设输入信号为一个线性函数，逐渐上升到其中一固定值再保持不变。
此时我们可以直接将输入信号带入微分方程求解。
对于正弦波输入信号，我们可以将输入信号表示为一个复指数函数，即Vs(t)=A*e^(jωt)。
通过将复指数函数转化为正弦和余弦函数的线性组合，可以将微分方程改写为两个实数形式的微分方程：L dI(t)/dt + RI(t) = A*sin(ωt)L dQ(t)/dt + RQ(t) = A*cos(ωt)其中I(t)和Q(t)分别是i(t)的实部和虚部。
对于一阶线性电路的响应，可以从暂态响应和稳态响应两个方面来进行分析。
一阶线性电路暂态分析的三要素法
一阶线性电路暂态分析的三要素法
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：
式中, f(t) 代表一阶电路中任一电压、电流函数
利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。
一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和t 的基础上, 可直接写出电路的响应( 电压或电流) 。
电路响应的变化曲线
三要素法求解暂态过程的要点
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
响应中“三要素”的确定
(1) 稳态值f(∞) 的计算
求换路后电路中的电压和电流，其中电容 C 视为开路, 电感L 视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。
(2) 初始值f(0+)的计算
(3) 时间常数t 的计算
注意：
1) 对于简单的一阶电路，R 0 = R ;
2) 对于较复杂的一阶电路，R 0 为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。
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（2）uC (t ) U
t
Ue RC
V （t≥0）
稳态分量 （强制分量）
暂态分量 （自由分量）
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
3. RC 电路的全响应
一个具有非零初始状态的电路受到外加激励作用时电路中产
生的响应。
在图示电路中，开关S在t＝0时动作，
在此之前，电路处于稳定状态。 求：t≥0时，电压uC和电流i 的变化规律。
uC (t ) U
t
Ue RC
V（t≥0）
零 输 入
uC(t) uC(t) uC(t)
响 应
t
t
Uoe RC (U Ue RC )
零
t
U (U o U )e RC V
状 态
（t≥0）
响 应
3.2 一阶线性电路的响应
1
Ri
+ + 2 S(t=0) Uo− U−
+ −uC
1
Ri
+ Uo−
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
Uo
3 2 1
0.368Uo
0
1 2
3 t
越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到稳态所
需要的时间越长。
结论: 是决定电路过渡过程变化快慢的电路参数。
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
2. RC 电路的零状态响应
储能元件初始能量为零，换路后仅在外施电源激励作用下产生 的响应。
iC (t )
C
duC dt
U0 R
t
e RC
A（t≥0）
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
t
uC (t ) U 0e RC V （t≥0）
1
+
iC (t ) C
duC dt
U0 R
t
e RC
A（t≥0）
Uo−
uC( t )和i ( t ) 的变化曲线：
定义： RC
称为时间常数 单位：秒（s）
+ Uo−
1
Ri
+ 2 S(t=0) U−
+ −uC
方法一： 列微分方程求解
uC (0 ) uC (0 ) U o
RC
duC dt
uC
U
t
uC (t ) U (U o U )e RC V（t≥0）
第三章 电路的暂态分析
方法二： 叠加原理
全 响
t
应
uC (t ) U 0e RC V （t≥0）
U 0
t
Uo> U 电容放电
U
uC
Uo 0
t
Uo< U 电容充电
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
t
分析： uC (t ) U (Uo U )e RC
①t＝0＋时 uC (0 ) Uo
②t →∞时 uC () U
③ ＝RC
t
uC (t ) uC () uC (0 ) uC () e
③t≥0时：
i R uC U
i C duC dt
RC
duC dt
uC
U
1
+ U−
Ri
2
S(t=0)
−+uC
又 uC (0 ) uC (0 ) 0
uC( t )和i ( t ) 的变化曲线：
解微分方程得：
U
t
uC (t ) U Ue RC V（t≥0）
U R
iC (t
)
C
duC dt
U
t
e RC
R
A（t≥0）
0
uC
i
t
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
关于时间常数的讨论：＝RC
t
0
U - Ue- t 0
2
0.632U 0.865U
3
4
5
0.95U 0.982U 0.993U
是电容电压从初始值0增加到稳态值的0. 632所需的时间。
当 t =5 时，过渡过程基本结束，
uC
U
uC达到稳态值U。
0.632U
越大，过渡过程曲线变化越慢，
uC达到稳态所需要的时间越长。
3 2 1
0 1 2
3 t
结论: 是决定电路过渡过程变化快慢的电路参数。
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
关于零状态响应的讨论:
（1）uC、uR、i 都按指数规律变化，变化的快慢取
决于同一个时间常数＝RC ；
2 S(t=0) −+u'C
1
Ri
+ 2 S(t=0) U−
+ −u'C'
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
t
t
t
uC (t ) U (Uo U )e RC Uoe RC (U Ue RC )
稳态分量
暂态分量 零输入响应 零状态响应
练习：找出f (t )表达式中的零输入响应和零状态响应。
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
3.2 一阶线性电路的响应
响应分类：
零输入响应: 外施激励为零，由电路中储能元件的初始 值引起的响应。
零状态响应: 储能元件初始储能为零，在外施激励作用
下引起的响应。
全响应:
非零初始状态的电路受到激励作用时引起 的响应。
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
f (t)
f () f (0 )
t
f () e
三要素法
在图示电路中，开关S在t=0动作 ，在此之前，电路处于稳态。
求：t≥0时，电容电压uC和电流i 的变 化规律。
1
+ U−
Ri
2
S(t=0)
−+uC
分析：①t＝0-时，电路处于稳态，C 上没有储能，uC (0 ) 0
②根据换路定则： uC (0 ) uC (0 ) 0
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
3.2.1 RC 电路的响应
1.RC 电路的零输入响应
电路如图，开关S在t＝0时动作，在此之 前，电路处于稳定状态。
1
+ Uo−
Ri
2
S(t=0)
−+uC
求：t≥0时，电压uC和电流i 的变化规律。
分析：①t＝0-时，电路处于稳态，C 相当于开路: uC(0 ) Uo
②根据换路定则：
uC(0 ) uC(0 ) Uo
Uo uC
U00
i
R
R
2
S(t=0)
i −+uC
t
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
关于时间常数的讨论：＝RCt023 Nhomakorabea4
5
U0e- t
U0
0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007U0
是电容电压从初始值衰减到初始值的0.368所需的时间。
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
t
t
f (t) 5 5e RC 5 (10 5)e RC
t
t
10e RC (5 5e RC )
零输入 零状态
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
t
t
t
uC (t ) U (Uo U )e RC Uoe RC (U Ue RC )
uC( t )变化规律：
Uo
uC
③t≥0时：
i R uC 0
i C duC dt
RC
duC dt
uC
0
第三章 电路的暂态分析
3.2 一阶线性电路的响应
RC
duC dt
uC
0
又 uC (0 ) uC (0 ) U o
解上面的微分方程得：
1
+ Uo−
Ri
2
S(t=0)
−+uC
t
uC (t ) U 0e RC V （t≥0）