斜拉索在平面内的非线性自由振动分析

第 22 卷第 4 期 2005 年 8 月
文章编号：1000-4750(2005)04-0101-05
工程力学 ENGINEERING MECHANICS
Vol.22 No.4 Aug. 2005
斜拉索在平面内的非线性自由振动分析
*左晓宝 1,2，李爱群 2，赵 翔 2
(1. 南京理工大学, 南京 210094; 2. 东南大学, 南京 210096)
∞
(L − 2x) ⋅
n=1
nπ L
qn (t) cos
nπx L
+
1
∑ 2
∞ n=1
n 2π L2
2
q
2 n
(t
)
cos
2
nπx L
(11)
则：
沿索线方向总应变为：
∫ ε (t)
=
1
L
ε (x, t)dx
=
L
0
∑ ρg cosθ σ0
∞ n=1
1 nπ
(1− cosnπ )qn (t) +
(12)
作用。
从方程(15)和式(16)可以看出，当发生振动时， 索的自振频率不仅受到 Irvine 参数的影响，而且受 到与各模态之间耦合程度大小的影响；当拉索按某
一模态振动时，若其它模态的振动被激发，则会增
强这一模态振动的激烈程度，也就是说，索在发生
多模态振动时，各模态之间的振动是耦合的，具有
相互激励作用。
摘 要：根据小垂度拉索的受力特性，给出其在平面内发生横向振动的非线性自由振动方程，该方程不仅反映了 拉索的 Irvine 参数及各模态对其自振频率的影响规律，也反映了拉索各模态之间的相互耦合作用。针对拉索发生 单模态振动的情况，将上述的方程简化为一个带平方项的 Duffing 方程，并运用平均法给出了它的近似解析解。 最后，结合具体的工程实例，分析了拉索的有关动力特性，并与数值方法进行了对比。
q
′n
(t
)
+
ω
2 n
q
n
(t
)
+
α
n
q
2 n
(t
)
+
(15)
β
n
q
3 n
(t
)
+
f kn (t)
=
0
(n = 1,2,L)
其中：
ξn
=
Cy 2ωn ρA
，ωn2
=
ω0n2 (1 +ηλn
+ηkn )，
⎫ ⎪ ⎪
ω0n
=
σ 0n2π 2 ρL2
，ηλn
=
λ2 n4π 4
⋅ (1 − cos nπ )2，
由(4)式的第一式，则上式为：
ε (x, t) = ∂y ∂v + 1 ⎜⎛ ∂v ⎟⎞2
(9)
∂x ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠
对(7)式，由分离变量法，令其解为：
∑ v(x,
t)
=
∞ n=1
qn
(t)
sin
nπx L
(10)
把式(3)、(10)代入(9)式，并化简得：
∑ ε (x, t)
=
ρg cosθ 2σ 0
论来研究索振问题[1][2]，这对类似于弦的短索发生 微幅振动是合理的；随着索结构体系的发展，线性 振动的理论难以解释长索发生大幅振动等复杂的 振动现象，P.Hagedorn 等众多学者建立了考虑大幅 振动时索的非线性振动方程[3~6]，但由于方程的复
———————————————
收稿日期：2003-08-04；修订日期：2003-11-08 基金项目：国家自然科学基金(50038010) 作者简介：*左晓宝(1968)，男，安徽庐江人，讲师，主要从事结构动力学及振动控制等方面的教学与研究(E-mail: xbzuo@sina.com)；
Key words: inclined cable; non-linear free vibration; differential equation of motion; single mode; Duffing equation
斜拉索是斜拉桥等大跨度结构中非常重要的 受力构件，它承担了结构的绝大部分荷载。由于斜 拉索的刚度小、重量轻、阻尼低，在荷载作用下， 极易发生各种形式的振动。索的振动问题很早就被 人们所重视，Simpson、Irvine 等人运用线性振动理
+
X
=
ρ ⋅ ∂ 2u + C x ∂u
(1)
∂t 2 A ∂t
∂ ∂s
⎜⎛ (σ ⎝
0
+σ)
∂(y +
∂s
v)⎟⎞ +
⎠
ρg
cosθ
+Y
=
ρ ⋅ ∂ 2v + C y ∂v
(2)
∂t 2 A ∂t
其中：σ 0 、σ 分别为拉索的初始及动态拉应力；x 、
y 为静止时拉索上某点的位置； u 、 v 分别为索的
k 2π 2 L2
qk2 (t)
k≠n
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(16) ξn 为阻尼比； ωn 为考虑非线性情况下的拉索的自 振频率； ω0n 为不考虑 Irvine 参数及各模态之间相 互影响的自振频率(即相应弦的自振频率)；ηλn 为考
虑拉索弹性和几何垂度特性(Irvine 参数)对自振频
率的影响系数； λ 为反映拉索弹性和几何垂度特性 的重要参数，又称 Irvine 参数[2]；ηkn 为考虑其它 k 模态对第 n 阶模态频率的影响参数；α n 为非线性方 程的平方项系数； βn 为非线性方程中立方项系数； f kn (t) 为其它 k 模态发生时，对第 n 阶模态的耦合
nπ L2
(1 − cos nπ )，
⎬ ⎪ ⎪
βn
=
1 4
E ρ
⋅
π
4n4 L4
，
⎪ ⎪ ⎪
∑ fkn (t)
=
σ0 ρ
⎜⎛ ⎝
λ L
⎟⎞2 ⎠
1−
cos nπ nπ
∞ k =1
1−
cos kπ kπ
qk
(t)
+
k≠n
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
∑ 1
4
Eg cosθ σ0
⋅ 1− cos nπ nπ
∞ k =1
弦向、横向动位移； X 、 Y 分别为沿 x 、 y 方向的
施加的外力；Cx 、C y 分别为沿 x 、 y 方向的阻尼；
ρ 为拉索的密度； A 为拉索的截面积； g 为重力加
速度；θ 为拉索的倾角。 在小垂度下，可设静止时拉索的曲线方程为抛
物线方程：
y = ρg cosθ (Lx − x 2 )
(3)
∑ 1
4
∞ n2π 2 n=1 L2
q
2 n
(t
)
拉索的动应力 σ 为：
∑ ∑ σ
=
E ⋅ε (t)
= E ⋅ ρg cosθ σ0
E ∞ n2π 2 4 n=1 L2
∞1 n=1 nπ
q
2 n
(t
)
(1− cos nπ )qn (t) + (13)
3 微分方程的简化
根据分离变量法，将式(10)代入(7)后，再对等
本文根据小垂度拉索的受力特性，给出它在平 面内横向振动的非线性自由振动方程，该方程能明 显地看出索的几何特性、振幅等参数对索振动频率 的影响规律，以及索各振动模态之间的相互耦合关 系。为进一步分析斜拉索在各阶模态下的振动反 应，以其发生单模态振动的情况为例，给出了斜拉 索在各模态下的非线性自由振动方程，运用平均法 给出了这个方程的近似解析解，并结合数值方法分 析了斜拉索的动力特性。
4 拉索的单模态振动分析
若拉索发生单模态振动，则有：
ηkn = 0 ， f kn (t) = 0 ， (n = 1,2,L)
(17)
将(17)式代入(15)，得：
q
′n′
(t
)
+
2ξ
n
ω
n
q
′n
(t
)
+
ω
2 n
q
n
(t
)
+
α
n
q
2 n
(t)
+
β
n
q
3 n
(t
)
=
0
(n = 1,2,L)
(18)
104
⎪ ⎪ ⎪
∑ ∑ λ2 = E σ0
ηkn
=
λ L
⎜⎜⎝⎛
ρgL cosθ σ0
⎟⎟⎠⎞2，
E ⋅ ∞ 1 − cos kπ σ 0 k =1 kπ
qk (t) +
1 4
E σ0
∞ k =1
k 2π 2 L2
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ qk2 (t)，⎪⎪ ⎪
k≠n
k≠n
⎪
αn
= 1.25
Eg cosθ σ0
⋅
工程力学
这是一个带平方项的 Duffing 方程，利用平均法[10]，
取方程的第一次近似解，并根据初始条件：
qn (0) = S ， q′n (0) = 0 ， (n = 1,2,L)
(c) 索单元处于静平衡位置时的受力 图 1 拉索的计算力学模型
Fig.1 Calculation model of the cable
将(4)、(5)代入(1)、(2)并化简，得到拉索在平面内
的自由振动( X = 0, Y = 0 )微分方程如下：
∂σ = 0
(6)
∂x
斜拉索在平面内的非线性自由振动分析
2σ 0
由于张紧的拉索在动力荷载作用下的振动特
性与弦的振动特性相似，同横向动位移 v 相比，沿 轴向的动位移 u 很小，可忽略；而拉索在平衡状态
下的垂度较小，因此有：
u ≈ 0 ， ds ≈ dx
(4)
在 静 止 状 态 下 ， 对 图 1(c) 的 微 元 ， 由
(b) 索单元处于动平衡位置时的受力
103
(σ
0
+σ
)
∂2v ∂x 2
+σ
∂2 y ∂x 2
= ρ ⋅ ∂2v + Cy ∂t 2 A
∂v ∂t
(7)
本文主要分析拉索沿横向振动的微分方程(7)。
2 应力-应变-位移关系
根据 Green-Lagrange 应变-位移之间的关系： ε (x, t) = ∂u + ∂y ∂v + 1 ⎜⎛ ∂u ⎟⎞ 2 + 1 ⎜⎛ ∂v ⎟⎞ 2 (8) ∂x ∂x ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠
(1. Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China; 2. Southeast University, Nanjing 210096, China)
Abstract: A set of governing equations of non-linear free transverse in-plane vibration of an inclined cable is presented according to the vibration characteristics of small sag cable. The equations reflect the effects of the cable’s Irvine parameter and vibration modes on its natural frequencies, and internal non-linear couplings between the cable modes. When single mode vibration occurs, the governing equations are simplified as a classical Duffing equation with a quadratic term. The averaging method is used to solve approximately the Duffing equation. As an example, dynamic responses of a practical inclined cable are analyzed. The results are verified by numerical results.
式两边取 Fourier 级数，经运算可得：
ρ
⋅
q
n′′
(t)
+
Cy A
qn′ (t) + (σ 0
+σ)
n2π 2 L2
qn (t) +
σρg cosθ 1 (1− cos nπ ) = 0 σ 0 nπ
(n = 1,2,L)
(14)
把式(13)代入(14)式，并化简得：
q
′n′
(t
)
+
2ξ百度文库
nω
n
1 运动微分方程
∑ X = 0, ∑Y = 0 得到：
σ0
∂x 2 ∂s 2
+
ρg sinθ
= 0，σ0
∂2 y ∂s 2
+
ρg cosθ
=0
(5)
(a) 拉索的位移曲线
如图 1 所示为两端铰支的拉索，根据牛顿定律， 可得索的振动方程：
∂ ∂s
⎜⎛ ⎝
(σ
0
+σ)
∂(x + u) ⎟⎞ + ρg sin θ ∂s ⎠
李爱群(1962)，男，安徽合肥人，教授，博士，博士生导师，主要从事结构振动控制与结构健康监测等方面科研与教学工作； 赵 翔(1975)，男，湖南双峰人，博士生，从事结构振动控制与结构健康监测研究.
102
工程力学
杂性，要精确地求解是比较困难的。为此，很多学 者提出一系列的解决方法：Fujino 为研究索的振动 控制，分析了发生第一模态振动时的方程的解[7]， 而 Z.Yu 等通过数值方法来求拉索的振动反应[8]， F.Benedettini 等运用摄动法来求解上述非线性方程 的近似解[9]。
关键词：斜拉索；非线性自由振动；运动微分方程；单模态；Duffing 方程 中图分类号：TU311.3,O322 文献标示码：A
NON-LINEAR FREE IN-PLANE VIBRATION ANALYSIS OF AN INCLINED CABLE
*ZUO Xiao-bao1,2 , LI Ai-qun2 , ZHAO Xiang2