二倍角公式教学设计整理版

[人教 A 版教学设计]

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标：

1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两 角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构 。

2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出 2C α 的两种变形)并理解 倍角 的 相对性 。

3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力 。

二、重点与难点：

1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。

2、难点是倍角公式的形成 及 公式的变形 。

三、教学过程(师生互动):

1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。)

☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+=

我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归 。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系 。让学生领悟到： 2ααα=+

☆ 举一例引导化归思想：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+

sin(α+★)sin cos α=★cos sin α+★ ( ★ 表示任意角)

当 β 取特殊角 α 时，上述公式表示为: sin()sin cos cos sin αααααα+=+ 即： sin 22sin cos ααα= ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想 。

☆ 双向沟通： (请把化归的结果填入下面的式中)

sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2

k π

απ≠+且)()4

2

k k Z π

π

α≠

+

∈ 简记：2()T α

我们发现 22cos 2cos sin ααα=- 公式的右边既有 cos α 也有 sin α ，假设已知

sin α 的值，要求 cos 2α 的值，就必然要再求到 cos α 的值，然后再代入公式求解 。

如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用 cos α 或 sin α 来单 独表示 cos 2α 以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度 。

利用 22sin cos 1αα+= ， 公式 2C α 还可以变形为：

cos 2α= 或 cos 2α=

☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化归为特殊) 。

上面这些公式都叫做倍角公式 。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍 角的三角函数 。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体 会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用 。

2、公式的运用：

☆ 师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数 的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的 。

注意以下题组的变化：(让学生自己发现变化之处)

sin 22sin cos ααα= 22

cos 2cos sin ααα=-

sin α= cos 4α= sin 2

α

= cos 6α= sin 4

α

= cos8α=

在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化 。为了 进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练 习以达到相关目的 。

☆ 梯度一：(熟练公式结构)

（1）002sin 6730'cos6730'⋅= (公式的逆用) （2）2

2

cos sin 8

8

π

π

-= (公式的逆用)

（3）2

2cos 112

π

-= (公式的逆用)

（4）2012sin 75-= (公式的逆用)

（5）0

20

2tan 22.51tan 22.5

=- (公式的逆用) ☆ 梯度二：(倍角的相对性) (1) sin

2

α

= sin cos (2) cos

3

α

= 2cos 2sin -

(3) sin 3cos3αα⋅= (公式的逆用伴有系数的变化) (4) 4sin

cos

4

4

α

α

⋅= (公式的逆用伴有系数的变化)

(5)

20

tan 401tan 40=- (公式的逆用伴有系数的变化) (6) 22cos 2sin 2αα-= (公式的逆用)

☆ 梯度三：(公式的灵活运用)

（1）00sin15sin 75⋅=

(分析：先引导学生观察分析正弦的二倍角公式的右边为 sin cos αα⋅ 即一个正弦、 一个余弦，而本题为两个正弦且角度也不同，提醒学生进行思考且注意变形手段，变成角度相同且一个正弦、一个余弦再求值 。)

(2) 000cos 20cos 40cos80⋅⋅=

(分析：引导学生观察分析，此题设计的目的是让学生学会构造法与滚雪球法，体会 公式的灵活多变，发现数学美 。)

解：原式 0000000

00

8sin 20cos 20cos 40cos804sin 40cos 40cos808sin 208sin 20⋅⋅⋅⋅⋅==

00000

2sin80cos80sin1601

8sin 208sin 208

⋅===

（3）000sin10sin 50sin 70⋅⋅= (此题留为课后练习，让学生进一步思考 。)

☆ 经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一 步应该提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑 推理能力 ，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一 。

3、典型例题: ☆ 例 1、已知 5sin 213α=

，42

ππ

α<<，求 sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值 ? [分析] 本题求值时，由于运用了公式 22cos 21sin 2αα=-，所以要根据角 2α 的范围确定取哪一个平方根 。另外，在求 cos 4α 值时，应使用公式的三种等价式中的:

2cos 412sin 2αα=- .