多项式除以单项式典型例题
多项式除以单项式例题
多项式除以单项式例题
摘要：
1.多项式除以单项式的概念
2.例题解析
3.结论
正文：
一、多项式除以单项式的概念
多项式除以单项式是代数学中的一种基本运算。
多项式指的是由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，而单项式是指只包含一个变量或常数的代数式。
例如，多项式3x^2 + 2x - 1 除以单项式x 就是此类运算的一个例子。
二、例题解析
假设我们要计算多项式3x^2 + 2x - 1 除以单项式x，具体步骤如下：
1.将多项式的每一项分别除以单项式x，得到商分别为3x + 2 - 1/x。
2.化简得到最简形式的商，即3x + 2 - 1/x。
3.将商相加，得到最终结果为3x^2 + 2x - 1/x。
三、结论
通过以上例题，我们可以看到多项式除以单项式的运算过程并不复杂。
只需将多项式的每一项分别除以单项式，然后将化简后的商相加即可。
需要注意的是，在化简商的过程中，要尽可能地简化分数，以便得到最简形式的结果。
在代数学中，掌握多项式除以单项式的运算方法是非常重要的，这将为后续更复杂数学问题的解决奠定基础。
《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1)— 36x4+4x3+9x2〕+9x2; (2) 0.25a3b2—1a4a5—1a4b3L(—0.5a3b2). I 3 丿2 6 丿例2 计算：(2)2(a + b 5 -3(a +(-a-b j»a(a + b 3】.3 例3 (1)已知一多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7一28x6y5• 7y 2x3y2, 求这个多项式.(2)已知一多项除以多项式a24a - 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,求这个多项式.例5计算题：(1) (16x4_8x3—4x)“4x ；(2) (-4a312a2b-7a3b2) “(-4a2);(3)(4a m18a m 2-12a m)，4a m」.例6 化简：(1)[(2x y)2-y(y 4x)-8x]」2x ；(2)4(4x2-2x 1)(； * (4X6-X3)“(-*X3)3 22 1例7 计算[(p q) -2(p q) --(p q)?: [-(p q)]-3 3参考答案例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式(1) 3a n16a n2-9a「3a n」除以单项式的运算，进而求出最后的结果.解：（1）原式--36x4-〉9x2• 4 x^ 9x29x29x2 3=-4x2x 127（2）原式= 0.25a3b2*（—0.5a3b2）十—1 a4b54 （—0.5a3b2片〔丄a4b3h（—0.5a3b2）I 2 丿I 6 丿---ab3-ab2 3= ab3 -ab」3 2说明：运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：（1）原式=3a n1'3a n」-6a n3a n4 -9a^:'3a n4二a22a3-3a= 2a3a2-3a（2）原式=2（a + b 5—3（a + b f +（—a —b『卜a（a + b 3】= （a+bi -^（a+b）-£2 22 23 3 1=a 2ab b a a --2 2 2例 3 解：（1）所求的多项为21x5y7-28x6y5+7y（2x3y2 3哄—7x5y4）二21x5y7-28x6y556x9y7亠-7x5y4--3y34xy -8x4y3(2)所求多项式为a24a -3 2a 1 2a 8= 2a‘ 8a2-6a a24a -3 2a 83 2=2a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
完整版多项式除以单项式典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：(1)36 x 4_4 39x 29x 2 ； ( 2 ) 0.25a 3b 2a 1 a 0 丄 a ib s0.5a 3b 2 ・326例2 计算：(1) 3a n 1 6a n 29a n3a n 1 ；(2) 2 a b 53 a b 4a b 3a ab 3・求这个多项式.求这个多项式.例45ab23a2a 25ab 2 3 _J b5a2, 2 ，b .2例5 计算题：(1) (16 x 4 8x 34x)4x ；(2)(:4a 3 12a 2b7a 3b 2 ) ( 4a 2)；(3)(4a m 1 8a m212a ra ) 4a m 1 .例6化简：(1) [(2xy)2y(y 4x) 8x] 2x ；()24(4x 22x1)伫 1‘ (4x 6 x 3> 1 (— 3)X244例7 计算Kpq )32(pQ )22q)] 丄(p例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5 y 4 的积为 2lx 5 y 7 28x 6 y 57 y 2x 3 y 2 3(2)已知一多项除以多项式a 24a3所得的商是2a 1,余式是2a 8 ,3 3参考答案例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果.解：(1)原式36x°9X24 X3 9x29x29x234x2Ax 127(2)原式0.25a3b2 0.5a3b21 1a ib s20.5a3b21 a ib 360.5a3 b2ab3_ ab2 3ab3Lab -13 2说明：运算结果，应当按某一字母的降幕(或升幕)排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.例2分析：(1)题利用法则直接计算・(2)题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：(1)原式1 3a11 1 6a n 2 3a11 1 9a n 3aa2 2a3 3a2a3 a 2 3a(2)原式=2 a b 5 3 a b4 a b 3 a a b 3a b2 3. ab i2 2a 2 2ab b22a 3a J2 2 2例 3 解：(1)所求的多项为21x5y 7 28x6 y5 7 y 2x3 y2 37x5 y421x5 y7 28x6 y5 56 x9 y7 7x5 y43 y34 xy 8x4 y3(2)所求多项式为a2 4a 3 2a 1 2a 82a38 a2 6a a2 4a 3 2a 82a39a2 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式练习题
多项式除以单项式练习题在代数学中，多项式是由常数与变量的乘积组成的表达式。
而单项式是只有一个项的多项式，其实际上是一个常数与变量之间的乘积。
多项式除以单项式是一种常见的代数运算。
在本文中，我们将提供一些多项式除以单项式的练习题，以帮助你加强和巩固这个概念。
练习题1：计算下列多项式除以单项式的结果：1. (3x^3 - 2x^2 + 5x) ÷ (x)2. (4x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 9x) ÷ (2x)3. (6x^2 + 3x + 1) ÷ (3)解答：1. (3x^3 - 2x^2 + 5x) ÷ (x) = 3x^2 - 2x + 52. (4x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 9x) ÷ (2x) = 2x^3 +3.5x^2 - x +4.53. (6x^2 + 3x + 1) ÷ (3) = 2x^2 + x + 1/3练习题2：根据给定的多项式和单项式，计算下列结果：1. (5x^3 + 6x^2 - 3x) ÷ (x)2. (3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 9x) ÷ (3x)3. (7x^2 + 4x - 2) ÷ (2)解答：1. (5x^3 + 6x^2 - 3x) ÷ (x) = 5x^2 + 6x - 32. (3x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 9x) ÷ (3x) = x^3 + 0.67x^2 - 1.67x - 33. (7x^2 + 4x - 2) ÷ (2) = 3.5x^2 + 2x - 1练习题3：给定多项式和单项式的值，计算下列结果：1. (2x^3 - 5x^2 + 3x) ÷ (x)，当x = 2时2. (4x^4 + 3x^3 - 7x^2 - 2x) ÷ (3x)，当x = 5时3. (6x^2 + 8x - 4) ÷ (2)，当x = -3时解答：1. (2x^3 - 5x^2 + 3x) ÷ (x)，当x = 2时，结果为2x^2 - 5x + 3，即2(2)^2 - 5(2) + 3 = 8 - 10 + 3 = 12. (4x^4 + 3x^3 - 7x^2 - 2x) ÷ (3x)，当x = 5时，结果为x^3 + 0.67x^2 - 1.67x - 3，即(5)^3 + 0.67(5)^2 - 1.67(5) - 3 = 125 + 16.75 - 8.35 - 3 = 130.43. (6x^2 + 8x - 4) ÷ (2)，当x = -3时，结果为3.5x^2 + 2x - 1，即3.5(-3)^2 + 2(-3) - 1 = 31通过这些练习题，你可以巩固对多项式除以单项式的理解，并熟练运用这一概念来进行代数运算。
完整版多项式除以单项式典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1) 4 4 3 2 2 ；(2) 3 2 14 51 4 3336x x 9x 9x 0.25a b a aa b0.5a b32 6例2 计算:(1) n 13a6a n29a n n 13a(2) 2 a b53 a b 4a b 2 3 a a b 3求这个多项式.求这个多项式.例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5y 4 的积为 21x 5y 76 5 3 2 328x y 7y 2x y ，(2)已知一多项除以多项式a 24a 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,例45ab 23a2a 2 ； 5ab 2 3 1 b 2例5 计算题：(1) (16x 48x 34x)4x；(2)((3) (4a m 1 8a 1 m 212a m )4a mi 1例6化简：(1) [(2x y)2 y(y 4x) 8x] 2x -(2) 4(4x 22xDG1)(4x 63、5a 2b 2.…3 2 3 22.4a 12a b 7a b )( 4a );13) (;x)参考答案例1 分析: 此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算, 解：（1）原式进而求出最后的结果.4x39x29x29x2 3 36x49x24x2Ax27（2）原式3 20.25a b 3 20.5a b 4b5 3 20.5a b *4b3品21 2 ab3ab3lab312〔ab3运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.说明:例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：(1)原式3a n 1 3a n1 6a n 2n 1 n n 13a 9a 3a2 3 八a 2a 3a2a3 a2 3a, , 5 4(2)原式=2 a b 3 a ba22ab 3a2.2 3b a2123 1a -2 2例3解：（1）所求的多项为 5 721x y 28x6y52 37y 2x3y27x5y45 76 5 9 721x y 28x y 56 x y 7x5y43y3 4xy 8x4y3（2）所求多项式为2a 4a 3 2a 1 2a 82a3 8a2 6a a2 4a 3 2a 83 22a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
14.1.4.6多项式除以单项式
14.1.4 多项式除以单项式编制：一．知识要点1．多项式除以单项式二. 典例和变式知识点1：多项式除以单项式例1：计算:(1)）（3423261-21-y x y x y x ÷（y x 25.0-）（2）)21()213(22xy xy xy y x -÷+-【变式练习1】1．下列等式：①5433213(235)(5)55a a a a a a --÷-=-+； ②x x x x x x x 478)21()2274(232246-+=-÷-+-；③b a ab b a 4455)(-=-÷； ④442233515b a ab b a -=÷-．其中不正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．计算：=÷-ab ab b a 3)69(22 ． 3．计算：=-÷--+++++)2()348(1322121n m n m n m n m y x y x y x y x知识点2:多项式除以单项式的运用例2：已知多项式M 除以42-32+x x 的商式62+x ，余式为，1-3x 求多项式M【变式练习2】)4-2(246x x x +÷M =2-21-24+x x 中，求M 的值例3:已知:32-=n m ，求[2n)-2n)(5m (m -)2-3)(n 23(++n m m ]÷m 31的值.【变式练习3】先化简，再求值：，其中、满足。
三. 分层达标阶梯训练【A 基础训练】1.有下列式子：①6x ÷23x x =；②；③；④。
其中计算正确的有（ ）。
A.3个B.2个C.1个D.0个2．下列计算正确的是（ ）A ．()()x x x x xx x 47547523234+-=-÷-+- B ．()xy y xy y n n n 23631+=÷-+ C ．()5454x x x x =÷+ D ．()32224221x x x x ⎡⎤+÷=+⎢⎥⎣⎦ 3．()=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+22141414x x x a a a （ ）A ．234116a a +B ．34864a a +C ．234164a a + D ．23464a a +4．+-23816(x x ）)2(x -÷=2482-+-x x ．5．已知一个长方形的面积为a ab a 9362+-，它的一边长为a 3，则这个长方形的周长为 ．6．当a=0.4时，代数式()a a a a 39152423÷-+-=7．如果被除式是()45223232ab b a b a -+-，除式是ab 41，则商是 8．计算：()()23624453152464xy y x y x y x -÷--9．先化简再求值 ()()[]y x x xy xy xy y xx 22222÷-+-，其中x=2019 ,y=202010．已知多项式52823-+x x 除以一个多项式的商式是2x ，余式是54-x ，求这个多项式。
多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式练习题
多项式除以单项式：∵（a+b ）m=am+bm,∴（am+bm ）÷m=a+b,又am ÷m+bm ÷m=a+b,∴（am+bm ）÷m=am ÷m+bm ÷m.一般的，多项式除以单项式，先把这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗除以这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗，再把所得的商‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.1、计算.①);)(32(356334xy xy x y y x -÷-+ ②)32()53243532(xy y x y x y x -÷+-③)31(3)9132(26274b a b a b a -÷- ④;)()(23222y y y xy x x x x y x ÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⑤[]b a a b a b ab b a a 22322)()(÷----易出现一下几种常见的错误·：（1）忽略符号；（2）遗漏被除式中单独存在的字母；（3）当字母的指数是1时往往忽略不写，但在计算时，易忽略该指数.2、①计算=÷⨯⨯))103(106(46‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. ②若))((22x x x n m n m -÷÷与2x ³是同类项，且m+5n=13，则m ²-25n ²的值为‗‗‗‗‗‗‗. 平方差公式：（a+b ）（a-b)=a ²－ab+ab －b ²=a ²－b ².两个数的和与这两个数的差的积，等于‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗，即（a+b ）（a-b)=a ²－b ². 这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1、①（2m+3）（2m －3）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；②（2a －b ）（b+2a ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗； ③2015×2013=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；④（－1+2a ）（2a+b ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.2、下列各式能用平方差公式计算的是（ ）.A 、（x －3）（3－x ）B 、（－2x －1）（1－2x ）C 、（x －3）（2x+3）D 、（－x －3）（x ＋3）3、下列多项式中，与－x+y 相乘的结果为x ²－y ²得多项式是（ ）.A 、x+yB 、x －yC 、－x+yD 、－x －y3、对于任意整数n ，式子（2n+3）（2n －3）+（3+n ）(3－n)的结果一定能被‗‗‗‗‗数整除A 、3B 、4C 、5D 、64、（1+x ²）（x ²－1）的计算结果是（ ）.A 、x ²－1B 、x ²+1C 、x －1D 、1－x5、下列计算正确的是（ ）.A 、－3x ²y ∙5x ²y=2x ²yB 、－2x ²y ³∙2x ³y=－2x yC 、35x ³y ²÷5x ²y=7xyD 、（－2x －y ）（2x+y ）=4x ²－y ²6、①若a ，b ，c 是三角形的三边长，则代数式（a －b ）²－c ²的值（ ）A 、大于0B 、小于0C 、等于0D 、不能确定②一个三角形的三边分别是a ，b ，c ，则式子（a －c ）²－b ²的值（ ）A 、一定是正数B 、一定是负数C 、可能是正数，也可能是负数D 、可能是07、计算（x+3y ）(x －3y)的结果是（ ）A 、x ²－3y ²B 、x ²－6y ²C 、x ²－9y ²D 、2x ²－6y ²8、若（9+a ²）（a+3）‗‗‗‗‗‗‗=a －81，则横线内的式子是（ ）.A 、a+3B 、a －3C 、3－aD 、a －99、计算：（m+1）²－m ²=‗‗‗‗‗‗‗‗‗.10、计算：①（a+3）（a －3）+a （4－a ） ②);21)(21(b a b a ---11、用简便方法计算：①2013²－2012×2014 ② 20132015201420142⨯-12、先化简，再求值：x （x+1）－（x+1）（x －1），计算：(2+1)(2²+1)（2 +1）（2 +1）+1. 其中x=2014.14小红家有一块L 形菜地，要把L 形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形以种上不同的蔬菜，已知这两个梯形的上底都是a 米，下底都是b 米，高都是（b －a ）米.（1） 请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？（2） 当a=10米，b=30米时，面积是多少？完全平方公式：由于（a+b ）²=（a+b ）（a+b ）=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=（a －b ）（a －b ）=a ²－ab －ab+b ²=a ²－2ab+b ²， 即（a+b ）²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=a ²－2ab+b ².两个数和的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，加上它们的积的‗‗‗‗‗‗；两个数差的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，减去它们的积的‗‗‗‗‗‗；1、 计算：（1）（4m+n ）²； （2）)212( y（3）（2x+y ）（2x －y ）+(x+y)²－2（2x ²－xy ）(4)(2a －3b)²－（2a+3b ）(2a －3b)+（2a+3b ）²2、 先化简，再求值：（1） a （a+3b ）－（a+b ）²－（a+b ）（a －b ）.其中a=1，b=2；（2）[（x+y ）²－y(2x+y)－8x]÷2x ，其中x=－2.3、 用简便方法计算:(1)20.1² （2）201²－198×2024、 已知x+y=3,xy=－6，求下列各式的值：（1） x ²+y ²；（2）x ²－xy+y ²; (3)(x －y)².5、 若x+y=3,xy=1,则x ²+y ²=‗‗‗‗‗.6、 若（2x+a ）²=4x ²+bx+1，则a=‗‗‗‗‗，b=‗‗‗‗‗.添括号：由去括号法则：a+(b+c)=a+b+c;a －（b+c ）=a －b －c.反过来，就得到添括号法则：a+b+c= a+(b+c)a －b －c= a －（b+c ）也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.1、运用乘法公式计算：（1）（x+2y-3）（x －2y+3）； （2）（a+b+c ）².（3）（3a+b －2）（3a －b+2） （4）（x+2y －1）²2、若x ²+2（m －3）x ＋16是完全平方式，则m 的值等于（ ）A 、3B 、－5C 、7D 、7或－13、已知x ²－kx+41是一个完全平方式，那么k 的值为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. 4、若a ，b 均为正数，a －b=1,ab=2，则a+b 等于（ ）A 、3B 、－3C 、3±D 、95、a ²－b ²=20，且a+b=－5，则a －b 的值是‗‗‗‗‗‗‗‗.6、已知a+101=a ，则a －a1的值为（ ）A 、2 B 、6 C 、6± D 、22± 6、观察下列各式探索发现规律：2²－1=1×3；4²－1=15=3×5；6²－1=35=5×7；8²－1=63=7×9；10²－1=99=9×11；…用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.。
《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式
例3 一个长方形的面积是 4（ab2)2+6ab-2b2，宽是2b,求它的 长是多少?
多项式除以单项式的法 则的应用：
例4.计算：
[5xy2(x2-3xy)-(-3x2y)3]
÷(2xy)
=[5x3y-215x2y-3(-27x6y3)]
÷4x2y
=[5x3y2-15x2y3+27x6y3)]
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+ (am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷ =a+b+c
请说出多项式除以单项
多项式除 以单项式
多项式除以单项式，先把这个 多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加。
例1 计算： 多项式除以单项式的法则：
（1） (2a 831a 427a)7a 解：原式 2 a 3 8 7 a 1 a 2 4 7 a 7 a 7 a 4a22a1
探究时空 1.小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术
节目如下： 请你在心中想一个自然数，并且先按下列
程序运算后，直接告诉他答案：
n 平方 加 除以 答案 他能马上说出n你所想的n自然数。
你知道其中的奥妙在哪里吗？请你用所学 的数学知识来进行解释。
小结
2．运用该法则应 注意什么？
正确地把多项式除以单项式问题转化为单 项式除以单项式问题。计算不可丢项，分 清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉” 对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减 法而言，减项。
÷4x2y
=
5 4
x-15 4
y 27+ 4
x4y
多项式除以单项式最新版
3.已知： f(x)=25x4 +15x3-20x2,求： 解:(1) f(x)÷5x
=(25x4 +15x3-20x2)÷5x =5x3 +3x2-4x
.
2.已知： f(x)=25x4 +15x3-20x2,求： (2) f(x)÷(-10x2) =(25x4 +15x3-20x2)÷(-10x2) = -2.5x2 –1.5x+2
.
1.计算： (1)(-8x+6)÷(-4) (2)(6x2-9x)÷3x (3)(9a3b-12a2b2+8ab3)÷3ab (4)(4x2y-8x3y3)÷(-2x2y)
.
(5)(-7a4bc2+4a3b2-5a2b3) ÷(-2a2b)
(6)(
3 4
a6x3+ 6
5
a9x4
9 10
a是用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的 积 相加 。
.
计算下列各式，并说说你 是怎样计算的？
(1)(am bm)m (2)(a2 ab)a (3)(4x2y 2xy2) 2xy
.
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm
反之(am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷m
.
2.已知： f(x)= -8x4 +3x3-2x2, g(x)= -4x2,求： (1) f(x)+g(x) (2) f(x)-g(x) (3) f(x)•g(x) (4) f(x)÷g(x)
.
.
÷3 ax3
5
.
课堂总结
1、多项式除以单项式法则：多 项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个多项式，再 把所得的商相加。
1.7.2 多项式除以单项式 同步精练(含答案)
第2课时多项式除以单项式测试时间:20分钟一、选择题1.长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为()A.4a-3bB.8a-6bC.4a-3b+1D.8a-6b+22.计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果是()A.2m2n-3mn+n2B.2n2-3mn2+nC.2m2-3mn+n2D.2m2-3mn+n3.当a=34时,代数式(28a3-28a2+7a)÷(7a)的值是()A.254B.14C.-94D.-4二、填空题4.计算:(6x2-12x)÷(3x)=.5.计算:-a2(a-a3b2)÷a3=.三、解答题6.先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷(4ab)+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.7.先化简,再求值:[(y-2x)·(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y),其中x=-1,y=2.8.计算:(16x2y3z-8x3y2z)÷(8x2y2).9.先化简,再求值:(x+2y)(x-2y)+(9x3y-12xy3+3xy2)÷(-3xy),其中x=1,y=-2..10.先化简,再求值:[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)]÷(2b),其中a=-2,b=1211.一堂习题课上,数学老师在黑板上出了这样一道题:当a=2 017,b=2时,求[3a2b(b-a)+a(3a2b-ab2)]÷(a2b)的值.一会儿,陈灿说:“老师,您给的‘a=2 017’这个条件是多余的.”一旁的张云反驳道:“题目中有两个字母,不给这个条件,肯定求不出结果!”他们谁说的话有道理?请说明理由.参考答案一、选择题1.长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为()A.4a-3bB.8a-6bC.4a-3b+1D.8a-6b+21.答案D一边长为2a,则其邻边长是(4a2-6ab+2a)÷(2a)=2a-3b+1,所以周长是2[(2a-3b+1)+2a]=8a-6b+2.故选D.2.计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果是()A.2m2n-3mn+n2B.2n2-3mn2+nC.2m2-3mn+n2D.2m2-3mn+n2.答案C(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)=-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n)=2m2-3mn+n2.故选C.3.当a=34时,代数式(28a3-28a2+7a)÷(7a)的值是()A.254B.14C.-94D.-43.答案B(28a3-28a2+7a)÷(7a)=28a3÷(7a)-28a2÷(7a)+7a÷(7a)=4a2-4a+1,当a=34时,原式=4×(34)2-4×34+1=14.故选B.二、填空题4.计算:(6x2-12x)÷(3x)=.4.答案2x-4解析(6x2-12x)÷(3x)=6x2÷(3x)-12x÷(3x)=2x-4.5.计算:-a2(a-a3b2)÷a3=.5.答案-1+a2b2解析-a2(a-a3b2)÷a3=(-a3+a5b2)÷a3=-1+a2b2.三、解答题6.先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷(4ab)+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.6.解析原式=b2-2ab+4a2-b2=4a2-2a b.当a=2,b=1时,原式=4×22-2×2×1=12.7.先化简,再求值:[(y-2x)·(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y),其中x=-1,y=2. 7.解析[(y-2x)(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y)=[4x2-y2-4(x2-2xy+y2)]÷(-2y)=(4x2-y2-4x2+8xy-4y2)÷(-2y)=(8xy-5y2)÷(-2y)=-4x+52y.当x=-1,y=2时,原式=-4×(-1)+52×2=9.8.(2015福建福安期中)计算:(16x 2y 3z -8x 3y 2z )÷(8x 2y 2).8.解析 原式=16x 2y 3z ÷(8x 2y 2)-8x 3y 2z ÷(8x 2y 2)=2yz -xz .9.先化简,再求值:(x +2y )(x -2y )+(9x 3y -12xy 3+3xy 2)÷(-3xy ),其中x =1,y =-2.9.解析 (x +2y )(x -2y )+(9x 3y -12xy 3+3xy 2)÷(-3xy )=x 2-4y 2-3x 2+4y 2-y =-2x 2-y ,当x =1,y =-2时,原式=-2×12-(-2)=0.10.先化简,再求值:[(2a +3b )2-(2a -b )(2a +b )]÷(2b ),其中a =-2,b =12. 10.解析 原式=[4a 2+12ab +9b 2-(4a 2-b 2)]÷(2b )=(10b 2+12ab )÷(2b )=5b +6a.当a =-2,b =12时, 原式=5×12+6×(-2)=-192. 11.一堂习题课上,数学老师在黑板上出了这样一道题:当a =2 017,b =2时,求[3a 2b (b -a )+a (3a 2b -ab 2)]÷(a 2b )的值.一会儿,陈灿说:“老师,您给的‘a =2 017’这个条件是多余的.”一旁的张云反驳道:“题目中有两个字母,不给这个条件,肯定求不出结果!”他们谁说的话有道理?请说明理由.11.解析 陈灿.因为[3a 2b (b -a )+a (3a 2b -ab 2)]÷(a 2b )=(3a 2b 2-3a 3b +3a 3b -a 2b 2)÷(a 2b )=2a 2b 2÷(a 2b )=2b.化简的结果中不含a ,这样代入求值就与a 无关,所以陈灿说的有道理.。
(完整版)《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式 ()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
(完整版)《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式 ()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式
单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、 同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式相除
1.系数相除； 2.同底数幂相除；
3.只在被除式里的幂不变.
活动1
问题引申，探究多项式与单项式相除的法则
计算下列各题，说说你的理由. (1)(ad+bd)÷d= (2)(a2b+3ab)÷a= (3)(xy3－2xy)÷(xy)= ; ; .
根据活动1的分析，不难得出：
(1) (ad+bd)÷d =ad÷d+bd÷d； =a+b
(3)(xy3－2xy)÷(xy) =xy3÷(xy)－2xy÷(xy). =y2－2
(2)(a2b+3ab)÷a =a2b÷a+3ab÷a； =ab+3b
由此，你可以得出什么样的结论？ 结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的 每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷2x .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
提高：
活动3
2 2
已知2 x y 10 ，求式子
( x
2
y ) ( x y) 2 y( x y) 4 y的值.
小结
单项式相除 1.系数相除； 2.同底数幂相除； 3.只在被除式里的幂不变. 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加. 类比的数学思想
活动2
计算
(1)(6ab+8b)÷(2b)； (2)(27a3-15a2+6a)÷(3a)； (3)(9x2y-6xy2)÷(3xy)；
课件多项式除以单项式
一、单项式与单项式相除
1、系数相除； 2、同底数幂 相除； 3、只在被除式里的幂 不变。
练一练
（1）–12a5b3c÷(–4a2b)= 3a3b2c
（2 ）(–5a2b)2÷5a3b2 = 5a
（3）4(a+b)7 ÷ (a+b)3 = 4(a+b)4
（4）3ab2c÷ 1abc =
1、先定商的 符号(同号得正,
＝ 3x3 5x 2
异号得负)；
2、注意添括号;
（2）(28a3b2c a2b3 14a2b2 ) (7a2b)；
＝ (28a3b2c) (7a2b)＋(a2b3) (7a2b)＋ (14a2b2) (7a2b)
＝ (4abc)＋ ( 1 b2 )
＝
4abc
（2）(a2b+3ab)÷a=_a_b_+_3_b
（3）(xy3-2xy)÷(xy)=_y_2_-2____
你能找出 多项式除以单项式的规律吗？请说出 多项式除以单项式的运算法则。
新知讲授
多项式除以单项式，先把这 个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加。
在计算单项式除以单项式时，应注意： 先定商的符号(同号得正,异号得负)； 注意添括号;
1
7
b2
2b
＋
(2b)
7
课堂练习
（1）(9x2 y 6xy2 ) (3xy)
（2）(3x2 y xy2 1 xy) ( 1 xy)
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
（3）(12m2n 15mn2 ) 6mn
(4) (4a3b3 6a2b3c 2ab5 ) (2ab2 )
(5)(x2 y3 1 x3 y2 2x2 y2 ) 1 xy2
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《多项式除以单项式》典型例题
例1 计算：
（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛--．
例2 计算：
（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；
（2）()()()[]()[]
334532b a a b a b a b a +÷--++-+．
例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3
235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．
（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．
例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：
（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；
（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．
例6 化简：
（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；
（2）)4
1()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-
例7 计算)].(3
1[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+
参考答案
例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．
解：（1）原式()2223249993
4936x x x x x x ++÷+÷-= 127
442++
-=x x （2）原式 ()()()
2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 3
1213++-= 2
1313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．
例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．
解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a a
a a a 3232-+=
a a a 3223-+=
（2）原式=()()()[]()[]
334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()2
1232
-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532
356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()
457956757562821y x y x y x y x -÷+-=
343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为
()
()()8212342+++-+a a a a
8234682223++-++-+=a a a a a a
59223++=a a
说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
根据是“被除式=除式×商式+余式”．
例4 分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算．
解：原式()()246323222521125225b a b b a a a b a ÷⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅-⋅= ()
2475252512525b a b a b a ÷-= 55ab a -=
例5 分析：此三题均是多项式除以单项式，应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果．
解：（1）原式x x x x x x 444841634÷-÷÷÷=
12423--=x x
（2）原式=)4(7)4(12)4()4(2232223a b a a b a a a -÷--÷+-÷- =.4
732ab b a +- （3）原式=112114124844--+-+÷-÷+÷m m m m m m a a a a a a
=a a a a a a 32322332-+=-+.
说明：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，要注意各项的符号． 例6 分析：题（1）不能先用x 2去除各项，应先对括号内进行化简；题（2）则体现了对知识的综合运用．
解：（1）原式=x x xy y y xy x 2)8444(222÷---++
=.42282)84(2-=÷-÷-x x x x x x
（2）原式=)4
1()41(4)12)(124(33362x x x x x x x -÷-÷+++- =5841618333+-=+-+x x x ．
例7 分析：把q p +当成单项式，运用多项式除以单项式的法则．
解：原式=)(3
1)(32)(31)(2)(31)(23q p q p q p q p q p q p +÷+-+÷+-+÷+ .
266363266)2(32
)(6)(322222---++=---++=-+-+=q p q pq p q p q pq p q p q p
说明：经题表面看来是多项式除以多项式，但观察后发现每个在底数均为)(q p +，所以可把q p +当作单项式，再进行计算，这种换元的思想希望同学们掌握．。