5-电磁场与电磁波-时变电磁场

Maxwell’s Equations（积分形式）
1st 2nd 3rd 两个闭合面积分 4th 两个闭合线积分
Maxwell’s Equations（微分形式）
表明电磁场和“源”的关系；时变的磁场产生 电场！时变的电场产生磁场！—“电磁场”
静态场与交变电磁场
静电场由静止电荷产生；
静态场
静磁场由恒定电流产生； 二者之间互无影响。
坡印廷定理的物理含义
表示能流密度
— 坡印廷矢量 单位W/m2
表示电磁场中能流在某点处的密度：(1)大小：功率密度 （通过单位面积的功率）；(2)方向：能量流动的方向。
能流密度均值之间的关系
对于时谐场：
坡印亭矢量的平均值：等于电 磁能量密度的平均值乘上电磁 波的传播速度（单位时间垂直 通过单位面积的电磁场能量）
∴
⋅
⋯
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
洛伦兹条件：
⋅
达朗贝 尔方程 “动态矢量位 ”： 还需要定义： ⋅ ⁄ ?
场量方程
1
已经定义： 技巧： ⋅
洛伦茨规范条件
意义：给矢量位的散度赋予确定值
作业 P153-P155 1. 5-1 2. 5-5 3. 5-19 4. 5-21
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主要内容
1. Maxwell’s Equations 积分形式 微分形式 复数形式 2. Boundary Conditions 3. Poynting’s Law & Poynting Vector 4. Potential & Intensity 5. Lorentz Criterion
如何获得麦氏第二方程的微分形式？
计算“感应电动势”
感生电场与静电场的区别
静电场 起源 电 力 线 形 状
E
感生电场
E感
由静止电荷激发 电力线为非闭合曲线
由变化的磁场激发 电力线为闭合曲线
E感
静电场为无旋场 为保守场作功与路径无关
dB 0 dt
感生电场为有旋场
电 场 的 性 质
E dl 0
m
时变电磁场的“边界条件”— 电场
电位移法向
对于理想介质边界 对于理想导体边界
电场切向
对于理想介质边界 对于理想导体边界
时变电磁场的“边界条件”— 磁场
磁通密度法向
对于理想介质边界 对于理想导体边界
磁场强度切向
对于理想介质边界 对于理想导体边界
静电场边界条件时所举的例子：
恒定电场的边界条件及其媒质边界应用
坡印廷定理的复数形式
电阻和电抗分量
对于简谐振荡的回路 有功功率（电阻热能）和无功功率之和为
复数形式的坡印廷定理
- jkz 对于简谐振荡的电磁场 E =E0e
- jkz H =H0e
说明相位变化的方向是+z方向，电磁波能量传播方 向是+z方向，时间因子包含E0和H0中。
电磁感应定律和第二方程
Faraday’s Law of Electromagnetic Induction
描述一：
若闭合曲线为C，对应的开放曲面为S，则
C中的电动势就是通过S的磁通的减少率
若闭合曲线为C，对应的开放曲面为S，则 电场沿C的积分就是磁场在S上的通量的减 描述二：
少率
法拉第电磁感应定律
1st 2nd 3rd 两个闭合面积分 4th 两个闭合线积分
Maxwell’s Equations（微分形式）
磁场的源 电场的源 表明电磁场和他们 “源”的关系
(1) 1831年法拉第“电磁感应定律”—变化的磁场产生电场 (2) 1864年麦克斯韦方程—变化的电场产生磁场
物质的本征方程：
— 麦氏方程组的辅助方程
虚部：无功功率
实部：有功功率密度的平均值 （损耗功率）
例题：已知内外半径a和b，电压U和电流I，求同轴 线的传输功率。 思路： 1. 电流I→磁场 (安‐环定律) 2. 电压U→电场 (第一方程) 3. 电压U→ 确定电场 4. 电场叉乘磁场→坡印廷矢量（复数形式） 5. 对坡印廷矢量均值求积分→传输功率
安培环路定律和第一方程
问题的提出：
带有电容器的电路 实质上不是闭合回路， 自由电子不能通过。
恒定电流
恒定电场没有散度源，其电流无头无 尾，在回路中流动，自行闭合。
恒定电场
安培环路定理
安培环路定理“不”成立了？
“位移电流”假说
Displacement Current 由麦克斯韦提出
极板之间有电流—位移电流 随时间变化的电场形成位移电流。
JT
是传导电流密度
第一麦氏方程积分形式
终于圆满！ 麦克斯韦最重大的 贡献之一！
第一麦氏方程的微分形式
即使不存在“真实电流” 未必是零！
变化的电场产生磁场！ （交变电流与交变电场都是 交变磁场的涡旋源）
都无带电电荷的运动
例题：已知：一个闭合面包含了平板电容器的一个极 板，板间填充空气，电压为 U = U 0 sinωt ，d很小，极 板面积S较大，因此电容器中的电场均匀分布。证明： 流进封闭面的传导电流等于流出封闭面的位移电流。 传导电流I 为 如何求位移电流id？ 电容器中的交变电场为 位移电流密度大小为
d m i E感 dl dt
感生电场为无源场
为非保守场作功与路径有关
静电场为有源场
E dS

q
0
E感 dS 0
பைடு நூலகம்
高斯定理与麦氏第三方程
静电场的高斯定理对交变电磁场仍然适用：
对于交变电磁场，上式中的D、Q和ρ都随时间变 化； 式子所描述的电场是由交变电荷与交变磁场共同 产生： 交变磁场所产生的电场散度为零 交变电荷所产生的电场散度为ρ
位移电流像传导电流一样，也能够产生磁场。 共同点：位移电流和传导电流都具有电流的量纲， 都能够产生磁场； 不同点：传导电流伴随自由电荷的运动，而位移电 流则不然，伴随它的仅仅是随时间变化的电场。
极板上电荷q（t）分析 若 J 表示传导电流
麦克斯韦定义： 位移电流密度
A
m2
D 位移电流密度 J d = t
电介常数 磁导率 电导率
复数形式的麦氏方程
对于时谐场： 复数形式：
简化便于频域分析！
例题：一个漏电的圆盘电容器,其漏电导率为σ, 介电常 数为ε, 导磁率为 μ0, 圆盘面积足够大以致可以忽略边 缘效应。当电容器所加电压为=U0cosωt时，求电容 器中任意点的磁场强度H。
求：位移电流与传导电流幅度之比？ 静态时：….. Jd J m dm 高频时：….. J Cm JT 漏电问题：….
Electromagnetic Field and Wave
Feb-Jun/2015
Time-varying Electromagnetic Field
Dr. Kun Xu （徐坤）
State Key Lab of Information Photonics and Optical Communications (Beijing University of Posts and Telecommunications)
Thank You All for Your Attention!
Any Questions and Suggestions are Welcome!
楞次定律（Lenz’s Law）
描述变化磁场中的静止导体； 感应电流产生的磁场要阻止原磁场的减小！ 回路非要是导体回路吗？
“抽象回路”
电磁感应定律中的“回路”实际上可以是“抽象” 的，即可以是介质或者真空中的闭合路径，而不 一定是导体回路； 扩展成“抽象回路”之后，上式就是麦氏第二方 程（积分形式）
交变电磁场的位与场
对于静态场 对于交变场

标量电位 矢量磁位
E =-
B= A
矢量磁位定义不变，但是电场旋度不为0…… 于是要找出旋度为0的一个矢量来定义电位
可用某标量的梯度来表示
矢量位的偏微分方程 标量位的偏微分方程
静态场中：电位、矢量磁位、标量磁位 动态(时变)场：引入“动态矢量位”、“动态标量位” ∵ ⋅ ∴ ∴∃ , “动态矢量位”： ∵ ⋅ ⁄ ∴ “动态标量位”： ∵ ⋅ ⋅ ∴ 0 ∴∃ , ∴ 0
麦氏第四方程
恒流磁场的散度方程对交变电磁场仍然适用：
式子中所描述的磁场是由传导电流与交变电场 共同产生。 交变电场所产生磁场的磁通和散度也为零； 磁力线仍是闭合曲线，目前尚未找到磁荷或 独立磁极。
例题：已知磁场 式中k‘、k为常数。求磁场的 分量。
，
Maxwell’s Equations（积分形式）
E 0 D E D B 0 1 H B H J
当电荷、电流随时间变化时,它们就要产生随 时间变化的电场和磁场,称为交变电磁场；
交变电磁场
它们既是空间的函数,又是时间的函数； 交变电场与交变磁场不是彼此独立,而是互相 激发,互相为源,二者紧密地联系在一起。
坡印亭（Poynting）定理与坡印亭矢量
电阻、电容和电感中的能量可由电压和电流这两个参 数来描述； 电磁场中的能量由谁来描述？ —电场强度和磁场强度 能量守恒：能量可是静止的（存储），也可是流动的 （传送） 如何描述电磁场中流动的能量？ —定义一个能流矢量—坡印廷矢量来描述能流密度。
法向：做一 “扁盒子”， 利用高斯定理
切向：做一 “闭合回路”， 利用势能守恒 定理
静电场介 质边界 静磁场介 质边界
小结：麦氏方程
电场 电荷
Maxwell.
电场强度
欧姆定律
(传 导 )电 流
电路理论
电流密度
场论
E U
基尔霍夫定律
电 位 (电 动 势 )
磁场
电荷守恒
电流连续性方程 边界条件
实验发现
导体交链的磁通发生变化，则导体产生感应电动 势，回路产生感应电流； 感应电流产生的磁场要阻止原磁场的减小； 变化磁场中感应电流所对应的电场不保守。
变化磁场中，电场不保守！
“电动势”——非保守电场沿闭合路径的积分
根据电磁感应定律：C中的电动势就是通过S磁 通的减少率。
感应电动势： 当空间中还存在静电荷的电场时：