不定积分的概念和性质教案13
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念与性质教学目标：1. 理解不定积分的概念；2. 掌握不定积分的性质；3. 学会计算基本的不定积分。
教学内容：1. 不定积分的定义；2. 不定积分的符号表示；3. 不定积分的性质；4. 基本不等式的积分；5. 基本三角函数的积分。
教学活动：1. 引入不定积分的概念，引导学生理解不定积分表示的是一个函数的积累效果；2. 讲解不定积分的符号表示，让学生熟悉积分符号；3. 通过示例演示不定积分的性质，如线性函数的积分是线性函数的常数倍，指数函数的积分是指数函数的倒数等；4. 引导学生掌握基本不等式的积分公式，如\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)；（n ≠-1）；5. 教授基本三角函数的积分公式，如\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \) 等；6. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习计算基本不等式的积分；2. 练习计算基本三角函数的积分；3. 完成课后习题。
第二章：换元积分法教学目标：1. 理解换元积分法的概念；2. 掌握换元积分法的步骤；3. 学会运用换元积分法计算不定积分。
教学内容：1. 换元积分法的定义；2. 换元积分法的步骤；3. 常用换元积分法；4. 换元积分法的应用。
教学活动：1. 引入换元积分法，让学生理解通过变量替换简化积分过程；2. 讲解换元积分法的步骤，如选择合适的换元变量，构造新的函数等；3. 介绍常用的换元积分法，如代数换元法、三角换元法等；4. 通过示例演示换元积分法的应用，如计算\( \int \sqrt{1+x^2} dx \) 等；5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习运用换元积分法计算不定积分；2. 完成课后习题。
第三章：分部积分法教学目标：1. 理解分部积分法的概念；2. 掌握分部积分法的步骤；3. 学会运用分部积分法计算不定积分。
不定积分的概念及性质 教案《高等计算机数学(IT类专业适用)》(高教版)
《计算机数学》课程教案一、原函数的概念定义 4.1.1设是定义在某区间的函数，若存在函数，使得 或，则称为的一个原函数.定理4.1.1 若是的一个原函数，则（为任意常数）是 的全部原函数.)(x f )(x F )()(x f x F ='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f )(x F )(x f C x F +)(C )(x f二、不定积分的概念定义4.1.2 函数的全体原函数（为任意常数）称为的不定积分，记为，其中其中“”称为积分号，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，“”称为积分变量，“”称为积分常数.注意：我们在求时，一定要 “+”，因为表示的是的全体原函数而不是一个原函数.例4.1.1 求下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）. 解 （1）因为，所以；（2）因为，所以； （3）因为；（4）由导数公式可得，但此时是先有对数函数，所以自变量的取值范围是，而如果对积分，此时是先有函数，其自变量的取值范围是，所以直接得到是不正确的，还应该考虑的情况：当时，因为，所以； 当时，，所以； )(x f C x F +)(C )(x f C x F dx x f +=⎰)()()()(x f x F ='⎰)(x f dx x f )(x C ⎰dx x f )(C ⎰dx x f )()(x f 2xdx ⎰sin xdx ⎰dx x ⎰1x x 2)(2='C x dx x +=⎰22()cos 'sin x x -=sin cos xdx x C =-+⎰()arcsin 'x ==arcsin x C +xx 1)(ln ='x ln x ),0(+∞x 1x10≠x C x dx x +=⎰ln 10<x 0>x x x 1)(ln ='C x dx x +=⎰ln 10<x x x 1])[ln(='-C x dx x+-=⎰)ln(1故 .注意：由不定积分的定义我们可以总结出积分运算与微分运算之间的互逆关系，即（1）或； （2）或.例4.1.2 已知曲线上任意一点处的切线斜率为，且该曲线过点，求此曲线的方程.解 设该曲线方程为，根据题意，，由例4. 1. 1有， ，由于该曲线过点，即，得故该曲线方程为 .三、基本积分公式1. （）；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8.； 9. ； 10. ；11．； 12． . C x dx x +=⎰ln 1[])()(x f dx x f ='⎰[]dx x f x x f d )(d )(=⎰⎰+='C x F x x F )(d )(⎰+=C x F x F )()(d ),(y x M x 2)1,0()(x F y =x x F k 2)(='=切C x dx x y +==⎰22)1,0(C +=2011=C 12+=x y C x x x ++=⎰+111d μμμ1-≠μ⎰+=C a a x a xx ln d ⎰+=C e x e x x d C x x x +=⎰ln d 1⎰+-=C x x x cos d sin ⎰+=C x x x sin d cos ⎰⎰+==C x x x x x tan d sec d cos 122⎰⎰+-==C x x x x x cot d csc d sin 122⎰+=C x x x x sec d tan sec ⎰+-=C x x x x csc d cot csc C x x x +=+⎰arctan d 112C x x x +=-⎰arcsin d 112四、不定积分的性质性质4.1.1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即（）.性质4.1.2 两个函数代数和、差的积分，等于各函数积分的代数和、差，即.例4.1.3 求下列不定积分：（1）； （2）； （3）.解 （1）； （2） ； （3）.例4.1.4 求下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）.解（1）； （2）； ⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(0≠k []⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()(()1x dx +⎰2dx x ⎫+⎪⎭⎰()211=2x dx xdx dx x x C ++=++⎰⎰⎰131222212=2ln 2ln 1312dx dx x x C x x C x x +⎫+=++=++⎪⎭+⎰⎰=4arcsin x C +)21x dx +2211x dx x -+⎰⎰dx x 2cos2)5122221=x dx x x x dx ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎰5173232222122=373x dx x dx x dx x x x C ++=+++⎰⎰⎰22212=12arctan 11x dx dx x x C x x -⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰（3） ； （4）. 注意：我们在计算不定积分的前，可以先观察被积分函数的特点，能够化简的先化简再求不定积分，这样可以简化运算. ⎰dx x 2cos 2⎰+=dx x 2cos 1⎰⎰+=dx x dx 2cos 21C x x ++=)sin (2137444=7x dx x C =+⎰。
课题十三不定积分的定义、基本公式和法则
课题十三 不定积分的定义、基本公式和法则【授课时数】总时数：2学时。
【学习目标】1、知道不定积分的定义、性质和基本公式；2、会用定义求函数的原函数或不定积分；3、会用直接积分法求函数的不定积分。
【重、难点】重点：不定积分的定义和基本公式，由已知一个函数的导数（或微分），求这个函数引出原函数的定义及不定积分的定义和基本公式。
难点：正确使用直接积分法求积分，由实例讲解方法。
【授课内容】前面我们学习了已知函数求它的导数或微分，下面我们再来研究已知函数的导数，求该函数引出函数的不定积分的定义、积分基本公式和积分方法。
一、原函数1．原函数的定义：设)(x F 与)(x f 在某一区间内有定义，且有)()(x f x F =′或dx x f x dF )()(=，则)(x F 叫做函数)(x f 的一个原函数，把不含常数项的原函数称为最简原函数。
例如：x x x x 2)2()1()(222=′−=′+=′，则2x 、12+x 、22−x 都是x 2的一个原函数，其中，2x 是x 2的最简原函数。
2．原函数族定理：若)(x F 是)(x f 的最简原函数，则C x F +)(是)(x f 的所有原函数，也称为是)(x f 的原函数族，且宽它的任意两个原函数之差是一个常数。
例如：C x +2是x 2的所有原函数，也称为x 2的原函数族。
3．原函数存在定理：若)(x f 在一个闭区间上连续，则它的原函数存在。
二、不定积分1．定义：函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分，记为∫dx x f )(，其中记号∫称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量。
即： C x F dx x f +=∫)()(，这里)(x F 是)(x f 的最简原函数。
例1．求下列不定积分：①∫dx x 4 ②∫−dx e x例2．设曲线过)3,1(−，且其上任意点处切线的斜率都为23x ，求此曲线方程。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
不定积分的概念和性质教案13
因此所求曲线方程为y=x2+1。
二、不定积分的性质
性质1不定积分与求导或微分互为逆运算。
（1）［∫f（x）dx］′=f（x）或d［∫f（x）dx］=f（x）dx
（2）∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
性质2被积分式中的非零常数因子可以移到积分号前。
∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k≠0，k为常数）
性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数积分的代数和。
∫［f（x）±g（x）］dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
三、基本积分表
（1）∫kdx=kx＋C (k是常数);
（2）∫xαdx=＋C (α∈R，α≠-1）;
（3）∫dx=ln|x|＋C；
（4）∫axdx=＋C（a>0，a≠1）;
（5）∫exdx =ex＋C;
3.不定积分的几何意义
通常我们把一个原函数F(x)的图象称为f(x)的一条积分曲线，其方程为y=F(x)，因此，不定积分∫f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程是y=F(x)+C。
例2设曲线过点（１，２），且斜率为2x，求曲线方程。
解设所求曲线方程为y=y(x)。
依题意，有=2x，故y=∫2xdx=x2+C.又因为曲线过点（1，2），故点（1，2）适合此方程，于是
2.不定积分
Байду номын сангаас定义2
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记为∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中符号“∫”称为不定积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，x称为积分变量，C称为积分常数。
不定积分概念教学设计
不定积分概念教学设计不定积分是数学中重要的概念之一，也是微积分学中必修的内容之一。
教师在教授不定积分相关知识时，必须有合适的教学设计，通过恰当的学习方式，为学生提供更好的学习环境，进而提高学习效率。
本文将分析不定积分的教学设计，并针对相关课程提出改进建议。
一、不定积分的定义不定积分是在广义微积分中引进的一类特殊函数，用于表示某类函数与变量之间的关系。
它可以帮助学生理解某类函数的发展趋势，以及预测函数的变化行为。
二、不定积分的概念教学1.在对不定积分的概念进行教学时，教师首先应该从函数的概念出发，提出什么是函数，以及它与变量之间的关系，然后讲述不定积分的定义，引出不定积分的意义和用途，让学生尽快熟悉不定积分的概念。
2.接下来，教师可以以实例的形式展示不定积分的用法，利用函数曲线图进行说明，让学生更直观地理解其用法。
同时也可以利用计算机，使学生在计算机平台上进行实践，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
3.教师还可以利用一些练习给予学生一定的指导，以演练的形式帮助学生更好地理解不定积分的定义，以及它的实际运用。
三、不定积分的概念教学的改进建议1.教师可以多利用视频、图片等虚拟现实媒介资源，丰富学生的学习环境，提高学习的体验。
2.教师还可以采取小组合作的方式，鼓励学生自主探究，让学生用自己的思考来领悟不定积分的概念，深入分析其特点。
3.教师还可以及时与学生进行交流，为学生提出解决问题的建议，帮助学生及时复习，更好地记忆不定积分的概念。
结论不定积分是微积分学中的重要知识点，教师在设计教学时，应该从函数的概念出发，让学生理解不定积分的定义，做到实践结合，让学生更好地掌握不定积分的概念。
此外，教师还可以利用虚拟现实媒介资源，以小组合作的形式来提高学生的学习兴趣，帮助学生更好地掌握不定积分的知识。
“不定积分的概念与性质”教案
“不定积分的概念与性质”教案教案：不定积分的概念与性质一、教学目标1.理解不定积分的概念，能够正确地定义不定积分。
2.掌握不定积分的基本性质，能够正确地应用不定积分求解一些简单的函数积分。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点1.不定积分的概念和定义。
2.不定积分的基本性质。
三、教学难点1.不定积分的概念和定义的理解。
2.不定积分的基本性质的掌握和应用。
四、教学过程1.引入（5分钟）请学生回顾在微积分第一节课中所学的导数的概念和定义，提醒学生导数与积分的关系。
2.概念讲解（20分钟）解释不定积分的概念，即初等函数的原函数。
示意图解，帮助学生理解不定积分的几何意义。
引导学生注意不定积分的一般形式f(x)dx中，f(x)的变量是x，x是积分变量。
3.定义说明（25分钟）通过具体的例子和讲解，引导学生理解不定积分的定义并能够正确地定义不定积分。
4.基本性质的讲解（20分钟）讲解不定积分的一些基本性质，如线性性质、常数性质、分部积分法等。
通过具体的例子演示和讲解，引导学生掌握这些基本性质，并能够正确地应用。
5.练习（20分钟）布置一些基本性质练习题，让学生独立完成。
通过做题，巩固和拓展学生对不定积分的理解和掌握。
6.拓展延伸（10分钟）让学生思考不定积分与定积分的关系，引导学生思考什么条件下不定积分可以变成定积分。
7.总结与反思（10分钟）对本节课内容进行总结，检查学生对不定积分概念和性质的掌握情况。
针对学生可能存在的困惑和问题进行解答和引导。
五、作业布置1.完成课堂练习题。
2.预习下一节课内容。
六、板书设计不定积分的概念与性质概念：不定积分的定义性质：1.线性性质2.常数性质3.分部积分法七、教学反思本节课通过引入导数和积分的关系，让学生能够更容易理解不定积分的概念。
通过具体的例子和讲解，引导学生正确地定义不定积分，并能够掌握不定积分的基本性质。
通过练习题的布置，巩固和拓展学生对不定积分的理解和应用能力。
不定积分的概念和性质教案
注意：原函数和不定积分是个体与全体的关系（强调常数 的重要性）.
三、举例利用定义求简单积分
例1：求 .
解：由于 ,所以 是 的一个原函数.因此
例2：求 .
结论：微分运算与积分运算是互逆的（给出基本积分表）.
例4：求 .(积分表的应用)
解：
五、不定积分的性质
（1）性质1：设函数 的原函数存在,则 .
性质2：设函数 的原函数存在, 为非零常数,则 .
（2）利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
例4：求
解：
例5：求
解：
四、根据微分运算与积分运算是互逆的性质给出基本的积分,并尝试应用其求一些积分.
定理1：……
定理2：……
例4：求
例5：求
例6：求
课堂小结:……
不定积分
已知 ,求函数 ,使得 .
定义1：（原Leabharlann 数的定义）…….（1）（2） 与 的关系？
的全体原函数
定义2：（不定积分的定义）……
例1：求 .
例2：求 .
例3:设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
五、尝试利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
教学过程
例6：求
解：
六、课堂小结
（1）原函数及不定积分的概念
（2）能够利用不定积分的定义求简单积分
（3）基本积分表
（4）不定积分的性质
六、与教师一起进行总结
板书设计
;
由于 是 的原函数,则有
大学不定积分教案
教学目标：1. 理解不定积分的概念和性质。
2. 掌握不定积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法等。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
教学重点：1. 不定积分的概念和性质。
2. 换元积分法和分部积分法的运用。
教学难点：1. 换元积分法和分部积分法的灵活运用。
2. 复杂函数的不定积分计算。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的概念和求导法则。
2. 提出问题：如何从导数反求原来的函数？二、不定积分的概念与性质1. 引入不定积分的定义：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的不定积分记作∫f(x)dx，其中F(x) + C为f(x)的不定积分。
2. 讲解不定积分的性质：a. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb. 可积性质：如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。
c. 积分常数：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数。
三、换元积分法1. 介绍换元积分法的概念：将原积分问题转化为新的积分问题，通过变量替换简化积分计算。
2. 讲解第一类换元法：a. 介绍凑微分法：在原积分中，将微分表达式凑成待积函数的形式。
b. 举例说明第一类换元法的运用。
3. 讲解第二类换元法：a. 介绍根式换元法：将被积函数中含有根式的部分通过换元转化为不含根式的函数。
b. 举例说明第二类换元法的运用。
四、分部积分法1. 介绍分部积分法的概念：利用分部积分公式将原积分问题转化为新的积分问题。
2. 讲解分部积分公式的推导过程。
3. 举例说明分部积分法的运用。
五、巩固练习1. 给出一些不定积分的计算题，让学生运用所学方法进行计算。
2. 对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
六、总结1. 总结本节课所学的不定积分的概念、性质、基本方法。
2. 强调换元积分法和分部积分法的运用技巧。
七、课后作业1. 完成本节课所学的练习题。
不定积分教案
第三章 一元函数积分学一、 不定积分（一）、 不定积分的概念已知一个函数的导数（或微分），求此函数。
例如：已知)(t f s =则)(t f v '=反之，若已知)(t f v '=，则?=s 这是积分学的基本问题。
1、原函数的定义：若在某区间上)()(x f x F ='，则在某区间上)(x F 叫做)(x f 的原函数。
例如：x x F sin )(=是x x f cos )(=的原函数。
又如3)(x x F =是23)(x x f =的原函数。
若)(x f 有原函数)(x F ，则一共有几个？)()(x f x F ='显而易见)(]1)([x f x F ='+)(])([x f c x F ='+其中C 為任意的常数即函数族:c x F +)(是)(x f 的原函数。
一个函数若有原函数就必有无穷多个，它们之间相差一个常数。
2、不定积分的定义)(x f 所有原函数的全体，叫做)(x f 的不定积分。
记为⎰dx x f )(其中⎰叫做积分号，)(x f 叫被积函数，dx x f )(叫被积表达式，x 叫积分变量；设)(x f 的原函数)(x F ，则c x F dx x f +=⎰)()(其中c 是任意常数（c 叫做积分常数）。
例如：c x xdx +=⎰sin cosc x dx x +=⎰323 )(]100)([x f x F ='+例31－1、⎰dx x 2解： 23)31(x x ='c x dx x +=∴⎰3231 例31－2、⎰+dx x 211解： ]11)[(arctan 2xx +=' c x dx x+=+∴⎰arctan 1123、不定积分的几何意义设)(x f 的原函数)(x F ，)()(x f x F ='c x F dx x f +=⎰)()()(])([x f c x F ='+即沿y 轴上下移动的全部积分曲线所形成的积分族。
不定积分的概念和性质教案资料
积分曲线簇（family of integral curve）．
二、基本积分表
医用高等数学
实例
x1
1
x
xdxx 1 1C(1).
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
分（indefinite integral），记作 f ( x)d x，即
f(x)dxF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
由定义2，我们有
x2dx x3 C
3
cosxdxsinxC
医用高等数学
根据不定积分的定义，可以得到如下关系式：
f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)d x f ( x)d x
kf ( x)d x kf ( x)；
k f ( x)d x k f ( x)d x kf ( x)，
由于两边的导数相等，故性质 2 成立.
例 4
求
(
x
1)3 x2
d
x
．
医用高等数学
解
( x 1)3 x2 d x
x33x23x1
x2
dx
(x33 xx12)dx
x d x 3 1 d x 3 1 x d x x 1 2d x
而曲线过点(1, 2)可知 C 1，
因此所求曲线方程为
y x2 1．
医用高等数学
函 数 2 x 的 不 定 积 分 为 2 x d x x2 C ， 而
y x2 C 的图形是一簇抛物线（图 4-1）．
第四章不定积分教案
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1．定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
2．原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
3．定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x ='， 得⎰+=C x ds x 332例2． 因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 xx 1)||(l n ='，因此有 ⎰+=C x dx x ||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
高等数学(第三版)课件：不定积分的概念与性质
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
关于“不定积分概念”的教学设计-精品文档
关于“不定积分概念”的教学设计本文所主张的教学模式主要是克服了以往教学中的一些不足.传统上教师主要是通过批改作业了解学生的学习情况，而留给学生的作业通常是解答几个指定问题.显然这种了解学生的情况是不全面的，其教学效果滞后.要全面了解学生的情况应该从以下两个方面把握：一是学生感兴趣的问题；二是学生感到疑惑或是困难的问题.这两者主要是通过学生的自我表述、自我发问才能获得.而本文提到的教学模式是“教思维”从“教提问”开始，通过提问调动每一位同学的积极性、主动性，形成交流、讨论的恰当背景，这样有利于发挥集体教育的作用.以下以《不定积分的概念》一节为例，进行教学设计.教学目标：（1）通过不定积分公式的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转换”、“演绎归纳”的数学思想方法.（2）培养学生的类比、分析、归纳能力及对问题的探究意识.教学重点：原函数概念，不定积分公式，导数与积分的关系.教学难点：不定积分概念的理解及其几何意义.一、教学过程情境导入法：引导学生回忆，从小学到现在学了哪些运算，得出每种运算都有自己的逆运算，从而微分运算也不例外，有自己的逆运算，即不定积分，从而引出课题.开门见山地引入非常重要，使学生对新的知识点有了缓冲，而又自然而然地进入新的课题.任务驱动法：提前给个小组发放任务书，根据任务书的要求完成相应任务.这就要求教师在课前准备时，必须准备充分，在任务书里要体现本讲的重点、难点知识.问题探究法：在教学活动中，生生互动、师生互动，在师生思想的相互碰撞中，不断生成新的教学思想、教学内容及新的教学目标.本环节尤其重要，主要激发学生的数学兴趣，培养其数学思维.合作学习：以各个学生的成绩和学习习惯为核心，将全体学生分成若干个合作性小组，各组中都有好、中、差的学生进行多向交流.竞赛式教学：以个人竞赛和分组竞赛相结合，由教师的引导和学生分析、思考、讨论，然后参与竞赛（竞赛题由教师和学生轮流出题）.竞赛完毕后，教师除了公布竞赛结果外，还要进行总结归纳，使学生再次明确知识的要点和难点.多样化的教学评价方式：参照个人竞赛分、个人参与度、个人进步度、闪光点及团队竞赛分等进行综合评分.多样化的评价系统，可以观察到每位学生的亮点，最主要的是增强学生的自信心，使得他们更愿意探索、思考问题.其评价方式：自我评价→组内评价→小组评价→教师评价。
不定积分的概念与基本公式教案
不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。
本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。
一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。
记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。
2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。
3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。
(3) ∫e^x dx = e^x + C。
(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。
(2) ∫cosx dx = sinx + C。
(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。
(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。
3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。
(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。
四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。
2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。
高等数学教案-不定积分
对于确定的常数 ， 表示坐标平面上一条确定的曲线；当 取不同的值时， 表示一簇曲线．由 可知， 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．
四．不定积分的性质
性质1.(1) = ，或 = ；
(2) ，或 .
性质2. （ 为非零常数）.
（5）含有根式 时，令 ；
（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.
三．例题讲解
例1.求 ．
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ， ．
例6.求 ．
例7.求 ， ．
例8.求 ， ．
例9.求 ， ．
例10.求 ．
例11.求 ．
例12.求 ．
例13.求 ．
例14.求 .
例15．求（1） ； （2） ．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合Biblioteka 教学重点原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
（1）两个多项式函数的商 称为有理函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为
，
其中 为自然数； ， ， ，, 及 ， ， ， 都是实数，并且 , .
（2）在有理分式中，当 时，称之为真分式；当 时，称之为假分式．根据多项式的除法，任意一个假分式都可以化为一个多项式和一个真分式的和，因此有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的积分，多项式的积分比较简单，所以只需要讨论真分式的积分.
微积分 不定积分 教案
综 合 ( 2 ) ( 3 ) ,如 果 f(x )有 一 个 原 函 数 F (x ),则 F (x)C 是 f(x)的 所 有 原 函 数 的 一 般 表 达 式 .
精选2021版课件
4
定义 若 F (x )是 f(x )的 一 个 原 函 数 , 则 称 F (x ) C 为 f(x )的 不 定 积 分 ,
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6
由不定积分的定义，可知
ddx[f(x)dx]f(x),
或 d [f(x)d x]f(x)d x,
F(x)dxF(x)C ,
或 dF(x)F(x)C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
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7
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
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11
例3 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2 dx
根据积分公式（2）
xdx x1 C
1
51
x2 51
C
2
7
x2
C.
7
2
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12
例4 设曲线通过点(1,3), 且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 yf(x),
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9
基 (1) kdxkx C(k是常数);
本 积
(2)
xdx x 1 1C(1);
分 表
(3)
dxxlnxC;
1
(4) 1x2dxarcxtaC;n
(5)
1 dx arcxsC i;n 1x2
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思考
回答
理解
识记
理解
识记
小结
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题，但是表示上是取用了根式和分式形式，遇到这样的情况一样先化成xα的形式，再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分。
作业
教学ห้องสมุดไป่ตู้馈
教研室
审阅意见
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosxdx=sinx＋C;
（8）∫sec2xdx=tanx＋C;
（9）∫csc2xdx=-cotx＋C;
（10）∫secxtanxdx=secx＋C ;
（11）∫cscxcotxdx=-cscx＋C；
（12）=arctanx＋C;
（13）=arcsinx＋C。
2.不定积分
定义2
若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记为∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中符号“∫”称为不定积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，或称被积分式，x称为积分变量，C称为积分常数。
3.不定积分的几何意义
通常我们把一个原函数F(x)的图象称为f(x)的一条积分曲线，其方程为y=F(x)，因此，不定积分∫f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程是y=F(x)+C。
例2设曲线过点（１，２），且斜率为2x，求曲线方程。
解设所求曲线方程为y=y(x)。
依题意，有=2x，故y=∫2xdx=x2+C.又因为曲线过点（1，2），故点（1，2）适合此方程，于是
例3求∫(3ex+2cosx)dx。
解∫(3ex+2cosx)dx
= 3∫exdx+2∫cosxdx
=3ex+2sinx+C
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题，但是表示上是取用了根式和分式形式，遇到这样的情况一样先化成xα的形式，再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分。
组织教学：
提问
新课教学
讲解
性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数积分的代数和。
∫［f（x）±g（x）］dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
三、基本积分表
（1）∫kdx=kx＋C (k是常数);
（2）∫xαdx=＋C (α∈R，α≠-1）;
（3）∫dx=ln|x|＋C；
（4）∫axdx=＋C（a>0，a≠1）;
（5）∫exdx =ex＋C;
2=1+C，解得C=1。
因此所求曲线方程为y=x2+1。
二、不定积分的性质
性质1不定积分与求导或微分互为逆运算。
（1）［∫f（x）dx］′=f（x）或d［∫f（x）dx］=f（x）dx
（2）∫F′（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
性质2被积分式中的非零常数因子可以移到积分号前。
∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k≠0，k为常数）
教学
方法
讲授法、讨论法、案例教学法
教学
准备
教师:教案
学生：预习相关知识
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活动
第一节不定积分的概念和性质
一、原函数与不定积分
1.原函数
定义1
设函数f(x)在某区间上有定义，如果存在函数F（x)，对于该区间上任一点x，使
F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
则称函数F（x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。
课程名称
高等数学
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
不定积分的概念和性质
教学
目标
知识目标：
掌握不定积分的概念和性质,培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。
技能目标：
会利用高等数学的知识解决问题
素质目标：
学会用高数的思维考虑问题
教学
重点
不定积分的概念和性质
教学
难点
不定积分的概念和性质