模糊集的理论及应用-

1.2 格与代数系统

2/23/2019
代数系统例子

({0,1},,,c)是布尔代数 其中运算定义同逻辑运算
模 糊 集 的 理 论 及 应 用

([0,1],,,c)是优软代数 其中运算定义为: =inf{,} =sup{,}，c=1- ([0,1],,,c)不是布尔代数,因为补余律不成立。
1.2 格与代数系统

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偏序集

模 糊 集 的 理 论 及 应 用
定义：一个集合L连同定义其上满足下面3个条 件的偏序关系，构成一个偏序集（L， ）： （ ， ，L ） 1、反身性： 2、反对称性： ， = 3、传递性： ， 全序集： ， L，成立 或者
1.2 格与代数系统

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偏序集

特殊元素

集合A（L）上界： L，且 A，
模 糊 集 的 理 论 及 应 用

集合A（L）上确界： 最小上界 L ，记为=sup{|A}
对于下界、下确界的定义，可仿照上述定义给出
1.2 格与代数系统

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1.2 格与代数系统

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代数系统：对定义于其上的代数运算封闭的 集合称为代数系统。 特殊代数系统：


模 糊 集 的 理 论 及 应 用


布尔代数： (有界分配格+余运算+复原律，补余律) 软代数： (有界分配格+余运算+复原律，对偶律) 优软代数 (稠密的、可以无限分配的、完全的软代数)
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
1.2 格与代数系统

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特殊格：

模 糊 集 的 理 论 及 应 用


分配格 (格+分配律) 有界格 (格有最大、小元1，0) 对偶格 (格+余运算+对偶律、复原律) 完全格： (格+ {| A ⊆L}，{| A ⊆L}存在) 稠密格： (格+ ，L，<，L，使得 < <)

列举法：将集合的元素列举出来 A={1,2,3,…,n,…} 描述法：给出集合元素满足的性质 A={x|x是x2+2x-3=0的根} 特征函数： 1 , xA A(x) 文氏图法： 0 , xA


特殊集合：全集合、空集合
1.1 经典集合的基本概念

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B
B
( x ) 1 ( x ) A A

上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
1.1 经典集合的基本概念

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运算律

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幂等律 交换律 结合律 吸收律 分配律 复原律 补余律 对偶律
A A A , A A A A B B A , A B B A
偏序集的例子
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； + + 正整数集合Z 关于“|”（整除）做成的集合（Z , |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”）

模 糊 集 的 理 论 及 应 用
偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< <源自文库 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。

1.2 格与代数系统

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偏序集

特殊元素

集合A（L）最大元： A ，且 A， 集合A（L）极大元： A ，且 A， = 或者 A ，且 A， <
模 糊 集 的 理 论 及 应 用

最小元、极小元的定义可以仿照给出
1.2 格与代数系统

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格的定义
定义Ⅰ：偏序集(L, )称为格，如果 ， L， 集合 {，}的上、下确界均存在。 定义Ⅱ：（L,,）称为格，如果L上的运算,满足 幂等律、交换律、结合律、吸收律。 定理：定义Ⅰ和定义Ⅱ是等价的： (L, )为格，定义, 为： =inf{,} ， =sup{,} （L,,）为格，在L上定义： = =
第1章 模糊集的基本概念
第 1章
模糊集的基本概念
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模 糊 集 的 理 论 及 应 用
1.1 经典集合的基本概念 1.2 格与代数系统 1.3 模糊集合的定义及运算 1.4 模糊集的分解定理 1.5 模糊集的表现定理 1.6 模糊集的其它运算 1.7 模糊算子的性质 1.8 模糊集的模运算 1.9 隶属函数的确定方法
(A B) C A ( B C) A (A B) A A ( A B) A (B C) ( A B) ( A C)
AA
A A U A , A （排中律，矛盾律）
A B A B
算律可以推广到任意多个集合的情况
1.1 经典集合的基本概念

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定义



模 糊 集 的 理 论 及 应 用

集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
运算及表示


注意特征函数表示方法：
模 糊 集 的 理 论 及 应 用





子集（⊆） 相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x )
A B
A B
c
A
A