作业13高阶导数与高阶微分

1、填空题

1）设5x y =，则()()=

0n y ()

ln 5n

2）设cos 2y x =，()

()=x y n 2cos 22n

n x π⎛⎫+ ⎪

⎝⎭

3）设x

y 211

+=

，则()()=x y 6()()7

66212!61-+⨯⨯-x

4）设()x f y =三阶可导，且其一阶导数、二阶导数均不为零，其反函数为()y x ϕ=，则

()=

''y ϕ()()()()()()()()()3

21111x f x f x f x f x f dx

dy dx x f d dy

x f d '''-=''''-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛' ()y ϕ'''=

()()()()()3

f x d f x d y dx dy dx dy

ϕ⎛⎫

'' ⎪- ⎪'''⎝⎭=

()()()()()()()

()()

()

()()()()

()()

3

2

2

2

6

5

331

f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''--=-

=-'''

5）已知函数()x y 由方程0162=-++x xy e y 确定，则()=''0y 2

-

2、求下列函数的二阶导数 1）x e

y x

sin -=

解：x e x e y x x

cos sin --+-='，x e x e x e x e y x x x x cos 2sin cos 2sin -----=--=''

2）()()

22

1ln 1y x x =++

解：(

)

2

2ln 12y x x x '=++，

()()

()2

2

2

2

42ln 122ln 121x y x x x x x '

''=++=++++

3、求下列函数的n 阶导数的一般表达式 1）x y 2

sin =

解：x x x y 2sin cos sin 2=='，⎪⎭

⎫

⎝

⎛+

==''22sin 22cos 2πx x y

()ππ+=⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

='''x x y 2s i n

222c o s 22

2 …… ()()⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-+=-2

12s i n 21πn x y n n

2）x y xe -=

解：()1x x x y e xe x e ---'=-=-

()()()

122x x

x

x y e x e

x

e x e

----''=---=-+=-- ()()23x

x x y e

x e x e ---'''=--+=-

…… ……

()()

()1

1n n

x y n x e --=--

4、求下列方程所确定的隐函数()x y 的二阶导数 1）()y x y +=tan

解：方程两边关于x 求导得：()()()()

()y y x y y y x y '+⋅++='⇒'+⋅+='1tan 11sec 22

(

)

()1111222

2

--=+-='⇒'++='-y y

y y y y y

()

5

32332

2122y

y y y y y y --

=--='=''--- 2）y y x =+arctan

解：方程两边关于x 求导得：2

2

2211111-+=+='⇒'='⋅++y y

y y y y y ()

5

32332

2122y

y y y y y y --

=+-='-=''--- 5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数22dx y

d

1）()

⎩

⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2

解：()()()2121111ln arctan 2

22t t t t t t t dx dy =++-

='

+'-= ()()

t t t t t t dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d 4112211ln 222

22

2+=

+='+'⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎭⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=

2）()()()⎩

⎨⎧-'='=t f t f t y t f x （其中()t f ''存在且不为零）

解：

()()()()()

()()t t f t f t t f t f t f t dx dy =''''='''-'= ()()()t f t f t dt

dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d ''=

'''=⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛=

12

2 6、设()⎪⎩⎪

⎨⎧≥++<=0

02

x c

bx ax x e x f x 且()0f ''存在，是确定常数c b a ,,的值。

解：由()0f ''存在可得()0f '存在且()x f 在0=x 处连续。由连续性有

()()

()()c f e x f c c bx ax x f x x x x x ======++=-

-

+

+

→→→→01lim lim lim lim 00200

所以1=c 。

由()0f '存在我们有()()00+-

'='f f ，而 ()()()11

lim 0lim 000=-=-='--→→-h e h f h f f h h h

()()()b h bh

ah h f h f f h h =+=-='+

+→→+200lim 0lim 0

所以1=b 。

当0

e x

f ='，当0>x 时，()122+=+='ax b ax x f 。

所以()⎩⎨

⎧≥+<='0

1

20

x ax x e x f x