作业13高阶导数与高阶微分
(完整版)高阶、隐函数的导数和微分练习题
高阶导数1． 填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..2． 选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )A.'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.（2）设函数()yf x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )A ．()1''f x ； B. ()()[]-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =4．计算下列各题.（1）()y x x =-11，求()().24y （2）()ye x x =-21，求().20y （3）y x x =-+1322，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y（5）,2sin 2x x y = 求()..50y5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1． 设y ey x x sin 22=-，求.dx dy 2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy3．求曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t ty t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.（1）.1sin x e x x y -=（2）().sin ln x x y =5．设()y y x =由方程e y x xy +-=350所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1） 设()x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y （2） 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥⎧⎨⎪⎩⎪2010,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.函数的微分1． 填空题.（1）设x x y 22-=在x 02=处∆x =001.，则=∆y ，=y d . (2) 设()y f x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim .（3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x .（4）d .1dx x = （5）d .3dx e x =（6）d .112dx x -=（7）d .2tan 2sec xdx x =.2． 选择题.（1） 设()y f u =是可微函数，u 是x 的可微函数，则d y =( )A ．();d x u u f 'B ．();d x u f 'C ．();d u u f 'D ．().d u u u f ''（2） 若f x ()可微，当∆x →0时，在点x 处的∆y y -d 是关于∆x 的 ( )A ．高阶无穷小；B ．等价无穷小；C ．同阶无穷小；D ．低阶无穷小. （3） 当∆x 充分小，'≠f x ()0时，函数()y f x =的改变量∆y 与微分d y 的关系是( )A ．;d y y =∆B ．;d y y <∆C ．;d y y >∆D ．.d y y ≈∆（4）()y f x =可微，则d y ( )A ．与∆x 无关；B ．为∆x 的线性函数；C ．当∆x →0时是∆x 的高阶无穷小；D ．当∆x →0时是∆x 的等价无穷小.3．求下列函数的微分.（1）.412x x y += （2）.2cos x x y =（3）.2x e x y -=（4） .1cos 2x x y -= （5）.)2ln (ln 3x y =4．设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy .5．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy6．223y xy x y ++=，求.dy7．计算302.1和98.0ln 的近似值.8.钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。
高阶导数与高阶微分学习笔记
则有(sin x)(k1) (sin(x k )) cos(x k ) sin(x k 1 )
2
2
2
依数学归纳法知结论成立
类似有: (cosx)(n) cos(x n ),n 1,2,
2
例4 求y ln(1 x)的n阶导数
解： (ln(x 1)) 1 (1 x)1, 1 x
x3ex 90x2ex 2610xex 24360ex
教材上还有例6，是通过找递推关系式来求解。
二 高阶微分
1 概念 若y f (x)的微分函数 dy关于x可微,则称y f (x)关于x二阶可微,
其微分称为二阶微分，记作： d 2 y, d 2 f (x), 类似地有d n y, d n f (x) 若记(dx)n dxn,则有:
y(30) (x3ex )(30)
x3 (ex )(30) C310 (x3 )(ex )(29) C320 (x3 )(ex )(28) C330 (x3 )(ex )(27)
x3(1)30 ex 30(3x2 )(1)29 ex 30 29 (6x)(1)28 ex 21
30 29 28 6 (1)27 ex 3 21
2
2
sin x
分析：正弦函数的导数是4阶一个轮回，而其本身就是一个周期函数，函 数值一个周期重复一次，因此可考虑利用其周期来处理。
猜想其n阶导数为：
(sin x)(n) sin(x n )
2
下面用数学归纳法进行证明：
(1)n 1时结论显然成立
(2)假设n k时结论成立,即有(sin x)(k) sin(x k )
高阶导数与高阶微分学习笔记
一、高阶导数 二、高阶微分
一、高阶导数
1 二阶导数的定义
高阶导数与微分
高阶导数与微分微积分是数学中的重要分支，其核心概念之一就是导数。
在导数的基础上，我们可以引入高阶导数的概念，进一步深化对函数变化率的研究。
本文将探讨高阶导数与微分的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数回顾在开始讨论高阶导数之前，我们先回顾一下导数的定义。
设函数f(x) 在某一点 a 处可导，那么 f(x) 在点 a 处的导数定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)导数描述了函数在某一点上的变化率。
如果函数在所有点上都可导，我们可以得到一个新的函数 f'(x)，称为 f(x) 的一阶导函数。
二、高阶导数定义对导数概念的进一步推广就是高阶导数。
函数 f(x) 的二阶导数定义为：f''(x) = [f'(x)]'其中，[f'(x)]' 表示 f'(x) 的导数。
同样地，我们可以定义函数的三阶导数、四阶导数，以此类推。
三、高阶导数与微分之间的关系高阶导数与微分之间存在着密切的联系。
首先，我们知道导数可以看作是函数 f(x) 在某一点 a 处的线性近似。
那么，二阶导数 f''(x) 就是一阶导数 f'(x) 在点 x 处的线性近似。
具体而言，对于函数 f(x)，我们有以下等式成立：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2这个等式就是微分的定义。
它告诉我们，当 x 靠近 a 时，函数 f(x) 可以用它在点 a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似表示。
同样地，我们可以使用高阶导数来推广微分的定义。
假设函数 f(x) 具有 n 阶导数，则有：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x - a)^n 其中，f^(n)(a) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在点 a 处的值。
高阶导数与高阶微分
由定义3.4知 : y(n)
x= x0
=
f
(n)
( x0
)
=
lim
∆x→0
f
(n−1) ( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(n−1) ( x0 )
= lim f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 ) .
x → x0
x − x0
y(n) = f (n) (x) = lim f (n−1) (x + ∆x) − f (n−1) (x)
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
9
例 : 设y = ln(1+ x),求y(n).
解 : y′ = [ln(1+ x)]′ = 1 = (1+ x)−1 1+ x
y′′ = [ln(1+ x)]′′ = [(1+ x)−1]′ = (−1)(1+ x)−2
y′′′ = [ln(1+ x)]′′′ = [(−1)(1+ x)−2 ]′ = (−1)(−2)(1+ x)−3 设y(k) = [ln(1+ x)](k) = (−1)(−2)(−k +1)(1+ x)−k = (−1)k−1(k −1)!(1+ x)−k
解 : y(n) = a0n!
2018/11/5
Edited by Lin Guojian
5
例 : 设y = ex , 求y(n)与y(n) (0).
解 : y′ = (ex )′ = ex , y′′ = (ex )′ = ex ,, y(n) = ex.
y(n) (0) = y(n) = ex = e0 = 1.
微分形式的高阶导数
微分形式的高阶导数微分形式在数学中是一种形式化的量，它可以用来描述切向量、曲面和流形上的微积分结构。
微分形式的概念一直以来都是微积分和流形理论中不可或缺的一部分。
其中，微分形式不仅可以表示向量场的通量、旋度和散度，而且还能提供很多有用的信息，比如高阶导数等。
本文将从微分形式的角度出发，探讨其中的高阶导数。
一、微分形式的基本概念微分形式最初由爱德华·卢埃林·德·卡特在20世纪初提出，他是拓扑学和微积分的先驱之一。
微分形式是一种在微积分和流形理论中非常有用的概念，它主要用于描述切向量、曲面和流形上的微积分结构。
微分形式可以看做一个标量函数的线性组合，并且对于每一个向量场，都可以与之对应一个微分形式。
比如，设一个二维平面上的向量场F＝P(x,y)i+Q(x,y)j，其中i和j分别是该平面上的标准单位向量，那么就可以构造一个标量函数w＝Pdx+Qdy，这个w就是F所对应的微分形式。
其中dx和dy 是自变量x和y的微分。
二、高阶微分形式对于微分形式而言，高阶形式指的是它所对应的微分形式的高阶外微分。
假设f是一个标量函数，那么它的一阶微分形式df就是：df＝(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy对于这个微分形式来说，也可以进行外微分，得到二阶微分形式d(df)。
其中，d是外微分算子，它的定义如下：对于任意的微分形式w，外微分算子d(w)等于其在一定基础上的外积。
也就是说，对于形式幂级数：w= Σu_I(x)dx_I其中I=(i1,i2,...,in)，u_I是关于变量x_i的标量函数，dx_I=dx_i1 ∧dx_i2 ∧...∧dx_in 是逆序n元之外积（i1<i2<...<in），那么外微分算子d的作用就是：d(w)=∑(d(u_I) ∧ dx_I)其中，d(u_I)是u_I的一阶外微分。
回到二阶微分形式d(df)，在进行外积的基础上，会得到三阶微分形式d(d(df))，依此类推，可以构造出更高阶的微分形式。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
微分方程的高阶导数
微分方程的高阶导数微分方程是数学中极为重要的一个领域，指一类带有导数的方程。
微分方程对于理解自然界中的各种现象和规律都有着重要的作用。
高阶导数是微分方程中非常重要的一个概念，在微分方程的解法中有着非常重要的地位。
一、高阶导数的定义我们都知道，导数代表函数在某一点上的变化率。
而高阶导数则是对于一个函数f(x)，对它的导数再求导数，以此类推，也就是对于一个函数f(x)，它的n阶导数记作f^n(x），f^n(x）=f^(n-1)(x)’。
这里的f(x)’表示函数f(x)的导数。
比如，对于函数f(x)=x^4+2x+1，它的导数f’(x)=4x^3+2，f’(x)的导数就是f’’(x)=12x^2，f’’(x)的导数是f’’’(x)=24x，再次求导就是f^4(x)=24，即f(x)的四阶导数。
二、高阶导数的意义高阶导数的定义虽然简单，但是它的意义很重要。
高阶导数可以帮助我们判断一个函数的增减性以及凸凹性，从而求解微分方程。
比如对于二阶导数f’’(x)，当f’’(x)>0时，函数f(x)为凸函数；当f’’(x)<0时，函数f(x)为凹函数；当f’’(x)=0时，函数f(x)可能是拐点。
在微分方程的求解中，高阶导数也起到了非常重要的作用。
有一类微分方程称为高阶常微分方程，它们形式如下：y^(n)(x)+p1(x)y^(n-1)(x)+p2(x)y^(n-2)(x)+…+pn-1(x)y’(x)+pn(x)y(x)=f(x)其中n是一个正整数，p1(x)、p2(x)、…、pn(x)、f(x)都是已知的函数，y^(k)(x)表示y(x)的k阶导数。
求解高阶常微分方程，就是要找到y(x)的解析式，即y(x)=f(x)。
这类方程求解时往往需要使用高阶导数的知识。
三、高阶导数在物理学中的应用高阶导数的意义不仅仅局限在数学中，它在物理学中也有着广泛的应用。
物理中的许多物理量都是关于时间t的函数，比如速度、加速度、力等，这些物理量的变化率就可以用高阶导数来描述。
高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一 般 地 ,函 数 f(x)的 n1阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x)的 n 阶 导 数 ,记 作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
fy(x,y)x2x 3y2(x2 2x 3y y2 2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
d2 y dxn
f (n) x.
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注 (1) d x n (d x )n ， d x n d (x n ) ， (dx)n表 示 微 分 的 幂 ， 简记为dxn；
d(xn)指 幂 的 微 分 ， 即 d(xn)n xn 1dx ； 而 d n x 是 x 的 n 阶 微 分 .
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数 图
图合 形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
一、高阶导数及其运算法则(精)
例9： y x2，求d 2 y.
解：
当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.
解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx
3.3 高阶导数与微分概念
dy f ( x )x yx
ex 9. 设 y x , 求 dy.
Solution. y 1, dy x dx x.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx , 即dx x .
ex 3.设 f ( x ) cos x , 求 f
( n)
( x ).
Solution. f ( x ) sin x cos x 2
x cos x cos x 2 f ( x ) sin 2 2 2 2
dx 1 d2x ex 5.由 , 求 2 . dy y dy
Solution.
d2x d 1 2 dy y dy
d 1 dx dx y dy
1 1 2 y y y y 3 y
二. 高阶导数的运算法则
则 y( n) a0 n!
ex 2.设 y a x , 求 y (n ) .
Solution. y a x ln a ,
y a x ln 2 a ,,
y ( n ) a x ln n a.
注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结
果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
注意：求高阶导数的方法可归纳为三种
方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论. 方法2: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.
方法3(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
x2 5 ex 7.设 y 2 , 求 y( n) . x 2x 3
导数与微分如何求解函数的高阶导数
导数与微分如何求解函数的高阶导数在微积分中，导数和微分是解析几何和函数的重要概念。
它们用于求解函数的高阶导数，帮助我们研究函数的性质和变化。
本文将介绍导数和微分的概念，并探讨如何求解函数的高阶导数。
一、导数的概念和求解方法导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，是刻画函数变化的重要工具。
函数f(x)在点x处的导数记为f'(x)，可以通过极限的方式定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] /h其中，h表示自变量x的增量。
要求解函数的导数，我们可以使用一些常用的求导法则，例如：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，则f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 求和法则：对于两个函数f(x)和g(x)，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
4. 乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)，则(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)] / g^2(x)。
利用以上的求导法则，我们可以逐步求解函数的导数。
若要求解函数的高阶导数，我们可以重复应用求导法则多次，直至得到所需的阶数。
二、微分的概念和求解方法微分可以看作导数的近似，是用线性函数逼近曲线的切线，从而研究函数在某一点附近的变化。
微分的定义为：df(x) = f'(x)dx其中，df(x)表示函数f(x)在x处的微分，dx表示自变量x的微小变化量。
通过微分，我们可以得到函数的近似变化量，即：Δf(x) ≈ df(x) = f'(x)dx其中，Δf(x)表示函数f(x)在x处的近似变化量。
高等数学下册 chap2(导数与微分)2-5(高阶导数与高阶微分)
(3) （t）, (t)均 存 在 ，
dy (t) dx (t)
d 2y dx 2
d( dy ) dx dx
(
dy dx
)t
x(t )Байду номын сангаас
(t) (t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
(t) (t) (t)(t)
3(t)
.
例.已
知C
:
参
数
方
程xy
a a
cos t sin t
,
求
d2y dx2
方法1、在求导后的方程两边继续求导，并将一阶 导数代入；
方法2、由一阶导数的表达式求二阶导数.
例.已知y xe y 1,求 d 2 y . dx2
解 由隐函数求导法则
y e y xe y y 0(1)
得
y
ey 1 xe y
将xe y
y
1代入
y e y . 2 y
方法1
由(1)式 两 边 继 续 对x求 导 ，
例 设 y ln(1 x)( x 1), 求y(n).
解 y 1
1 x
y
(1
1 x)2
y
(1
2! x)3
y(4)
3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
例 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x )
2
注 求n阶导数时, 关键要寻找规律, 一般求至三阶, 便可看出规律;另外在 求导过程中不要急于合并, 分析结果 的规律性,写出n 阶导数.
例
y
x2
1
, 求y(n) .
第13讲高阶导数
d x 是 x 对 y 的导数. 2 dy
2
由复合函数及反函数的求导法则, 得
d2x d dx d 1 ( )= ( ) = 2 dy dy dy dy y ′
1 y′
d ( y′) dy =− ( y′) 2
d ( y′) dx dx dy =− ( y′) 2
y导数 且满足 f ′( x) = f 2 ( x), ,
f
(n)
( x) = ( f
( n −1)
( x))′,
y ( n ) = ( y ( n−1) )′, d n y d d n−1 y = , n n −1 dx dxdx
d n f ( x) d d n−1 f ( x) = , n n −1 dx dx dx
按照一阶导数的极限形式, 有
y (n) f ( n−1) ( x + ∆x) − f ( n −1) ( x) = f ( n ) ( x) = lim ∆x ∆x →0
由数学归纳法得 (n) n +1 f ( x) = n ! f ( x)
二.高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x) ± g ( x)) ( n ) = f ( n ) ( x) ± g ( n ) ( x) (2) 莱布尼兹公式
是 sin x 连续求两次导数的结果 . 称为函数 sin x 的二阶导数, 记为 (sin x)′′ = ((sin x)′)′ = (cos x)′ = − sin x
一般说来, 如果函数 f ( x) 的导函数 f ′( x) 仍然 可导, 则称 f ′( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二
证 Q f ′( x) =
§3.4高阶导数与高阶微分
y(n)
[ln(1
x)](n)
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
.
第3章 导数与微分
注 求函数的高阶导数常用以下两个公式：
(1)[u(x) v(x)](n) [u(x)](n) [v(x)(n) ]；
n
(2)[u(x)v(x)](n) Cnku(nk) (x) v(k) (x). k 0
x
a cost，y
b sin
t(0
t
)，求
d2y dx2
.
解：由参数方程求导法则得
dy (bsin t)' b cot t， dx (a cost)' a
再运用一次参数方程求导法则，可得
d2y dx2
d dx
(dy) dx
( b cot t)' a
(a cost)'
a2
b sin
3
t
.
第3章 导数与微分
2 v' 2x，v'' 2，v(k) 0(k 3).
代入莱布尼兹公式，得
y(50) x2 sin( x 50 ) 50 2xsin( x 49 )
2
2
50 49 2sin( x 48 )
2
2
x2 sin x 100x cos x 2450sin x.
第3章 导数与微分
例5
设
第3章 导数与微分
则称它在I内二阶可导，并称 f ''(x)(x I )为f (x)在 I内
二阶导函数，或简称为二阶导数. 二阶及其以上的各
阶导数统称为高阶导数，f (x) 也称为一阶导数. 类似地可以定义三阶导数 f (x)，四阶导数 f (4) (x).
数学分析高等数学导数与微分习题有答案
导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义 难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数 例题:例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求例2 设 31s i n ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导例3 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数例4 求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y = (３)1ln1xy x +=-例5 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y =的导数.例6 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x+=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .例7 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求例8 设()0f x>且处处可微,求ln() ()()f xdff x.例9 求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44() sin cos,.n y x x y =+求(３)2()21,.nxxy ye-=求(４)()2156n y yx x=++，求.例10 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.答案：例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求解: 欲使()f x 在内可导,只需()f x 在0x=处连续,可导,由lim ()lim()x xx x f x ae be a b ---→→=+=+ 00011lim ()lim ln(1)lim 11xx x f x x x x+++→→→=+==+ 而()f x 在0x=处连续,得1a b += (1)00()(0)'(0)lim lim x x x x f x f ae be a bf a b x x ----→→-+--===+ 00(1)(1)lim lim x x x x a e b e x x---→→--=+ 00lim lim x x x x a b a b x x--→→-=-=-- 00ln(1)()()(0)'(0)lim lim x x x a b f x f x f x x+++→→+-+-== 20011ln(1)11lim lim 22x x x x x x x ++→→-+-+===- 由()f x 在0x=处可导,得12a b -=- (2)联立(1)与(2)解得14a =,34b =.所以当14a =,34b =时,()f x 在0x =处可导,且213,044'()11ln(1),0(1)x x e e x f x x x x x x-⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>+⎪⎩例2 设31sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导证: 因为3001lim ()lim sin 0()x x f x x f x x→→===,故()f x 在0x =处连续,又 320001sin()(0)1'(0)lim lim lim sin 0,x x x x f x f x f x x x x→→→-====故()f x 在0x =处可导,也可微.当0x ≠时,211'()3sin cos .f x x x x x=-20011lim '()lim(3sin cos )0'(0).x x f x x x f x x→→=-==故导函数'()f x 在0x =处连续,但00'()'(0)11lim lim(3sin cos ).x x f x f x x x x→→-=-不存在 故导函数'()f x 在0x =处不可导例11 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数解: 01lim r r r f t f t r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0()()()()lim r r r f t f t f t f t a a r →+-+--= 00()()()()11lim lim()r r r r f t f t f t f t a a r r a a a a→→+---=+-112'()'()'()ft f t ft a a a=+=例12 求下列函数的导数'y(１) 2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y =(３)1ln1xy x +=-(１) 解:221'()'[(2)]',,x x x y x x y x =+=令111'ln 2ln ,22ln y y x x x y ==+21'(22ln )xy x x =+. 令 2222'1(2),ln ln(2),ln 22xy y x y x x x y ===+21'(2)(ln 2)2xy x x =+故2'2(1ln )(2)(1ln 2)x xy x x x x =+++ (２) 解:31'12y x x=+-2331321222x x x x x-=+--232x -=(３) 解:1ln ln 1ln 11x y x xx +==+---2112'111y x x x=+=+--例13 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y=的导数.解:''y =()'()()'()x x x x +=例14 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x +=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .解: 对原式左右求导有22'()'()()'()'2y y f x y f x f y x f y y x+++= 解得 22'()()'2()'()x y f x f y y yf x xf y --=+例15 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求 解:'()''()'()''()dydy f t tf t f t dt tdx dx f t dt +-===22()1"()dy d dx d y dt dx dx f t dt==例16 设()0f x >且处处可微,求ln ()()()f x df f x . 解: 2'()()'()ln ()ln ()ln ()()'()()()f x f x f x f x f x f x f x df f dx f x f x f x ⋅-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2ln ()'()1ln ()'()()f x f f x f x f x dx f x -⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦例17 求下列函数的高阶导数(１) 23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44()sin cos ,.n y x x y =+求(３)2()21,.n x x y y e-=求(４)()2156n y y x x =++，求.(１) 解:23655(2)(3)()108(),y x x x p x x p x =+=+其中5()p x 为x 的５次多项式,故(6)1086!y =(２) 解: 将原函数变形得 22222(sin cos )2sin cos y x x x x =+-2111cos 41sin 21222x x -=-=-1(3cos 4)4x =+,故()114c o s (4)4c o s (4).422nnn nnyx x ππ-=+=+ (３) 解: 将原函数变形得22(1)x y e x -=-故()22212(2)(1)(2)()(1)(2)n n x n x n xy x e nx e n n e ----=-------(４) 解: 将原函数变形得111(2)(3)(2)(3)y x x x x ==-++++故 1111'(1)!(2)(3)nn n y n x x ++⎡⎤=-⋅⋅-⎢⎥++⎣⎦例18 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =证: 首先()f x 不恒为零,否则有'(0)0f =,与题设矛盾.于是至少存在一点0x ,使0()0f x ≠.这样,由000()(0)()(0)f x f x f x f =+=可得(0)1f =.设为内任一点,则00()()()()()'()lim lim x x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 00()1(0)(0)lim ()lim ()x x f x f x f f x f x x x∆→∆→∆-+∆-=⋅=⋅∆∆ ()'(0)f x f f x==即()f x 可导且'()()f x f x =.作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.解: 设公切线分别与曲线2y x =和1(0)y x x=<相切于点2(,)M ξξ,11(,)M ηη,并与x 轴交于点00(,0)M x ,见图,因为公切线是曲线2y x =在点2(,)M ξξ处切线,故其斜率为2k ξ= (1)其方程为22()y x ξξξ-=-,即22y x ξξ=-……… (２)或002()y x x ξ-=-,即022y x x ξξ=-…… (３)公切线也是曲线1y x=在点11(,)M ηη处的切线,故其斜率为21k η=-…………………………（４）其方程为211()y x ηηη-=--,即22xy ηη=-+…… (５)或210()y x x η-=--,即22x xy ηη=-+…. (６)由(２)、(３)可得, 02x ξ=由(５)、(６)可得, 02x η=所以4ξη=由(１)、(４)、(７)可解得2ξ=-,12η=-.故所求公切线方程为 44y x =--。
高阶偏导数和高阶全微分
z z u z v y u y v y
e u sinv2 x e u cosv e u (2 xsinv cosv )
e 2 xy [2 x sin(x 2 y) cos(x 2 y)].
z f u f . y u y y
x u y z x y
z f z 注意：这里 与 是不同的， 是把复合函数 x x x
， z f [( x, y) , x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
f 是把 f ( u , x , y)中的 u, y 看作不变而对 x 的偏导数 . x
zபைடு நூலகம்
u v w
x x x
dz 例 1．已知 z uv arctan t ， 而 u e ， v cos t ， 求 . dt
t
d z z d u z d v z 解法 1： d t u d t v d t t
ve u( sint )
t
1 1 t2 1
例 2．设 z e u sinv ，而u 2 xy ，v x 2 y ， z z 求 ， . x x y
z z u z v 解: x u x v x
z
u y v x y
e u sinv2 y e u cosv2 x 2e u ( ysinv xcosv )
z z x y xy xF(u) yF (u) xy yF (u) z xy . x y
例 4．设 u f ( x , y ,z ) e
u u 求 和 . x y
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1、填空题
1）设5x y =，则()()=
0n y ()
ln 5n
2）设cos 2y x =，()
()=x y n 2cos 22n
n x π⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
3）设x
y 211
+=
，则()()=x y 6()()7
66212!61-+⨯⨯-x
4）设()x f y =三阶可导，且其一阶导数、二阶导数均不为零，其反函数为()y x ϕ=，则
()=
''y ϕ()()()()()()()()()3
21111x f x f x f x f x f dx
dy dx x f d dy
x f d '''-=''''-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛' ()y ϕ'''=
()()()()()3
f x d f x d y dx dy dx dy
ϕ⎛⎫
'' ⎪- ⎪'''⎝⎭=
()()()()()()()
()()
()
()()()()
()()
3
2
2
2
6
5
331
f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''--=-
=-'''
5）已知函数()x y 由方程0162=-++x xy e y 确定，则()=''0y 2
-
2、求下列函数的二阶导数 1）x e
y x
sin -=
解：x e x e y x x
cos sin --+-='，x e x e x e x e y x x x x cos 2sin cos 2sin -----=--=''
2）()()
22
1ln 1y x x =++
解：(
)
2
2ln 12y x x x '=++，
()()
()2
2
2
2
42ln 122ln 121x y x x x x x '
''=++=++++
3、求下列函数的n 阶导数的一般表达式 1）x y 2
sin =
解：x x x y 2sin cos sin 2=='，⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
==''22sin 22cos 2πx x y
()ππ+=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
='''x x y 2s i n
222c o s 22
2 …… ()()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-+=-2
12s i n 21πn x y n n
2）x y xe -=
解：()1x x x y e xe x e ---'=-=-
()()()
122x x
x
x y e x e
x
e x e
----''=---=-+=-- ()()23x
x x y e
x e x e ---'''=--+=-
…… ……
()()
()1
1n n
x y n x e --=--
4、求下列方程所确定的隐函数()x y 的二阶导数 1）()y x y +=tan
解：方程两边关于x 求导得：()()()()
()y y x y y y x y '+⋅++='⇒'+⋅+='1tan 11sec 22
(
)
()1111222
2
--=+-='⇒'++='-y y
y y y y y
()
5
32332
2122y
y y y y y y --
=--='=''--- 2）y y x =+arctan
解：方程两边关于x 求导得：2
2
2211111-+=+='⇒'='⋅++y y
y y y y y ()
5
32332
2122y
y y y y y y --
=+-='-=''--- 5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数22dx y
d
1）()
⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2
解：()()()2121111ln arctan 2
22t t t t t t t dx dy =++-
='
+'-= ()()
t t t t t t dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d 4112211ln 222
22
2+=
+='+'⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
2）()()()⎩
⎨⎧-'='=t f t f t y t f x （其中()t f ''存在且不为零）
解：
()()()()()
()()t t f t f t t f t f t f t dx dy =''''='''-'= ()()()t f t f t dt
dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d ''=
'''=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛=
12
2 6、设()⎪⎩⎪
⎨⎧≥++<=0
02
x c
bx ax x e x f x 且()0f ''存在，是确定常数c b a ,,的值。
解：由()0f ''存在可得()0f '存在且()x f 在0=x 处连续。
由连续性有
()()
()()c f e x f c c bx ax x f x x x x x ======++=-
-
+
+
→→→→01lim lim lim lim 00200
所以1=c 。
由()0f '存在我们有()()00+-
'='f f ，而 ()()()11
lim 0lim 000=-=-='--→→-h e h f h f f h h h
()()()b h bh
ah h f h f f h h =+=-='+
+→→+200lim 0lim 0
所以1=b 。
当0<x 时，()x
e x
f ='，当0>x 时，()122+=+='ax b ax x f 。
所以()⎩⎨
⎧≥+<='0
1
20
x ax x e x f x
由()0f ''存在我们有()()00+-
''=''f f ，而 ()()()a h ah
h f h f f h h 22lim 0lim
00
0=='-'=''++
→→+
()()()11
lim 0lim 00
0=-='-'=''+-→→-h e h f h f f h h h
所以2
1
=a 。