材料力学B精选题8

应力状态 强度理论

1. 图示单元体，试求 (1) 指定斜截面上的应力；

(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2

2

=--+

+=

ατασσσσσαx y

x y

x

MPa 7.322cos 2sin 2

-=+-=

ατασσταx y

x

(2)

2

2min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02=σ，98.1213-=σMPa

35

.3940

200

arctan 21)2arctan(210==--=

y x xy σστα

2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ MPa 由02cos 2sin 2

120=+

-=

ατασστxy y

x 得125-=y σMPa 所以

2

2min max )2

(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 200

10015050)9.129(75502

2

-=±-=-+±-= MPa

1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa

3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。

解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa 由 ατασστ2cos 2sin 2

45xy y

x +-=

802

150

-=-=

x σ

得 10-=x σ MPa

MPa

所以

2

2min max )2

(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22

.7422

.214-=

MPa

22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ MPa

4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。

解：75.505.032

)

1.0104.0(π1019

2.0443

=⨯-⨯=

x τ MPa 504==t pd x σ MPa

1002==t pd y σ MPa

35.497.100)2

(22

2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa

5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τMPa

ατασσσσσα2sin 2cos 2

2x y

x y

x --+

+=

40120sin 20120cos 2

1002

100=--+

+= y

y

σσ

得1.43=y σMPa

2

2min max )2

(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=77.3633.106=MPa 33.1061=σMPa ，77.362=σMPa ，03=σ

'

45-

M e

6.

解：

2

2min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 16.4216.5216.47540252

20

3022-=±=+±-=

MPa

所以2.521=σMPa ，102=σMPa ，16.423-=σMPa

2

.472

3

1max =-=

σστMPa

7. 图示工字形截面梁AB ，截面的惯性矩61056.72-⨯=z I m 4，求固定端截面翼缘和腹板交界处点a 的主应力和主方向。

解：17.3610

56.7207

.075.010506

3=⨯⨯⨯⨯=-σ MPa （压应力） 8.81056.7203.010853015010506

93=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--τ MPa

2

2min max )2

(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=2.3803.2-= MPa 03.21=σ MPa ，02=

σ，2.383-=σ MPa

05.7717

.368.82arctan 21)2arctan(210=⨯-=--=y x xy σστα

8. 图示矩形截面拉杆受轴向拉力F ，若截面尺寸b 、h 和材料的弹性模量E ，泊松比ν均已知，试求杆表面 45方向线段AB 的改变量=∆AB L ？

解：bh

F

x =

σ，0=y σ，0=xy τ bh F

2=

ασ，bh F 22

=+απσ（ 45=α）

所以)1(2)22(145v Ebh

F bh F bh F E -=-=

νε Eb

F Ebh

F

h AB L AB 2)

1(2)1(2245ννε-=-⨯

==∆

50kN

A B

0.75m

σ3

05.77τa

σa

σ1