斜拉索在平面内的非线性自由振动分析

第 22 卷第 4 期 2005 年 8 月
文章编号：1000-4750(2005)04-0101-05
工程力学 ENGINEERING MECHANICS
Vol.22 No.4 Aug. 2005
斜拉索在平面内的非线性自由振动分析
*左晓宝 1,2，李爱群 2，赵 翔 2
(1. 南京理工大学, 南京 210094; 2. 东南大学, 南京 210096)
本文根据小垂度拉索的受力特性，给出它在平 面内横向振动的非线性自由振动方程，该方程能明 显地看出索的几何特性、振幅等参数对索振动频率 的影响规律，以及索各振动模态之间的相互耦合关 系。为进一步分析斜拉索在各阶模态下的振动反 应，以其发生单模态振动的情况为例，给出了斜拉 索在各模态下的非线性自由振动方程，运用平均法 给出了这个方程的近似解析解，并结合数值方法分 析了斜拉索的动力特性。
q
′n
(t
)
+
ω
2 n
q
n
(t
)
+
α
n
q
2 n
(t
)
+
(15)
β
n
q
3 n
(t
)
+
f kn (t)
=
0
(n = 1,2,L)
其中：
ξn
=
Cy 2ωn ρA
，ωn2
=
ω0n2 (1 +ηλn
+ηkn )，
⎫ ⎪ ⎪
ω0n
=
σ 0n2π 2 ρL2
，ηλn
=
λ2 n4π 4
⋅ (1 − cos nπ )2，
∑ 1
4
∞ n2π 2 n=1 L2
q
2 n
(t
)
拉索的动应力 σ 为：
∑ ∑ σ
=
E ⋅ε (t)
= E ⋅ ρg cosθ σ0
E ∞ n2π 2 4 n=1 L2
∞1 n=1 nπ
q
2 n
(t
)
(1− cos nπ )qn (t) + (13)
3 微分方程的简化
根据分离变量法，将式(10)代入(7)后，再对等
k 2π 2 L2
qk2 (t)
k≠n
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
(16) ξn 为阻尼比； ωn 为考虑非线性情况下的拉索的自 振频率； ω0n 为不考虑 Irvine 参数及各模态之间相 互影响的自振频率(即相应弦的自振频率)；ηλn 为考
虑拉索弹性和几何垂度特性(Irvine 参数)对自振频
率的影响系数； λ 为反映拉索弹性和几何垂度特性 的重要参数，又称 Irvine 参数[2]；ηkn 为考虑其它 k 模态对第 n 阶模态频率的影响参数；α n 为非线性方 程的平方项系数； βn 为非线性方程中立方项系数； f kn (t) 为其它 k 模态发生时，对第 n 阶模态的耦合
103
(σ
0
+σ
)
∂2v ∂x 2
+σ
∂2 y ∂x 2
= ρ ⋅ ∂2v + Cy ∂t 2 A
∂v ∂t
(7)
本文主要分析拉索沿横向振动的微分方程(7)。
2 应力-应变-位移关系
根据 Green-Lagrange 应变-位移之间的关系： ε (x, t) = ∂u + ∂y ∂v + 1 ⎜⎛ ∂u ⎟⎞ 2 + 1 ⎜⎛ ∂v ⎟⎞ 2 (8) ∂x ∂x ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠
(c) 索单元处于静平衡位置时的受力 图 1 拉索的计算力学模型
Fig.1 Calculation model of the cable
将(4)、(5)代入(1)、(2)并化简，得到拉索在平面内
的自由振动( X = 0, Y = 0 )微分方程如下：
∂σ = 0
(6)
∂x
斜拉索在平面内的非线性自由振动分析
由(4)式的第一式，则上式为：
ε (x, t) = ∂y ∂v + 1 ⎜⎛ ∂v ⎟⎞2
(9)
∂x ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠
对(7)式，由分离变量法，令其解为：∑ Fra bibliotek(x,t)
=
∞ n=1
qn
(t)
sin
nπx L
(10)
把式(3)、(10)代入(9)式，并化简得：
∑ ε (x, t)
=
ρg cosθ 2σ 0
关键词：斜拉索；非线性自由振动；运动微分方程；单模态；Duffing 方程 中图分类号：TU311.3,O322 文献标示码：A
NON-LINEAR FREE IN-PLANE VIBRATION ANALYSIS OF AN INCLINED CABLE
*ZUO Xiao-bao1,2 , LI Ai-qun2 , ZHAO Xiang2
2σ 0
由于张紧的拉索在动力荷载作用下的振动特
性与弦的振动特性相似，同横向动位移 v 相比，沿 轴向的动位移 u 很小，可忽略；而拉索在平衡状态
下的垂度较小，因此有：
u ≈ 0 ， ds ≈ dx
(4)
在 静 止 状 态 下 ， 对 图 1(c) 的 微 元 ， 由
(b) 索单元处于动平衡位置时的受力
nπ L2
(1 − cos nπ )，
⎬ ⎪ ⎪
βn
=
1 4
E ρ
⋅
π
4n4 L4
，
⎪ ⎪ ⎪
∑ fkn (t)
=
σ0 ρ
⎜⎛ ⎝
λ L
⎟⎞2 ⎠
1−
cos nπ nπ
∞ k =1
1−
cos kπ kπ
qk
(t)
+
k≠n
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
∑ 1
4
Eg cosθ σ0
⋅ 1− cos nπ nπ
∞ k =1
作用。
从方程(15)和式(16)可以看出，当发生振动时， 索的自振频率不仅受到 Irvine 参数的影响，而且受 到与各模态之间耦合程度大小的影响；当拉索按某
一模态振动时，若其它模态的振动被激发，则会增
强这一模态振动的激烈程度，也就是说，索在发生
多模态振动时，各模态之间的振动是耦合的，具有
相互激励作用。
Key words: inclined cable; non-linear free vibration; differential equation of motion; single mode; Duffing equation
斜拉索是斜拉桥等大跨度结构中非常重要的 受力构件，它承担了结构的绝大部分荷载。由于斜 拉索的刚度小、重量轻、阻尼低，在荷载作用下， 极易发生各种形式的振动。索的振动问题很早就被 人们所重视，Simpson、Irvine 等人运用线性振动理
论来研究索振问题[1][2]，这对类似于弦的短索发生 微幅振动是合理的；随着索结构体系的发展，线性 振动的理论难以解释长索发生大幅振动等复杂的 振动现象，P.Hagedorn 等众多学者建立了考虑大幅 振动时索的非线性振动方程[3~6]，但由于方程的复
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收稿日期：2003-08-04；修订日期：2003-11-08 基金项目：国家自然科学基金(50038010) 作者简介：*左晓宝(1968)，男，安徽庐江人，讲师，主要从事结构动力学及振动控制等方面的教学与研究(E-mail: xbzuo@)；
摘 要：根据小垂度拉索的受力特性，给出其在平面内发生横向振动的非线性自由振动方程，该方程不仅反映了 拉索的 Irvine 参数及各模态对其自振频率的影响规律，也反映了拉索各模态之间的相互耦合作用。针对拉索发生 单模态振动的情况，将上述的方程简化为一个带平方项的 Duffing 方程，并运用平均法给出了它的近似解析解。 最后，结合具体的工程实例，分析了拉索的有关动力特性，并与数值方法进行了对比。
+
X
=
ρ ⋅ ∂ 2u + C x ∂u
(1)
∂t 2 A ∂t
∂ ∂s
⎜⎛ (σ ⎝
0
+σ)
∂(y +
∂s
v)⎟⎞ +
⎠
ρg
cosθ
+Y
=
ρ ⋅ ∂ 2v + C y ∂v
(2)
∂t 2 A ∂t
其中：σ 0 、σ 分别为拉索的初始及动态拉应力；x 、
y 为静止时拉索上某点的位置； u 、 v 分别为索的
∞
(L − 2x) ⋅
n=1
nπ L
qn (t) cos
nπx L
+
1
∑ 2
∞ n=1
n 2π L2
2
q
2 n
(t
)
cos
2
nπx L
(11)
则：
沿索线方向总应变为：
∫ ε (t)
=
1
L
ε (x, t)dx
=
L
0
∑ ρg cosθ σ0
∞ n=1
1 nπ
(1− cosnπ )qn (t) +
(12)
1 运动微分方程
∑ X = 0, ∑Y = 0 得到：
σ0
∂x 2 ∂s 2
+
ρg sinθ
= 0，σ0
∂2 y ∂s 2
+
ρg cosθ
=0
(5)
(a) 拉索的位移曲线
如图 1 所示为两端铰支的拉索，根据牛顿定律， 可得索的振动方程：
∂ ∂s
⎜⎛ ⎝
(σ
0
+σ)