6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]

( 2 ) 1 + 4 a 2 ； 不是 ( 3 ) x 2 − 2 x + 4 ； 不是 (4) 4 x
2
+ 4 x − 1； 不是
m2 (5 ) 1 + − m ； 是 a 表 示 1， b 表 示 4 ( 6 ) 4 y 2 − 1 2 x y + 9 x 2．
m . 2
是 a 表 示 2 y， b 表 示 3 x .
( 1) m + n = ( m + n ) 2 2 2 ( 2) m − n = ( m − n ) 2 3 ) a 2 + 2ab − b 2 = (a − b ) ( 2 2 2 ( 4 ) − a − 2ab − b = − (a − b )
2
× × ×
×
分解因式: 例2 分解因式:(2x + y ) − 6(2x + y ) + 9
2
把下列各式分解因式: 例1 把下列各式分解因式:
(1 ) 4 a + 1 2 a b + 9 b 2 2 ( 2 ) − x ＋ 4 xy − 4 y 2 2 ( 3 ) 3 a x + 6 a xy + 3 a y
2 2
若多项式中有公因式， 若多项式中有公因式， 应先提取公因式， 应先提取公因式，然后 再进一步分解因式。 再进一步分解因式。
是 是 不是 不是 是 是
(x − 3)
2 2
( 2y + 1)
不适用
1 + 4a 2 a
x
2
+
1 1 x + 2 4
不适用
m 1 + 2
2
m2 1+ m + 4
a表示1,b表示 表示1 表示
m 2
4y −12xy+9x
2
2
( 2y − 3x )
2
表示3x a表示2y,b表示 x 表示2 表示
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
完全平方公式： 完全平方公式：
(a + b) = a + 2ab + b
2 2
2 2
(a − b) = a − 2ab + b
2 2
现在我们把完全平方公式反过来，可得： 现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
2
= 4(x + 2x +1) + 7
2
= 4(x +1) + 7
2
（1）形如________________形式的多项式可以 形如________________形式的多项式可以 ________________ a ± 2ab + b
2 2
用完全平方公式分解因式。 用完全平方公式分解因式。 提取公因式法 （2）因式分解通常先考虑______________方法。 因式分解通常先考虑______________方法。 ______________方法 再考虑——方法。 方法。 再考虑 方法 彻底 （3）因式分解要_________ 因式分解要_________
按照完全平方公式填空： 按照完全平方公式填空：
(1) a − 10a + ( 25 ) = ( a − 5 )
2
2 2
2
(2) ( a y ) + 2ay + 1 = ( ay + 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 − ( ± rs ) + r s = ( ± rs ) 4 2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式． 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(1) (2) (3) (4) (5 )
x +(_____ + y ； ±2xy)
2 2
12ab 4 a + 9b + ______ ；
2 2
x − _____)+ 4 y ； (±4y
2 2
1 2 a + (±ab)+ b ； _____ 4 2 4 2 y x + 2 x y + _____ ．
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
n + 1) − n2 = ( n + 1+ n) ( n + 1− n) = 2n + 1 (
2
2
分解因式：a (
− b ) − 10( a − b ) + 25．
2
绝对挑战 (1)用简便方法计算： 用简便方法计算： 用简便方法计算
2005 − 4010 × 2003 + 2003
2 2
2
= 2005 − 2 × 2005 × 2003 + 2003
= (2005 − 2003)
=4
2
2
绝对挑战 再加上一项， （2）将 4 x 2 + 1 再加上一项，使它成为 ） 完全平方式，你有几种方法？ 完全平方式，你有几种方法？
a + 2ab + b ；
2 2
a − 2ab + b
2
2
填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用” 填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”） 多项式
x 2 − 6x + 9
4y 2 + 4y + 1
是否是完全 平方式 表示成（ 表示成（a＋b)2或 （a－b)2的形式
a，b各表示什么 各表示什么 表示3 a表示x,b表示 表示x 表示 a表示2y,b表示 表示1 表示2 表示 不适用 不适用
观察下表，你还能继续往下写吗？ 观察下表，你还能继续往下写吗？ 1 3 5
1 = 12 − 02 3 = 22 − 12 5 = 32 − 22
任何一个正奇 7 7 = 42 − 32 数都可以表示 … … 成两个相邻自 然数的平方差。 然数的平方差。 对于正奇数 你发现了什么规律？ 你发现了什么规律？能用因式分解来说 2n+1(n为自然 n n 明你发现的规律吗？ 明你发现的规律吗？ 数)，有 ，
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
各表示什么？ 相应的 a 、 b 各表示什么？ a 表 示 x， b 表 示 3. (1 ) x 2 − 6 x + 9 ； 是
a + 2ab + b ； a − 2ab + b
2 2
2
2
完全平方式的特点： 完全平方式的特点
1．有三部分组成． 有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方， 其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方， 分别是某两个数 另一部分是上述两数 或式） 是上述两数（ 另一部分是上述两数（或式） 且这两部分同号． 且这两部分同号． 的乘积的2 的乘积的2倍，符号可正可负． 符号可正可负．
形如
a + 2ab + b 2 2 a − 2ab + b
2
2
2
的多项式称为完全平方式. 的多项式称为完全平方式. 完全平方式
9 x − 6 x + 1= (3x) − 2 ⋅ (3x) ⋅1 + 1 = (3 x − 1)
2 2
Fra Baidu bibliotek
2
形如
a + 2ab + b
2
2
或
a − 2ab + b
2
2
的多项式,叫做完全平方式 完全平方式。 的多项式,叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 公式法 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 平方差形式 完全平方公式法：适用于完全平方式 完全平方公式法：适用于完全平方式
一天,小明在纸上写了一个算式为 一天 小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说 无论 取何 并对小刚说:“无论 并对小刚说 无论x取何 这个代数式的值都是正值 值,这个代数式的值都是正值 你不信 这个代数式的值都是正值,你不信 试一试?” 试一试
4x2 +8x +11 = 4x +8x + 4 + 7