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【数学】中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习及答案

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中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知：二次函数y=x2−(m+2)x+m−1．(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点是A、B（A在原点左边，B在原点右边），且AB=3，求此时抛物线的解析式；(3)在（2）的前提下，若抛物线与y轴交于点C，问在y轴的正半轴上是否存在点D，使△DOB 和△AOC相似？2．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)绕点A旋转的直线l：y=kx+b1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足AD=2AE时，求直线l的解析式；(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于A(−2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；(3)点P也是抛物线第一象限内的一点，过点P作PN⊥BC于N，连接PC，当以P、C、N为顶点的三角形与△BOC相似时，直接写出点P的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+3ax+c与x轴交于点A，B（点A 在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=4，直线y=−x+b经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接CD，AD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点D在直线AC下方时，连接DB交AC于点E，求S△ADC−S△BDC的最大值及此时点D 的坐标；(3)是否存在点D，使∠CBA=45°+∠DCA？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C．连接AC、BC，已知B(3,0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和△OAC相似，求点Q的坐标；(3)P为抛物线上一点（异于A点），若S△PBC=S△ABC，请直接写出P点的坐标．7．如图，抛物线y1=ax2−6ax+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，设AC关系式为y2=kx+b．若OB=2，tan∠OBC=2，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，DE⊥AC于点E．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当点D位于直线AC下方时，求DE长度的最大值；(3)当△CDE与△AOC相似时，求m的值．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−6,0),B(2,0),C(0,6)三点．(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为15，求点P的坐标；2(3)如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点(1)求a，b的值；(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．x2＋bx＋c与y轴交于点C(0,−4)，与x轴交于点A，B，且B 10．如图，抛物线y=12点的坐标为(2,0)．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，且与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x 轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m①用含有m的代数式表示点E的横坐标为______(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．12．如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点B(3，0)，C(0，−3)过B，C两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E坐标(3)连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．13．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△DBC面积最大值及此时点D坐标；(3)如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴14．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=−12相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P，Q在抛物线上，并与对称轴对称，（P点在对称轴左边），且PQ=2AO，求P，Q的坐标；(3)动点M在直线y=x+4上且△ABC与△COM相似求点M的坐标．15．如图抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A B两点点A(2,0)且OA=2OB与y轴交于点C连接BC D为第一象限内抛物线上一动点过点D作DE⊥OA于点E 与AC交于点F设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ACD面积的最大值及此时D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D使得以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在求出m的值；若不存在请说明理由．16．已知抛物线y=x2+2x−3的图像经过点A(−3，0)点B(n，0)且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1 若点Q为线段BC上一点连接PQ PQ交x轴于点M连接CM当∠MCQ=45°时求点M的坐标；②如图2 连接BC、BP若满足∠ABP=2∠BCO求此时点P的坐标．17．已知直线l:y=kx+b(k>0)与抛物线C:y=ax2(a>0)有唯一公共点P直线l分别交x轴y轴于A，B两点．(1)如图1 当a=1k=1时求b的值；时过点A作直线l的垂线交y轴于点T求T坐标；(2)如图2 当a=12(3)如图3 当k=1时平移直线l使之与抛物线C交于M，N两点点P关于y轴的对称点为Q求证：∠MQP=∠NQP．18．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2−3ax+c与x轴分别交于A(−1,0) B两点与y轴交于点C(0,−2)．(1)求抛物线的函数表达式；的最大值；(2)如图1 点D为第四象限抛物线上一点连接AD，BC交于点E求DEAE(3)如图2 连接AC，BC过点O作直线l∥BC点P Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P Q使△PQB∽△CAB．若存在请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．19．如图1 已知二次函数y=x2+bx+c经过A(−2,0)C(0,−6)并交x轴于另一点B 点E是线段BC上的动点过A E两点的直线与抛物线在第四象限相交于点D．(1)求二次函数的解析式；取最大值时求点D的坐标；(2)当EDEA(3)如图2 连接AC在抛物线上存在点F使△OEF∽△COA求出所有点F的坐标；(4)如图3 过点E作EH⊥x轴于点H以EH为对角线作正方形EGHI当顶点G恰好落在抛物线上时请直接写出点G的坐标．20．已知在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)点B(4,0)交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式：(2)如图1 点P在抛物线第一象限上过点P作PD⊥x轴于点D交BC于点E设点P的横坐标为t PE的长为d求d与t的函数关系式：（不要求写出t的取值范围）(3)如图2 在（2）的条件下点Q在抛物线第四象限上连接AQ AP AP与BC交于点F∠CFA−∠BAQ=2∠PAB若FE=√2GO求点Q的坐标．参考答案1．（1）证明：∵Δ=(m+2)2−4(m−1)=m2+8>0故抛物线与x轴一定有两个交点；（2）解：令y=x2−(m+2)x+m−1=0解得：x=m+2±√m2+82则AB=|x1−x2|=√m2+8=3解得：m=1（舍去）或−1故抛物线的解析式为：y=x2−x−2；（3）解：存在理由：由抛物线的解析式知点C(0,−2)令y=0即x2−x−2=0解得x1=−1∵抛物线与x轴的两个交点是A B（A在原点左边B在原点右边）∵A(−1,0)∵OA=1∵C(0,−2)∵CO=2当△DOB∽△AOC时∵OD AO =OBOC即OD1=22解得OD=1∵D(0,1)；当△DOB∽△COA时∵OD CO =OBOA即OD2=21解得：OD=4∵D(0，4)．综上所述点D的坐标为：(0,1)或(0，4)．2．解：（1）∵B(−3，0)C(0，−3)两点均在抛物线上∴{c=−39−3b+c=0解得{b =2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3 ∵直线y =x +m 经过点B∴0=−3+m ∴m=3∴直线BE 的解析式为y =x +3 联立方程组{y =x +3y =x 2+2x −3解得{x 1=−3y 1=0∴点E 的坐标为(2，5)；（2）存在点P 坐标为(0，5)或(0，7)．理由：若存在这样的点P 使得以D E P 为顶点的三角形与△BOD 相似 如图所示 由于△BOD 是等腰直角三角形 则存在两种情况 即∠DP 1E =90° 或∠DEP 2=90°当∠DP 1E =90°时∵OD =3 ∴OP 1=5∴点P 1的坐标为(0，5)； 当∠DEP 2=90°时∵EP 1⊥DP 2 ∴P 1P 2=DP 1=EP 1=2∴OP 2=7∴点P 2的坐标为(0，7)；所以满足题意的点P 的坐标为(0，5)或(0，7)．3．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx −3经过点A (1,0)和点B (3,0)∵{a +b −3=09a +3b −3=0解得{a =−1b =4∵抛物线的解析式为：y =−x 2+4x −3；（2）①当点D E 在点A 的异侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AF AO =AE AD =12∵AF =12AO =12×1=12∵OF =32∵点F 与点E 的横坐标为32∵点E 的纵坐标为y =−x 2+4x −3=−(32)2+4×32−3=34∵点E 的坐标为(32，34)∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(32，34)∵{k +b1=032k +b 1=34解得：{k=32b 1=−32 ∵直线l 的解析式为y =32x −32；②当点D E 在点A 的同侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F 如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AFAO =AEAD=12 ∵AF =12AO =12×1=12∵OF =12 ∵点F 与点E 的横坐标为12 ∵点E 的纵坐标为y =−(12)2+4×12−3=−54∵点E 的坐标为(12，−54) ∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(12，−54) ∵{k +b 1=012k +b 1=−54 解得{k =52b =−52∵直线l 的解析式为y =52x −52综上所述：直线l 的解析式为y =32x −32或y =52x −52；（3）存在以点B C P Q 为顶点的平行四边形 理由如下：抛物线y =−x 2+4x −3对称轴为直线x =2设Q (2,t ),P (m,−m 2+4m −3)又B (3,0)①以PQ 、BC 为对角线 则PQ 、BC 的中点重合∵{2+m =3+0t −m 2+4m −3=−3 解得m =1∵P(1，0)②以BQ 、PC 为对角线∵{2+3=m +0t +0=−m 2+4m −3−3解得m =5∵P (5,−8)；③以CQ 、BP 为对角线∵{2=m +3t −3=−m 2+4m −3解得m =﹣1∵P (−1,−8)综上所述 P 的坐标为(1,0)或(5,−8)或(−1,−8)．4．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A(−2，0)，B(8，0)两点代入 得{4a −2b +4=064a +8b +4=0 解得：{a =−14b =32∵抛物线的表达式为：y =−14x 2+32x +4当x =0时∵C(0，4)；（2）过M 作ME ∥y 轴交BC 于点E设BC 的解析式为y =kx +b将B(8,0)和C(0,4)代入得解得{k=−12 b=4∵y=−12x+4设M(m,−14m2+32m+4)则E(m,−12m+4)∵ME=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m∵S△MCB=12×8ME=−m2+8m=−(m−4)2+16当m=4时S取最大值16即△MBC面积的最大值为16；（3）①∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OCB时作BD⊥CP交CP的延长线于点D作DF⊥y于点F作BE⊥FD交FD的延长线于点E则四边形OBEF是矩形∵OB=EF,BE=OF．∵∠PCN=∠OCB∵BD=BO∵△BOD≌△BDC(AAS)∵BD=CD．∵∠CDF+∠BDE=90°,∠DBE+∠BDE=90°∵∠CDF=∠DBE∵∠CFD=∠E=90°∵△CDF≌△BDE(AAS)∵CF=DE,DF=BE∵DF+DE=OB=8∵4+2CF=8∵CF=2∵DF=OF=4+2=6∵D(6,6)．设直线CD的解析式为y=kx+4∵6=6k+4∵k=13∵y=13x+4解{y=13x+4y=−14x2+32x+4得{x1=143y1=509{x2=0y2=4（舍去）∵P(143,509)；②∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OBC时∵CP∥OB∵点P与点C的纵坐标相同当y=4时解得x1=6x2=0（舍去）∵P(6,4)．综上可知点P的坐标为(143,509)或(6,4)．5．（1）解：∵CO=4则点C(0,−4)将点C的坐标代入一次函数表达式得：−4=b 则一次函数表达式为：y=−x−4令y=−x−4=0得x=−4∵点A(−4,0)把A C两点坐标代入二次函数解析式中得：{c=−416a−12a+c=0解得：{a=1c=−4则抛物线的表达式为：y=x2+3x−4；（2）解：由y=x2+3x−4=0得x1=1，x2=−4∵点B(1,0)设直线BD交y轴于点N设点D(m,m2+3m−4)设直线BD的表达式为：y=kx+d则{k+d=0mk+d=m2+3m−4解得：{k=m+4d=−m−4直线BD的表达式为：y=(m+4)x−m−4令x=0,得y=−m−4∵点N(0,−m−4)过点D作DH∥y轴交AC于点H则点H(m,−m−4)则S△ADC−S△BDC=12×DH×OA−12×CN×(x B−x D)=12×(−m−4−m2−3m+4)×4−12×(−m)×(1−m)=−52m2−152m=−52(m+32)2+458∵−52＜0则S△ADC−S△BDC有最大值当m=−32时S△ADC−S△BDC的最大值为458此时点D(−32,−254)；（3）解：存在理由：当点D在AC下方时由点A C的坐标知∵∠CBA=45°+∠DCA∵∠CBA=∠DCO∵∠CBA+∠OCB=∠DCO+∠OCB即∠DCB=90°∵DC⊥CB；设点D(m,m2+3m−4)则DE=−m，CE=m2+3m−4−(−4)=m2+3m；过点D作DE⊥y轴于E如图∵∠DCB=∠BOC=∠DEC=90°∵∠BCO+∠DCE=∠DCE+∠CDE∵∠BCO=∠CDE∵△BCO∽△CDE∵CE DE =OBOC=14即4CE=DE∵4(m2+3m)=−m 解得：m=0（舍去）则点D(−134,−5116)；当点D在AC的上方时如图设CD交x轴于点F ∵∠BFC=∠OAC+∠DCA=45°+∠DCA∵∠BFC=∠DCA∵CF=CB；∵CO⊥BF∵OF=OB=1∵F(−1,0)；设直线CD 解析式为y =k 1x −4 把点F 坐标代入得：k 1=−4∵直线CD 的表达式为：y =−4x −4联立直线CD 的表达式与抛物线表达式得：x 2+3x −4=−4x −4 解得：x =−7 x =0（舍去）即点D (−7,24)；综上 点D 的坐标为：(−134,−5116)或(−7,24)． 6．（1）解：将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9) 化简得m 2+m =0 则m =0（舍）或m =−1 ∵m =−1∵y=−x 2+4x −3当x =0时 y=−3 当y =0时 −x 2+4x −3=0 解得：x 1=3,x 2=1 ∵C (0,−3) A (1,0)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b将B (3,0) C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b 解得{k =1b =−3则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）∵△OAC 为直角三角形∵OA =1,OC =3,tan∠OCA =OA OC =13当以B C Q 为顶点的三角形和△OAC 相似时 则：△BCQ 是直角三角形；设Q (t,−t 2+4t −3)①当∠CBQ=90°时如图：∵B(3,0)∵OB=OC=3∵∠OBC=∠OCB=45°∵∠OBQ=∠OBC=45°过点Q作QE⊥OB则：BE=QE∵3−t=−t2+4t−3解得：t=2或t=3（舍去）；∵Q(2,1)当Q(2,1)时∵BC=3√2∵tan∠BCQ=13=tan∠OCA满足题意；②当∠CQB=90°时：如图：过点Q作EF∥OB过点B作BF⊥EF 则：∠CEQ=∠BFQ=90°∵∠CQE=∠QBF=90°−∠FQB∵△CEQ∽△QFB∵CE QF =EQBF即：−t2+4t3−t=t−t2+4t−3解得：t =3（舍去）或t =0（舍去）或t =5+√52或t =5−√52∵Q (5+√52,−1+√52)或Q (5−√52,√5−12)此时BQCQ =BF EQ =√5+15+√5=√55≠13不满足题意 舍去；③当∠QCB =90°时 如图：过点Q 作QF ⊥y 轴 则：∠BOC =∠QFC =90° ∵∠BCO =∠FQC =90°−∠FCQ∵∠FQC =45°∵CF =QF =t∵OF =3+t =−(−t 2+4t −3)解得：t =5或t =0（舍去）；∵Q (5,−8)∵tan∠CQB =BC CQ =3√25√2=35≠13 不符合题意；∵Q (5,−8)不满足题意；综上：Q (2,1)．（3）∵S △PBC =S △ABC∵点P 与点A 到BC 的距离相等如图 过点A 作AP 1∥BC 设直线AP 1与y 轴的交点为G将直线BC 向下平移GC 个单位 得到直线P 3P 2设直线AG 的解析式为：y =x +n 则：0=1+n 解得：n =−1 ∵直线AG 的表达式为y =x −1 联立{y =x −1y =−x 2+4x −3 解得：{x =1y =0 （舍） 或{x =2y =1∵P 1(2,1)∵直线AG 的表达式为y =x −1 ∵当x =0时 ∵G (−1,0) ∵GC =2∵直线P 3P 2的表达式为y =x −5 联立{y =x −5y =−x 2+4x −3解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17∵P 3(3+√172,−7+√172) ∵P (2,1)或P (3+√172,−7+√172)或P (3−√172,−7−√172)．7．（1）解：∵tan∠OBC =2∴OCOB=2 ∵OB =2∴OC=4∴B(−2,0)把B(−2,0)C(0,−4)代入y1=ax2−6ax+c得{4a+12a+c=0c=−4解得{a=14 c=−4∴y1=14x2−32x−4；（2）解：作DF⊥x轴于点F交AC于点G∴∠BAC+∠AGF=90°∵DE⊥AC于点E∴∠EDF+∠EGD=90°∵∠AGF=∠EGD∴∠EDF=∠BAC∴tan∠EDF=tan∠BAC=OC OA=12∴cos∠EDF=cos∠BAC=2√5 5∴DE=2√55DG令14x2−32x−4=0解得x1=−2∴点A的坐标为(8,0)把A(8,0)和C(0,−4)代入y2=kx+b得{8k+b=0b=−4解得∴y 2=12x −4由题意 点D 坐标为(m,14m 2−32m −4) 点G 坐标为(m,12m −4)∴DG =(12m −4)−(14m 2−32m −4)=−14m 2+2m =−14(m −4)2+4∴DE =−√510(m −4)2+8√55 ∵−√510<0 ∴DE 有最大值为8√55； （3）解：由题意 ∠DCE =∠OCA 或∠DCE =∠OAC 时 △CDE 与△AOC 相似 ①当∠DCE =∠OCA 时∴∠OCA =∠DGC ∴∠DCE =∠DGC ∴DC =DG∵DE ⊥AC 于E∴EG =EC =12CG∵tan∠EDG =tan∠OAC =12∴sin∠EDG =√55∴EG =√55DG =√55(−14m 2+2m) ∵cos∠BAC =2√55AG =√52(8−m ) 在Rt △AOC 中 由勾股定理得∴CG =4√5−√52(8−m )=√52m ∴√55(−14m 2+2m)=12×√52m 解得m =3②当∠DCE =∠OAC 且D 位于x 轴下方时CD//OA ∴y D=−4令14x2−32x−4=−4解得x=0（舍去）或x=6即m=6；③当∠DCE=∠OAC且D位于x轴上方时如图设CE交x轴于M则MC=MA设OM=n则CM=AM=8−n在Rt△OCM中由勾股定理得n2+42=(8−n)2解得n=3∴M(3,0)同理直线CM函数关系式为y=43x−4令14x2−32x−4=43x−4解得x=0（舍去）或x=343即m=343综上m=3或6或343．8．（1）解：把A(−6,0),B(2,0),C(0,6)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得{36a −6b +c =04a +2b +c =0c =6解得{a =−12b =−2c =3∵抛物线的函数表达式为y =−12x 2−2x +6．（2）解：如解（2）图1 过P 点作PQ 平行y 轴 交AC 于Q 点设直线AC 的解析式为y =kx +6 把A (−6,0)代入得：0=−6k +6 解得：k =1∵直线AC 解析式为y =x +6设P 点坐标为(x,−12x 2−2x +6) 则Q 点坐标为(x,x +6)∵PQ =−12x 2−2x +6−(x +6)=−12x 2−3x∵S △PAC =12PQ ⋅OA∵12(−12x 2−3x)⋅6=152解得：x 1=−1 x 2=−5． 当x =−1时 P 点坐标为(−1,152) 当x =−5时 P 点坐标为(−5,72)综上所述：若△PAC 面积为152 点P 的坐标为(−1,152)或(−5,72)；（3）解：如解（3）图1 过D 点作DF 垂直x 轴于F 点 过A 点作AE ⊥BC 于E 点∵D 为抛物线y =−12x 2−2x +6的顶点 ∵D 点坐标为(−2,8)设直线AD 的解析式为：y =mx +n把A (−6,0) D (−2,8)代入得：{−6m +n =0−2m +n =8解得：{m =2n =12∵直线AD 为y =2x +12 ∵B(2，0)∵同理可得：直线BC 的解析式为y =−3x +6 ∵AF =−2−(−6)=4 ∵tan∠DAB =DFAF =2 ∵B(2，0) C (0,6)∵tan∠ABC =OCOB =3 BC =√22+62=2√10 sin∠ABC =62√10=3√1010∵AB =2−(−6)=8 ∵AE =AB ⋅sin∠ABC =8×3√1010=12√105∵BE =√AB 2−AE 2=4√105∵CE =BC −BE =2√10−4√105=6√105∵tan∠ACB =AE CE=2∵tan∠ACB =tan∠DAB =2 ∵∠ACB =∠DAB ∵OA =OC=6∵∠ACO =∠CAO =45°；∵使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似 则有两种情况 如解（3）图2当∠AOM =∠CAB =45°时 即M 点在直线y =−x 上 联立{y =−xy =2x +12 解得{x =−4y =4即M 点为(−4,4)．当∠AOM =∠CBA 即OM∥BC 时 ∵直线BC 解析式为y =−3x +6 ∵直线OM 为y =−3x 联立{y =−3x y =2x +12解得{x =−125y =365即M 点为(−125,365)综上所述：存在使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M 其坐标为(−4,4)或(−125,365)．9．解：（1）将A(−2,0) B(8,0)代入解析式得：{4a −2b +4=064a +8b +4=0解得：{a =−14b =32 ∴ a =−14 b =32；（2）①∵的值为−14b 的值为32抛物线的解析式为：y =−14x 2+32x +4；∴C(0,4)设直线BC 解析式为y =kx +c 将B(8,0) C(0,4)代入可得：{8k +c =0c =4解得{k =−12c =4∴直线BC 解析式为y =−12x +4设第一象限D(m,−14m 2+32m +4) 则E(m,−12m +4)∴DE =(−14m 2+32m +4)−(−12m +4)=−14m 2+2m∴DE +BF =(−14m 2+2m)+(8−m)=−14(m −2)2+9∴当m =2时 DE +BF 的最大值是9； ②∴A(−2,0)∴OA =2∴AC 2=OA 2+OC 2=20 ∴AC 2+BC 2=100而AB 2=102=100∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90° ∴∠CAB +∠CBA =90°∵DF ⊥x 轴于F∴∠FEB +∠CBA =90° ∴∠CAB =∠FEB =∠DEC以点C D E 为顶点的三角形与△AOG 相似 只需OADE =AGCE 或OACE =AGDE 而G 为AC 中点∴G(−1,2)由①知：DE=−14m2+2m∴CE=√m2+[4−(−12m+4)]2=√52m当OADE =AGCE时解得m=4或m=0（此时D与C重合舍去）∴D(4,6)当OACE =AGDE时解得m=3或m=0（舍去）∴D(3,25 4 )综上所述以点C D E为顶点的三角形与△AOG相似则D的坐标为(4,6)或(3,254)．10．（1）解：把点C(0,−4)B(2,0)分别代入y=12x2＋bx＋c中得{c=−412×22+2b+c=0解得{b=1c=−4∵该抛物线的解析式为y=12x2+x−4．（2）解：令y=0即12x2+x−4=0解得x1=−4，x2=2∵A(−4，0)∵C(0,−4)∵AB=2−(−4)=6，OC=4∵S△ABC=12AB⋅OC=12．设P点坐标为(x,0)则PB=2−x∵PE∥AC∵∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA ∵△PBE∽△ABC∵S△PBE S△ABC =(PBAB)2即S△PBE12=(2−x6)2化简得：S△PBE=13(2−x)2∵S△PCE=S△PCB−S△PBE=12PB⋅OC−S△PBE=12×(2−x)×4−13(2−x)2 =−13x2−23x+83=−13(x+1)2+3∵当x=−1时S△PCE的最大值为3．（3）解：△OMD为等腰三角形可能有三种情形：①当DM=DO时如图①所示．则DO=DM=DA=2∵AO=CO=4，∠AOC=90°∵∠OAC=∠AMD=45°∵∠ADM=90°∵M点的坐标为(−2，−2)；②当MD=MO时如图②所示．过点M作MN⊥OD于点N则点N为OD的中点∵DN=ON=1，AN=AD+DN=3又△AMN为等腰直角三角形∵MN=AN=3∵M点的坐标为(−1，−3)；③当OD=OM时∵△OAC为等腰直角三角形×4=2√2即AC上的点与点O之间的最小距离为2√2．∵点O到AC的距离为√22∵2√2>2∵OD=OM的情况不存在．综上所述点M的坐标为(−2，−2)或(−1，−3)．11．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)∴y=−(x−1)2+4=−x2+2x−1+4=−x2+2x+3∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：①当y=0时−x2+2x+3=0解得x1=−1则A(−1,0)∴1<m<3设E点的横坐标为t∵m−1=1−t∴t=2−m∴点E的横坐标为2−m；故答案为：2−m；②设F(m,−m2+2m+3)(1<m<3)则E(2−m,−m2+2m+3)∵矩形EFGH为正方形∴FG=FE即−m2+2m+3=m−(2−m)整理得：m2=5解得m1=−√5(舍去)∴G点坐标为(√5,0)；③过点D作DM⊥x轴于M∵EG⊥AD而DM⊥x轴∴∠1=∠4∴Rt△GEH∽Rt△DAM∴EHAM =GHDM即EH2=GH4∴GH=2EH即2m−2=2(−m2+2m+3)整理得m2−m−4=0解得m1=1−√172(舍去)∴G点坐标为(1+√172,0)；（3）解：设AD交EF于Q如图∵FP⊥AD∴∠DPF =90°∵△DFP 与△DAM 相似∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3而FP ⊥DQ∴△FDQ 为等腰三角形∴FD =FQ设直线AD 的解析式为y =px +q把A (−1,0) D (1,4)代入得{−p +q =0p +q =4解得{p =2q =2∴直线AD 的解析式为y =2x +2当y =−m 2+2m +3时 2x +2=−m 2+2m +3 解得x =−12m 2+m +12 则Q (−12m 2+m +12,−m 2+2m +3)∴FQ =m −(−12m 2+m +12)=12m 2−12=12(m +1)(m −1) 而DF 2=(m −1)2+(−m 2+2m +3−4)2=(m −1)2+(m −1)4∴(m −1)2+(m −1)4=(12(m +1)(m −1))2 而m ≠1∴1+(m −1)2=14(m +1)2 整理得3m 2−10m +7=0 解得m 1=1(舍去)∴F 点坐标为(73,209)．12．（1）解：将点B(3，0)，C(0，−3)代入y =−x 2+bx +c 得：{c =−3−9+3b +c =0 解得：{c =−3b =4∵y =−x 2+4x −3∵y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1．（2）解：如图1：在抛物线上取点E 连接CE 过E 作x 轴的垂线交直线BC 于点F设点F(x，x−3)则点E的坐标为(x,−x2+4x−3)∵EF=−x2+3x∵S△CBE=S△CEF+S△BEF=12EF·OB=−32x2+92x=−32(x−32)2+278∵当x=32时△CBE的面积有最大值此时点E的坐标为(32,34 )．（3）解：存在以B P N为顶点的三角形与△ABC相似如图2：连接BP设N(n，0)当y=0时−x2+4x−3=0解得x2=1，x2=3∵A(1，0)∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1∵P(2，1)∵B(3，0)，C(0，−3)，P(2，1)∵∠CBA=∠ABP=45°①当BNBP =BCBA时∵3−n √2=3√22解得n=0所以点N的坐标为N1(0，0)；②当BN BP =BA BC 时 ∵3−n√2=23√2 解得n =73 所以点N 的坐标为N 2(73,0)．综上所述 点N 的坐标为N 1(0，0)或N 2(73,0)．13．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (1,0),C(0,3）两点 且对称轴为直线x =−1 ∵B(−3，0)设y =a (x +3)（x −1） 把C(0，3）代入得解得：a =−1∵抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；（2）如图1 作DE ∥y 轴 交直线BC 于点E设直线BC 的函数解析式为y =px +q 可得：{−3p +q =0q =3 解得：{p =1q =3可得直线BC 的解析式为y =x +3设P （m,−m 2−2m +3）∵E （m,m +3）∵DE =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m∵△DBC 的面积=12DE ×3=−32m 2−92m ∵a =−32<0 ∵m =−32时△DBC 的面积最大=278 此时点D 坐标为(−32，154)； （3）存在 理由如下：∵A (1,0)∴AB =3−(−1)=4∵OB =OC =3∴BC =3√2设直线AC 解析式为y =mx +n∵A (1,0)∴{m +n =0n =3解得：{m =−3n =3∴直线AC 解析式为y =−3x +3①当OM ∥AC 时∴直线OM 的解析式为y =−3x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−3x =−x 2−2x +3 解得：x 1=1+√132（舍去） ∴M 坐标(1−√32,−3+3√132)； ②当△BON ∽△BCA 时∴BN BA =BO BC∴BN =BA ⋅BO BC =4×33√2=2√2 如图 过点N 作NG ⊥x 轴于点G∵∠OBC =45°∴BG =NG =2∴OG =1∴N (−1,2)设直线OM 解析式为y =m 1x 将N (−1,2)代入得：m 1=−2∴直线OM 解析式为y =−2x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−2x =−x 2−2x +3 解得：x 1=√3舍去，x 2=−√3∴M 坐标 (−√3，2√3)综上 点M 的坐标为(1−√132，−3+3√132)或(−√3，2√3) 14．（1）解：当y =0=x +4时∵A (−4,0)当x =0时∵C (0,4)将点A C 的坐标代入y =−12x 2+bx +c 得{0=−12×16−4b +c 4=c 解得b =−1,c =4∵抛物线的表达式为y =−12x 2−x +4； （2）∵A (−4,0)∵OA =4∵PQ =2OA =8∵点P Q 关于对称轴直线x =−1对称∵PQ∥OA∵点P 的横坐标为−1−82=−5 点C 的横坐标为3 当x =−5时∵P (−5,−72),Q (3,−72)； （3）∵A (−4,0)∵OA =4=OC∵对称轴直线x =−1对称∵B (2,0)∵AB =6∵∠AOC =90°∵∠OAC =∠OCA =45°①当△MCO ∽△CAB 时∵46=CM4√2∵CM =8√23 如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =83当x =−83时∵M (−83,43)；当△OCM ∽△CAB 时∵44√2=CM6∵CM =3√2如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =3当x =−3时∵M (−3,1)；综上 M 点的坐标为(−83,43)或(−3,1)．15．（1）解：因为y =ax 2+bx +2过点A (2,0)且OA =2OB 则B (−1,0)则{4a +2b +2=0a −b +2=0解得：{a =−1b =1故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；（2）对于y=−x2+x+2令x=0则y=2故点C(0,2)设直线AC的解析式为y=kx+b由直线过点A C的坐标得{2k+b=0b=2解得{k=−1 b=2直线AC的表达式为：y=−x+2设点D的横坐标为m则点D(m,−m2+m+2)则点F(m,−m+2)则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m=−(m−1)2+1∵−1<0故DF有最大值则△ACD面积最大值为12×AO×DF=12×2×1=1此时m=1点D(1,2)；（3）存在理由：点D(m,−m2+m+2)(m>0) 则OE=m 以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似①当DEOE =OBOC时两三角形相似即DEOE=OBOC=12则−m 2+m+2m=12解得：m=1+√334或m=1−√334（舍去）经检验m=1+√334是原分式方程的解②当DEOE =OCOB时两三角形相似即DEOE=OCOB=2则−m 2+m+2m=2解得：m=1或m=−2（舍去）经检验m=1是分式方程的解故m=1+√334或m=1．16．（1）解：由y=x2+2x−3当y=0时即x2+2x−3=0解得：x1=−3，x2=1∵B(1，0)．（2）解：①∵A(−3，0)，C(0，−3)，B(1，0)∵OA=OC=3,OB=1,则AB=OA+OB=4,BC=√OC2+OB2=√10∵∠OCA=∠OAC=45°∵∠MCQ=45°，∵∠MCQ=∠MAB=45°∵∠CBM =∠ABC∵△CBM∽△ABC∵CB ：AB =BM ：BC 即：BM =BC 2AB =104=52 ∵OM =BM −OB =32 ∵M 在x 轴负半轴∵M (−32,0)；②如图：过点P 作PH ⊥x 轴 设P(m ，m 2+2m −3) (m <0)在线段OC 上取点D 使得DC =DB 则∠ODB =2∠BOC∵∠ABP =2∠BCO =∠ODB 且∠PHO =∠BOD =90°∵△PHB∽△BOD∵PH:BO =HB:OD设OD =a 则DC =CB =3−a在Rt △OBD 中 由勾股定理得 a 2+12＝（3﹣a ）2 解得a =43 即OD =43 ∵m 2+2m−31=1−m43 解得m =−154或m =1（舍去） 当m =−154时 ∵P (−154,5716)． 17．（1）解：当a =1 k =1时 直线l:y =x +b 抛物线C:y =x 2联立{y =x +b y =x2 得：x 2−x −b =0 ∵直线l:y =x +b 与抛物线C:y =x 2有唯一公共点P∴(−1)2−4×1×(−b )=0解得：b =−14；（2）解：当a =12时 抛物线C:y =12x 2联立{y =12x 2y =kx +b得：12x 2−kx −b =0 ∵直线l:y =kx +b (k >0)与抛物线C:y =12x 2有唯一公共点P∴(−k )2−4×12×(−b )=0∴b =−12k 2∴y =kx −12k 2当x =0时 y =−12k 2 当y =0时 kx −12k 2=0 解得：x =k2∴A (k2，0)∴OA =k2∵过点A 作直线l 的垂线交y 轴于点T∴∠BAT =90° ∴∠ATB +∠ABT =90° ∵∠OBA +∠OAB =90° ∴∠OTA =∠OAB ∵∠AOB =∠TOA =90° ∴△AOB ∽△TOA∴OTOA =OABO 即OTk 2=k 2k 22∴OT =12∵ T 在y 轴的正半轴 ∴T (0，12)；（3）证明：如图 令OM QP QN 与y 轴交点分别为D设M(m ，am 2) N(n ，an 2) MN 的解析式为：y =x +c 联立{y =x +b y =ax 2 得：ax 2−x −b =0 解得：x P =12a∴P (12a ，14a)∵点P 关于y 轴的对称点为Q∴Q (−12a ，14a) 联立{y =x +c y =ax 2 得：ax 2−x −c =0 ∵平移直线l 使之与抛物线C 交于M ，N 两点∴m +n =1a令QM 为y =k 1x +b 1 代入M(m ，am 2) Q (−12a ，14a )得：{14a =−k12a +b 1am 2=k 1m +b 1解得：{k 1=am −12b 1=m2∴QM ：y =(am −12)x +m2 令x =0 则y =m 2∴D (0，m 2) 同理可得：QN ：y =(an −12)x +n2∴DE =m 2−14a∴DE −EF =m +n 2−12a =12a −12a =0 ∴DE =EF∵QP ⊥DF∴∠MQP =∠NQP ．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2−3ax +c 与x 轴分别交于A(−1,0) B 两点 与y 轴交于点C(0,−2)． ∴ a +3a +c =0 ∴ a =12∴设抛物线的解析式为y =12x 2−32x −2（2）解：过点D 作DG ⊥x 轴于点G 交BC 于点F 过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K∴ AK∥DG△AKE ∽△DFE ∴DF AK =DEAE设直线BC 的解析式为y =kx +b 1∴{4k +b 1=0b 1=−2解得{k =12b 1=−2∴直线BC 的解析式为y =12x −2 ∵ A(−1,0)∴y =−12−2=−52∴AK =52设D (m,12m 2−32m −2) 则F (m,12m −2)∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m∴DEAE =−12m2+2m52=−15m2+45m=−15(m−2)2+45∴当m=2时DEAE 有最大值最大值为45（3）解：符合条件的点P的坐标为(689,349)(6+2√415,3+√415)理由如下：∵l∥BC∴直线l的解析式为y=12x设P(a1,a12)当点P在直线BQ右侧时如图过点P作PN⊥x轴于点N过点Q作QM⊥PN 于点M∵A(−1,0)∴AC=√5∵AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵△PQB∽△CAB∴PQPB=ACBC=12∵∠QMP=∠BNP=90°∴∠MQP+∠MPQ=90°∴∠MQP=∠BPN∴△QPM∽△PBN∴QMPN=PMBN=PQPB=12∴QM =a 14∴MN =a 1−2BN −QM =a −BN −QM =a 1−4−a 4=34a 1−4 ∴Q (34a 1,a 1−2)将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a 1)2−32×34a 1−2=a 1−2 解得a 1=0（舍去）∴P (689,349) 当点P 在直线BQ 左侧时 由①的方法同理可得点Q 的坐标为(54a 1,2) 此时点P 的坐标为(6+2√415,3+√415) ∴综合所述 存在这样的点P 且坐标为为(689,349)或 (6+2√415,3+√415) 19．解：（1）∵抛物线经过A(−2,0) ∴ {4−2b +c =0c =−6 解得：{b =−1c =−6∴抛物线的表达式为：y =x 2−x −6； （2）y =x 2−x −6=(x +2)(x −3)∴A(−2,0)设直线BC 的解析式为y =px +q 由题意得{3p +q =0q =−6 解得：{p =2q =−6所以直线BC 的解析式为y =2x −6如图 分别过点A 和点D 作y 轴的平行线 交直线BC 于点M 和点N∴△NED ∽△MEA则EDEA =DNAM∵A(−2,0)∴点M 横坐标为−2将x =−2代入BC 的解析式y =2x −6 得y =−10∴M(−2,−10)∴AM =10为定值． ∴当DN 取最大值时ED EA取得最大值设D(t,t 2−t −6) 则N(t,2t −6)则DN =(2t −6)−(t 2−t −6)=−t 2+3t =−(t −32)2+94 ∴当t =32时 DN 取最大值 即EDEA取得最大值 此时D(32,−214)；（3）∵△OEF ∽△COA∠OEF =∠COA =90°①如右图 当点F 在OE 左侧时 过点E 作EP ⊥x 轴于点P 过点F 作FQ ⊥PE 于点Q 则∠OPE =∠EQF =90°∵∠OEF =90°∴∠OEP +∠FEQ =90° ∵∠OEP +∠EOP =90° ∴∠FEQ =∠EOP ∴△OEP ∽△EFQ .OP EQ =PE QF =OE EF =31设E(m,2m −6) 则P(m,0)∵点E在第四象限∴OP=m∵EQ=13m,QF=2−23m∵F(53m−2,53m−6)将F(53m−2,53m−6)代入抛物线得：53m−6=(53m−2)2−(53m−2)−6解得：m1=9+3√35∴点F的坐标(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)；②如右图当点F在OE右侧时过点E作EH⊥x轴于点H过点F作FG⊥EH于点G则∠OHE=∠EGF=90°则△OHE∽△EGFOH EG =HEGF=OEEF=31设OH=n则H(n,0)∵点E在线段BC上且在第四象限∴E(n,2n−6)GF=2−2 3 nA G(n,73n−6)F(13n+2,73n−6)将F(13n+2,73n−6)代入抛物线得：73n−6=(13n+2)2−(13n+2)−6解得：n1=6−3√2n1=6+3√2（舍去）∴点F的坐标(4−√2,8−7√2)综上所述：点F的坐标为(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)或(4−√2,8−7√2)；（4）设点E(m,2m−6)则EH=6−2m则12EH=3−m则x G=m−(3−m)=2m−3即点G(2m−3,m−3)将点G的坐标代入抛物线表达式得：m−3=(2m−3)2−(2m−3)−6解得：m=3（舍去）或34则点G(−32−94)．20．（1）解：将点A(−2,0)点B(4,0)代入y=ax2+bx+4{0=a(−2)2+b⋅(−2)+40=a⋅42+b⋅4+4解得：{a=−12b=1故答案为：抛物线的解析式：y=−12x2+x+4（2）解：由（1）结论可知点C坐标为(0,4)设直线BC解析式为：y=kx+4将点B(4,0)代入解得：k=−1∴直线BC解析式为：y=−x+4∵点P的横坐标为t则点P的纵坐标为−12t2+t+4∴点E的横坐标为t点E的纵坐标为−t+4∵点P在抛物线第一象限上∴PE=PD−ED即：d=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t故答案为：d与t的函数关系式：d=−12t2+2t（3）解：∵GO⊥AB∴△GAO∽△PAD∴GOAO =PDAD即：GO2=−12t2+t+4t+2整理得：GO=4−t∴CG=CO−GO=4−(4−t)=t∵CO∥PD∴CEOD =CBOB=√2即：CEt=√2整理得：CE=√2t∵∠GCF=∠FEP∴△GCF∽△PEF∴CGPE =CFEF即：CGPE=EC−EFEF即：t−12t2+2t=√2t−(4√2−√2t)4√2−√2t解得：t=3或t=4（舍）∴GO=4−t=4−3=1∵∠CFA−∠BAQ=2∠PAB∴∠PAB+45°−∠BAQ=2∠PAB即：∠PAB+∠BAQ=45°作点H(1,−1)作HI⊥x轴垂足为I连接GH则：GI=OA=2∴△AGO≌△GHI(SAS)∴∠GAO=∠HGI∴∠AGH=90°∴∠GAH=45°∴∠PAB+∠BAH=45°=∠PAB+∠BAQ∴∠ABH=∠BAQ∴直线AH与抛物线交点即为点Q设直线AH解析式为：y=kx+b点A(−2,0)点Q(1,−1)在直线上∴{0=k⋅(−2)+b−1=k⋅1+b解得：{k=−13b=−23直线AH解析式为：y=−13x−23∴{y=−13x−23y=−12x2+x+4解得：{x1=−2y1=0∴(−2,0)为点A(143,−209)为点Q故答案为：Q(143,−209)．。

中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案

中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =x =∴点A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO ∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．综上所述，点P 04）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：m ∴直线AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =1k-．将3y =+与y =kx +1联立解得：x，∴点M ．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =4233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =32． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．3．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.5．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．7．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点为()4,3A，与y轴相交于点()0,5B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【答案】（1）21452=-+-y x x；（2）()2,1-M，25y x=-；（3）点P、Q的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝，这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3； （2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得30k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3， 过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3）， PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ， ∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2， ②m 22m-3），解得2 当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°， m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍） 当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍）， 当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标； （2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标： 设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8）， ∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）．（2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10ax 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2． ∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=43点P为x轴下方的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)若点P到AB和AC两边的距离相等，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点D(−52,34)，且顶点P的坐标为(−1,3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方．连接MC，MD求△MCD面积的最大值；(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知点A(3,3)、B(6,0),AC⊥x轴，垂足为点C，直线y=12x与抛物线y=−14x2+2x相交于点O、D过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线PE交射线OA于点E．(1)求点D的坐标；(2)设点P的横坐标为a a≠3求以点A、B、C、E为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式；(3)设直线PE交射线OD于点F交抛物线于点Q以FQ为一边在FQ的右边作矩形FQMN若FN=32且矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形求出a的取值范围．4．在平面直角坐标系中设直线l的解析式为：y=kx+m(k、m为常数且．k≠0) 当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时我们称直线l与这条曲线“相切” 这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l：y=−x+6与双曲线y=9x的切点坐标；(2)已知一次函数y1=2x二次函数y2=x2+1是否存在二次函数y3=ax2+bx+c其图象经过点(−3，2)使得直线y1=2x与y2=x2+1，y3=ax2+bx+c都相切于同一点? 若存在求出y3的解析式；若不存在请说明理由；(3)已知直线l1:y=k1x+m1(k1≠0)直线l2:y2=k2x+m2(k2≠0)是抛物线y=−x2+2x+2的两条切线当l1与l2的交点P的纵坐标为4时试判断k1⋅k2是否为定值并说明理由．5．如图在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=512x2−136x−2与x轴的交点分别为点A B与y轴的交点为点C．(1)求直线BC解析式；(2)点P为第四象限的抛物线上一点连接PB、PC当PB=PC时求点P的坐标；(3)在（2）的条件下连接OP点M在y轴的负半轴上连接MP∠OMP=∠CBP N为OM的中点点Q 在OP上连接MQ、NQ，MQ交抛物线于点R当MQ=2NQ时求R点的横坐标．6．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若抛物线与x轴交于B(4，0)C(−2，0)两点与y轴交于点A(0，−2)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1 若点E是直线CA下方的抛物线上一点过点E作EF∥AB交x轴于点F且EF=√5求点E的横坐标；(3)如图2 点M在点B的正下方连接CM交抛物线于点N直线BN交对称轴于点P作PQ∥CM交射线BM于点Q求BQ的大小．7．如图在平面直角坐标系xOy中已知直线y=−x−3与x轴交于点A与y轴交于点C过A C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点当△MAC的面积最大时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点．要使得以P D E为顶点的三角形与△BOC全等请求出点P点E的坐标；8．如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A B两点与y轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A(−1,0),C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P使得|PB−PC|的值最大求此点P的坐标；(3)点M为该抛物线的顶点直线MD⊥x轴于点D在直线MD上是否存在点N使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在求出点N的坐标；若不存在请说明理由；9．在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=ax2+x+6交x轴负半轴于A交正半轴于B交y 轴于C OB=OC．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1 点P是第三象限抛物线上一点连接BP交y轴于点D设点P横坐标为t线段CD长为d求d与t的函数关系；(3)如图2 在（2）的条件下过点C作BP的垂线交x轴于点F垂足为点G E为CF上一点连接BE 若BE=BD∠BEG=2∠PBA求点P坐标．10．如图1 在平面直角坐标系中O为坐标原点AD为等腰直角△ABC底边BC上的高抛物线y=a(x−2)2+4的顶点为点A且经过B C两点B C两点在x轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2 点E为抛物线上位于直线AC上方的一点过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标；(3)如图2 点M(5，b)是抛物线上的一点点P为对称轴上一动点在(2)的条件下当线段EN的长度最大时求PE+PM的最小值．11．抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴；(2)求证：不论a取何值函数图象必过两个定点；(3)如图若OB=OC点P是直线BC（不与B C重合）上一动点过点P作x轴的垂线交抛物线于M点连接CM将△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上求此时点P的坐标．12．已知抛物线y=a(x+6)(x−2)经过点(0，2)交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧）抛物线的顶点为D对称轴DE交x轴于点E连接EC．(1)直接写出a的值点A的坐标；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点当△MCE是等腰三角形时求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点连接PC、PE将△PCE沿CE所在的直线对折点P落在坐标平面内的点P′处．直接写出点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．13．综合与探究如图1 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−4,0)B(3,0)两点与y轴交于点C连接AC BC现将△ABC沿x轴向右平移至△A′B′C′线段A′C′与线段BC交于点E与抛物线交于点F．(1)求出抛物线和直线BC的函数表达式；(2)当线段FE的长度最大时求此时点F的坐标；(3)如图2 连接OC′将△OA′C′沿着A′C′翻折得到△O′A′C′是否存在某一时刻使得点O′恰好在抛物线上若存在请直接写出此时平移的距离；若不存在请说明理由．14．如图1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a≠0）的图像与x轴交于A B两点（A 点在B点左侧）与y轴交于点C(0,3)且其函数表达式可以变形为y=a(x+1)(x−3)的形式．已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点设其横坐标为m．(1)求出点A点B的坐标和该二次函数的表达式；(2)连接BC过点P作PQ⊥x轴于点Q交BC于点N直线AP交y轴于点M连接MN．①求出直线AP的函数表达式（用含有m的代数式表示）；②设四边形MNQO的面积为S求S关于m的函数关系式并求S的最大值；(3)如图2 若直线l为该二次函数图像的对称轴交x轴于点H直线AP BP分别交直线l于点E F．在点P运动的过程中HF+HE是否为定值？若是请求出该定值；若不是请说明理由．15．在平面直角坐标系中关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a b c为常数且a<0）与x轴交于两个不同的点A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)与y轴交于点C抛物线的顶点为M．(1)如图1 已知a=−1b=2c=3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F．当点E在线EF求此时点P的坐标．段OB上运动时（不与点O B重合）恰有线段PF=12(2)如图2 当c=0时点P是抛物线对称轴左侧图像上任意一点过点P作PE⊥x轴于点E连接MP交y轴于点Q连接EQ MB．则EQ MB有怎样的位置关系?说明理由．16．如图抛物线的顶点坐标为(2,−3)与y轴交于点C(0,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A B的坐标及线段AB的长；(3)求△ABC的外接圆⊙D的半径；(4)若（3）中的⊙D交抛物线的对称轴于M N两点（点M在点N的上方）在对称轴右边的抛物线上有一动点P连接PM PN PC线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧MCN和线段PM PN组成的图形）分成两部分当这两部分面积之差等于4时求出点P的坐标．17．如图在平面直角坐标系中抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于点A点B与y轴交于点C．(1)如图1 连接AC直接写出sin∠ACO的值；(2)如图2 连接BC．点G(1,a)在抛物线上连接CG、BG若异于点G的点H也在抛物线上且S△BCH= S△BCG求点H的坐标；(3)如图3 若直线y=mx+n与抛物线交于点P Q连接AP交y轴正半轴于点M连接AQ交y轴负半轴于点N若OM⋅ON=32求4m+n的值．18．如图1 已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3)其顶点为D(1,2)．(1)求二次函数的表达式；(2)直线CD与x轴交于M现将线段CM上下移动若线段CM与二次函数的图象有交点求CM向上和向下平移的最大距离；(3)若将（1）中二次函数图象平移使其顶点与原点重合然后将其图象绕O点顺时针旋转90°得到抛物线G如图2所示直线y=−x+2与G交于A B两点P为G上位于直线AB左侧一点求ΔABP面积最大值及此时点P的坐标．19．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)与x轴交于点A(−4,0)B 两点与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点过点P作PD∥y轴交AC于点D求PD的最大值及此时点P的坐标；个单位长度得到新抛物线y′新抛物线y′的对称轴交x轴于点M点N是直(3)将该抛物线沿x轴向右平移52线AC上一点在平面内确定一点K使得以C，M，N，K为顶点的四边形是以CN为边的菱形写出所有符合条件的点K的坐标并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．20．如图抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)B两点与y轴交于点C(0,3)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1）点P是线段BC上的一动点过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q连接CQ若CQ平分∠OCB求点P的坐标；(3)如图（2）过A B C三点作⊙I直线y=t(t>3)交⊙I于点M N交抛物线于点E F．若EM+FN=MN求t的值参考答案：1．(1)y =x 2+143x −8 (2)51(3)P (56,−4112)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 先求出直线AC 的解析式 设P (t,t 2+143t −8) 则D (t,−43t −8) 则PD =−t 2−6t 求出S △APC 的最大值 再由S 四边形AOCP =S △ACP +S △AOC 可知当S △APC最大时 S 四边形AOCP 最大 由此即可得到答案；（3）如图所示 取点E 使其坐标为(4，0) 连接AC 、CE 取CE 中点F 连接AF 先证明AE =AC 进而得到AF 平分∠CAE 则直线AF 上的点到AC AB 的距离相等 由此即可知点P 即为直线AF 与抛物线的交点 据此求解即可．【详解】（1）解：∵OA =6∵A (−6,0)∵可设抛物线解析式为y =a (x +6)(x −43)又∵当x =0时 y =−8 即C (0,−8)∵6×(−43)a =−8 ∵a =1∵抛物线解析式为y =(x +6)(x −43)=x 2+143x −8；（2）解：如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 设直线AC 的解析式为y =kx +b 1∵{−6k +b 1=0b 1=−8∵{k =−43b 1=−8∵直线AC 的解析式为y =−43x −8设P(t,t2+143t−8)则D(t,−43t−8)∵PD=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t∵S△APC=S△APD+S△CPD=12PD⋅(x P−x A)+12PD⋅(x C−x P)=12PD⋅(x C−x A)=3PD=−3(t+3)2+27∵−3<0∵当t=−3时S△APC最大最大为27∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC∵S四边形AOCP=S△ACP+24∵当S△APC最大时S四边形AOCP最大最大为27+24=51；（3）解：如图所示取点E使其坐标为(4，0)连接AC、CE取CE中点F连接AF∵A(−6,0)C(0,−8)∠AOC=90°∵AE=10，AC=√OA2+OC2=10∵AC=AE∵F是CE的中点∵AF平分∠CAE∵直线AF上的点到AC AB的距离相等设直线AF的解析式为y=k1x+b2∵{−6k1+b2=0 2k1+b2=−4∵{k1=−12 b2=−3∵直线AF的解析式为y=−12x−3联立{y=−12x−3y=x2+14x3−8得6x2+31x−30=0解得{x=56y=−4112或{x=−6y=0（舍去）∵点P的坐标为(56,−4112)．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合一次函数与几何综合角平分线的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理等等正确作出辅助线是解题的关键．2．(1)y=−x2−2x+2(2)12564(3)(−2,2)或(−1,3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△MCD面积=S△MHD+S△MHC即可求解；（3）①当点Q在点C的下方时证明△QNF≌△CQH(AAS)得到CG=2−t=QN QH=1=FN则点F(t−3,t+1)求出直线PF的表达式进而求解；②当点Q在点C的上方时同理可得：点F′的坐标为(t−3,t−1)进而求解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ)2+k则y=a(x+1)2+3将点C的坐标代入上式并得：34=a(−52+1)2+3解得：a=−1故抛物线的表达式为：y =−(x +1)2+3=−x 2−2x +2 即y =−x 2−2x +2；（2）解：由抛物线的表达式知 点C (0,2)如图1 过点M 作MH∥y 轴交CD 于点H设直线CD 的表达式为：y =sx +t则{34=−52s +t t =2解得{s =12t =2 故直线CD 的表达式为：y =12x +2 设点M(m,−m 2−2m +2) 点H(m,12m +2) 则△MCD 面积=S △MHD +S △MHC =12MH ×(x C −x D )=12×[(−m 2−2m +2)−(12m +2)]×52 =−54(m 2+52m) ∵ −54<0 故函数由最大值当m =−54时 △MCD 面积的最大值为12564；（3）设点Q(−1,t) 如图2①当点Q 在点C 的下方时过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点H 交过点F 与y 轴的平行线于点N∵∠FQN +∠QFN =90°∴∠QFF =∠CQH∵∠N =∠CHQ =90°∴△QNF ≌△CQH (AAS )∴CH =2−t =QN∴点F(t −3,t +1)设直线FP 的表达式为：y =px +q则{3=−p +q t +1=p(t −3)+q解得{p =1q =4 故直线PF 的表达式为：y =x +4②联立直线PE 与抛物线的：{y =x +4y =−x 2−2x +2解得：{x =−2y =2（不合题意的值已舍去） 即点E(−2,2)；②当点Q 在点C 的上方时同理可得：点F′的坐标为(t −3,t +1)由点P F ′的坐标得：直线PF ′的表达式为y =x +4 同情况①故点E(−2,2)；当点F 与点E 重合时 也符合题意综上 点E 的坐标为(−2,2)或(−1,3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．3．(1)D(6,3)(2)S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)(3)a =3−√3或a =94或3≤a <4【分析】（1）联立两个函数解析式解方程组即可；（2）先求解直线OA 的解析式为y =x 可得点E(a,a) 再分两种情况讨论即可；（3）分情况讨论：①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ②如图 当AC 为矩形FQMN 的对称轴时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ③如图 当PQ 与AC 重合时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 ④如图 当点F 为直线OD 与AB 的交点时 可得当3≤a <4时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 从而可得答案．【详解】（1）解：联立y =12x 和y =−14x 2+2x 得{x =0,y =0 或{x =6y =3∵点D(6,3)．（2）设直线OA 的解析式为y =kx∵点A(3,3)∴3k =3 解得k =1∴直线OA 的解析式为y =x ．∵点P 的横坐标为a,PE ∥y 轴 且交射线OA 于点E∴点E(a,a)．当0<a <3时 如图S =S △OAB −S △OCE =12×6×3−12×3a =9−32a ． 当a >3时 如图S =S △OBE −S △OAC =12×6a −12×3×3=3a −92． 综上 S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)； （3）①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形∵FQ=FN∴−14a2+2a−12a=32解得a=3±√3其中a=3+√3不满足a<3∴a=3−√3．②如图当AC为矩形FQMN的对称轴时矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形此时∴32=2(3−a)解得a=94．③如图当PQ与AC重合时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形此时a=3．④如图当点F为直线OD与AB的交点时∵点A(3,3),B(6,0)∵AB所在的直线方程为y=−x+6联立y=−x+6和y=12x解得x=4．∴当3≤a<4时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形综上 a 的取值范围是a =3−√3或a =94或3≤a <4． 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象与性质 列二次函数关系式 矩形的性质 轴对称图形的性质 一元二次方程的解法 清晰的分类讨论 熟练的运用数形结合的方法解题是关键．4．(1)切点坐标为(3，3)(2)y 3=12x 2+x +12(3)k 1⋅k 2是定值【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于x 的一元二次方程 由相切的定义得出x 的值 解之可得；（2）联立{y =2x y =x 2+1可得切点为(1，2) 从而得出y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2) (1，2) 利用待定系数法得出y 3=ax 2+2ax +2−3a 联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x 得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 利用Δ=0得出a =12 b =1 c =12 即可得解；（3）由l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4 可令P(t ，4) 则直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4 联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 由直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线 可得Δ=k 12+(4t −4)k 1−4=0 同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0 从而得出k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根 最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．【详解】（1）解：联立{y =−x +6y =9x得：x 2−6x +9=0 解得：x =3∴切点坐标为(3，3)；（2）解：∵直线y 1=2x 与二次函数y 2=x 2+1相切∴联立{y =2x y =x 2+1得：x 2−2x +1=0 解得：x =1∴切点为(1，2)∵ y 1=2x 与y 2=x 2+1，y 3=ax 2+bx +c 都相切于同一点∴ y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3，2)∴{a +b +c =29a −3b +c =2解得：{b =2a c =2−3a∴y 3=ax 2+2ax +2−3a联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x得：ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 ∴Δ=(2a −2)2−4×a ×(2−3a )=4a 2−8a +4−8a +12a 2=16a 2−16a +4=(4a −2)2=0 解得：a =12 ∴b =2a =1∴ y 3的解析式为：y 3=12x 2+x +12； （3）解：k 1⋅k 2是定值理由如下：∵ l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4∴令P(t ，4)∴直线l 1:y =k 1x +m 1=k 1t +m 1=4 直线 l 2:y 2=k 2x +m 2=k 2t +m 2=4∴m 1=4−k 1t∴直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得：x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 ∵直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线∴Δ=(k 1−2)2−4×1×(2−k 1t )=k 12−4k 1+4−8+4k 1t =k 12+(4t −4)k 1−4=0同理可得：k 22+(4t −4)k 2−4=0∴ k 1，k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根∴k 1⋅k 2=−4．【点睛】本题是二次函数综合题 考查了新定义 二次函数的性质 一元二次方程的根与系数的关系等知识 解题的关键是理解题意 学会构建方程组解决问题 属于中考压轴题．5．(1)y =13x −2(2)P (4,−4)(3)0或5−√2655【分析】（1）令抛物线y =0 x =0 求出点B C 的坐标 设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 即可求解；（2）由题意得△PBC 是等腰三角形 即点P 在过点B C 的BC 中点且垂直于直线BC 的直线上 求出点B C的中点坐标 设点P (a,512a 2−136a −2) 利用勾股定理即可求出a 的值 求出符合点点P 特征的点即可；（3）过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F 根据（2）的结论结合已知分别证明△PFO,△PBC,△OPM 是等腰直角三角形 利用等腰直角三角形的性质求出点M 的坐标 进而得到N 点的坐标 求出直线OP 的解析式 设点Q (b,−b ) 利用两点间距离公式结合MQ =2NQ 求出点Q 的坐标 再求出直线MQ 的解析式 联立抛物线即可求解．【详解】（1）解：在抛物线y =512x 2−136x −2中 令x =0 则y=−2∴C (0,−2)令y =0 则512x 2−136x −2=0 即5x 2−26x −24=0解得：x 1=6,x 2=−45 ∵点B 在x 轴的正半轴∴B (6,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 得{−2=b 0=6k +b解得：{b =−2k =13∴直线BC 的解析式为y =13x −2；（2）解：设点P (a,512a 2−136a −2) ∵ PB =PC ∴PB 2=PC 2 即(a −6)2+(512a 2−136a −2)2=a 2+(512a 2−136a −2+2)2整理得：a 2+2a −24=0解得：a =4或a =−6（舍去 不符合题意）当a =4时∴P (4,−4)；（3）解：如图 过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F由（2）知点P(4,−4)∴PF=OF=4∴△PFO是等腰直角三角形∴∠POF=∠POM=45°∵PC=√(4−0)2+[(−4)−(−2)]2=2√5,BC=√(0−6)2+(−2−0)2=2√10又PC2+PB2=BC2∴△PBC是等腰直角三角形∴∠BPC=90°,∠CBP=∠PCB=45°∵∠OMP=∠CBP∴∠OMP=45°∴△OPM是等腰直角三角形∴OP=MP∴OP=√42+(−4)2=4√2=MP∴OM=√OP2+MP2=8∵点M在y轴的负半轴上∴点M(0,−8)∵N为OM的中点∴N(0,−4)设直线OP的解析式为y=k′x(k′≠0)将P(4,−4)代入得−4=4k′解得k′=−1∴直线OP的解析式为y=−x设Q(b,−b)∵MQ=2NQ∴√b2+(−b+8)2=2√b2+(−b+4)2∴b=0或b=83当b=0时此时点Q与点O重合∴MQ与抛物线交点在y轴上∴点R的横坐标为0当b=83时设直线MQ的解析式为y=sx+t将点Q(83,−83)M(0,−8)代入得{−8=t−83=83s+t解得{s=2t=−8∵直线MQ的解析式为y=2x−8联立直线MQ与抛物线y=512x2−136x−2得{y=2x−8y=512x2−136x−2解得{x=5+√2655y=2√2655+2（舍去不符合题意）或{x=5−√2655y=2−2√2655∵此时MQ交抛物线于点R的横坐标为5−√2655综上点R的横坐标为0或5−√2655．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质一次函数解析式熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的判定及性质直角三角形的性质用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．6．(1)y=14x2−12x−2(2)点E的横坐标为1−√5(3)BQ=92【分析】（1）将B(4，0)C(−2，0)A(0，−2)代入抛物线解析式得到{16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2求出a、b、c的值即可得出答案；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式为：y =12x −2 设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0) 从而求出直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2 进而得出F (2e +4−12e 2，0) 表示出EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2=√5 解方程即可得出答案；（3）设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 待定系数法求出直线CM 的解析式为：y =m6x +m3 联立{y =m6x +m 3y =14x 2−12x −2得出N (12+2m 3，m2+9m9) 再利用待定系数法求出直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183 从而得出P (1，−m−92) 利用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y =m 6x −4m+276从而得出Q (4，−92) 即可得解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于B(4，0) C(−2，0)两点 与y 轴交于点A(0，−2)∴{16a +4b +c =04a −2b +c =0c =−2解得：{a =14b =−12c =−2∴抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2； （2）解：设直线AB 的解析式为：y =k 1x +b 1 将A(0，−2) B(4，0)代入直线得：{0=4k 1+b 1b 1=−2解得：{k 1=12b 1=−2∴直线AB 的解析式为：y =12x −2 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴设点E 的坐标为(e ，14e 2−12e −2)(−2<e <0)∵EF ∥AB∴设直线EF 的解析式为：y =12x +b 2∴14e 2−12e −2=12e +b 2∴b 2=14e 2−e −2∴直线EF 的解析式为：y =12x +14e 2−e −2令y =0 则12x +14e 2−e −2=0 解得：x =2e +4−12e 2∴F (2e +4−12e 2，0)∴EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√(e −2e −4+12e 2)2+(14e 2−12e −2)2=√(12e 2−e −4)2+(14e 2−12e −2)2=√[2(14e 2−12e −2)]2+(14e 2−12e −2)2=√4(14e 2−12e −2)2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2∵EF =√5∴√5(14e 2−12e −2)2=√5∴(14e 2−12e −2)2=1 ∴14e 2−12e −2=1或14e 2−12e −2=−1 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴14e 2−12e −2<0 ∴14e 2−12e −2=−1 ∴e 2−2e −4=0解得：e =1+√5或e =1−√5∵−2<e <0 ∴e =1−√5∴点E 的横坐标为1−√5； （3）解：∵点M 在点B 的正下方 ∴设点M 的坐标为(4，m)(m <0) 设直线CM 的解析式为y =k 2x +b 2将C(−2，0) M(4，m)代入解析式得：{0=−2k 2+b 2m =4k 2+b 2解得：{k 2=m6b 2=m 3∴直线CM 的解析式为：y =m 6x +m3联立{y =m 6x +m 3y =14x 2−12x −2整理得：3x 2−(6+2m )x −(24+4m )=0∴(x +2)(3x −12−2m )=0解得：x 1=−2 ∴点N 的横坐标为12+2m 3纵坐标为y =12+2m36⋅m +m 3=12+2m 18⋅m +m 3=18m+2m 218=m 2+9m9∴N (12+2m 3，m 2+9m 9)设直线BN 的解析式为：y =k 3x +b 3 将B(4，0) N (12+2m 3，m 2+9m9)代入解析式得：{0=4k 3+b 3m 2+9m9=12+2m 3k 3+b 3解得：{k 3=m+96b 3=−2m+183∴直线BN 的解析式为：y =m+96x −2m+183∵抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2 ∴对称轴为直线x =−−122×14=1∴点P 的横坐标为1 纵坐标为y =m+96×1−2m+183=−3m−276=−m−92∴P (1，−m −92) ∵PQ ∥CM∴设直线PQ 的解析式为y =m 6x +b 4∴−m −92=m6×1+b 4 解得：b 4=−4m−276∴直线PQ 的解析式为y =m6x −4m+276∵作PQ ∥CM 交射线BM 于点Q ∴点Q 的横坐标为4 纵坐标为y =m 6×4−4m+276=−92∴Q (4，−92)∴BQ =0−(−92)=92．【点睛】本题考查了二次函数综合题 待定系数法求二次函数解析式 一次函数解析式 二次函数综合—线段问题 勾股定理求两点之间的距离等知识点 熟练掌握以上知识点并灵活运用 采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．(1)y =x 2+2x −3 (2)M (−32,−154)(3)P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)【分析】（1）先求出A,C 的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x 由S △AMC =12MF ×|x C −x A |即可求解；（3）抛物线对称轴为直线x=−1．∠PDE =∠BOC OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 分两种情况当PD =OC DE =OB 时 △PDE ≌△COB 此时|−1−x |=3 当PD =OB DE =OC 时 △EDP ≌△COB 此时|−1−x |=1 求解即可． 【详解】（1）解：把x =0代入y =−x −3得y=−3； 把y =0代入y =−x −3得x =−3． ∴A(−3,0) C(0,−3)．∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A,C,B 三点∴{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3解得{a =1b =2c =−3．∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3；（2）过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) 则F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3xS △AMC =12MF ×|x C −x A |= 12(−x 2−3x )×3=−32(x +32)2+278∴当x =−32时 S △AMC 最大 此时y =x 2+2x −3=−154． ∴当M 坐标为(−32,−154)时 S △AMC 取得最大值．（3）∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ∵抛物线对称轴为直线x=−1． ∵过点P 作l 的垂线 垂足为D ∵∠PDE =∠BOC =90° ∵C(0,−3)，A (−3,0) ∵B (1,0)∵OB =1 OC =3．设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 当PD =OC DE =OB 时 此时|−1−x |=3 解得x =−4或x =2． ∵P 点坐标为(−4,5)或(2,5)∵DE =OB =1∴E(−1,6)或(−1,4)． 当PD =OB DE =OC 时 此时|−1−x |=1 解得x =−2或x =0． ∵P 点坐标为(−2,−3)或(0,−3)∵DE =3∴E(−1,−6)或(−1,0)．综上：P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)．【点睛】本题考查了二次函数求解析式 二次函数的性质 三角形全等的性质 最值问题等 熟练掌握各知识点 能准确作出辅助线 并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 8．(1)y =−x 2+2x +3 (2)P (1,6)(3)存在点N 满足要求 点N 坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式 二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合 （1）用待定系数法求二次函数表达式；（2）根据抛物线特征得出当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大 求出直线AC 的解析式为y =3x +3 即可求出结论；（3）设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q 先求出直线MC 的解析式为y =x +3 证出MQ =NQ =√22MN 设点N (1,n ) 根据NQ 2=AN 2列方程并解方程即可解决．【详解】（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0),C (0,3)两点∴{−1−b +c =0c =3解得：{b =2c =3∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性得 点B 关于抛物线对称轴的对称点是点A∴PA =PB∴|PB −PC |=|PA −PC |∴当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大如图 连接AC 并延长AC 交抛物线的对称轴于点P设直线AC 的解析式为y =kx +d 把A (−1,0),C (0,3)代入得：{−k +d =0d =3解得：{k =3d =3∴直线AC 的解析式为y =3x +3 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2−2=1当x =1时 ∴点P (1,6)；（3）存在N 满足条件 理由如下：∵抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点 ∴点A (−1,0)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4∴顶点M 为(1,4) ∵点M 为(1,4) 点C (0,3) ∴直线MC 的解析式为：y =x +3如图 设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q∴点E (−3,0)∴DE =4=MD ∴∠NMQ =45°∵NQ⊥MC∴∠NMQ=∠MNQ=45°∴MQ=NQ∴MQ=NQ=√22MN设点N(1,n)∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离∴NQ=AN∴NQ2=AN2∴(√22MN)2=AN2即(√22|4−n|)2=4+n2∴n2+8n−8=0∴n=−4±2√6∴存在点N满足要求点N坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)．9．(1)y=−13x2+x+6(2)d=−2t(3)P(−4,−103)【分析】（1）先令x=0求出点C坐标再根据已知可得点B的坐标运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）由（1）可得点B的坐标设P(t,−13t2+t+6)运用待定系数法求得直线PB的解析式为y=−13(t+3)x+2(t+3)进而求出D(0,2t+6)即可求得答案；（3）找点F关于原点的对称点F′连接CF′过点F′作F′K⊥GE于K根据已知先证△COF≌△BOD得OF= OD再证∠F′CK=2∠PBA进而证得△CF′K≌△EBG得F′K=BG再证△F′FK≌△BFG可得F′F=BF OB=3OF进而求出点D的坐标运用待定系数法求出直线BD的解析式再求出直线BD与抛物线的交点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+6交y轴于点C∴C(0,6)∴OC=6∵OB=OC∴B(6,0)∵ B (6,0)在抛物线y =ax 2+x +6上∴ 0=36a +6+6∴ a =−13∴ y =−13x 2+x +6．（2）∵点P 是第三象限抛物线上一点∴ P (t,−13t 2+t +6)设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)∴ {6k +b =0kt +b =−13t 2+t +6∴ {k =−13(t +3)b =2(t +3)∴直线PB 的解析式为y =−13(t +3)x +2(t +3)．令x =0 得y =2(t +3)=2t +6∴ D (0,2t +6)∴ CD =6−(2t +6)=−2t∵线段 CD 长为 d∴ d =−2t ；（3）解：找点F 关于原点的对称点F ′ 连接CF ′ 过点F ′作F ′K ⊥GE 于K∵ CG ⊥BP OB ⊥OC∴ ∠COF =∠BOD =90°∵ OC =OB∴ △COF ≌△BOD∴ CF =BD∵点F 关于原点的对称点F ′∴∠FCO=∠F′CO OF=OF′∴∠F′CK=2∠PBA∵∠BEG=2∠PBA∴∠F′CK=∠BEG∵F′K⊥CG∴△CF′K≌△EBG∴F′K=BG∵F′K⊥CG∴∠FKF′=∠FGB=90°∵∠F′FK=∠BFG∴△F′FK≌△BFG∴F′F=BF∴OB=3OF∴OD=OF=13OB=2∴D(0,−2)设直线BD的解析式是y=mx+n∴{−2=0×m+n0=8m+n∴{m=1 3n=−2∴直线BD的解析式是y=13x−2∵点P在直线BD上也在抛物线y=−13x2+x+6上∴{y=13x−2y=−13x2+x+6∴{x=−4y=−103∴P(−4,−103)；【点睛】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征二次函数的性质中心对称的性质全等三角形的判定和性质等知识添加正确的辅助线是解题的关键．10．(1)y=−14x2+x+3(2)1(3)5√174【分析】（1）先确定点A的坐标为(2，4)再结合等腰直角三角形的性质可得C(6，0)然后运用待定系数法即可解答；（2）先用待定系数法可得AC的函数解析式为y=−x+6设E(t,−14t2+t+3)N（t，−t+6）则EN=−14t2+2t−3然后化成顶点式求最值即可；（3）先确定点M(5,74)过点E作AD的对称点E′(0,3)连接E′M交AD于点P此时PE+PM最短时M(5,74)最后运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高y=a(x−2)2+4的顶点为点A ∵A的坐标为(2，4)∵AD=4∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高∵CD=AD=4∵C(6，0)．把C(6，0)代入y=a(x−2)2+4解得：a=−14∵抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+4即y=−14x2+x+3．（2）解：设直线AC的函数解析式为y=kx+b ∵A(2，4)，C(6，0)∵AC的函数解析式为y=−x+6．设E(t,−14t2+t+3)EN=−14t2+t+3−(−t+6)=−14t2+2t−3=−14(t−4)2+1∵当t=4时EN最大为1∵E(4，3)．（3）解：∵M(5，b)在抛物线y =−14(x −2)2+4上∵M (5,74)．∵AD 是此抛物线的对称轴∵过点E 作AD 的对称点E ′(0,3) 连接E ′M 交AD 于点P 此时PE +PM 最短 M (5,74);∵PE +PM 最短=E ′M =√(0−5)2+(3−74)2=5√174． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合 求函数解析 求函数最值等知识点 灵活运用相关知识成为解题的关键．11．(1)x =1； (2)(3,0) (−1,0)；(3)点P 的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【分析】（1）本题根据抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴公式为x =−b2a 即可解题．（2）本题根据抛物线公式可整理为y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1) 即可解题．（3）本题由（2）得到点B 的坐标 利用OB =OC 求得点C 的坐标 推出a 值 得到抛物线解析式 设直线BC 的解析式为y =kx −3 利用待定系数法求出直线BC 的解析式 设点P (m,m −3) 则M (m,m 2−2m −3) 根据过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点 分以下两种情况讨论 当P 在M 的上方时 当P 在M 的下方时 根据这两种情况分析得到PM = CP 并对应的建立等式求解 即可解题．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)∴抛物线的对称轴为x =−−2a2a =1；（2）解：∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)整理可得y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1)∴不论a 取何值 函数图象必过(3,0) (−1,0)；（3）解：由（2）可知 点B 的坐标为(3,0)∴OB =3∵ OB =OC∴OC =3∴点C 的坐标为(0,−3) 且−3a =−3 即a =1∴抛物线解析式为y=x2−2x−3设直线BC的解析式为y=kx−3将(3,0)代入解析式有3k−3=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=x−3设点P(m,m−3)则M(m,m2−2m−3)当P在M的上方时则PM=−m2+3m∵△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上∴∠PCM=∠NCM∵PM∥y轴∴∠NCM=∠PMC∴∠PCM=∠PMC∴PC=PM∴√2m=−m2+3m整理得：m2+(√2−3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3−√2,−√2)；当P在M的下方时则PM=m2−3m同理可得：√2m=m2−3m整理得：m2−(√2+3)m=0解得：m1=0（不合题意舍去）则点P的坐标为(3+√2,√2)；综上所述点P的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2)．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合折叠的性质二次函数的图象和性质待定系数法求函数解析式 勾股定理表示两点间的距离 等腰三角形性质 熟练掌握折叠的性质 结合分类讨论的数学思想 即可解题．12．(1)a =−16(2)(−2，−2)或(−2，4)或(−2，2√2)或(−2，−2√2)(3)−13−√2412或−13+√2412．【分析】本题主要考查了二次函数的应用 等腰三角形 全等三角形等几何图形等知识点 熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．（1）将点C 坐标代入抛物线解析式即可解答；（2）分三种情况：当ME =MC 、CE =CM 、EM =CE 时 然后利用等腰三角形的性质即可解答；（3）先判断出△PQE≌△P ′Q ′E (AAS )得出PQ =P ′Q ′、EQ =EQ ′ 进而得出P ′Q ′=n ，EQ ′=QE =m +2 确定出点P ′(n −2，2+m) 将点P ′的坐标代入直线AD 的解析式中和点P 代入抛物线解析式中 联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y =a (x +6)(x −2)过点(0，2)∵2=a (0+6)(0−2) a =−16．（2）解：∵a =−16 ∵抛物线的解析式为y =−16(x +6)(x −2)=−16(x +2)2+83 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2；∵E(−2，0)∵C(0，2)∵OC =OE =2∵CE =√2OC =2√2∵△CME 是等腰三角形∵①当ME =MC 时∵∠ECM =∠CED =45°∵∠CME =90°∵M(−2，2)；②当CE =CM 时。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案(1)

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案(1)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】【分析】 （1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（32528，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．3．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.4．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣32）2+94，当n=32时，PM最大=94；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+2（不符合题意，舍），n3=3-2，n2﹣2n﹣3=2-42，P（3-2，2-42）；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=34AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①23．①P1（122），P2（16，74）．【解析】 【分析】已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴− 221b ba -⨯＝＝1 ∴b=-2∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，∴13k m ⎧⎨-⎩＝＝∴直线BC 的函数表达式为y=x-3； （3）①∵AB=4，PQ=34AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得PM=32， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12， ∴P （−12，−74）∴F（0，−74），∴FC=3-OF=3-74=54∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=52-1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG＝．②P1（2，-2），P2（1-62-52）．设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．∴P1（2-2），当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的纵坐标为：-52，把y=-52，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-62，或1+62，∵点P在第三象限．∴P2（1-6，-52）．综上所述：满足条件为P1（1-2，-2），P2（1-62，-52）．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【详解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得30 4233 a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得12 ab=⎧⎨=-⎩∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1 ∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P 点纵坐标为﹣2， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2． ∴P （1+2，﹣2） 【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】【详解】试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62bx a=-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得1266x x =+=-12x x -=答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．5．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.6．如图，已知抛物线的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++．(1)当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围；(3)求证：240b a +=．5(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线(1)求抛物线解析式及B ，(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE =时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．∠的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以Q15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值．(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC标及PDDB的最大值；(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．33(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上．①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．(1)请求出抛物线1Q 的表达式．(2)如图1，在y 轴上有一点()0,1D -，点E 在抛物线1Q 上，点F 为坐标平面内一点，是否存在点边形DAEF 为正方形？若存在，请求出点,E F 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线1Q 向右平移2个单位，得到抛物线2Q ，抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线11:y OP y x x =交BF 于点G ，求BPG BOGS S △△的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标．31．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点交x轴于点D，求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证：23DO EO =．②当点E 在线段OB 上，且BE =35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △(3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点若不存在，请说明理由．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；(3)如图②，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；②探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若32m<<，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若32m<，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD 好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点F ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为G ，求2FG +(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与△为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线23y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．(1)求a 的值．(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度，交抛物线于在定点D ，无论m 取何值时，都是点D 到直线B C ''的距离最大，若存在，请求出点请说明理由．(3)抛物线上是否存在点P ，使45PBC ACO ∠+∠=︒，若存在，请求出直线58．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________【技能训练】(2)如图2，已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当⊥交BP于连接PB，过C作CE BC∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，由勾股定理得：52CB =，∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．A7．【答案】(1)()2,0,y=【分析】（1）令0（2）由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即∴2683m m -+=，解得：m =∵4m >∴5m =；②如图2：当点M 在点N 的上方，即∴2681m m -+=，解得：m =∵4m >∴32m =±；综上，32PM m =-=或2．∴当M 不经过点()3,2时，1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，=．∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接(3)是否存在这样的点，使以点请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P P P(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC 面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．6．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．8．如图，抛物线经过等腰的，两点，，．2y ax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C D C AB E :3:5ACE CEB S S ∆∆=CEA ∠P Q x D C P Q P 2y x bx c =-++Rt OAB V A B (03)A ，90OAB ∠=︒(1)求抛物线的解析式；(2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标．9．已知一个二次函数的图象经过A （1，0）、B （3，0）、C （0，）三点，顶点为D ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A 、D 两点的直线的表达式；(3)设P 为直线AD 上一点，且以A 、P 、C 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．C AB CD AB ⊥OB D C ACDO C 3-10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点S关于m的函数关系式，并求出S(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．D AC D DHEF DF x ∥DHEF D14．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．15．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：1()230y ax bx a =+-≠x ()()1,0,3,0A B -y C 2,P Q BC Q P 1P PM y ∥BC M Q QN y ∥BC N PM QN +Q 3()230y ax bx a =+-≠11y 'y 'D E ,,,B C D E E(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F ，交抛物线对称轴于点E ，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B 为直线上方抛物线上一动点，过B 作垂直于x 轴，交x 轴于A ，交直线于C ，过点B 作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G 为直线上一动点，过G 点作x 轴的垂线交抛物线于点H ，点P 在坐标平面内．问：是否存在以E 、G 、H 、P 为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．6m 10m 0.5m 0.2m 6m 3.2m y x =OF OF BA OF BD OF OF D BD CD +OF参考答案：。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点 ，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线 ．
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

中考数学总复习《二次函数与角度综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《二次函数与角度综合压轴题》专项提升练习(附答案)
15．如图1，一次函数y＝ x﹣4 的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣ x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线 与 轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与 轴交于点C，OA=OC=3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 为直线 下方抛物线上一点，连接 并交 于点 ，若 分 的面积为1：2两部分，请求出点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线 沿射线 方向平移一定单位后得到新抛物线 ，新抛物线 经过点 ，点M为新抛物线 上一点，当 时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
2．已知抛物线 的顶点坐标为 ，与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
14．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将直线BC向上平移h（h＞0）个单位长度，当直线BC与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象只有1个交点时，求h的值；
(3)在二次函数图象的对称轴上，是否存在点P，使得∠PBA＝75°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附详细答案一、二次函数1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．2．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】 （1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P （x ，﹣x 2﹣3x+4），则E （x ，﹣2x+2），∵PE=12DE ， ∴﹣x 2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2）， ∴x=-1或1（舍），∴P （﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，）或（﹣1，3ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16-x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．【解析】【详解】 试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上 所以41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-=时，10t y =≦ 答：21246y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486x x -++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=-1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD '的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m m 22,PG m 22m FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。

二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)

二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)

二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)1.(24年安徽中考)已知物线2y x bx =-+(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1. (1)求b 的值；(2)点11(,)A x y 在抛物线22y x x =-+上,点11(,)B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上. (i)若3h t =,且10,0x t >,求h 的值； (ii)若 11x t =-,求h 的最大值.2.(24年包头中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线22yx bxc 与x 轴相交于()1,0A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为()2,M d ,连接AM ．(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,若C 是y 轴正半轴上一点,连接,AC CM ．当点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,求证:ACM BAM ∠=∠;(3)如图2,连接BM ,将ABM 沿x 轴折叠,折叠后点M 落在第四象限的点M '处,过点B 的直线与线段AM '相交于点D ,与y 轴负半轴相交于点E ．当87BD DE =时,3ABD S △与2M BD S '△是否相等？请说明理由．3.(24年成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点. (1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.4.(24年重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．5.(24年浙江中考)已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围.6.(24年呼伦贝尔中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A ．经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式及点C 的坐标;(2)点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m ． ①m 为何值时线段PD 的长度最大,并求出最大值;①是否存在点P ,使得BPD △与AOC 相似．若存在,请求出点P 坐标;若不存在,请说明理由．7.(24年广州中考)已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ,直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ,交线段AB 于点D ,记CDA 的周长为1C ,CDB △的周长为2C ,且122C C =+．(1)求抛物线G 的对称轴 (2)求m 的值(3)直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l ',当l AB '∥时,直线l '交抛物线G 于E ,F 两点． ①求t 的值①设AEF △的面积为S ,若对于任意的0a >,均有S k ≥成立,求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式．8.(24年绥化中考)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =-++与直线相交于A ,B 两点,其中点()3,4A ,()0,1B ．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ,连接AC ,在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠．若存在,请求出满足条件的所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由．(提示:依题意补全图形,并解答)(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,点E 为原抛物线对称轴上的一点,F 是平面直角坐标系内的一点,当以点B ,D ,E ,F 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F 的坐标．9.(24年上海中考)在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式(2)直线x m =(0m >)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3,求m 的取值范围①记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标．10.(24年乐山中考)在平面直角坐标系xOy 中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+(a 为常数且0a >)与y 轴交于点A ．(1)若1a =,求抛物线的顶点坐标;(2)若线段OA (含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求a 的取值范围;(3)若抛物线与直线y x =交于M ,N 两点,线段MN 与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求a 的取值范围．11.(24年甘肃武威中考)如图1,抛物线()2y a x h k =-+交x 轴于O,()4,0A 两点,顶点为(2,B ．点C 为OB 的中点．(1)求抛物线2()y a x h k =-+的表达式;(2)过点C 作CH OA ⊥,垂足为H,交抛物线于点E ．求线段CE 的长．(3)点D 为线段OA 上一动点(O 点除外),在OC 右侧作平行四边形OCFD ．①如图2,当点F 落在抛物线上时,求点F 的坐标;①如图3,连接BD ,BF ,求BD BF +的最小值．12.(24年枣庄中考)在平面直角坐标系xOy 中,点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x m =．(1)求m 的值(2)若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时,求新的二次函数的最大值与最小值的和(3)设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ,()()212,0x x x <．若2146x x <-<,求a 的取值范围．13.(24年四川广安中考)如图,抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点A 坐标为(1,0)-,点B 坐标为(3,0)．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一个动点,过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点E ,请探究2PD PE +是否有最大值？若有最大值,求出最大值及此时P 点的坐标;若没有最大值,请说明理由．(3)点M 为该抛物线上的点,当45∠=︒MCB 时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．14.(24年四川南充中考)已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -,()3,0B ．(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,点P 为线段OC 上一点(不与端点重合),直线PA ,PB 分别交抛物线于点E ,D ,设PAD 面积为1S ,PBE △面积为2S ,求12S S 的值; (3)如图2,点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点,过点K 的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M ,N ,过抛物线顶点G 作直线l x ∥轴,点Q 是直线l 上一动点．求QM QN +的最小值．15.(24年四川泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ,与y 轴交于点B,且关于直线1x =对称．(1)求该抛物线的解析式;(2)当1x t -≤≤时,y 的取值范围是021y t ≤≤-,求t 的值;(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D,在y 轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由．16.(24年河北中考)如图,抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q ．抛物线22211:()222C y x t t =--+-(其中t 为常数,且2t >),顶点为P ．(1)直接写出a 的值和点Q 的坐标．(2)嘉嘉说:无论t 为何值,将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上． 淇淇说:无论t 为何值,2C 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．(3)当4t =时①求直线PQ 的解析式.①作直线l PQ ∥,当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时,求l 与x 轴交点的横坐标．(4)设1C 与2C 的交点A,B 的横坐标分别为,A B x x ,且A B x x <．点M 在1C 上,横坐标为()2B m m x ≤≤．点N 在2C 上,横坐标为()A n x n t ≤≤．若点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d ,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ,直接用含t 和m 的式子表示n.17.(24年武汉中考)抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ,B 两点(A 在B 的右边),交y 轴于点C ．(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标(2)如图(1),连接AC ,BC ,过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥,交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ,求点P 的坐标(3)如图(2),点D 与原点O 关于点C 对称,过原点的直线EF 交抛物线于E ,F 两点(点E 在x 轴下方),线段DE 交抛物线于另一点G ,连接FG ．若90EGF ∠=︒,求直线DE 的解析式．18.(24年四川德阳中考)如图,抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ,与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式;(2)当02x <≤时,求2y x x c =-+的函数值的取值范围;(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ,点P 为抛物线的对称轴上一动点,求PA PM +的最小值．19.(24年湖北中考)如图,二次函数23y x bx =-++交x 轴于(1,0)A -和B ,交y 轴于C .(1)求b 的值.(2)M 为函数图像上一点,满足MAB ACO ∠=∠,求M 点的横坐标.(3)将二次函数沿水平方向平移,新的图像记为L ,L 与y 轴交于点D ,记DC d =,记L 顶点横坐标为n .①求d 与n 的函数解析式.②记L 与x 轴围成的图像为,U U 与ABC ∆重合部分(不计边界)记为W ,若d 随n 增加而增加,且W 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点,直接写出n 的取值范围。

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APF CPF SS +即可.【详解】 ()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x=+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2．∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD '的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩； （3）h ＝±3【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ；（2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解； （3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F mm D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 4+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩； （3）如图3，∵OADD′为菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，23PA=23h∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y ＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y ＝a (x +3)(x ﹣1)．∵点C 的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a ＝﹣1，得a ＝13， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2+23x ﹣1； (2)设点E 的坐标为(m ，m +3)，线段EF 的长度为y ，则点F 的坐标为(m ，13m 2+23m ﹣1) ∴y ＝(m +3)﹣(13m 2+23m ﹣1)＝﹣13m 2+13m +4 即y ＝-13(m ﹣12) 2+4912， 此时点E 的坐标为(12，72)；(3)点G 的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)． 理由：①如图1，当四边形CGDE 为菱形时．∴EG 垂直平分CD∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．∵EG 关于y 轴对称，∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE ∵DE ＝DC ＝4， ∴4，解得n 1＝﹣，n 2＝．∴点E 的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3) ③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC ＝CD ＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)将点E上移1个单位长度得点G．∴点G的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的解析式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】 【分析】（1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小. 【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2）， ∴22122m m -=++-. ∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-.∴当m=-2时，P y 的最小值为－2. 此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-. ∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小. ∵12x x <≤－2， ∴1y >2y . 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．7．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

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